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要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根带有喷水头的水管．喷出的水所形成的水流的形状是抛物线，如果要求水流的最高点到水管的水平距离为1m，距离地面的高度为3m，水流落地处到水管的水平距离是3m，求这根带有喷水头的水管在地面以上的高度？
题型：解答题难度：中档来源：不详
如图，建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是y=a（x-1）2+3（0≤x≤3）．（3分）由这段抛物线经过点（3，0）可得0=a（3-1）2+3，解得a=-34．因此y=-34(x-1)2+3（0≤x≤3）．（4分）当x=0时，y=2.25，所以，这根带有喷水头的水管在地面以上的高度为2.25m．（5分）
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据魔方格专家权威分析，试题“要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根带有喷水头的水管．喷..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
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人教版九年级数学下册第26章二次函数导学案及课后习题31-2
①抛物线y12＋1)2,y＝－1212；2x,y＝－2(x－1)的形状大小_______；②把抛物线y＝－122向左平移_______个单；2(x＋1);；把抛物线y＝－122向右平移_______个单位；2(x＋1).；总结知识点：；2.对于二次函数的图象,只要｜a｜相等,则它们的；2.抛物线y＝4(x－2)2；与y轴的交点坐标是___________,与
①抛物线y12＋1)2 ,y＝－12122 x,y＝－2 (x－1)的形状大小____________.②把抛物线y＝－122向左平移_______个单位,就得到抛物线y＝－122 (x＋1) ;把抛物线y＝－122向右平移_______个单位,就得到抛物线y＝－122 (x＋1) .总结知识点：2.对于二次函数的图象,只要｜a｜相等,则它们的形状_________,只是_________不同. 三．达标测评案： 2.抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________,与x轴的交点坐标为________. 3.把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________. 4.将抛物线y13－1)x2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为____________.5.抛物线y＝2 (x＋3)2的开口___________;顶点坐标为____________;对称轴是_________; 当x＞－3时,y______________;当x＝－3时,y有_______值是_________.课后反思： 26.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质（第五课时）教学目标:1.会画二次函数的顶点式y＝a (x－h)2＋k的图象;2.掌握二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质;3.会应用二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质解题.一．预习检测案：画出函数y＝－12(x＋1)2－1的图象,指出它的开口方向.对称轴及顶点.最值.增减性.列表: 描点画图： 6 二．合作探究案 由图象归纳:222.y＝6x＋3与y＝6 (x－1)＋10_____________相同,而____________不同. 123.顶点坐标为(－2,3),开口方向和大小与抛物线y＝相同的解析式为(
)212A.y＝－2)＋322111222B.y＝＋2)－3
C.y＝＋2)＋3 D.y＝－＋2)＋32224.二次函数y＝(x－1)＋2的最小值为__________________.5.将抛物线y＝5(x－1)＋3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线解析式为_____.6.若抛物线y＝ax＋k的顶点在直线y＝－2上,且x＝1时,y＝－3,求a.k的值.7.若抛物线y＝a (x－1)＋k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A’的坐标为（
）。 8.将抛物线y＝2 (x＋1)－3向右平移1个单位,再向22221212.把抛物线y＝－ x向____平移_____个单位,再向____平移_______个单位,就得到抛物线y＝－22(x＋1)－1. 总结知识点：2.抛物线y＝a (x－h)＋k与y＝ax形状___________,位置________________. 三．达标测评案222上平移3个单位,得抛物线表达式______________. 课后反思：26.1.4二次函数y＝ax＋bx＋c的图象与性质（第六课时）教学目标:1.配方法求二次函数一般式y＝ax＋bx＋c的顶点坐标.对称轴;2.熟记二次函数y＝ax＋bx＋c的顶点坐标公式; 3.会画二次函数一般式y＝ax＋bx＋c的图象. 一．预习检测案：12121.求二次函数y－6x＋21的顶点坐标与对称轴.(解:将函数等号右边配方:y＝ x－6x＋21)222222712122.画二次函数y＝x－6x＋21的图象.(解:y＝ x－6x＋21配成顶点式为22_______________________.) 列表: 3.用配方法求抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的顶点与对称轴.二．课堂探究案：2例2
求抛物线y＝x－2x－3与y轴交点坐标.
3.a.b.c以及△＝b－4ac对图象的影响.(1)a决定:开口方向.形状
(2)c决定与y轴的交点为(0,c)22??0与x轴有两个交点b?2(3)b与－共同决定b的正负性
(4)△＝b－4ac??0与x轴有一个交点2a??0与x轴没有交点?例3
如图,由图可得:a_______0,b_______0,c_______0,△______0 例4
已知二次函数y＝x＋kx＋9.① 当k为何值时,对称轴为y轴；②当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点； ③当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点. 四．达标测评案：121. 用顶点坐标公式和配方法求二次函数y－2－1的顶点坐标.223.已知二次函数y＝－2x－8x－6,当________时,y随x的增大而增大;当x＝________时,y有______值是_____.4.二次函数y＝－x＋mx中,当x＝3时,函数值最大,求其最大值.5.求抛物线y＝2x－7x－15与x轴交点坐标__________,与y轴的交点坐标为_______. 6.抛物线y＝4x－2x＋m的顶点在x轴上,则m＝__________.7.如图:由图可得: a_______0,b_______0,c_______0,△＝b－4ac______0 课后反思：222222.二次函数y＝2x＋bx＋c的顶点坐标是(1,－2),则b＝________,c＝_________.2三.知识点应用1.求二次函数y＝ax＋bx＋c与x轴交点(含y＝0时,则在函数值y＝0时,x的值是抛物线与x轴交点的横坐标).例1
求y＝x－2x－3与x轴交点坐标.2.求二次函数y＝ax＋bx＋c与y轴交点(含x＝0时,则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标).222 26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式（第七课时）教学目标:1.会用待定系数法求二次函数的解析式;2.实际问题中求二次函数解析式. 一．预习检测案：21.已知二次函数y＝x＋x＋m的图象过点(1,2),则m的值为________________.82.已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线y＝4x＋bx＋c上的两点,则这条抛物线的对称轴为_____________________.23.将抛物线y＝－(x－1)＋3先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,则所得抛物线的解析式为___________.124.抛物线的形状.开口方向都与抛物线y＝－相同,顶点在(1,－2),则抛物线的解析式为2_______________. 二．合作探究案：例1
已知抛物线经过点A(－1,0),B(4,5),C(0,－3),求抛物线的解析式.例2 已知抛物线顶点为(1,－4),且又过点(2,－3).求抛物线的解析式.例3
已知抛物线与x轴的两交点为(－1,0)和(3,0),且过点(2,－3).求抛物线的解析式.归纳:用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法: 1.已知抛物线过三点,设一般式为y＝ax＋bx＋c. 2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式y＝a(x－h)＋k.3.已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标), 设两根式:y＝a(x－x1)(x－x2) .(其中x1.x2是抛物线与x轴交点的横坐标)实际问题中求二次函数解析式：例4
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长？222三．达标检测案：1.已知二次函数的图象过(0,1).(2,4).(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(－2,－3),且图像过点(－3,－2),求这个二次函数的解析式.3.已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),求二次函数的顶点坐标.4.如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12mm,BC＝24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动,如果P.Q分别从A.B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围.课后反思：26.2 用函数的观点看一元二次方程（第八课时）2APC9教学目标:1.知道二次函数与一元二次方程的关系.2.会用一元二次方程ax＋bx＋c＝0根的判别式△＝b－4ac判断二次函数y＝ax＋bx＋c与x轴的公共点的个数. 一．预习检测案：1.问题:如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h＝20t－5t. 考虑以下问题:(1)球的飞行高度能否达到15m？如能,需要多少飞行时间？ (2)球的飞行高度能否达到20m？如能,需要多少飞行时间？ (3)球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ (4)球从飞出到落地要用多少时间？2.观察图象:(1)二次函数y＝x＋x－2的图象与x轴有____个交点,则一元二次方程x＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0;(2)二次函数y＝x－6x＋9的图像与x轴有_ __个交点,则一元二次方程x－6x＋9＝0的根的判别式△＝_____0;(3)二次函数y＝x－x＋1的图象与x轴________公共点,则一元二次方程x－x＋1＝0的根的判别式△_______0.二．合作探究案：1.已知二次函数y＝－x＋4x的函数值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程－x＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值.一般地:已知二次函数y＝ax＋bx＋c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程ax＋bx＋c＝m.反之,解一元二次方程ax＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax＋bx＋c的值为m的2222222222222222自变量x的值.2.二次函数y＝ax＋bx＋c与x轴的位置关系:一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b－4ac.(1)当△＝b－4ac＞0时22222抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴有两个交点;22(2)当△＝b－4ac＝0时
抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴只有一个交点; (3)当△＝b－4ac＜0时
抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴没有公共点. 八.课后训练1.已知抛物线y＝x－2kx＋9的顶点在x轴上,则k＝____________.2.已知抛物线y＝kx＋2x－1与坐标轴有三个交点,则k的取值范围___________.3.已知函数y＝ax＋bx＋c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象如图所示,则关于x的方程ax＋bx＋c－4＝0的根的情况是(A.有两个不相等的正实数根
无实数根4.如图为二次函数y＝ax＋bx＋c的图象,在下列说法中:①ac＜0;②方程ax＋bx＋c＝0的根是x1＝－1,x2＝3;③a＋b＋c＞0;④当x＞1时,y随x的增大而增大.正确的说法有__________________(把正确的序号都填在横线上).课后反思：26.3. 实际问题与二次函数-1（第九课时） 22222222B.有两个异号实数根
C.有两个相等实数根
D. 10包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、高等教育、外语学习资料、中学教育、人教版九年级数学下册第26章二次函数导学案及课后习题31等内容。　
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人教版九年级数学下册26.1.3二次函数y=a(x-h)2 k的图象和性质
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数学课堂教学中如欲何补充例题
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