高中数学第三册备课资料包-人教版[全套]--利用归纳法证明整除问题..
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高中数学第三册备课资料包-人教版[全套]--利用归纳法证明整除问题
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证明11整除的特征收藏
证明：一个数如果能被11整除，具有如下特征，奇数位的数字和与偶数位的数字和的差能被11整除，则这个数能被11整除，请证明！
1楼 21:09&|
相关的贴子
那个奇数位的数字和与偶数位的数字和的差能被11整除，则这个数能被11整除讲的是充分条件吧，如果是充分必要条件我就错了
收起回复3楼 22:46&|
5楼 23:27&|
推荐5楼的证法。思路很好！利用10^2模11余1，简捷
6楼 23:32&|来自
2楼讨论的核心是数学归纳法的应用正确不正确的问题。sdcg1994的错误在于假设n=k-2成立时构造了一个符合条件的数，然后在证明n=k成立时，想当然地把构造的那个数前面加上两项，然后证明这个数是11的倍数，不论结论成立与否，都不足以证明原题。正确的次序是假设n=k-2成立时给出的是一般性结论，证明n=k成立时任意给出一个数满足奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数，通过对这个数的操作，变化成符合n=k-2条件的情况，引用上面结论证明该数是11的倍数
收起回复7楼 23:51&|
@lwdwb，我发现了陷阱，这道题用数学归纳法貌似有陷阱，根据7楼的意见，我重新整理写一下归纳假设的过程：（1）当n=2时，有a2-a1=11m(m属于Z）,则必有a1=a2，即10a1+a2=11a1,证毕（因为系数小于10，所以要被11整除只能等于0）。（2）假设n=k-2时原命题成立，即若（a1+a3+...+a(k-3))-(a2+a4+...+a(k-2)）=11m(m属于Z）,则10(k-2)a(k-2)+10（k-3）a（k-3)+...+ak1被11整除当n=k时，假设整数10kak+10ka(k-1)+10(k-2)a(k-2)+10（k-3）a（k-3)+...+ak1满足（a1+a3+...+a(k-3)+a(k-1))-(a2+a4+...+a(k-2)+a(k)）=11m有（a1+a3+...+a(k-3)+a(k-1))-(a2+a4+...+a(k-2)+a(k)）=（a1+a3+...+a(k-3))-(a2+a4+...+a(k-2由此发现了一个陷阱，如果想继续证明下去，根据前面的假设，推出(a（k-1)-ak)=11m可这样是不对的，因为在n=k-2时的a1到a（k-2）和n=k时的a1到a（k-2）是不一样的数字，所以假设的条件只能适用于假设本身，即使更加一般的条件，在n变化的时候，所代表的系数也在发生不规律的变化，那么， ，您认为如何假设更加一般的条件？
收起回复9楼 00:51&|
求证：一个数如果能被11整除，具有如下特征，奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。解：注意到下列事实：一
99，9999，……，偶数位纯9数必能被11整除；二
，……，中间的0的个数为偶数的10……01必能被11整除。下面证明，为易懂，以五位数为例。1b+100c+10d+e=(9999a+a)+(1001b-b)+(99c+c)+（11d-d）+e=b+99c+11d+[(a+c+e)-(b+d)].因为b+99c+11d能被11整除，所以，只要(a+c+e)-(b+d)能被11整除，原五位数就能被11整除，也就是：奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
收起回复10楼 09:14&|
5楼和10楼都很棒
收起回复11楼 09:42&|来自
求证：一个多位数从右边开始，每两位为一组分成若干组。如果这些两位数（十位数字可以为0）的和能被11整除，那么原多位数能被11整除。比如：，因为2+40+05+80+28+43=198能被11整除，所以，能被11整除。
收起回复12楼 22:06&|
12楼的求证：一个多位数从右边开始，每两位为一组分成若干组。如果这些两位数（十位数字可以为0）的和能被11整除，那么原多位数能被11整除。其中的“两位”可改为“四位”或“六位”等等“偶数位”（当然位数够多时）。
收起回复13楼 21:47&|
12楼问题： 求证：一个多位数从右边开始，每两位为一组分成若干组。如果这些两位数（十位数字可以为0）的和能被11整除，那么原多位数能被11整除。 为避免抽象，便于叙述、阅读，以七位数为例。 证明：将七位数从右边开始，每两位为一组，分成四组，也就是四个两位数串（即首位数字可以为0）： a、b、c、d．则原七位数可表示成： 000b+100c+d =(999999a+a)+(9999b+b)+(99c+c)+d =99b+99c+(a+b+c+d). 因为99b+99c能被11整除，所以，只要a+b+c+d能被11整除，原七位数就能被11整除。 也就是：如果这些两位数串（即首位数字可以为0）的和能被11整除，那么原多位数能被11整除。 例如：4055854， 因为04+05+58+54=121能被11整除，所以，4055854能被11整除。
收起回复15楼 09:45&|
我是前两天被人问了如何证明能被3整除的数的性质后顺带就把这个自己证明了一下，我把我的观点说一下，如有问题希望大家订正，大家交流吗。写完整点从求证开始求证：如果一个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差的绝对值能被11整除，则这个数能被11整除。
抱歉，因为脚标和指数太麻烦实在不好输，所以自己写后拍照上传了，请大家包涵！
16楼 15:46&|
对不起，刚刚传的照片字迹涂改有些多，大家可能看不清楚，所以重新誊写了一下，重新传
17楼 16:44&|
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如何证明 如果n同时被2和3整除，则n一定能被6整除
提问者采纳
应该这样证：证：由于n同时被2和3整除，因此n是2和3的公倍数。由于2和3互质，最小公倍数为6因此n是6的整倍数，n能被6整除。楼上的证明都直接令n=6N，是不对的，只有根据2和3互质，得出最小公倍数是6，才能设为6N，都令成6N了，还证什么。
提问者评价
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其他4条回答
因为n能被2整除，则n有公因式2因为n能被3整除，则n有公因式3而2与3互质，则n即有公因式2，又有公因式3所以n就有公因式6所以n一定能被6整除
设N=3P，N是偶数，则得到P是偶数，设P=2M,得到N=6M
设A=2*3*N(N为自然数）A/6=2*3*N/6=N由于N为自然数，因此A能被6整除
用反证法比较简单易懂一点，设n=2x=3y，且不能被6整除由n=3y且n能被6整除→y为奇数→n不能为2整除→n≠2x→n能为6整除
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出门在外也不愁来源： 作者：朱瑞;
对用数学归纳法证明整除问题的补充
贵刊在一九八六平第一期刊登明理编选的《用数学归纳法证明整除问题的两种常用方法》一文。文中“十六字法”和“带余除法”能在课本的基础上加以提炼、总结,很值得借鉴。但是用数学归纳法法证明整除问题,还有两种常用的方法一一辅助变量法和作差法,介绍于下: 一、辅助变量法 用辅助变量法证明当n=左十1时为真,其实质就是利用多项式(或数)的整除性,用一个辅助变量表示其商,这样,在完成“S,、真.今S、十:真”的过程中,只须用代入法便可使难点突破。举例说明如下。 例1.用数学归纳法证明: 3。”十2+5·2“”十’能被19整除。 证明(1)当n二0时,32+5·2二19能被19整除。 (2)假设当n=k时,33k·“+5·2,“+‘能被均整徐。令33坛十么+5·2“k’‘=igt(t〔“)即3“七’么=19t一5.23k“ 则当n二掩+l时, 3。(‘士l)卞2+5一23(五十l)十1 =(1 91一5·23‘乍‘)·33+5·2“‘卜‘·23 二19t·33一5·2“‘’‘(3“一2“) 二19t·3J一5·23白‘1·19 二19(3“·t一5·2飞认、‘) 丫t〔Z,......(本文共计2页)
　　　　　　　
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