请问什么是完全平方数？_百度知道
请问什么是完全平方数？
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数,理数平,数完全平数.换言,数,理数,数完全平数.
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数另整数完全平我称数完全平数叫做平数例：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…
观察些完全平数获位数、十位数、数字等规律性认识面我研究完全平数些用性质：
性质1：完全平数末位数能0,1,4,5,6,9
性质2：奇数平位数字奇数十位数字偶数
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 证明 已知m^2=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则 10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k为奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。 这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。 在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。 性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。 因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得 (3m)=9=3k (3m+1)=9+6m+1=3k+1 (3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到： 性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。 性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。 除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被9除的余数。 下面以四位数为例来说明这个命题。 设四位数为，则 = b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。 对於n位数，也可以仿此法予以证明。 关於完全平方数的数字和有下面的性质： 性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。 证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而 (9k)=9(9)+0 (9k±1)=9(9±2k)+1 (9k±2)=9(9±4k)+4 (9k±3)=9(9±6k)+9 (9k±4)=9(9±8k+1)+7 除了以上几条性质以外，还有下列重要性质： 性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。 证明 充分性：设b为平方数，则 ==(ac) 必要性：若为完全平方数，=，则 性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。 证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。 性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若 n^2 & k^2 & (n+1)^2 则k一定不是整数。 性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。 (二)重要结论 1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数； 2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数； 3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数； 4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数； 5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数； 6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数； 7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数； 8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。 (三)范例 [例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。 解：设此自然数为x，依题意可得 x-45=m^2; (1) x+44=n^2 (2) (m,n为自然数) (2)-(1)可得 : n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89 因为n+m&n-m 又因为89为质数， 所以：n+m=89; n-m=1 解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。 [例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。 分析 设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证 是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。 证明 设这四个整数之积加上1为m，则 m为平方数 而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。 [例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。 分析 形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即或 在两端同时减去1之后即可推出矛盾。 证明 若，则 因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 若，则 因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 综上所述，不可能是完全平方数。 另证 由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。 [例4]：试证数列49,, 的每一项都是完全平方数。 证明 = =++1 =4+8+1 =4()(9+1)+8+1 =36 ()+12+1 =(6+1) 即为完
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推
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完全平方数的相关知识
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出门在外也不愁在一个三位数的百位前加上一个数字得到的四位数恰好是元三位数的9倍，那么这样的三位数中最大的是多少？_百度知道
在一个三位数的百位前加上一个数字得到的四位数恰好是元三位数的9倍，那么这样的三位数中最大的是多少？
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解：设三位数n百位前加数字m1000m+n=9n∴8n=1000mm=1n=125......m=7n=875m=8n=1000（合题意）答：三位数875
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设原三位数n百位前加数字a则 n≤999 ,
, 且 1000*a + n
= 9*n 1000a
125a ≤ 999
7.992 ≤ 7a 取数 7
n = 125*7 = 875三位数 875
设四位数为b+10c+d得b+10c+d=9*(100b+10c+d)即125a=100b+10c+d等式右边最大为999，所以a最大为7，即100b+10c+d=875所以三位数最大为875
三位数的相关知识
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