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各学院、有关单位：全国大学生数学竞赛是由中国数学会主办的大学生专业技能竞赛活动，旨在进一步推动和促进高等学校数学课程改革与建设，增强大学生的数学学习兴趣，培养大学生分析与解决问题的能力，发现、选拔数学创新人才，为青年学子提供一个展示基础知识和思维能力的舞台。为了迎接2015年10月举行的全国大学生数学竞赛安徽赛区的预赛，学校决定举办2015年安徽建筑大学大学生数学竞赛。现将有关事宜通知如下：一、参赛对象竞赛分为非数学专业组和数学专业组。数学专业组的学生不得参加非数学专业组的竞赛。 1、数学专业组：本校信息与计算科学、统计学专业的学生。2、非数学专业组：本校所有系统学习过高等数学的本科学生。二、竞赛内容与要求数学竞赛以笔试成绩确定竞赛排名，时间为120分钟，采用百分制。笔试内容主要考查数学基础知识和数学方法的灵活应用，参赛学生须具有较好的数学基础。非数学专业组竞赛范围以理工科本科教学大纲所规定的高等数学教学内容为准。数学专业组竞赛范围包括数学分析（50%）、高等代数（35%）和解析几何（15%）三门课程。（竞赛大纲可在数理学院网站查阅）三、竞赛安排1、报名时间：日-5月22日。各相关学院要高度重视，认真组织，积极动员学生报名参赛，要求学生于日前登录个人正方教学管理系统报名。具体事宜由数理学院王洪燕老师负责，联系电话：。2、竞赛时间：日下午 14：30—16：30考试地点：请各位参赛同学于6月1日-2日期间，查询数理学院网站。四、竞赛规则1、参赛学生应携带学生准考证或身份证，经检查无误，方准参加竞赛。2、参赛学生应在规定的笔试开始时间前15分钟入场，迟到15分钟后不得入场。五、奖励竞赛奖的设立分为数学专业组和非数学专业组两个类别，其中数学组一、二、三等奖分别为1个、2个、4个，非数学组一、二、三等奖和鼓励奖人数分别为2个、6个、12个和20个，对获奖学生颁发“安徽建筑大学大学生数学竞赛奖”荣誉证书和一定的物质奖励，并从校级竞赛获奖的学生中，选拔优秀学生经过培训参加安徽省区赛及全国决赛。竞赛办公室：设在数理学院教学办（理化楼二楼）联系人：王洪燕、胡志龙、侯奎联系电话：4、
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【来源：中国数学会网站】
&&& 欧拉，L．(Euler，Leonhard)日生于瑞士巴塞尔；日卒于俄国圣彼得堡．数学、力学、天文学、物理学．
&&& 18世纪物理学的进展并不像17世纪前80年那样不寻常，它很少产生伟大的实验物理学家．欧拉作为一位物理学家，与丹尼尔·伯努利也不一样，其主要贡献是从数学的角度详尽地阐述前面已讨论过的那些类问题．欧拉所涉及的各种物理问题，当时多半与数学分析无缘．他渴望创造一种与物理学界取得一致的数学理论．他广泛地将数学应用到整个物理领域，并在力学、声学、光学和电磁学等方面做出了许多重要贡献．
　　1644年，笛卡儿曾经假定星际空间充满着物质，并且它们在很大的漩涡中运动．这在欧洲大陆人们的思想中，直到近18世纪中叶时还保持着它的地位．1724年，欧拉被授予哲学硕士学位，他发表的演讲就是对牛顿和笛卡儿的哲学思想进行比较．欧拉不是笛卡儿自然哲学体系的代表人物，但是，他更接近于这个自然哲学体系．欧拉否认空虚空间中的运动和远距离作用的可能性，他认为宇宙中充满了以太，并且用以太的力学性质来解释观察到的现象的多样性是可能的．他还将单磁流的概念引入电磁学．
　　欧拉在广为流传的《关于物理学和哲学问题给德韶公主的信》中，提出了一切物理现象都是以太与物质相互作用的结果的思想，企图建立物理世界的统一图象．这一思想对18世纪、19世纪物理学的发展是重要的．欧拉关于电的本质的观点是M．法拉第(Faraday)和J．C．麦克斯韦(Maxwell)电磁场理论的雏型．他的以太理论影响了黎曼．
　　欧拉在物理学方面建立的人造模型和提出的一些假设，寿命都不长．但是，他的光学著作在18世纪的物理学中起了重要作用．他否定权威的光粒子论，他是这个世纪提倡波动说的唯一的杰出科学家．他认为光的起因是以太特有的振荡的结果．欧拉1746年发表的《光和色彩的新理论》(Nova theoria lucis et colo- rum)解释了一些光学现象．他同伦敦的光学仪器商多伦在色散理论上发生过争论，双方都有正误之处．1758年，多伦创造消色差望远镜送交英国皇家学会，轰动了整个欧洲．这是光学技术上的一个转折点．而欧拉的三大卷本《屈光学》(Dioptrica，1771)则奠定了光学体系的计算基础．此书第一卷论述光学原理，第二、三卷分别论述望远镜和显微镜的构造，只是书中的数学模型超出了实验光学家的理解力．值得一提的是，欧拉1739年的音乐新理论也有超出音乐家理解力的地方，人们说，它对数学家“太音乐”了，而对音乐家“太数学”了．有人认为，欧拉的某些思想在现代音乐家的著作中得到了发展．
　　欧拉给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学献身的精神．历史学家把欧拉同阿基米德(Archimedes)、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”．数学家J．R．纽曼(Newman)1956年称欧拉是“数学家之英雄”．现在，英雄欧拉安详地躺在俄罗斯的土地上．1983年，在欧拉逝世200周年之际，各国学者在列宁格勒(即圣彼得堡)、西柏林、东柏林和莫斯科先后隆重集会纪念其丰功伟绩．而在欧拉的故乡——巴塞尔，则出版了各国著名科学家和科学史家研究、纪念他的巨型文集《列昂哈德·欧拉——生活事业文献集》(Leonhard Euler，， Beitr ge zu Leben undWerk，1983)．法国科学家L．巴斯德(Pasteur)说得好：“科学没有国籍．但是科学家有祖国，他对于祖国的光荣应当尽心竭力，死而后已．热烈的爱国心会使他有勇气和毅力承担艰难而伟大的工作；而这工作，正是对人类有益的．”(在丹麦哥本哈根万国医学会上的讲话，1884)以此赞美欧拉，他是当之无愧的．
——《数学家传记大辞典》欧拉小传之物理学
——《数学史选讲第三章近代数学》之欧拉公式
——《数学的奇妙》之欧拉与幻方世界
——《数学家小故事》之欧拉智改羊圈
——《数学趣闻集锦》之欧拉与哥尼斯堡七桥问题
——《数学趣闻集锦》之欧拉与费尔马定理
——《数学趣闻集锦》之欧拉与完全数
——《数学趣闻集锦》之欧拉与哥德巴赫猜想
——《100个著名初等数学问题》中与欧拉相关的8个问题
——《名人命题》之欧拉的砝码问题
——问题是数学发展的源泉
——21世纪数学七大难题
——几何的三大问题
——俄隐居数学家破解百年数学难题庞加莱猜想
——费尔马大定理——怀尔斯的证明
——关于证明费马大定理的相关花絮
——证明哥德巴赫猜想悬赏100万
——哥德巴赫猜想最领先的求证
——摘取“皇冠上的明珠”还差最后
——地图四色定理
——解决四色猜想的历程
——俄数学家有望解开“世界七大数学难题”之一
——素数对之谜
——无声胜有声
——黎曼猜想(一)--Hardy 的电报
——黎曼猜想（二）－Riemannζ函数与Riemann猜想
If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&--------------------&& H. Montgomery
一个复数域上的函数 - Riemann ζ 函数 - 的非平凡零点 (以后将简称为零点) 的分布怎么会与风马牛不相及的自然数域中的素数分布产生关联呢？ 这还得从 Euler 乘积公式 谈起。
我们知道， 早在古希腊时代， Euclid 就用精彩的反证法证明了素数有无穷多个。 随着数论研究的深入，人们很自然地对这些素数在自然数域中的分布产生了越来越浓厚的兴趣。 1737 年， 著名数学家 Leonhard Euler () 在圣彼得堡科学院 (St. Petersburg Academy) 发表了一个极为重要的公式，为数学家们研究素数分布的规律奠定了基础。 这个公式就是 Euler 乘积公式：
Σn n-s = Πp(1-p-s)-1
公式中左边的求和对所有的自然数进行，右边的连乘积对所有的素数进行。 可以 证明，这个公式对所有 Re(s)&1 的复数 s 都成立。 这个公式的左边正是我们在 上文 中介绍过的 Riemann ζ 函数，而右边则是一个纯粹有关素数 (且包含所有素数) 的表达式， 这样的形式正是 Riemann ζ 函数与素数分布之间存在关联的征兆。 那么这个公式究竟蕴涵着有关素数分布的什么样的信息呢？ Riemann ζ 函数的零点又是如何出现在这种关联之中的呢？ 这就是本节及未来几节所要介绍的内容。
Euler 本人率先对这个公式所蕴涵的信息进行了研究。 他注意到在 s=1 的时候，公式的左边 - Σn n-1 - 是一个发散级数 (这是一个著名的发散级数， 称为调和级数)，这个级数以对数方式发散。这些对于 Euler 来说都是不陌生的。 为了处理公式右边的连乘积， 他对公式两边同时取了对数，于是连乘积变成了求和，由此他得到：
ln (Σn n-1) = -Σp ln(1 - p-1) = Σp (p-1 + p-2/2 + p-3/3 + ... ...)
由于上式右端括号中除第一项外所有其它各项的求和都收敛，而且这些求和的结果累加在一起仍然收敛 (有兴趣的读者不妨自己证明一下)。 因此右边只有第一项的求和是发散的。 由此 Euler 得到了这样一个有趣的渐近表达式：
Σp p-1 ~ lnln(∞)
或者， 更确切地说：
Σp&N p-1 ~ lnln(N)
这个结果 - 即 Σp p-1 以 lnln(N) 的方式发散 - 是继 Euclid 证明素数有无穷多个以来有关素数的又一个重要的研究结果。它同时也是对素数有无穷多个这一命题的一种崭新的证明 (因为假如素数只有有限多个，则求和就只有有限多项， 不可能发散)。 但 Euler 的这一新证明所包含的内容要远远多于 Euclid 的证明，因为它表明素数不仅有无穷多个， 而且其分布要比许多同样也是无穷的序列 - 比如 n2 序列 - 密集得多 (因为后者的倒数之和收敛)。不仅如此，如果我们进一步注意到上式的右端可以改写为一个积分表达式：
lnln(N) ~ ∫ x-1ln-1(x) dx
而左端通过引进一个素数分布的密度函数 ρ(x) - 它给出在 x 附近单位区间内发现素数的几率 - 也可以改写为一个积分表达式：
Σp&N p-1 ~ ∫ x-1ρ(x) dx
将这两个积分表达式进行比较，不难猜测到素数的分布密度为 ρ(x)~1/ln(x)，从而在 x 以内的素数个数 - 通常用 π(x) 表示 - 为：
π(x) ~ Li(x)
其中 Li(x) ≡ ∫ ln-1(x) dx 是对数积分函数[注一]。 这正是著名的素数定理 (当然这种粗略的推理并不构成素数定理的证明)。 因此 Euler 发现的这个结果可以说是一扇通向素数定理的暗门。可惜 Euler 本人并没有沿着上面的思路走， 从而错过了这扇暗门， 数学家们提出素数定理的时间也因此而延后了几十年。
提出素数定理的这份荣誉最终落到了另外两位数学家的肩上： 他们是德国数学家 Friedrich Gauss () 和法国数学家 Adrien-Marie Legendre ()。
Gauss 对素数分布的研究始于 1792 到 1793 年间， 那时他才 15 岁。 在那期间， 每当“无所事事” 的时候 Gauss 就会挑上几个长度为一千的自然数区间，计算这些区间中的素数个数， 并进行比较。 在做过了大量的计算和比较后， Gauss 发现素数分布的密度可以近似地用对数函数的倒数来描述， 即 ρ(x)~1/ln(x)，这正是上面提到的素数定理的主要内容。但是 Gauss 并没有发表这一结果。 Gauss 是一个追求完美的数学家，他很少发表自己认为还不够完美的结果， 而他的数学思想和灵感犹如浩瀚奔腾的江水，汹涌激荡， 常常让他还没来得及将一个研究结果完美化就又展开了新课题的研究。 因此 Gauss 一生所做的数学研究远远多过他正式发表的。 但是另一方面， Gauss 常常会用其它的方式 - 比如通过书信 - 透露自己的某些未发表的研究成果， 他的这一做法给一些与他同时代的数学家带来了不小的尴尬。其中 “受灾” 较为深重的一位便是 Legendre。 这位法国数学家在 1806 年率先发表了线性拟合中的最小平方法， 不料 Gauss 在 1809 出版的一部著作中提到自己曾在 1794 年 (即比 Legendre 早了 12 年) 就发现了同样的方法。 使 Legendre 极为不快。
有道是： 不是冤家不聚首。 在素数定理的提出上，可怜的 Legendre 又一次不幸地与数学巨匠 Gauss 撞到了一起。 Legendre 在 1798 年发表了自己关于素数分布的研究，这是数学史上有关素数定理的最早的文献[注二]。 由于 Gauss 没有发表自己的研究结果， Legendre 便理所当然地成为了素数定理的提出者。 Legendre 的这个优先权一共维持了 51 年。 到了 1849 年 Gauss 在给德国天文学家 Johann Encke () 的一封信中提到了自己在 1792 至 1793 年间的研究， 从而把尘封了半个世纪的优先权从 Legendre 的口袋中勾了出来，挂到了自己已经鼓鼓囊囊的腰包上。
幸运的是， Gauss 给 Encke 写信的时候 Legendre 已经去世十六年了， 他用最无奈的方法避免了再次遭受残酷的打击。
无论 Gauss 还是 Legendre，他们对于素数分布规律的研究都是以猜测的形式提出的 (Legendre 的研究带有一定的推理成份， 但离证明仍相距甚远)。因此确切地说， 素数定理在那时只是一个猜想 - 素数猜想， 我们所说的提出素数定理指的也只是提出素数猜想。素数定理的数学证明直到一个世纪之后的 1896 年，才由法国数学家 Jacques Hadamard () 与比利时数学家 Charles de la Vallée-Poussin () 彼此独立地给出。 他们的证明与 Riemann 猜想有着很深的渊源， 其中 Hadamard 的证明出现的时机和场合还富有很大的戏剧性， 这些我们将在后文中加以叙述。
素数定理是简洁而且优美的， 但是它对于素数分布的描述仍然是比较粗略的，它给出的只是素数分布的一个渐近形式 - 也就是说是当 N 趋于无穷时的分布形式。 从前面有关素数分布与素数定理的图示中我们也可以看到， π(x) 与 Li(x) 之间是有偏差的， 而且这种偏差的绝对值随着 x 的增加似有持续增加的趋势 (所幸的是， 这种偏差的增加与 π(x) 及 Li(x) 本身的增加相比仍然是微不足道的 - 否则素数定理也就不成立了)[注三]。
那么有没有一个公式可以比素数定理更精确地描述素数的分布呢？这便是 Riemann 在 1859 年想要回答的问题。 那一年是 Gauss 去世后的第五年， 32 岁的 Riemann 继 Johann Dirichlet () 之后成为了 Gauss 在 Göttingen 大学的继任者。 同年八月十一日，他被选为柏林科学院 (Berlin Academy) 的通信院士 (Corresponding Member)。 作为对这一崇高荣誉的回报， Riemann 向柏林科学院提交了一篇论文。这是一篇只有短短八页的论文，标题是： 论小于给定数值的素数个数。 正是这篇论文将 Euler 乘积公式 蕴涵的信息破译得淋漓尽致，也正是这篇论文将 Riemann ζ 函数的零点分布与素数的分布联系在了一起。
这篇论文注定要把人们对素数分布的研究推向壮丽的巅峰，并为后世的数学家们留下一个魅力无穷的伟大谜团。 二零零三年十一月二十四日写于纽约
[注一] 对数积分函数 Li(x) 的确切定义是 1/ln(x) 在 0 到 x 之间定积分的 Cauchy 主值。 对于素数定理来说， 人们关心的是 Li(x) 在 x→∞ 时的渐近行为， 这时候积分的下限并不重要， 因此人们在素数定理的研究中有时把 Li(x) 的积分下限取为 2 而不是 0， 这样可以使被积函数在积分区间内没有奇点。
[注二] Legendre 提出的素数定理采用的是代数表达式： π(x) ~ x/[ln(x)-1.08366]， 它与积分形式的素数定理在渐近意义上是等价的。
[注三] 从图上以及从更大范围的计算中人们发现 Li(x)-π(x) 总是大于零， 以致于有人猜测 Li(x) 不仅是素数分布的渐近形式，而且还是其严格上界。 这种猜测在 1904 年被英国数学家 John Littlewood () 所推翻。 Littlewood 证明了 Li(x)-π(x) 是一个在正与负之间震荡无穷多次的函数。
——黎曼猜想（三）－素数的分布
——黎曼猜想（四）－Riemann的论文基本思路
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——“世界最迷人的数学难题”评选揭晓
【来源：网络】&&&
&&&& 日，清晨6点，习惯熬夜做研究的田松博士尚在熟睡。突然一阵急促的电话铃声将他惊醒，拿起电话，传来了一个兴奋异常的声音：“田博士，我有一个重要的数学发现。”起初他以为是自己的一个朋友在开玩笑，没怎么在意。
　　听着听着，几声鸡叫从电话那头隐隐约约传来，电话是从农村打过来的。原本睡意蒙眬的他一下清醒意识到，昨晚自己在央视《时空连线》节目中有关民间研究哥德巴赫猜想的讨论，引起了反响，又一个民间科学家找上门来了。
　　民间科学家来自各种不同的职业，他们希望一举解决某个重大的科学问题，或者试图推翻某个著名的科学理论。
　　类似的情形在研究科学哲学的田松博士的生活中并不少见，“民间科学家”是在媒体上频频现身的一类人，他们的职业千差万别，工人、农民、干部、教师等等，大都只有初高中学历，常常声称解决了著名的科学难题。他们不停地将自己思考研究的成果送到各个高校、科研机构或报刊杂志，希望得到认可并且能够发表。其中的多数人为“科学”奉献了全部，依靠父母和妻子来维持基本的生活。
　　这是一个规模庞大的社会群体，每年寄送到中国科学院数学研究所，自称解决了哥德巴赫猜想的论文，都有几麻袋。据初步统计，仅在媒体上公开宣称已经解决哥德巴赫猜想的民间研究者就有几十人。他们为了理想矢志不渝，无论遇到多少冷遇和白眼都不退缩，其行为带着某种悲剧般的英雄主义色彩。
　　他们常常抱怨，主流科学研究机构和科学家对他们的研究成果视而不见，甚至根本“看都不看一眼”就加以否定。但科学家们一旦和他们接触又发现没有办法和他们进行沟通，他们沉浸在自己的一套概念体系中，根本弄不清楚他们在说什么。
　　田松博士对这一群体深入研究后发现，“他们或者希望一举解决某个重大的科学问题，或者试图推翻某个著名的科学理论，或者致力于建立某种庞大的理论体系，但是他们却不接受也不了解科学共同体的基本范式，与科学共同体不能达成基本的交流”。
　 “民科”们生活在自己的精神世界里，很难被说服，常把自己的碰壁解释为权威对小人物的压制与迫害。
　& 一位民间科学家在一篇油印的论文中如此写道：“爱因斯坦认为光是电磁波，这是错的。大家知道，收音机是接收电磁波的，可是，用手电筒照射收音机，收音机却没有丝毫反应，这表明收音机没有接收到电磁波信号，所以光不是电磁波。”
　& 这个结论不但推导过程让人忍俊，而且连一个基本常识都搞错了，“光是电磁波”这个结论并不是爱因斯坦得出来的。这只是一个极端的例子，在对诸多民间科学家的学术论文详细研究后，田松博士发现，他们的论文往往具有共同的特点。
　　比如，“新名词极多，并且这些新名词与科学共同体现有的术语没有多少关系；思考问题逻辑混乱，常常不知所云；常常把一个不大的结论夸张成天大的好事；常常发表一些超越具体问题之上的议论，尤其喜欢表达爱国情怀等等”。
　　他还注意到有一个很有趣的现象，民间科学家没有年轻人，绝大多数民间科学家们出生在1970年以前，他们的性格有共同的特点：
　 “他们往往生活在自己的精神世界里，甚至与世俗社会也难有正常的交流；他们常常会忽视对其不利的言论，夸大他们喜欢的部分，几乎是不能被说服的”；在自己的研究和观点不能被主流科研人员接受，或被否定的时候，他们“也会产生迫害妄想，比如他们常常自比布鲁诺或伽利略，把自己的到处碰壁解释为权威对小人物的压制与迫害”。
　　长期的观察研究让田松博士意识到，分析到这个群体的科学研究，并不是科学上的对错那样简单，而是一个社会性问题的反映。如同文学青年群体的出现、壮大、没落、势微折射时代变迁一样，民间科学家们的出现也是一个时代意识形态的缩影。
　　民间科学家坚持在“沙滩上盖楼”背后有怎样的精神动力？他们为何偏爱世界难题？
　　民间科学家们数十年如一日，过着艰难困苦的生活，执着地追求理想。他们的苦行和牺牲精神从何而来？田松认为，是他们接受教育的时代带给他们这样的观念。
　　“上世纪80年代以前的主流意识形态一直强调，一个人要有远大的理想，个人的物质生活乃至生命都是可以并且应该牺牲的。反过来，苦行与牺牲的决心与程度，又成为其衡量精神和理想是否纯粹的标志。”
　　“当理想遥遥无期，苦行本身就成了目的，成为其依然拥有理想、拥有崇高精神的证明。这使他们能够在生存艰难的状态下，保持着强烈的精神优越感。”&
&&& 民间科学家们选择世界顶尖难题作为破解的对象，更是与那个时代大众对科学研究的某些错误认识有关。
　　田松博士认为，改革开放后，科学家重新获得了崇高的地位。公众对科学的热情日益升温，可是对于科学活动却缺乏基本的了解。很多人天真地认为，科学发现可以通过大规模的轰轰烈烈的群众运动，以一种大会战、大比武的方式来完成。&
&&& 很多民间科学家就是在“看过徐迟的报告文学，被陈景润的精神所感染，决心为国增光，不顾自己只有初中毕业，也要去摘数学皇冠上的明珠”。
　　“实际上，哥德巴赫猜想这个数学问题在数学上具有什么意义，他们并不关心。能够被民间科学爱好者作为献身对象的科学领域总是具有较大社会影响和意识形态价值的那些，只有这些领域能够满足他们的争光理想，当然，也只有这些领域能够为其所知。”
　　重大发现常被描述为“铁杵成针”与“灵机一动”的结果，这给“民科”们绝对的自信。
　　很多民间科学家明知道自己的受教育程度不高，却始终相信自己可以破解世纪谜题，这种自信并非来自一种简单盲目的狂妄，而是和媒介对科学研究方法的误读，并错误地倡导有关。
　　田松博士对传媒对科学研究的描述进行比较研究后发现，有很多重大科学发现被描述成科学天才灵机一动的产物。比较著名的有牛顿的苹果、阿基米德的浴缸等。与此相对是“铁杵成针”一类故事，似乎只要持之以恒就能获得成功，常说的是“六六六”，说发明人经过了665次失败才获得了最后的成功。
　　他认为，前一类故事把复杂的科学发现过分简化为灵感与机遇。后一类故事忽视科学研究深层在先的理念，使科学发现蜕变为简单的技术劳动。这些“因其符合意识形态话语，具有强大的生命力。因而这类故事不断产生，不断流传，已经成为大众语境的一部分”。
　　民间科学家在传统意识形态中找到了价值观上的肯定，加之“铁杵成针”与“灵机一动”为其提供了方法论上的合理性,这样让“民间科学爱好者一面年复一年地打磨铁杵，一面期待灵光降临”。
——民间科学家为何痴迷世界难题
——数学难题：“下金蛋的鹅”—读《数学上未解的难题》
——希尔伯特的23个问题
岁的青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的3道数学题. 青年很有数学天赋，因此，导师对他寄予厚望，每天多给他布置2道较难的数学题作为训练.正常情况下，青年总是在2个小时内完成这项特殊作业.&
“咦，怎么今天导师给我多布置了一道？”青年一边打开写着题目的纸，一边嘟哝着.他也没有多想，就做了起来. 像往常一样，前2道题目在2个小时内顺利地完成了.第3道题写在一张小纸条上，是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺作出正17边形.青年没有在意，像做前两道题一样开始做起来.然而，做着做着，青年感到越来越吃力.开始，他还想，也许导师见我每天的题目都做得很顺利，这次特意给我增加难度吧.但是，随着时间一分一秒地过去了，第3道题竟毫无进展.青年绞尽脑汁，也想不出现有的数学知识对解开这道题有什么帮助.&
困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去解这道题他对导师说：“您给我布置的第3道题我做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培他用颤抖的声音对青年说：“这真是你自己做出来的？”青年有些疑惑地看着激动不已的导师，回答道：“当然，但是，我很笨，竟然花了整整一个通宵才做出来.”导师请青年坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，叫青年当着他的面做一个正17边形. 青年很快地做出了一个正17边形.导师激动地对青年说：“你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学悬案？阿基米德没有解出来，牛顿也没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！你真是天才！我最近正在研究这道难题，昨天给你布置题目时，不小心把写有这个题目的小纸条夹在了给你的题目里.”&
多年以后，这个青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我不可能在一个晚上解决它.”&
这个青年就是数学王子高斯. 有些事情，在不清楚它到底有多难时，我们往往能够做得更好，这就是人们常说的无知者无畏.
——高斯：一夜解开千年数学难题
&&&& 翻开近世数学的教科书和专门著作，阿贝尔这个名字是屡见不鲜的：阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性，等等。很少几个数学家能使自己的名字同近世数学中这么多的概念和定理联系在一起。然而这位卓越的数学家却是一个命途多舛的早夭者，只活了短短的27年。尤其可悲的是，在他生前，社会并没有给他的才能和成果以公正的承认。　　尼耳期．亨利克．阿贝尔（n.h.abel，）1802年8月出生于挪威的一个农村。他很早变显示了数学方面的才华。16岁那年，他遇到了一个能赏识其才能的老师霍姆伯（holmboe）介绍他阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作。大师们不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的境界，他很快被推进到当时数学研究的前沿阵地。后来他感慨地在笔记中写下这样的话：“要想在数学上取得进展，就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作”。　　1821年，由于霍姆伯和另几位好友的慷慨资助，阿贝尔才得进入奥斯陆大学学习。两年以后，在一本不出名的杂志上他发表了第一篇研究论文，其内容是用积分方程解古典的等时线问题。这篇论文表明他是第一个直接应用并解出积分方程的人。接着他研究一般五次方程问题。开始，他曾错误地认为自己得到了一个解。霍姆伯建议他寄给丹麦的一位著名数学去审阅，幸亏审阅者在打算认真检查以前，要求提供进一步的细节，这使阿贝尔有可能自己来发现并修正错误。这次失败给了他非常有益的启发，他开始怀疑，一般五次方程究竟是否可解？问题的转换开拓了新的探索方向，他终于成功地证明了要像较低次方程那样用根式解一般五次方程是不可能的。　　这个青年人的数学思想已经远远超越了挪威国界，他需要与有同等智力的人交流思想和经验。由于阿贝尔的教授们和朋友们强烈地意识到了这一点，他们决定说服学校当局向政府申请一笔公费，以便他能作一次到欧洲大陆的数学旅行。经过例行的繁文缛节的手续和耽搁延宕后，阿贝尔终于在1825年8月获得公费，开始其历时两年的大陆之行。　　踌躇满志的阿贝尔自费印刷了证明五次方程不可解的论文，把它作为自己晋谒大陆大数学家们，特别是高斯，的科学护照。他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见。但看来高斯并未重视这篇论文，因为人们在高斯死后的遗物中发现阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开。　　柏林是阿贝尔旅行的第一站。他在那里滞留了将近一年时间。虽然等候高斯召见的期望终于落空，这一年却是他一生中最幸运、成果最丰硕的时期。在柏林，阿贝尔遇到并熟识了他的第二个伯乐——克雷勒（crelle）。克雷勒是一个铁路工程师，一个热心数学的业余爱好者，他以自己所创办的世界上最早专门发表创造性数学研究论文的斯刊《纯粹和应用数学杂志》而在数学史上占有一席之地，后来人平习惯称这本期刊为“克雷勒杂志”。与该刊的名称所标榜的宗旨不同，实际上它上面根本没有应用教学的论文，所以有人又戏称它为“纯粹非应用数学杂志”。阿贝尔是促成克雷勒将办刊拟议付诸实施的一个人。初次见面，两个人就彼此留下了良好而深刻的印象。阿贝尔说他拜读过克雷勒的所有数学论文，并且说他发现在这些论文中有一些错误。克雷勒的非常谦虚，他已经意识到眼前这位脸带稚气的年轻人具有非凡的数学天才。他翻阅了阿贝尔赠送的论五次方程的小册子，坦率地承认看不懂。但此时他已决定立即实行拟议中的办刊计划，并将阿贝尔的论文载入第一期。于是阿贝尔的研究论文，克雷勒杂志才能逐渐提高声誉和扩大影响。　　阿贝尔一生最重要的工作——关于椭圆函数理论的广泛研究就完成在这一时期。相反，过去横遭冷遇，历经艰难，长期得不到公正评价的，也就是这一工作。现在公认，在被称为“函数论世纪”的19世纪的前半叶，阿贝尔的工作[后来还有雅可比（k.g.jacobi，）发展了这一理论]，是函数论的两个最高成果之一。　　椭圆函数是从椭圆积分来的。早在18世纪，从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分，这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性，椭圆积分就是如此得名的。19世纪初，椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得（a.m.legen-dre，）。他研究这个题材长达40年之久，他从前辈工作中引出许多新的推断，组织了许多常规的数学论题，但他并没有增进任何基本思想，他把这项研究引到了“山重水复疑无路”的境地。也正是阿贝尔，使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色，开拓了“柳暗花明”的前途。　　关键来自一个简单的类比。微积分中有一条众所周知的公式上式左边那个不定积分的反函数就是三角函数。不难看出，椭圆积分与上述不定积分具有某种形式的对应性，因此，如果考虑椭圆积分的反函数，则它就应与三角函数也具有某种形式的对应性。既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多，那么对应地研究椭圆积分的反函数（后来就称为椭圆函数）不也应该比椭圆积分本身容易得多吗？　　“倒过来”，这一思想非常优美，也的确非常简单、平凡。但勒让得苦苦思索40年，却从来没有想到过它。科学史上并不乏这样的例证“优美、简单、深刻、富有成果的思想，需要的并不是知识和经验的单纯积累，不是深思熟虑的推理，不是对研究题材的反复咀嚼，需要的是一种能够穿透一切障碍深入问题根柢的非凡的洞察力，这大概就是人们所说的天才吧。“倒过来”的想法像闪电一样照彻了这一题材的奥秘，凭借这一思想，阿贝尔高屋建瓴，势如破竹地推进他的研究。他得出了椭圆函数的基本性质，找到了与三角函数中的π有相似作用的常数k，证明了椭圆函数的周期性。他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分，并获得了这方面的一个关键性定理，即著名的阿贝尔基本定理，它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数，则是不久后由黎曼（b.riemann，）首先提出并加以深入研究的。事实上，阿贝尔发现了一片广袤的沃土，他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕，用埃尔米特（hermite）的话来说，阿贝尔留下的后继工作，“够数学家们忙上五百年”。阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》。此时他已经把高斯置诸脑后，放弃了访问哥延根的打算，而把希望寄托在法国的数学家身上。他婉辞了克雷勒劝其定居柏林的建议后，便启程前往巴黎。在这世界最繁华的大都会里，荟萃着像柯西（a.l.cauchy，）、勒让得、拉普拉斯（p.s.laplace，）、傅立叶（i.fourier，）、泊松（s.d.poisson，）这样一些久负盛名的数字巨擘，阿贝尔相信他将在那里找到知音。　　1826年7月，阿贝尔抵达巴黎。他见到了那里所有出名的数学家，他们全都彬彬有礼地接待他，然而却没有一个人愿意仔细倾听他谈论自己的工作。在这些社会名流的高贵天平上，这个外表腼腆、衣着寒酸、来自僻远落后国家的年轻人能有多少份量呢？阿贝尔在写给霍姆伯谈巴黎观感的信中说道：“法国人对陌生的来访者比德国人要世故得多。你想和他们亲密无间简直是难上加难，老实说我现在也根本不奢望能有些荣耀。到头来，任何一个开拓者要想在此间引起重视，都得遇到巨大的障碍。尽管阿贝尔非常自信，但对这一工作能否得到合理评价已经深有疑虑了。他通过正常渠道将论文提交法国科学院。科学院秘书傅立叶读了论文的引言，然后委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中，究竟放在什么地方，竟记不起来了。直到两年以后阿贝尔已经去世，失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式发表，则迁延了12年之久。　　从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年。他寄居的那家房东又特别吝啬刻薄，每天只供给他两顿饭，却收取昂贵的租金。一天他感到身体很不舒畅，经医生检查，诊断为肺病，尽管他顽强地不相信，但实情是他确已心力交瘁了。阿贝尔只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国。当他重到柏林时，已经囊空如洗。幸亏霍姆伯及时汇到一些钱，才使他能在柏林稍事休整后返回家园。　　是谁该对阿贝尔的厄运负责呢？人们很自然会想起审评阿贝尔论文的柯西、勒让得。柯西当时38岁，正年富力强，创造力旺盛，忙于自己的事，顾不上别人而疏忽铸下了大错。勒让得怎么样呢？年逾古稀，功成名就，在法国科学界享有崇高的威望，他当时不可能像柯西那样忙着搞研究，理应对培养、识拔年轻一代的科学人才负有更多责任。然而主要的是，阿贝尔这篇论文所处理的题材恰恰是勒让得所熟悉的，从某种意义上来说，是他的世袭领地。尽管论文里包含着许多新奇、艰深的概念，但导致这些概念的基本思想却是简单的。一个外行也许没有能力欣赏这种简单思想的优美性和深刻性，但勒让得对所论问题却决非外行，他自己思者过几十年，深知在旧有基本思想框架内，知识业已达到饱和状态，要获取新的知识，除非打破框架，引进新的基本思想。对他来说，其实根本无须仔细阅读论文，只有稍事点拨，三言两语说明一下基本思想，就足以起到振聋发聩的作用。但是他却好像毫无感受，实在令人费解。事实上，阿贝尔论文的内容，他并非一无所知，当他得知另一位青年数学家雅可比（jacobi）也独立做了椭圆函数理论方面相当系统的工作后，他曾告诉过雅可比，有一个年轻的斯堪的纳维亚人已先他而专美于家了。雅可比如饥似渴地读完阿贝尔那篇失落两年又奇迹般出现的论文，不禁气愤地写信责问科学院：“阿贝尔先生作出了一个多么了不起的发现啊！有谁看到过别的堪与比美的发现呢？然而，这项也许称得上我们世纪最伟大的数学发现，两年以前就提交给你们科学院了，却居然没有引起你们的注意，这究竟是怎么一回事呢”？勒让得复信为自己提出的辩解是令人失笑的：“我们感到论文简直无法阅读，因为它是用几乎白色的墨水写的，字母拼写得很糟糕，我们都认为应该要求作者提供一个较清楚的文本。真是掩耳盗铃，文过饰非。”　　让我们再看看高斯。高斯一生勤勉，有许多伟大的数学发现，却错过了发现这个伟大数学人才的机会。科学史经常在告诫：大凡富有创造性的见解，开始总是与传统观念相抵触的。　　但阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的数学界渐渐了解了他。继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写过若干篇类似的论文，都在“克雷勒杂志”上发表了。这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他已成为众所瞩目的优秀数学家之一。遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此情况竟无所知。甚至连他想在自己的国家谋一个普通的大学教职也不可得。1829年1月，阿贝尔的病情恶化，他开始大口吐血，并不时陷入昏迷。他的最后日子是在一家英国人的家里度过的。因为他的未婚妻凯姆普（kemp）是那个家庭的私人教师。阿贝尔已自知将不久于人世，这时，他唯一牵挂的是他女友凯姆普的前途，为此，他写信给最亲近的朋友基尔豪(kiel-hau)，要求基尔豪在他死后娶凯姆普为妻。尽管基尔豪与凯姆普以前从未觌面，为了让阿贝尔能死而瞑目，他们照他的遗愿做了。临终的几天，凯姆普坚持只要自己一个人照看阿贝尔，他要“独占这最后的时刻”。日晨，这颗耀眼的数学新星便过早地殒落了。阿贝尔死后两天，克雷勒的一封信寄到，告知柏林大学已决定聘请他担任数学教授。损失是难以估计的，如果阿贝尔活到应的的寿命，他又将要做出多少新的贡献啊！　　通过阿贝尔的遭遇，我们认识到，建立一个客观而公正的科学评价体制是至关重要的。科学界不仅担负着探索自然奥秘的任务，也担负着发现从事这种探索的人才的任务。科学是人的事业，问题是要靠人去解决的。科学评价中的权威主义倾向却往往有害于发现和栽培科学人才。科不权威意味着他在科学的某一领域里曾做过些先进工作，他可能是科学发现方面踌躇满志的权威，却不一定是评价、发现、培养科学人才的权威，尤其当科学新分支不断涌现，所要评价的对象是天于连权威都陌生的新领域的工作时，情况更是如此。
——横遭冷遇的青年数学家阿贝尔
&　当约翰 福布斯 纳什还是一名在西弗吉尼亚州长大的少年时，他就在数学方面显露出不同寻常的天才。他是当年获得西屋奖学金的十名美国学生之一，在他从卡内基理工学院毕业时，他的导师声称"这人是个天才"。　　
&&& 纳什随后考入当时最好的普林斯顿大学数学系，在那里，他的同学们把他描述成一位傲慢古怪但绝对聪明的人。他拒绝上课，宣称自己无需学习，并开始自学起博弈论。他在1950年发表研究成果时年仅21岁，没有人甚至纳什本人都不知道，他的研究竟会成为著名的"纳什均衡"。　　
&&&&&在从普林斯顿大学获得数学博士学位之后，纳什来到麻省理工学院（MIT）教书，人称"教授小子"。他被看作是一个傲慢和自私的人，但大家都因为他那令人难以置信的数学技巧而宽容他。1957年2月，纳什与艾利西亚 拉尔德结婚，她是麻省理工学院除800名男生外仅有的16名女生之一.
&&& 3 0岁时，纳什已被誉为"数学界最闪亮的明星"之一，但在他那傲慢自信的外表下面，他正忍受自我怀疑和过分焦虑的煎熬。妻子的怀孕加剧了他的压力，虽然他素有古怪行为，但现在，他开始出现精神崩溃的迹象。　
&&&& 1959年初，纳什宣称外太空通过《纽约时报》给他发来了消息，当芝加哥大学向他提供一个享有声望的职位时，他拒绝了，并表示他即将成为"南极洲大帝"。　　
&&&& 纳什被解除了教职，艾利西亚非常担心自己丈夫的行为，她把纳什送入一家专为名流显贵开设的精神病医院 － 麦卡林医院接受治疗。经过诊断，纳什患上了妄想型精神分裂症；他忍受幻觉的煎熬，相信国家正在阴谋对付他。　　
&&& 在他出院后，纳什和艾利西亚搬到了巴黎。他在欧洲游历了9个月，想要放弃他的美国公民身份，但最终却被驱逐出境。在回到普林斯顿之后，他因病情太重而无法工作，艾利西亚找到一份工作以供养家庭。　　
&&& 1960年，艾利西亚把丈夫送入特伦顿州立医院接受药物治疗。纳什的同事们对治疗勃然大怒，担心治疗会损伤纳什的天才大脑。在他出院后，纳什又返回欧洲游历，但一直困扰于大脑中漂荡的声音。　　
&&& 1970年，纳什回家看望艾利西亚，他的健康状况有所改善。当他决定不理睬脑中的声音并理性考虑问题时，就此迎来重要的转折点。在朋友及家人的支持下，他于1994年重返工作岗位，并因博弈论而荣获诺贝尔奖。
——数学界的梵高—“疯子天才”纳什
&&&& 迈入二十一世纪，计算机已经走进了我们的家庭，成为人们学习、娱乐、获得新知识的重要途径.计算机这一人类伟大的发明正深刻地改变着我们的生产和生活方式.难怪在我们回顾已经过去的20世纪人类重大发明时都无一例外地首推计算机的发明.你可知道，计算机的出现与一位数学家的贡献是紧密相关的，这位数学家就是被西方人誉为“计算机之父”的冯·诺依曼教授.
&&&& 约翰·冯·诺依曼(John VonnNuma,)，美藉匈牙利人，日生于匈牙利的布达佩斯，父亲是一个银行家，家境很富裕.冯·诺依曼从小聪颖过分，记忆力很强.据说他六岁就能心算七位数的除法，十岁到学校读书，数学老师发现了他的出色的数学才能，就说服他的父亲聘请数学家菲克特作他的家庭教师，以尽快提高他的数学水平，这一招果见其效，中学毕业时，冯·诺依曼和他的老师菲克特合作写出了第一篇数学论文，次年，他通过了专门考试，成了一位青年数学家，这一年他还不满十九岁.
&& & 冯·诺依曼心算能力极强，思维敏捷.据他的另一位老师、著名数学家波利亚回忆说：“冯·诺依曼是我惟一感到害怕的学生.如果我在讲演中列出一道难题，那么当我讲演结束时，他总会手持一张写得很潦草的纸片，说他已把难题解出来了.”冯·诺依曼兴趣广泛，除了数学，他还喜欢历史，他会讲流利的英语、法语、德语，他熟悉拉丁语和希腊语，他还喜欢下棋，为人幽默.
&&& 1927年至1929年，冯·诺依曼在柏林大学当不领薪金的义务讲师.在这期间他发表了集合论、代数学和量子理论的论文，在数学界崭露头角.1929年10月，他接受美国普林斯顿大学的邀请，到了美国.1931年被任命为终身教授，1933年加入美国国籍.
&&& 在普林斯顿大学期间，冯·诺依曼结识了世界一流的科学家，如爱因斯坦、外尔等.他和控制论的创始人、著名数学家维纳经常在一起讨论计算机的研制问题.他和莫根斯恩研究对策论，合作写出《博弈论与经济行为》一书，该书是数理经济学的经典著作.
&&& 在工作时，他常和科学家们打扑克.一次有一位数学家赢了冯·诺依曼十美金.他用五美金买了一本《博弈论与经济行为》，把剩下的五美金贴在该书的扉页上，与冯·诺依曼开个玩笑，表示自己胜过博弈大师冯·诺依曼.他哪里知道，冯·诺依曼总是在思考问题，心算推理，打扑克时也难于把精神都集中在玩上.
&&& 1940年后，冯·诺依曼参与了许多军事方面的研究工作.他担任美国陆军弹道实验室的顾问.他对原子弹的配料、引爆、估算爆炸效果等问题，提出过重要改进意见.在科学技术高度发展的时代，冯·诺依曼深感计算机的重要性.他参观了美国宾夕法尼亚大学正在研制的电子计算机，指出它的缺点.1945年3月，冯·诺依曼起草了一个设计报告，确定计算机采用二进制和采用存储程序的设计思想，用电子元件开与关分别表示和.用这两个数字的组合表示任何数，可以充分发挥电子元件的开头变换，实现高速运算.他把计算机的结构分成运算器、控制器、存储器、输入与输出设备这五大部分.
&& &1946年以后，冯·诺依曼在普林斯顿高等研究院领导研制现代大型电子计算机.1951年制成一台每秒可以运算百万次以上的电子计算机.他还将电子计算机应用于核武器设计和天气预报上.
&&& 冯·诺依曼拼命地工作，在许多重要的数学领域内取得了重要成果.1955年，他患上了癌症，癌细胞正在扩散，他以惊人的毅力克服癌症带来的痛苦，研究人工智能问题，写出了讲稿《计算机与人脑》，留给后世.
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &冯·诺依曼于日去世，享年53岁.
——计算机之父——冯·诺依曼
&&&& 日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
&&&&& 天& 才& 的& 童& 年
&&&& 日，伽罗华出生于法国巴黎郊区的拉赖因堡。他的父亲是小镇镇长，母亲受过良好的教育。12岁以前，伽罗华一直是在他母亲的教育下长大的，在这时期他学习了希腊语、拉丁文和通常的算术课。
&&&&&1923年伽罗华离开双亲，考入巴黎的路易勒—格兰学院(皇家中学)，开始接受正规的教育。在第三年，他报名选学了一门数学课。老师深刻而生动的讲授，使伽罗华对数学产生了浓厚的兴趣，他很快就学完了通常规定的课程，开始求学于数学大师的著作。
&&&&&由于伽罗华能领会和掌握大师们的数学思维方法，因此使他思路开阔，思维能力得到了训练和提高。他的中学数学老师里查评价说“伽罗华只宜在数学的尖端领域工作”。1829年3月还是一位中学生的伽罗华在《纯粹与应用数学年报》上发表了他的第一篇论文——《周期连分数的一个定理的证明》。
&&&&&伽罗华曾两次投考巴黎综合工科学校未被录取。日，他父亲由于无法承受牧师的攻击和诽谤，自杀了。这给了伽罗华很大的触动，他的思想开始倾向于共和主义。同年10月25日，伽罗华被巴黎高等师范学校录取为预备生。
&&&&& 数 学 世 界 的 顽 强 斗 士
&&&&&19世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高次方程就是其中之一。
&&&&&历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候
&&&&&已得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
&&&&&在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺()骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
&&&&&三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里()解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。法国数学家拉格朗日更是称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。
&&&&&1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程
&&&&&不存在代数解的证明。
&&&&&在前人研究成果的基础上，伽罗华提出了群的概念，彻底解决了高次方程是否存在代数解的问题。他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。
&&&&&1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作报告……但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议，讨论已指明的议题。”然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作，这是一个非常微妙的“事故”。
&&&&&1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样，伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。
&&&&&1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。传说泊阿松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是“完全不能理解”。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。
&&&&&对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗华。虽然他的论文一再被丢失，得不到应有的支持，但他并没有灰心，他坚持他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播出去，还进一步向更广的领域探索。
&&&&& 天& 才& 的& 陨& 落
&&&&&伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又赶上路易·腓力浦朝代初期，他是当时最先进的革命政治集团——共和党的成员。这时法国激烈的政治斗争吸收了年轻热情的伽罗华。他反对学校的苛刻校规，抨击校长在七月政变中的两面行为，以至于1830年2月被开除。之后，他进一步积极参加政治活动，第二年6月，伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕。由于警方没有证据，不久即被释放。7月，被反动王朝视为危险分子的伽罗华再次被抓。他在狱中曾遭暗枪射击，幸未击中。1831年4月伽罗华被释放出狱。
&&&&&出狱后不久，年轻气盛的伽罗华为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗华非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。
&&&&&他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一片新的天地。
&&&&&伽罗华对自己的成果充满自信，他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，这些对于消除所有有关的混乱是有益的。”
&&&&&第二天上午，在决斗场上，伽罗华被打穿了肠子。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕沟内，所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑就是他的著作，由两篇被拒绝的论文和他在死澳歉霾幻咧?剐聪碌牧什菔指遄槌伞?历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨遭的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学才只有5年。
&&&&&群论——跨越时代的创造
&&&&&伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，也就是1846年，才由法国数学家刘维尔()领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后他将这些论文编辑发表在他的极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐。1870年法国数学家约当根据伽罗华的思想，写了《论置换与代数方程》一书，在这本书里伽罗华的思想得到了进一步的阐述。
&&&&&伽罗华的最主要成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗华理论。
&&&&&这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。
&&&&&作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用圆规、直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。
&&&&&伽罗华理论对近代数学的发展产生了深远影响，它已渗透到数学的很多分支中。此外，伽罗华还研究过所谓“伽罗华虚数”，即有限域的元素，因此又称有限域为伽罗华域。
&&&&&对伽罗华来说，他所提出并为之坚持的理论是一场对权威、对时代的挑战，他的“群”完全超越了当时数学界能理解的观念。也许正是由于年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思考，去描述他的数学世界。也正因如此，他才受到了冷遇。
&&&&&在这里，我们后人感受到的是一种孤独与悲哀，一种来自智慧的孤独与悲哀。但是，历史的曲折并不能埋没真理的光辉。今天由伽罗华开始的群论，不仅对近代数学的各个方向，而且对物理学、化学的许多分支都产生了重大的影响。
——英年早逝的数学天才——伽罗华
有史记载的第一位女数学家古希腊是数学的故乡．古希腊人为数学的进步耗费了大量心血甚至生命，做出了卓越的贡献．这个文明古国哺育了许多数学家，象泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里德、阿波罗尼斯、阿基米德、托勒玫、海伦、丢番图等．希帕蒂娅（Hypatia）——这位有史以来的第一位女数学家也诞生在这里． 1 乱世才女公元前47年，罗马统治者凯撒大帝指使纵火焚毁了停泊在亚历山大的埃及舰队，大火延及该城，殃及图书馆，代表着希腊文明的大量藏书和五十万份手稿付之一炬．基督教兴起以后，出于愚昧迷信和宗教狂热，基督教的领袖们排斥异教的学问，尤其鄙视数学、天文和物理学，基督徒是不许“沾染希腊学术这个脏东西的”．公元325年，罗马皇帝康斯坦丁以用宗教为统治工具，逐渐把数学、哲学、教育等都置于宗教的控制之下．此后，基督徒摧毁希腊文化的行径变得有恃无恐、变本加厉．有人甚至说：“数学家应该被野兽撕碎或者活埋．”希帕蒂娜就诞生在这样一个科学开始衰退、黑暗即将降临的时代．公元370年希帕蒂娅出生在亚历山大城的一个知识分子家庭．父亲赛翁（Theon）是有名的数学家和天文学家，在著名的亚历山大博物院教学和研究，那是一个专门传授和研讨高深学问的场所．一些有名的学者和数学家常到她家做客，在他们的影响下，希帕蒂娅对数学充满了兴趣和热情．她开始从父辈那里学习数学知识．赛翁也不遗余力地培养这个极有天赋的女儿．10岁左右，她已掌握了相当丰富的算术和几何知识．利用这些知识，她懂得了如何利用金字塔的影长去测量其高度．这一举动，倍受父亲及其好友的赞赏，因而也就进一步增加了希帕蒂娅学习数学的兴趣，她开始阅读数学大家的专著．17岁时，她参加了全城之诺悻论的辩论，一针见血地指出芝诺的错误所在：芝诺的推理包含了一个不切实际的假定，他限制了赛跑的时间．这次辩论，使希帕蒂娅仅名声大震，几乎所有的亚里山大城人都知道她是一个非凡的女子，不仅容貌美丽，而且聪明好学．20岁以前，她几乎读完了当时所有数学家的名著，包括欧几里德的《几何原本》、阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》、阿基米德的《论球和圆柱》、丢番图的《算术》等．为了进一步扩大自己的知识领域，公元390年的一天，希帕蒂娅来到了著名的希腊城市——雅典．她在小普鲁塔克当院长的学院里进一步学习数学、历史和哲学．她对数学的精通，尤其是对欧几里德几何的精辟见解，令雅典的学者钦佩不已，大家都把这位二十出头的姑娘当作了不起的数学家．一些英俊少年不由得对她产生爱慕之情，求婚者络绎不绝．但希帕蒂姬认为，她要干一番大事业，不想让爱情过早地进入自己的生活．因此，她拒绝了所有的求爱者．此后，她又到意大利访问，结识了当地的一些学者，并与之探讨有关问题．大约公元395年回到家乡．这时的希帕蒂娅已经是一位相当成熟的数学家和哲学家了．2 执着痴情希帕蒂娅从海外归来后，便成为亚历山大博物院里的教师，主讲数学和哲学，有时也讲授天文学和力学．在传徒授业之余，她还进行了广泛地科学研究，有力地推动了数学、天文、物理等学科的发展．希帕蒂娅在亚历山大积极传播普罗提诺和扬布里柯的新柏拉图主义哲学．新柏拉图主义将柏拉图的学说、亚里士多德的学说及新毕达哥拉斯主义综合在一起，核心内容是由普罗提诺首创的关于存在物的统一与等级结构学说．希帕蒂娅的哲学兴趣比较倾向于研究学术与科学问题，而较少追求神秘性和排他性，强调哲学与科学，尤其是哲学与数学的结合．尽管此时基督教逐渐渗人博物院，宗教徒的活动也多了起来，她仍崇尚自由、民主，反对宗教束缚和专制．来自欧洲、亚洲、非洲的许多青年聚到亚历山大，拜她为师，学生们都非常喜欢听她讲课，说她不仅学识渊博而且循循善诱，讲话如行云流水，引人人胜．几年后，希帕蒂娅便成为亚历山大最引人注目的学者了．虽然当时的基督教与科学的对立日益明显，希帕蒂娅的声望还是吸引了一些基督教徒成为其学生．其中最著名的是来自西兰尼的西奈修斯，他后来成为托勒玫城的主教，他向希帕蒂娅请教学问的信件至今尚存，信中问及如何制作星盘（一种借助投影原理制作的反映星空的天文仪器）和滴漏（古代计时工具）及液体比重计．他热情赞扬希帕蒂娅，说她不仅是一位老师，而且像一位慈爱的母亲和善解人意的姐姐．希帕蒂娅与某些基督徒的友好关系并没有改善教会对她的态度．恰恰相反，教会为自己的教徒被一个不信教的科学家吸引过去而恼火，攻击她为“异教徒”．尽管希帕蒂娅发现自己已处于十分危险境地，但她相信邪不压正，仍然执着地追求着科学的进步．希帕蒂娅太热衷于自己的事业了，她把所有的爱都投人到学生身上及科学研究上，以至很少考虑个人问题，而终身未婚．希帕蒂娅时代离《几何原本》成书已经六百多年了，由于当时没有印刷术，这本著作抄来抄去，出现了不少错误．希帕蒂娅同父亲一起，搜集了能够找到的各种版本，通过认真修订、润色、加工及其大量评注，一个新的《几何原本》问世了．它更加适合读者阅读，因而立即受到广泛欢迎，以至成为当今各种文字的《几何原本》的始祖．希帕蒂娅曾独立写了一本《丢番图（算术＞评注》，书中有她自己的不少新见解，并补充了一些新问题，有的评注写得很长，足以看作是一篇论文．希帕蒂娅还评注了阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》，并在此基础上写出适于教学的普及读本．希帕蒂娅对圆锥曲线很人迷，写过好几篇研究圆锥曲线的论文．此外，希帕蒂娅还研究过托勒玫的著作，与父亲合写了《天文学大成评注》，独立写了《天文准则》等．这在当时是多么了不起的贡献啊！为了使读者了解更深刻，请看以下事实并作以比较．在15世纪中叶，象巴黎大学、牛津大学等著名大学的学生所学的数学内容极少，几何仅限于《几何原本》的前两卷，考试只限于第一卷，一般学生只能掌握第一卷的前4个命题．算术水平更低，一般大学生只会做加减法和乘法，而不会用除法计算．3 流芳百世公元412年，来自耶路撒冷的西瑞尔当上了亚历山大的大主教，这是一个狂热的基督徒．他在全城系统地推行所谓反对“异教”和“邪说”的计划，新柏拉图主义也在“邪说”之例，这对希帕蒂娅是极为不利的．但是希帕蒂妞从不向基督教示弱，拒绝放弃她的哲学主张，坚持宣传科学，提倡思想自由．对那些找麻烦的基督徒，希帕蒂娅毫不退让，常把他们驳得哑口无言．但这不是一个崇尚一理性的社会．那些狂热的基督徒并不指望“说服”这位数学家和哲学家，只想有朝一日拔掉这颗眼中钉．一场有计划、有预谋的暗杀活动正在酝酿之中．公元415年3月的一天，希帕蒂娅象往常一样，乘着其漂亮的马车到博物院讲学．行至凯撒瑞姆教堂旁边，一伙暴徒立刻冲过去，拦住马车．他们把她从马车中拉下来，迅速拖进教堂．希帕蒂娅意识到，他们要对自己下毒手了，但她毫不畏惧，高声怒斥他们的无耻行为．灭绝人性的暴徒剥得她一丝不挂，然后用锐利的蚌壳割她的皮肉，直割得她全身血肉模糊，奄奄一息，暴徒们仍不罢手，又砍去她的手脚，将她那颤抖的四肢投人到熊熊烈火之中……．一颗数学明星就这样陨落了．处于垂死状态的希腊数学，现在终于断气了．希帕蒂娅虽已故去一千五百多年了，但她的科学精神鼓舞了一代又一代的学子，尤其是一些女数学家．有迹象表明，当代女数学博士的人数在不断增加．本世纪30年代以来的40年中，美国数学博士只有7％是女性．年间，这一数字为7.3％．年再上升为9.11％，而在年度1022个数学博士中有103个女性．1975年，美国国家科学院第一次有一名妇女进入，她就是罗宾逊（Julia Robinson）．她在解决希尔伯特第10个问题的过程中作出了关键性的贡献．1976年，在《美国数学月刊》上刊登了一篇《数学与性别》的文章，探讨了女数学家很少的原因，结论是：①在中小学生中男女学生对数学的喜爱程度不同；②教师和家长的态度是不鼓励女孩子学数学的；③数学仍然是排挤妇女的筛子；④大学数学教授中，妇女只占1.6％．希帕蒂娅在数学上的光辉成就，仍将鼓舞广大妇女向数学高峰不断挺进，将有越来越多的女数学家涌现出来。
——有史记载的第一位女数学家--希帕蒂娅
——理性看待数学问题的希尔伯特
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