二次函数f﹙x﹚二次项系数为a,不等式f﹙x﹚+2x＞0解集为﹙1，3﹚。若方程f﹙x﹚+6a=0有两个相等实数根，求f﹙x﹚的解析式。
二次函数f﹙x﹚二次项系数为a,不等式f﹙x﹚+2x＞0解集为﹙1，3﹚。若方程f﹙x﹚+6a=0有两个相等实数根，求f﹙x﹚的解析式。
若f﹙x﹚的最大值为正数，求a的取值范围。
第一题f(x)&-2x的解集是[1,3]那么方程f(x) 2x=0的解就是1,3 设f(x) 2x=a(x-1)(x-3)a(x?-4x 3) ==&f(x)=ax?-(4a 2)x 3a 因为方程f(x) 6a=0 即ax?-(4a 2)x 9a=0
因为f(x) 6a=0两个相等的根 那么△=[-(4a 2)]?-4×a×9a=0 又由题意可得a&0 借得a=-1/5
则f(x)的解析式为 f(x) = -1/5x^2 -6/5x -3/5
(2)因a&0,且 b=-(4a 2), c=3a 则 f(x) = ax^2 bx c = ax^2 -(4a 2)x
3a 要使f(x)的最大值为正数，则只需 △= (4a 2)^2 -4*a*(3a)&0 即a^2 4a 1&0 解得 a&-2-√3 或a&-2 √3 又a&0 a的取值范围是 (-∞,-2-√3)∪(-2 √3,0)
第二题 （1）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x^2＋x)＝f (x)－x^2＋x 又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)＝x0 所以对任意，有f(x)－x^2＋x＝x0 在上式中令x＝x0，有f(x0)－x0^2＋x0＝x0 又因为f(x0)＝x0，所以－x0^2 ＝0，故x0＝0或x0＝1 若x0＝0，则f(x)－x^2＋x＝0，即f(x)＝x^2－x
但方程x^2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x0≠0 若x0＝1，则有则f (x)－x^2＋x＝1，即f (x)＝x^2－x＋1。易验证函数满足题设条件。 综上，所以函数为f(x)＝x^2－x＋1（x∈R）
(2)f(x)=x^2－x＋1=(x-1/2)^2 3/4 在[0,m] 所以当0&x&m时,f(x)是减函数 ,当x≥m时 f(x)是增函数 当m&1/2 f(x)max=f(0)=1 f(x)min=f(m)=m^2-m 1 .........................所以f(x)∈[m^2-m 1,1] 当1/2≤m&1时 f(x)max=f(0)=1 f(x)min=f(1/2)=3/4.........................所以f(x)∈[3/4,1] 当m≥1时 f(x)max=f(m)=m^2-m 1 f(x)min=f(1/2)=3/4 .........................所以f(x)∈[3/4,m^2-m 1]
其他回答 (2)
：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0．因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a．①由方程f（x）+6a=0得ax2-（2+4a）x+9a=0．②因为方程②有两个相等的根，所以△=[-（2+4a）]2-4ao9a=0，即5a2-4a-1=0．解得a=1或a=-15.由于a＜0，舍去a=1．将a=-15代入①得f（x）的解析式f(x)=-15x2-65x-35.（Ⅱ）由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-1+2aa)2-a2+4a+1a及a＜0，可得f（x）的最大值为-a2+4a+1a.就由{-a2+4a+1a＞0a＜0解得a＜-2-3或-2+3＜a＜0．故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞，-2-3)∪(-2+3，0).
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理工学科领域专家设二次函数x^2-ax+a^2-19=0和x^2-5x+6=0的解集分别是集合A和B。若A∪B=B，求实数a的取值范围
设二次函数x^2-ax+a^2-19=0和x^2-5x+6=0的解集分别是集合A和B。若A∪B=B，求实数a的取值范围
解第二个方程得B=｛2，3｝，因为A∪B=B，所以A=｛2｝或｛3｝或｛2，3｝，当A=｛2｝时，将2代入方程一，求得a=5或a=-3（舍去），当A=｛3｝，代入方程一，得a=5或a=-2（舍去），当A=｛2，3｝时，代入方程一得a=5，前两个舍去的理由是代回去算的第一个方程不止一个解
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＞＞＞某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发..
某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax2+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少1a，纵坐标增加1a，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加1a，纵坐标增加1a，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上．（1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般-一特殊-一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：济南
（1）y=ax2+2x+3=a(x+1a)2+3-1a抛物线y=ax2+2x+3的顶点坐标为(&-1a，3-1a)∴抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式为y=x+3（2）当a≠0时，顶点的横坐标-1a≠0∴（0，3）点不是抛物线的顶点．（3）抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-b2a，4ac-b24a）由题意得A（-b+22a，4ac-b2+44a）把x=-b+22a代入y=ax2+bx+c=a（-b+22a）2+b（-b+22a）+c=4ac-b2+44a∴点A在抛物线y=ax2+bx+c上，同理点B也在抛物线y=ax2+bx+c上．
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据魔方格专家权威分析，试题“某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发..”考查相似的试题有：
168141149315140792109355114062463610二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根．x1=，x2=；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集．；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．．
提 示 请您或[登录]之后查看试题解析 惊喜：新手机注册免费送10天VIP和20个雨点！无广告查看试题解析、半价提问”二次函数 的解集为r ”有什么隐含条件？_百度知道
”二次函数 的解集为r ”有什么隐含条件？
,”二次函数 的解集为r ”有什么隐含条件,
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b&gt,2,a,2(,　　f(x)=ax^2+bx+c为二次函数
解集为r的隐含条件是,2*(,c,)^1&#47,)^1&#47,
有解集说明有两个实数根Δ≥0
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