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求极限的方法52
求数列极限的方法；极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限；样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法；利用数列极限的定义求出数列的极限.设xXny是一；n??；?0.n??n!；解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1；令1/n&?,则让n&即可,；存在N=[],当n&N时,不等式:1/n!；立,；所以lim?0.；n?
求数列极限的方法 极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。 1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设xXny是一个数列,a是实数,如果对任意给定的?〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有Xn?a&?,我们就称a是数列{Xn}的极限.记为limXn?a.n??1?0. n??n!解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n1令1/n&?,则让n&即可,?1存在N=[],当n&N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n&?成?立,1所以lim?0.n??n!2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.1?a?a2???an例2:
求lim,其中a?1,b?1.n??1?b?b2???bn解:
分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限1?an?11?bn?12n2n1?a?a???a?,1?b?b???b?,1?a1?b1?an?11lim1?b1?a原式=n??1?a, ??11?bn?11?alimn??1?b1?b3. 利用夹逼性定理求极限例1: 按定义证明lim若存在正整数N,当n&N时,有Xn≤Yn≤Zn,且limXn?limZn?a,则有n??n??limYn?a.n??1?n}的极限. 2n解:
对任意正整数n,显然有11?n2n2?2?2?,nnnn例3:求{12?0,?0,由夹逼性定理得 nn1?nlim2?0.n??n 4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单.an?1例4.求极限limn，此时n??a?2解：若 有 ，令则而5.单调有界原理 例5.证明数列证： 令 我们用归纳法证明 若≤２ 则有极限，并求其极限。，易知｛｝递增，且≤2.
显然。。中两 故由单调有界原理｛｝收敛，设→ ，则在 边取极限得即 解之得 =２ 或 =-１ 明显不合要求，舍去， 从而 6.先用数学归纳法,再求极限.1?3?5???(2n?1)例6:求极限limn??2?4?6???2n1352n?11?
解:0??????352n?1S=?????2462n242n设S*=????
则有S&S*352n?11S2=S*S&S*S*=2n?111?0再由夹逼性定理,得
而0?S?,limn??2n?12n?11?3?5???(2n?1)lim=0n??2?4?6???2n1sinx?1,lim(1?)x?e. 7.利用两个重要极限limx???x?0xx2例7:求lim(1?)xx???xxx2212解: 原式=lim(1?)?(1?)?e?e?e2x???xx8.利用等价无穷小来求极限将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限.
例8:求lim?xsinx?1e2x??x2?1 xsinx. 2解:当x?0的时候,xsinx?0,?xsinx?1~而此时,ex?1~x2,所以xsinx1?
原式=limx?02x220?9.用洛必达法则求极限.适用于和型0?1?cosx例9:求limx?0x2 解:
是待定型. 1?cosxsinx1limlim? =x?0x?02x2x210.积分的定义及性质1p?2p?3p???np(p?0)
例10:求limn???np?11p?2p?3p???np1nip(p?0)=lim?() 解: limp?1n???n???nni?1n设f(x)?xp,则f(x)在[0,1]内连续,1ii?1i,]
?xi?,取?i??[nnnni所以, f(?i)?()pn11所以原式=?xpdx?0p?111.级数收敛的必要条件.设?un等于所求极限的表达式,再证?un是收敛的,据必要条件知所求表达式的n?1n?1??极限为0. 例11:求limn! n???nn?un?111n!lim?lim??1 ,则nn???n???1uenn?1n(1?)nnn!所以该级数收敛,所以limn=0n???n12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数的恒等变形。
解:设?un?例12. 求lim
解：sin5x?sin3x x?0sin2x?sin5x2x5sin3x2x3?53法一：原式=lim??????????1x?03xsin2x2?22?5xsin2x25x?3x5x?3x2cossin2cos4xsinx2cos4x法二：原式=lim?lim?lim?1x?0x?0x?0sin2x2sinxcosx2cosx13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。(?1)x例13：求limx的值x??2?1解：奇数列为limx=0x??21偶数列为limx=0x??2(?1)x所以limx=0x??214．利于泰勒展开式求极限。例14.求x5?x4?x5?x4)11?11515?解：原式=limx?(1?)?(1?)?(令t=)x???xxx??1?1?1?t?o(t)?1?t?o(t)11?5?2?1?5??= 55=lim?(1?t)?(1?t)?=t??0t5t??15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。1例15：求lim2sinx的值x??x1解：因为lim2是无穷小量，而limsinx是有界变量，所以x??x??x1lim2sinx还是无穷小量，即x??x1lim2sinx=0x??x16.利用数列的几何、算术平均值求极限。数列{an}有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。 例16：求n解：nn=nn包含各类专业文献、文学作品欣赏、生活休闲娱乐、各类资格考试、应用写作文书、专业论文、高等教育、求极限的方法52等内容。　
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1习题1?6；1.计算下列极限:；(1)limsin?x;x?0x；解limsin?x??limsin?x??.x?；(2)limtan3x;x?0x；解limtan3x?3limsin3x?1?3.；(3)limsin2x;x?0sin5x；解limsin2x?limsin2x?5x?2?；(4)x?0；解limxcotx?limx?co
1习题1?61. 计算下列极限:(1)limsin?x; x?0x解 limsin?x??limsin?x??.
x?0x?0xx(2)limtan3x; x?0x解 limtan3x?3limsin3x?1?3.
x?0x?03xxcos3x(3)limsin2x; x?0sin5x解 limsin2x?limsin2x?5x?2?2.
x?0sin5xx?02xsin5x55(4) x?0解 limxcotx?limx?cosx?limx?limcosx?1.
x?0x?0sinxx?0sinxx?0(5)lim1?cos2x; x?0xsinx2x?lim2sin2x?2lim?sinx
解法一 lim1?cos2x?lim1?cosx?0xsinxx?0x?0x?0x2x2x2
解法二 lim1?cos2x?lim2sinx?2limsinx?2.
x?0xsinxx?0xsinxx?0x?2?2.(6)lim2nn??x(x为不等于零的常数). n2sinxnx
解 lim2nsinn?lim?x?x.
n??2n??2n2. 计算下列极限:1(1)lim(1?x)xx?0;1(?1)?lim[1?(?x)]?x?0
解 1lim(1?x)xx?01?1lim[1?(?x?1?e?1. x?0?
(2)lim(1?2x)x; x?0解 1lim(1?2x)xx?011?2?lim(1?2x)2x?lim(1?2x)2x2?e2. x?0x?0??(3)lim(1?x)2x; x??x解 lim1?x2x??lim(1?1)xx??xx??x(4)lim(1?1kx(k为正整数). x??x解 lim(1?1)kx?lim(1?1)(?x)(?k)?e?k.
x??x??x?x3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I?.
解 4. 利用极限存在准则证明:
(1)lim??1; n??n11
证明 因为1???1?,
lim1?1且lim(1?)?1,
n??nn??1由极限存在准则I, lim??1.
n??n(2)limn?n??111??1; ?? ? ? ? ?n2??n2?2?n2?n?证明 因为n2111n2
?n?2?? ? ? ? ?2n?n?n??n2?2?n?n?而
limn2n2, ?1lim?1,
n??n2?n?n??n2??111??1? ?? ? ? ? ?n2?n2?2n2?n?, 所以
(3)数列, 2?2?, ? ? ? 的极限存在;证明 x1?, xn?1?2?xn(n?1, 2, 3, ? ? ?).
先证明数列{xn}有界. 当n?1时x1??2, 假定n?k时xk?2, 当n?k?1时,xk?1??xk??2?2,所以xn?2(n?1, 2, 3, ? ? ?), 即数列{xn}有界.再证明数列单调增.xn?1?xn??xn?xn?22?xn?xn?(xn?2)(xn?1)?,
?xn?xn?xn?xn 而xn?2?0, xn?1?0, 所以xn?1?xn?0, 即数列{xn}单调增.
因为数列{xn}单调增加有上界, 所以此数列是有极限的.(4)?x?1;
x?0证明 当|x|?1时, 则有1?x?1?|x|?(1?|x|)n ,1?x?1?|x|?(1?|x|)n ,从而有
1?|x|??x?1?|x|.
lim(1?|x|)?lim(1?|x|)?1,
x?0x?0根据夹逼准则, 有lim?x?1.
x?0(5)limx??x?01??1.
证明 因为?1????, 所以1?x?x???1.
xxxx(1?x)?lim1?1, 根据夹逼准则, 有limx?
又因为lim???x?0x?0x?01??1.
x 包含各类专业文献、各类资格考试、幼儿教育、小学教育、中学教育、外语学习资料、文学作品欣赏、高数38等内容。
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已知函数f(x)=( 根号3 /2 )sin2x - cos^2 x +1/4
（1）求最小正周期；（2）当x为何值时函数取到最大值，并求出最大值
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3时函数取到最大值，
最大值∴函数f(x)=7/2时函数取到最大值;2+3&#47f(x)=(根号3/4 最小正周期=2π/4=sin((2x-π/2)sin2x-(2cos^2x-1)/2+3/6))+3/4=(根号3/2)sin2x-(cos2x)/2=π
当(2x-π/2)sin2x-cos^2x+1/6)=2kπ+π&#47，
x=kπ+π/4=(根号3&#47
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出门在外也不愁已知函数f(x)=√3/2sin2x-cos^2x-1/2，x∈R 当x∈[-兀/12，5兀/_百度知道
已知函数f(x)=√3/2sin2x-cos^2x-1/2，x∈R 当x∈[-兀/12，5兀/
函数f（x）的值域已知函数f(x)=√3/12]时;2sin2x-cos^2x-1&#47，5兀&#47。要过程;2，x∈R
当x∈[-兀/12
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hiphotos.hiphotos.baidu://e.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=0a222a56bb389b5038aae854b505c9e5/0df3d7ca7bcb0a46ceecbb6a60afaf://e.hiphotos.jpg" esrc="http://e.baidu.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="/zhidao/pic/item//zhidao/wh%3D450%2C600/sign=edde711edfe22d/0df3d7ca7bcb0a46ceecbb6a60afaf<a href="http
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太给力了，你的回答完美解决了我的问题！
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