中小学生课堂故事博览 无限的交响乐—极限的故事
&&&&&&&&&&&&&&&&
/ 中小学生课堂故事博览 无限的交响乐—极限的故事　
无限的交响乐──极限的故事“无限”的诞生　　无限的思想诞生于何时何地，如今已难确切查考了。然而古希腊学者欧 几里得（Euclid，公元前 330～前 275）的名著——《几何原本》第九卷中对 质数无限性的认识十分精彩。
文中全部用几何的方式，表述了一个纯粹数的问题！其中“测量”一词， 即算术中的“除尽”。“质数比任何给定的一批质数都多。”　　“假设 A，B，C 是指定的质数；我说除了 A，B，C 之外还有其他的质数。 事实上，取 A，B，C 所能测量的最小数，设它为 DE；把单位 DF 加到 DE 上。 于是 EF 或者是质数或者不是。首先，假设 EF 是质数，那么我们已得到了质数 A，B，C，EF，它比质数 A，B，C 要多。其次假设 EF 不是质数，从而它必 能被某个质数所测量。假设它能被质数 G 测量。我说 G 和数 A，B，C，都不 相同。因为，如果可能的话，假定 G 和 A，B，C 中的某个数相同。那么由于 A，B，C 能测量 DE，所以 G 也能测量 DE。但 G 还能测量 EF。所以 G 作为一个 数，它就能测量余数，也就是单位 DF；而这是荒谬的！所以，G 与 A，B，C 当中的任何一个数都不相同。并且按照假设，G 是质数。所以我们就找到了 质数 A，B，C，G，它比给定的一批质数 A，B，C 更多”。这个证明可以推广到多个质数的情形，即若 2，3，5，7，11??，P 为所有不大于 P 的质数，则2×3×5×7×11×??×P＋1=N数 N 或者是质数，或者所有的质因子都大于 P。　　在他之前约 200 年，另一位古希腊学者芝诺（Zenon，公元前 496～前 429） 曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。从中，我们可以看到当时人类对“无限” 的认识，及理解上的局限。大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则 是古希腊传说中的英雄，善跑的神。芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远 追不上乌龟！芝诺的理由是：如图所示假定阿基里斯现在 A 处，乌龟现在 T 处。为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点 T，当他到达 T 点时，乌龟已前进到 T1 点；当他到达 T1 点时，乌龟又已前进到 T2 点，如此等等。当阿基里斯 到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离。因此，阿基里 斯是永远追不上乌龟的！　　芝诺的论断显然与常理相悖。由于当时人类只有粗糙的无限观念，数学 家们曾经错误地认为：无限多个很小的量，其和必为无限大。芝诺正是巧妙 地钻了这个空子：把有限长的线段分成无限多个很小线段的和；把有限的时 间可以完成的运动，分成无限多段很短的时间来完成。芝诺的“追龟”问题， 无疑是向当时错误的“无限”观念提出了挑战。数学家们感到数学面临着潜 在的危机！后来人们终于弄清楚，要克服上述危机，需要一场观念上的革命。即无限多个很小的量的和，未必是无限大！“无限”地累加，也可能得出有限的 结果！让我们再看一看追龟问题。设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面100 洣。当阿基里斯跑了 100 洣时，龟已前进了 10 洣；当阿基里斯再追 10 洣时，龟又前进了1洣；阿再追1洣；龟又进了1100洣，??。于是：阿基里斯追上乌龟所跑的路程 S：（单位洣）S＝100 + 10 + 1 +1 1+10 100? ??　　上式右端是无限多个很小量的和，然而它却是有限的！为了让读者理解 这一点，我们先从等比数列的知识讲起。　　一个数列，如果从第二项起每项与前一项的比是个常数，我们把这个数 列叫做等比数列，常数叫这个等比数列的公比，例如①1，2，22，23，24，??263②1，7，72，73，74??都是等比数列。 现在假定有一等比数列，第一项为 a，公比为 q∶ a，aq，aq2，??，aqn-1怎样去求它的前 n 项和 Sn 呢？一个颇为巧妙的办法是：把 Sn 乘以 q，然后错位相减，即： Sn＝a＋aq＋aq2＋??＋aqn-1 q·Sn=aq+aq2+aq3+aqn Sn（1－q）＝a－aqna(1 - q n )S n
=1- q这样，我们得出了一个很有用的公式。　　当等比数列的公比 q 的绝对值小于 1 时，数列的项无穷递缩，越来越趋 近于 0。此时，虽然项数有无限多个，但它们的和却是个有限的数。事实上，当 0＜｜q｜＜1 时：S＝a＋aq＋aq2＋?＋aqn-1＋?? lim Sn→?? limn→?ana(1 ? q n )1 ? q=1 - q上式中符号“lim”，“是英语 limit（极限）一词的缩写”。表示“当n 趋于无穷时某式的极限”。 应用上述公式可以算得追龟问题中阿基里斯的追及路程：1 1S ? 100 ? 10 ? 1 ? ? ? ??100101000102? 1
?1 ?10(洣)9与古希腊相比，我们的祖先对“无限”的概念可要明确得多。几乎与芝诺处于同一时代的墨子（公元前 468～前 367）就曾提出过“莫不容尺，无穷 也”的见解。这就是说，有这样一种量，用任意长的线段去量它，它都能容 纳得下。这是明显的“无限”的思想。稍后于墨子的《庄子》一书，更提到 “至大无外，至小无内”。前半句讲的是无限大，后半句讲的是无限小。该 书《天下篇》中还有一句名言：　　“一尺之棰，日取其半，万世不竭！”意思是，把长一尺的木棒，每天 取下前一天所剩下的一半，如此下去，永远也不会取完。1 1 1 1若S n
? ?? ? 2 n则 lim Sn
? 1n→?分牛传说析疑　　传说古代印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把 19 头牛分给三个儿 子。老大分总数的 1 ；老二分总数的 1 ；老三分总数的 1 。按印度的教规，2 4 5牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分。先人的遗嘱更需无条件遵从。老人 死后，三兄弟为分牛一事而绞尽脑汁，终于计无所出，最后决定诉诸官府。 官府面对此事一筹莫展，便以“清官难断家务事”为由，一推了之！话说邻村住着一位智臾。一天，他路过三兄弟家门，见三人愁眉不展，唉声叹气。动问之下，方知如此这般。但见老人沉思片刻说：“这好办！我有 一头牛借给你们。这样，总共就有20头牛。老大分 1 可得10 头；老二分 12 4可得5头；老三分 1 可得4头。你等三人共分去19 头牛。剩下的一头牛再5还给我！” 真是妙绝了！一个曾经使人绞尽脑汁的难题，竟如此轻松巧妙地得以解决。这自然引起了当时人们的热议，并一时传为佳话，以至流传至今。 不过，后来人们在钦佩之余总带有一丝怀疑。老大似乎只该分 9.5 头，最后他怎么竟得了 10 头呢？这件事终于惊动了数学家，他们决心对此弄个水落石出！数学家们进行了1 1 1如下计算： 19头牛按老大 ，老二 ，老三 的份额去分，各人分别可得19 19 192 4 519 19 19头， 头和 头。这时显然没有分完，还剩下（19－ － － ）2 4 52 4 5＝ 19 头。20所剩的牛自然仍要按遗嘱分给各人。于是老大又得 1 × 19 头；老二又得2 201 191 19 19× 头；老三又得 × 头。计算一下便知道，牛仍未被分完，还剩4 205 20202头。于是还得再按遗嘱规定去分，如此等等。这个过程可以一直延续到无究，只是每次所剩越来越少罢了！ 很明显，在上述过程中老大共分得牛数19S1
?1 × 192 20? 1 ×2920 2? ??19=
= 1011 -20同理，老二、老三所分牛数19S2
4+ 1 × 19 +4 201 × 194 20 2+ ??19=
= 511 -20S3
=19 1 19+ × ?5 5 201 × 195 202+ ??19=
= 411 -20　　数学家们终于用审慎的态度支持了智叟。他们宣告说：智叟的分牛结论 是正确的！　　没过多久，有人对智叟的“动机”提出了疑议，他们认为智叟的做法充 其量只是“瞎猫碰上死老鼠”而已。他们举例说，倘若老人留下的只是 15 头牛而不19 头；遗嘱规定的是老大分 1 ，老二分 1 头牛老三分 1 那么结果又将怎样呢？2 4 8设想智叟牵来一头牛，添成 16 头。按遗嘱：老大分 8 头，老二分 4 头，老三分 2 头。三人共分去 14 头牛。那么，智叟是否要把剩下的两头牛都牵回 去？谁敢保证智叟没有“渔利”之嫌？！　　说的不无道理！于是一个即将偃旗息鼓的问题，又死灰复燃起来。经过 几番争论，人们终于弄清楚，智叟的办法确实带有某种盲目性！问题的症结 不在于智叟是否牵牛来，或牵几头牛来又牵几头回去，而在于按遗嘱三兄弟 所获牛数的比：　　1 ∶ 1 ∶2 41 ? 10 ∶5∶45只要最后这个简单的整数比，能够将 19 整分，那么结果必然皆大欢喜，又何 须再牵一头牛来？反之，如若遗嘱中的简单整数比，不能将牛数整分的话， 那么纵然智叟有再高十倍的智商，也只能是一阵空忙！上述结论为人们提出了分牛问题的最佳解答：??S1
= 19×? ?1010 + 5 + 45= 10?S
= 19× = 5　　　2?? ??S3
= 19×10 + 5 + 44= 410 + 5 + 4神奇的质数序列瑞士数学家列昂纳德·欧拉（leonhard Euler，）从 19 岁开始发表论文，直至 76 岁。半个多世纪期间，共写出论文、论著 868 篇，其中有近 400 篇是在他双目失明的 17 年间靠心算和口述写成的。 在欧拉逝世后，彼德堡科学院为整理他的遗稿，足足忙了 47 年！他勤勉而光 辉的一生，为人类智慧的宝库增添了巨大的财富！欧拉关于质数无限性的精彩证明，绝非欧几里德证明所能相比！大家知道，当 o＜X＜1 时，我们有：1＋x＋x2 ＋x3＋?? =11- x，从而1＋x＋x2 ＋??x n ＜11? x若P为任一质数，则x =
1 ＜1，有：P1 1 1 p1 ? p ? p 2? ?? ? ＜p p ? 1另一方面，在非常著名的自然数倒数的求和式中1 1 1 11 ? ? ? ? ? ??2 3 4 5尽管后来的项越来越小，但其部分和却能无限地增大。事实上，令1A m
= 1 + 21 1? ? ? ?3 2m则有A - A = 1 ?1 ? ? ? 1m +1 m2 m
? 212 m?1＞ ·2 m
=　　　　　　　　　　　　　2 m ?1 2同理可得：A - A ＞ 1m m-1 2　　　　　　　1A m?1 －A m－ 2 ＞ 2? ? ?　　　　　1A 2 －A1 ＞ 2　　　　　1A 1 －A 0 ≥ 2以上各式相加，并注意到 A0=1 则得：1
A m－1 ＞ 2 m这证明了 Am 当 m 增大时，能够无限地增大。　　下面我们回到欧拉关于质数无限性的讨论上来。用反证法，假设质数序 列是有限的，它们依序是2，3，5，7，11，??，P于是，我们有：1A m
= 1 + 21 1+ ? ? ?3 2 m1 1 1 1 1 1＜ (1 + 2 + 2 2+ ? ? )·(1 ? ?2 n 3 32? ? ? )3n·(1 ? 1 ?1
? ? ?1 1)??(1 ? ?1
)5 52 5 np p 2 p n　　这是因为左式分母的每一个数，都可以唯一地分解为若干质数的积，而 这些积都对应着右式展开后的某一个项。当然，在 m 确定之后，我们的 n 必 须选择得足够大。显然，右式对任何的 n 都小于 Mp2 3 5 PM
= · · ·?·p 2 - 13 ? 15 ? 1P ? 1而 Mp 是一个固定的数。当 m 取很大时必有mM p ＜1 ?
2这样一来，我们同时有一串矛盾的不等式1 ? m ＜A2m ＜M p＜1 ? m2这表明原先假定质数序列有限是错误的。这便是欧拉关于质数无限性的证 明！这个证明过程，充分体现了无限中有限的思想。　　当然，欧几里得的证法，也因首次冲破质数无规律的障碍而载入史册。 相同的方法可以用来证明质数序列中存在着很大的间隙。事文上，我们可以 随心所欲地挑出一串足够长的连续合数，并把它插在两个质数的间隙之中！　　例如，我们希望插入 1000 个连续合数。我们可以先找出第一个大于 1000 的 质数 1009，那么以下的 1000 个数：2×3×5×?×1009＋22×3×5×?×1009＋32×3×5×?×1009＋42×3×5×?×1009＋5? ?　　　　　　　　　　　2×3×5×?× 显然便是连续的合数。这意味着我们在质数序列中，至少找到了 1000 个数的 间隙！　　虽然质数序列稀稀拉拉，但是，质数之间也不是个个都离得很开。人们 也发现了不少紧挨在一起的质数，如：3，5；5，7；11，13；17，19；29，31；?；016959；?；，；?。这使得 质数序列显得更加神秘莫测。公元 1830 年，法国数学家勒让德（Legendre，）猜想，小于N 的质数个数π（N）为π(N ) ～NInN而号称“数学之王”的高斯（Gauss，），也几乎同时独立地猜出 了这一公式。勒让德和高斯的猜想，具有很高的精确度。然而，在很长的一段时间里，勒让德和高斯的结论依然停留在猜想上。只是在 20 年之后，大约公元 1848 年，俄国数学家车比雪夫取得了一些积极 成果，但此后又沉寂了半个世纪。直到上世纪末，公元 1896 年，智慧超群的 法国数学家阿达玛（Hadamard，）和比利时数学家布散（Poussin） 同时独立地取得了这一猜想的严格证明，并称之为“质数定理”。“质数定理”同时独立地被提出，又同时独立地被证明，这不能不成为数学史上的佳话！鉴于阿达玛的证明需要用到高深的知识，数学家们常常为 此感到美中不足。人们为寻找更为简易的证明，又花去了半个世纪。公元 1949 年，质数定理的初等证明终于被找到。大凡有关质数分布的命题，包括前面讲的质数定理，其证明大都使用到欧拉在证明质数无限性时所创造的方法，这大概就是数学家们为什么对欧拉 的证明感到特别赞叹的原因！“有限”的禁锢　　有限，常常禁锢着人们的思想。大家习惯于把有限运算的法则，不知不 觉地运用到运算中去。当人们为某些正确的成果而欢欣鼓舞的时候，往往忽 略了思维中的潜在危险！下面是一些十分有趣的循环算式计算：如 3
5?? ，这类循环算式是可以直接加以计算的，事实上1
1 1? ? ? ?? ? ? ?x ? 32
23125 ·52
42 1但如果注意到? 33 ·5 3
? 45x立得x = 3
45（舍去x＝0），这显然要简单得多。又如下面的无限分数1x ? 1 ? 12 ? 11 ?2??1易知有 x = 1 + 12 +x从而 2x2
- 2x - 1＝01 ? 3x ?2(x＞0)　　读者中可能很少有人会对上面运算的正确性表示怀疑。其实，这些计算 必须以“循环算式的值”存在为前提。倘若不是这样的话，我们甚至会得出 荒谬的结果！下面的例子在历史上是颇为有名的：三个学生用三种不同的方法，计算式子1-1+1-1+1-1+?? 竟然得出各不相同的结果！某甲：原式＝（1-1）＋（1+1）＋（1-1）＋??＝0＋0＋0＋??＝0；某乙：原式＝1+（-1＋1）＋（-1＋1）＋（-1＋1）+??　　　　　＝1+0+0+0＋??＝1； 某丙：令 X＝1－1＋1－1＋1-1＋??∵X＝1－（1－1＋1-1+1-1＋??）＝1-X∴2X＝1，X = 1 。2亲爱的读者，依你之见，他们三人谁是对的呢？ 要跨越有限的栏栅，需要一种异乎寻常的思考，下面一道问题的最终结果，可能会大大出乎人们的意料！　　公元 1799 年，德国数学家高斯证明了代数学的一个基本定理。即 n 次方 程必有 n 个根。对于一个简单的方程x2=x　　我想读者都能准确无误地求出它的根来:x1 ＝1，x2＝0。倘若有人告诉 你，你所求的只是有限根，还有两个“无限”解没求出哩！对此，你一定会 大感惊讶，然而这是确实的！显然，要使 x2＝x，x 的个位数字只能是 1，5，6 三个。如果同时考虑十位数的话，那么只有以下的两种可能：? x1
= ??25?? x2
= ??76为求 x1 的百位数字，可令（k1 为 0 至 9 的数字）：x1＝??k1252
） 2 ×10 4=??625∵x 2 ＝x＋2 ×（??k 1 ）×102 ×25＋252∴k1=6 接下去再令 x1＝??116252
）2 ×10 6=??0625 又得 11＝0＋2 ×（??11 ）×103 ×625＋62522以上步骤可以一步一个脚印地做下去，得出一个满足“x 1 ＝x”的无限长的“数”x1＝??2890625从推导的过程容易看出，这个无限长的“数”等于（（（52 ）2 ）2 ）2 ?求 x2 的过程稍微复杂一些，但方法是一样的。令x2＝??k2762 2 2 2x2 ＝（??k 2 ） ×104
+ 2×（??k 2 ）×102×76＋76= （??k2 ） ×104 ＋15200×（??k2 ）＋5776∵x2
= x2∴2k2＋7＝K2＋10，k2＝3从而 X2＝??376同样，我们可以求出 x2 的后四位数为 9376；后五位数为 09376；再下去又有 109376；如此等等，一位一位数字地往前算，便得到另一个无限长的 “数”X2＝??7109376至此，一个极为普通的二次方程“x2＝x”除通常的 X=0，x＝1 两个解外，居然又找到了两个“无限”的解：? x1＝??2890625?? x2 ＝??7109376对此有趣的结沦，聪明的读者难免感到意外，并对如今的方程理论，重作一 番认真的思考。由于 X1 的右起各位数字，可以通过下面的计算求得：5 552（52 ）2（（52 ）2 ）2（（（52 ）2 ）2 ）225625**0625** ** ** * 90625? ?（（（52 ）2 ）2 ）2?2890625　　因此，我们完全不必一位接一位地推算。上表的右边便是直接得到的结 果。“＊”是无效的数字。但求 X2 却没有相应于上述的那种捷径。不过，下 面的表却可以帮助你很快地通过 X1 求得它！右起位数
x1 的右起数字
X2 的右起数字
左两栏和
1
5
6
11
2
25
76
101
3
625
376
5
100001
?
?
?
?
n
?
?
（ 10n+1 ）
康托的“无限理论”　　倘若有人告诉你，一根头发丝上的点，和我们生活着的宇宙空间里的点 一样多。对此，你可能感到不可思议！其实，只要挣脱“有限”观念的束缚， 上面讲的一切都可能发生！虽说人类早在二千年前就认识“无限”，但真正接触无限本质的却鲜有其人。第一个有意识触及“无限”实质的，大约要算意大利科学家伽俐略， 他把全体自然数与它们的平方一个对一个对应起来：1
5262 ??它们谁也不多一个，谁也不少一个，一样多！然而，后者很明显只是前者的 一部分。部分怎么能等于整体呢？伽俐略感到迷惑了，但他至死也没能理出 一个头绪来！　　真正从本质上认识“无限”的，是年轻的德国数学家，29 岁的伯林大学 教授乔治·康托（G·Gantor，）。他的出色的工作，起于公元1874 年。 康托的研究是从计数开始的。他发现人们在计数时，实际上应用了一一对应的概念。譬如教室里有 50 个座位，老师走进教室，一看坐满了人，他再 也无须张三李四地一个个点数，即知此时听课人数为 50。这是因为每个人都占一个座位，而每个座位都坐着一个人，两者成一一对应。倘若此时空了一 些座位，我们立即知道，听课学生少于 50，这是因为“部分小于整体”的缘 故。然而这只是有限情形下的规律。对于无限的情形，就像前面讲到的伽俐 略例子一样，部分可能等于整体！这，正是无限的本质！　　经过深刻的思考，康托教授得出一个重要结论：即如果一个量等于它的 一部分量，那么这个量必是无限量；反之，无限量必然可以等于它的某一部 分量。　　接着，康托教授又引进了无限集基数的概念。他把两个元素间能建立起 一一对应的集合，称为有相同的基数。例如伽俐略的例子，自然数集与自然 数平方的数集，有着相同的基数。康托教授正是从这些简单的概念出发，得 出了许多惊人的结论。　　例如，康托证明了在数轴上排得稀稀疏疏的自然数，能够与数轴上挤得 密密麻麻的有理数全体，建立起一一对应。也就是说，自然数集与有理数集 有相同的基数！下面是康托的证明。　　先把全体有理数按表 1 排列，表中的每一个数都对应着唯一的一个有理 数。反之，任何一个有理数也都可以在下表中找到。表的构造细看自明：现在我们把表中的数，按下页图箭号方向的顺序排成一串长队，删去与前面重复的数后，便得出已经排了队的全体有理数。0，1，2 ，－1， 1 ，－2 ，3，4 ， - 3，??它显然可以与自然数建2立一一对应。因此有理数集与自然数集基数相同。 由于自然数集的元素是可以从一开始逐个点数的，所以凡是与自然数集基数相同的集合，都具备可数的特性。显然，可数集基数是继有限数之后紧挨的一个超限数。为叙述方便，康托教授用希伯莱字母“阿列夫”卍，加上 下标 0 来表示它。于是，我们有以下的基数序列：1，2，3，4，5，??卍。 这一序列后面还有没有其他的超限基数？答案是肯定的。因为倘若所有的无限集基数都相同，那么康托教授的理论也就无足轻重了！ 下面我们再看一些令人惊异的例子。 下图可能是读者所熟悉的，它建立了圆周与直线上点的一一对应。这表明一个有限长圆周上的点，可同无限长直线上的点一样多！ 更为神奇的是，我们还能得出，单位线段内的点，能与单位正方形内的点建立起一一对应。这一点远不是人人都很清楚的。大约读者中也会有不少 人对此表示诧异！其实，道理也很简单。设单位正方形内点的坐标（α，β）其 K 中α，β写为十进小数是：? α＝0.a1a2 a 3a 4 a4 ???? β＝0. b1b2 b 3b4 ??令γ＝0.a1b1a2b2a3b3??则γ必为（0，1）内的点。反过来，单位线段内部的任一点γ*：γ*＝0.c1c2c3c4c5c6c7c8??它对应着单位正方形内部的唯一一个点（α*β*）。? α*＝0.c c
7??? β*＝0.c
??　　这样，我们也就证明了一块具有一定面积的图形上的点，可同面积为零 的线段上的点一样多！　　瞧！康托的“无限理论”是多么地奇特，多么地与众不同，又多么地与 传统观念格格不入？！难怪康托的理论从诞生的那一天起，便受到了习惯势 力的抵制。有人甚至骂他是疯子。连他所敬重的老师，当时颇负盛名的数学 家克朗涅克（Krone－cker，），也宣布不承认康托是他的学生！ 精神上的巨大压抑，激烈论战的过度疲劳，终于超出康托所能忍受的限度。1884 年，康托的精神崩溃了！此后他时时发病，并于公元 1918 年 1 月 6 日逝世于萨克逊州的一所精神病医院。 然而，历史是公正的。康托的理论并没有因歧视和咒骂而泯灭！如今康托所创立的集合论，已成为数学发展的基础。康托使人类从本质上认识了“无限”。人们将永远缅怀他的不朽功绩！奇妙的无限大算术　　为 20 世纪数学的攻坚吹响进军号的德国数学家大卫·希尔伯特，曾经讲 过一个关于无限的非常精彩的故事：我们设想有一家旅店，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了一位新客，想订一个房间。旅店老板会怎么说呢？他只好讲： “对不起，房间都住满了，请另想办法吧！” 现在再设想另一家旅店，内设无限个房间，所有房间都住满客人。这时也有一位新客来临，想订个房间。这时却听到旅店老板说：“不成问题！” 接着，他就把一号房间的旅客移到二号；二号房间的旅客移到三号；三号房间的旅客移到四号；如此等等。在经过一场大搬家之后，一号房终于被 腾出来，新客就被安排在一号房里。　　不久，突然来了无穷多位要求订房间的客人。怎么办呢？老板急中生智， 又想了妙法：“好的，先生们，请稍等一会”老板说。 接着，他通知一号房间的旅客搬到二号房；二号房间的旅客搬到四号房；三号房间的旅客搬到六号房；四号房间的旅客搬到八号房；如此等等。 现在，所有单号的房间都腾出来了！新来的无穷多位旅客，便可以安稳地住进去了！ 希尔伯特的这个故事，把无限的特性刻划得维妙维肖！它说明了下面的真理：即可数集加一个或几个元素仍是可数集；可数集加上可数个元素还是 可数集。用符号表示就是：卍 0+1=卍 0卍 0+n=卍 0卍 0+卍 0=卍 0这便是无限大的加法。 下面我们再研究卍 0 的乘法运算。 假定有两个无限集合{○，△，，□，??}；{白，重边，阴影，阴阳，黑} 它们的元素个数，分别等于已知的基数。那么很自然，两个基数的积，可以定义为由两个集合元素配合而得到的新集合的基数。下表列出了新集合 的所有无素。这个新集合的基数（○，白），（○，重边），（○，阴影），??（△，白），（△，重边），（△，阴影），??（，白），（，重边），（，阴影），??为卍 0，写成式子是：卍 0 卍 0=卍 0。由于 2×卍 0、3×卍 0。等等，不可能有比卍 0×卍 0 更大的基数，从而也就意味着对于正整数 n 有：n×卍 0=卍 0　　下面是一道明显的错题，它可以帮助人们弄清有限算术和无限算术的界 限。有人作了以下推理：∵2 卍 0=卍 0∴2=卍 0/卍 0=1亲爱的读者，你知道错在哪里吗？ 为了让读者一睹卍在应用上的风采，我们介绍一个数学史上的重大发现。　　公元 1851 年，法国数学家刘维尔（Liouville，）首次证明 了“超越数”的存在。什么是超越数？如果一个实数，满足形如anxn+an-1xn-1+??+a2x2+a1x+a0=0的整系数代数方程（an≠0）。那么，这个实数就叫“代数数”。实数中除代数数之外，其余的数都是超越数。代数数范围很广，像 3 ，3
7 ， 2 ? 2 ，5??都是代数数。超越数为人类所认识的第一个数，是刘维尔找到的，后来 就叫刘维尔数。它是一个无限小数，其中的 1 分布在小数后第 1，2，6，24，120，720，5040，??等等处： L＝0.1000??　　刘维尔的论证是艰难的。不过，在一个半世纪后的今天，应用神奇的无 限大算术，人们可以相当轻松地证明超越数的存在！事实上，在整系数代数 方程anxn+an-1xn-1+??+a1x+a0=0，（an≠0）中（n＋1）个系数都只能取整数值，因此这样方程集合的基数当为：卍 0n+1，（n＝1，2，3，??） 而对于全部的整系数代数方程，其集合的基数当为：2 3 n ?1卍0
+ ?卍0 + ?= 卍0
? ?= 卍0 ×卍 0
? 卍 0　　另一方面，每个 n 次方程最多只能有 n 个根。因而代数的基数，当不大 于卍 0×卍 0=卍 0也就是说，代数数是可数的！ 超越数虽然很多很多，但具体的超越性判定，却很难很难！在中学中最常见的两个超越数是，自然对数的底 e 和圆周率π：e＝2.??π＝3.??他们的超越性，是由法国数学家埃尔洣 Hermit，）和德国数学家 林德曼（Lindemann，），分别于公元 1873 年和 1882 年证明的！“连续统”之谜　　在学习代数中都有体会，乘方运算要比加法和乘法运算有力得多，那么 在集合中这种乘方是什么含义呢？先让我们看看有限的情形吧！大家知道，一个单元素的集合，其子集共有两个，即空集φ和本身；一个双元素的集合，易知其子集有 4 个，即 22 个； 而一个有三个元素的集合｛a，b，c｝，它的全部子集可以求得，共有 8＝23 个，那么，一个具有 n 个元素的集合P＝｛a1，a2，a3，?，an｝它的全部子集是否有 2n 个呢？我们说：是的！事实上，可以这样来构造P 的子集：元素 a1 要么取，要么不取；元素 a2 要么取，要么不取；元素 a3 要么取，要么不取；元素 an 要么取，要么不取。　　由于每个元素都有“取”与“不取”两种可能，因此它们之间共有 2n 种 不同的组合。每种元素的组合都构成了一个子集，所以集合 P 共有 2n 个子集。 以这 2n 个子集为元素的大集合，我们称为集合 P 的幂集。显然，如果集合 P 的基数为有限数 n，则幂集的基数为 2n。现在我们把幂集的概念推广到无限集去，把无限集的全体子集构成的集合也称为幂集。假定某无限集的基数为卍 0，那么它的幂集的基数也可以形式地写为 2 卍 0。问题在于 2 卍 0 等于多少？它能比卍 0 更大吗？　　公元 1874 年，康托论证了幂集的无穷大级别大于原集的无穷大级别。特 别地：2 卍 0＞卍 0康托教授终于使我们跳出了卍 0 的圈子。这样一来，我们得到了一个比卍 0 更大的数 2 卍 0，康托把它记为卍 1。利用求幂集的手段，我们又可以得到比卍 1 更大的超限基数卍 2，卍 3 等等。卍卍
0卍2 卍0卍 = 2 卍2= 22
2= 22??°就这样，康托找到了一个“青出于蓝而胜于蓝”的无穷大家族： 卍 0，卍 1，卍 2，卍 3，卍 4，??　　阿列夫家族的第一代卍 0，便是大家熟知的可数集基数；阿列夫家族的 第二代卍 1 表示什么呢？读者很快便会看到，卍 1 相等于全体实数的数目。　　因为：任何一个实数都可以写成二进制数。反之，任何一个二进制数都 表示一个实数。特别，一个二进制小数，表示[0，1]区间内的一个数。例如：0.1101001?（2）1 1 1 1? ? ? 0 ? ? 0 ? 0 ? ? ??2 2 2 2 4 2 7? 0.5 ? 0.25 ? 0.0625 ? 0.0078125? 0.82??很明显，在可数集 Q＝｛a1，a2，a3，??｝的子集和二进制小数之间，我们能够建立起一一对应。办法是：如果某子集 包含 Q 中的某个元素，则在与该元素对应的小数位上写“1”，否则写“0”。如 Q 的子集｛a1，a3，a4，a8，a10?｝则与其对应的二进制小数为0.??（2）反过来，任一个二进制小数，也对应着一个确定的 Q 的子集。如0.1101001??（2）它对应着 Q 的子集｛a1，a2，a4，a7，??｝　　以上表明：Q 所有子集与二进制小数有相同的数目。这一结论，换成另 一种表述即：[0，1]线段上的点的数目有 2 卍 0=卍 1 个卍 0。我们将从不同的角度，重新证实这一结果。 新的证明依然用反证法。假定区间△＝[0，1]上的点是可数的，它们已按某种规则排成一列：α1，α2，?，αn，?把△分为相等的三部分[0， 1 ]、[1 ， 2 ]、[ 2 ，1]。显然，这三部分中至3 3 3 3少有一部分不含α1 点。我们选定一个不含α1 点的部分，记为△1。接下去我们又把△1 分成三个小、部分，又取其中不含α2 的一小部分，记为△2。如此等等，这样的过程可以无限地延续下去，结果得出一串一个套着一个，并在越来越小的区间序列△ ? △1
? ??上述的区间序列，最终套缩为区间［0，1］上的某个确定点ε。这一点ε自然应当是集合{αn}的一个元素，不妨令ε＝α1。这样，一方面根据△n的选取得知：αk
? △k 。另一方面由区间套的性质又有：αkS∈△k。上述矛盾表明：假令区间[0，1]上的点“可数”是错误的。这便是实数集不可数的又一种证明！ 上述证明，我们还可以通过以下的方法，使它变得更为直观。令： α1＝0.245087??α2＝0.307762?? α3＝0.955451?? α4＝0.107078?? α5＝0.202169?? α6=0.893321???? 现构造一个小数ε，使ε的相应数位上的数字，恰与上表对角线上的黑体数字，构成以下关系：凡ε黑体数字非零，则ε相应数位上的数字为“0”，凡黑体数字为零，则ε相应数位上的数字为“1”。即0.2
6 1??↓↓↓ ↓↓ ↓0.0
0??从而ε＝0.010100?? 显然，数ε不可能等同于{αn}中的任何一个。事实上，ε与αk 之间至少小数点后第 K 位数字是不相同的。你非 0，我则 0；你为 0，我则 1。 由于{αn｝包含了[0，1]间的任一实数，从而有ε∈{an} 这与前面的结论明显矛盾，从而证得[0，1]上实数“可数”的反设是错误的！　　由于[0，1]上的实数代表着连续的点，因此历史上常用记号 C 表示这种 无穷大的基数，称为连续统基数。这里 C 是“连续统”的英文词的第一个字 母。神奇的循环小数　　大概所有的中学生都知道，任何一个分数都能化成小数。要么是有限的， 要么是无限循环的。用除法便能得到需要的答案。反过来，一个循环小数一 定可以化为有理分数。如：0.16＝0.16＋0.016＋??* *0.16 = 0.16 + 0.0016 + 0.000016 + ??0.16 16= =1 - 0.01 99*1.4 3 = 1.4 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ??14 0.03= ?10 1 ? 0.114 3 43= ? =10 90 30不过，我们还有更为巧妙的计算方法：*
*令 x＝0.16* *则 100x＝16.16即 100x = 16＋x16∴ x =99*“0.9 = 1吗？”，这一问题往往引起初学者的疑虑。他们感到明明前面的数比 1 小，怎么可能等于 1 呢？其实，在他们的脑中是用有限数去跟1作比较。殊不知，当n趋于无限时有 lina n
n→?有些循环小数具有奇妙的特性，例如：　　循环节 142857 是个很有趣的数。当把后面的数码依次调到前头时，所得 的数恰是原来的倍数：2857×52857×42857×62857×22857×3
其中，最后一道算式，即 1956 年上海市第一届中学生数学竞赛题的答 案。原题如下：“设有六位数 labcde，乘以 3 后，变成 abcdel，求这个数”。 由于上题中的位数是确定的，所以可以用代数的方法进行求解。令x = abcde则依题意（105＋x）·3＝10x＋1解得 x＝42857 不过，倘若所求数的位数不知道，便就有些困难。这类问题在数学游戏中称为“蜻蜓咬尾”。下面便是一道“蜻蜓咬尾”题：一个多位数，最高位是 7，要把头上这个 7 剪下来，接到这个数的尾巴，使得到的新数是原数的 七分之一。　　这道题可以用蚂蚁啃骨头“的办法，从上式步步推算出结果。所得的是 一个长达 22 位的数目　　　　　　　　　　　 循环小数最为神奇的性质是：分母是质数的分数，若具有偶数循环节，则其相隔半个循环节长度上的两个数字之和为 9。n为什么呢？假定p为质数， 的循环节长为2s，前半循环节为A，后p半循环节为 B。于是n ＝0. ABABAB??pA B???
11 ?10 2sA·10 s
? 1)很明显 10s－1 不能被 P 整除，因为如若不然有10s－1＝kpn kn kn则 ? ?p 10s
? 1 10s1(1 ? ?10s1102s )其循环节长只有 S，这与原来的假定的矛盾。这样，由前面式子知道，P 既不 能整除 108-1，则必整除 108＋1n∴ ·(10s
? 1) ?pA(10s
? 1) ? A ? B10s
? 1A ? B? A ?10s
? 1上式左端显然是整数，从而右端也必须是整数。再注意到 A、B 都不大于 108－1，从而只能：A＋B = 10s －1＝9??99????9s个9斐波那契数列公元 1202 年，商人出身的意大利数学家斐波那契（Fi－bonacci，1170～1250），完成了一部伟大的论著《算法之书》。在书中，提出以下有趣问题： 假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一 对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡，问一对刚出 生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子？逐月推算，我们可以得到前面提过的数列：　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。这个数列后来便 以斐波那契的名字命名。数列的每一项，则称为“斐波那契数。”第十三位 的斐波那契数，即为一对刚出一的小兔，一年内所能繁殖成的兔子的对数， 这个数字为 233。从斐波那契数的构造明显看出：斐波那契数列从第三项起，每项都等于前面两项的和。假定第 n 项斐波那契数为 un，于是我们有：? u1
= 1?(n≥2)? u n +1
+ u n -1通过以上的递推关系式，我们可以算出任何的 un，不过，当 n 很大时递推是很费事的，我们必须找到更为科学的计算方法！ 下面我们就从等比数列1，q，q2，q3，qn-1，?中寻求满足递推关系 un+1=un+un-1 的解答。　　令 qn＝qn-1qn－2（n≥2） 因 q≠0 解得：　　1 ? 5q1
? 2n?15n?1现令?un
? 1?α + β = 1?? βq2立知?1 ?
5?α( ) + β() = 1? 2 2? 1 1 ?
5?α ? ( )解得? 5 2β ? ??1 1 ? 5( )5 2从而un
5 ) n ]2以上公式是法国数学家比内首先证明的，通称比内公式。令人惊奇的是，比内公式中的 un 是以无理数的幂表示的，然而这所得的结果完全是整数。不信，读者可以找几个 n 的值代进去试试看！ 斐波那契数列有许多奇妙的性质，其中有一个性质是这样的：2 n +1u n －u n +1 ·u n -1
= （ - 1） （n＞1）　　斐波那契数列的上述性质，常被用来构造一些极为有趣的智力游戏。美 国《科学美国人》杂志就曾刊载过一则故事：
一位魔术师拿着一块边长为 13 英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友 说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长 21 英尺，宽 8 英尺 的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差，深感惊异。因为两者之间面积相差达一平方英尺哩！可是魔术师竟让匠师用右图和下图的方法，达到了他的目的！这真是不可思议！亲爱的读者，你猜猜那神奇的一平方英尺跑到哪儿去呢？黄金比值——0.618　　上一世纪中叶，德国心理学家弗希纳曾经做过一次别出心裁的试验。他 召开一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形。并要求参观 者投票选择各自认为最美的矩形。　　入选的四个距形的长与宽，正好都是上一节我们讲到的斐波那契数列中 相邻的两个数。它们的比都接近于 0.618。0.618 这一再出现的神秘数字，终于引起人们的关注。数学家们开始探索这一神奇数字的真正含义！　　假定 C 是线段 AB 的一个分点。为了使 C 满足“部分与部分及部分与整体 之间的协调一致”，显然必须：　　　　　　　　　　　　　AB∶AC=AC∶CB令 AB=1，AC=x则 1∶x=x∶（1-x）x2+1x-12=05 ? 1解得 x =2ω ?
x ?1(x＞0)5 ? 1 ≈0.6182瞧！“美的密码”终于露面了！ 由于美的密码有许多极为宝贵的性质，所以，人们称 0.618 为“黄金比值”；而导致这一比值的分割，便称为“黄金分割”；C 点则称线段 AB 的“黄金分割点”。一个矩形，如果两边具有黄金比值，则称这样矩形为“黄金矩 形”。　　黄金矩形的性质也很奇特，它是由一个正方形和另一个小黄金矩形组 成。事实上，如果设大黄金矩形的两边 a∶b＝ω，分出一个正方形后，所余 小矩形的两边分别为（b-a）和 a，它们的比：　　（b－a）∶a =
b ? 1 ?a11ω ? 15 ? 1?5 ? 12? 1 ? 2 ? ω这表明小的矩形也是黄金矩形。　　黄金矩形的上述性质，允许我们把一个黄金距形分解为无限个正方形的 和！下页图表明了这种分解的过程。有趣的是，这个过程可以用下面的算式 表示出来：　　ω ? a
?baa ? (a ? b)1 1? b ? a
? a1 ? 1 ?a b1? 11 ? a1?b1? 11? 11 ? 1所得的是最为简单的连分数。1 ?1 ? ?　　容易看出，图中大矩形中各正方形的角点形成两条直线。一条是大矩形 的对角线，另一条是小矩形的对角线。这表明这一系列正方形，构成了无穷 递缩等比数列！“黄金比值”这一美的密码，一经被人类掌握，立即成为服务于人类的法宝。艺术家们应用它，创造出更加令人神驰的艺术珍品；设计师们利用它 设计出巧夺天工的建筑；科学家们则在科学的海洋尽情地欢奏 0.618 这一美 的旋律。黄金比值，这一造福人类的数字，诚如 17 世纪德国天文学家开普勒所评价的那样：“是几何学的一大宝藏”！圆周率π的算法人类对于圆周率π的研究，可以追溯到极为久远的年代！ 古代的希伯来人，在描述所罗门庙宇中的“熔池”时曾经这样写道：“池为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其周长为三十腕尺。”可见，古希 伯来人认为圆周率等于 3。不过，那时的建筑师们，都明白，圆周长与直径 的比要比 3 大一些。　　早在公元前 3 世纪，古希腊的阿基洣德已经想到用“逼近”的办法来计 算π。为说明阿基洣德超越时代的天才构思，我们先从一个半径为 1 的圆的 内接和外切正三角形讲起。为叙述方便，我们用 ak 和 ak′分别表示单位圆　　内接和外切正 k 边形的边长，和 pk 和 pk1 表示相应的周长。易知：
? Pk ＝k·a k?? Pk ′＝k·a k ′显然，把圆内接正 k 边形各顶点间的弧二等分，便可得到圆内接正 2k边形，并由此得3·2有　　　　?a k ＜2a 2k?
? Pk ＜p2k这样，我们从圆内接正三角形出发，推出p3＜p6＜P12＜p24＜?＜p3-2k-1＜?上述无限递增序列{p3·2k-1}，明显地以圆周长为上界。 同理，我们有P′3 ＞ P′6 ＞ p′12 ＞p′24 ＞?＞p′3 ·2k-1＞?这一递减序列{p′k-1}，也明显地以圆周长为下界。很明显，以上两个一升一降的无限序列，当 k 增大时越来越靠近，从而lim p' 3·2 k ?1
? 2 πk→?阿基洣德正是利用上面的办法，一直计算到 p96 和 p’96，得出：3 10 ＜π＜3 171 7阿基洣德的这一出色工作，载于他的著作《圆的度量》一书。 继阿基洣德之后，在计算圆周率的方法上有重大突破的，是我国魏晋时期的数学家刘徽和他的割圆术！　　公元 263 年，刘徽在对我国古籍算书《九章算术》的注释中，提出了计 算圆周长的“割圆”思想：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可 割，则与圆周合体，而无所失矣！”刘徽创立的割圆术，有四个要点，用现代方式表述如下：（1）圆内接正 3×2k 边形，当 k 增加时，其面积与圆面积的差越来越小。当 k 无限增大时，正多边形面积 Sk 与圆面积 A 几乎相等；（2）S2k＜A＜S2k＋（S2k-Sk）（3）S =
R2k 2 k（4 ）a 2k= 2R 2
2　　上述第一个要点，是刘徽思想的核心。他把圆看作是边数无限的正多边 形。读者从这里可以看到极限思想的光辉！　　第二点是刘徽的一个重要发现。在计算圆面积的时候，只要考虑圆内接 正多边形，而无须同时考虑圆外切正多边形。这是刘徽方法与阿基洣德方法 之间本质的区别，也是割圆术先进之所在！这一重要公式证明如下：如下图，设 A、B 是圆内接正 k 边形两个相邻的顶点，C 是 AB 中点，则AC 为圆内接正 2k 边形的一边。已知 AB 与 OC 交于 D 点，又 ABFE 为矩形，其 一边 EF 切圆 O 于 C 点，易知：S2k-Sk=k·S△ABCO＜ A-S2k＜2K·S△ABC=K·S△ABC∴O＜A-S2k＜S2k-Sk即 S2k＜A＜S2k+（S2k-Sk） 由此可得lim S = AK→?
2k割圆术的第三个要点，刘徽建立了一个面积 S2k 与边长 ak 之间的计算联系。事实上S2k=K·S 四边形 AOBC1 K? k· AB·OC ? a k R2 2这里 C 是圆的周长，C＝2πR。∴ A＝ 1 ·2 πR·R = πR 22特别，当 R＝1 时有A＝π着眼于面积计算π，这是刘徽与阿基洣德方法的又一不同。 第四个要点，刘徽建立了 ak 与 a2k 之间的递推关系式。这一式子基于勾股定理，事实上∵ OD ?R 2
? ( a k ) 22又 a2k2＝2R·DC＝2R（R－OD）2 2 2∴a2k 2
4R即? a ka 2k= 2R 2
2刘徽就是利用上面的递推式子及公式kS2 k
2 a k如同下表，一直算到了圆内接正 192 边形：再根据 S2k＜A＜S2k+（S2k-Sk），当 k＝96 时有　　　　　　　　　3.141024＜π＜3.142704 取相同的两位小数，即得：π≈3.14　　　　　　　　　k
ak
pk
S2k
（ S2k-Sk ）
6
1
6
24
0....
0....
0....
0....001680
?
?
?
?
?
成为本站VIP会员,
若未注册,请点击 成为本站会员.
版权声明：本站所有电子书均来自互联网。如果您发现有任何侵犯您权益的情况，请立即和我们联系，我们会及时作相关处理。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
蓝田玉PDF文档网致力于建设中国最大的PDF格式电子书的收集和下载服务！}