第二节：圆与圆的方程典型例题；一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的；（1；点M(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2；当(x0?a)2?(y0?b)2&r，点在；当(x0?a)2?(y0?b)2=r，点在圆上；当(x0?a)；2?(y0?b)2&r，点在圆内；（2DE?，半径为r?1D2?E2?4F当D?E；?E2?4F?0时，
第二节：圆与圆的方程典型例题
一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
点M(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系：
当(x0?a)2?(y0?b)2&r，点在圆外
当(x0?a)2?(y0?b)2=r，点在圆上
2?(y0?b)2&r，点在圆内
（2DE?，半径为r?1D2?E2?4F 当D?E?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为???,???22?2222
?E2?4F?0时，表示一个点；
22当D?E?4F?0时，方程不表示任何图形。 当D
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
例1 已知方程x2?y2?2(m?1)x?2(2m?3)y?5m2?10m?6?0.
（1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；
（2）若方程表示的图形是是一个圆，当m变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由.
答案：(1)方程表示的图形是一个圆；
（2）圆心在直线y=2x+5上，半径为2.
1．方程x?y?2x?4
y?6?0表示的图形是（
，?2)为半径的圆
Ｂ．以(1，2)为半径的圆 Ａ．以(1
2)为半径的圆 ，?2)为半径的圆
Ｄ．以(?1，Ｃ．以(?1
2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
，在圆(x?a)?(y?a)?4的内部，则a的取值范围是（
） 3．点(11)
Ａ．?1?a?1
2222 Ｂ．0?a?1
Ｃ．a??1或a?1
Ｄ．a??1 4．若x?y?(??1)x?2?y???0表示圆，则?的取值范围是5．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为
6．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为．
7．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是
8．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．
9．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．
10．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．
三、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为
）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②kk，得到方程【一定两解】
程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为
例２ 已知圆M:x2?(y?
2)2?1,Q是x轴上的动点
,QA、QB分别切圆
(1)若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB的方程；
(答：切线QA、QB的方程分别为3x?4y?3?0和x?1)
(2)求四边形QAMB的面积的最小值；
（答?SMAQB?MA?QA?QA
(3)若AB?，求直线MQ的方程. 3
（答：直线MQ的方程为2x?5y?25?0或2x?y?25?0 ）
1．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是(
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16
B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19
2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为(
D．无解 （?2，0）３.直线l过点，l与圆x?y?2x有两个交点时，斜率k的取值范围是(
) （?2222）（?22）A
（?1122（?）
４．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是
圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是
22６． P为圆x?y?1上的动点，则点P到直线3x?4y?10?0
７．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为
８．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为
９．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．
212．（本小题15分）已知圆C：?x?1??y?9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两2
(1) 当l经过圆心C时，求直线l的方程；
(2) 当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
(3) 当直线l的倾斜角为45o时，求弦AB的长．
13（本小题15分）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，
动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
四、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆C1:?x?a1?2??y?b1?2?r2，C2:?x?a2?2??y?b2?2?R2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
例4 已知圆C:(x?2)2?y2?4，相互垂直的两条直线l1、l2都过点A(a,0).
（Ⅰ）若l1、l2都和圆C相切，求直线l1、l2的方程；
（Ⅱ）当a?2时，若圆心为M(1,m)的圆和圆C外切且与直线l1、l2都相切，求圆M的方程；
（Ⅲ）当a??1时，求l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值.
答案：（１）l1、l2的方程分别为l1:y?x?22?2与l2:y??x?22?2或l1:y?x?22?2
与l2:y??x?22?2
（２）圆M的方程为(x?1)2?(y?7)2?4
（３）即l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值为2
1．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为(
2．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是
A．x＋y－1＝0
B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
3．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有(
14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值
6． 两圆x?y?9和x?y?8x?6y?9?0的位置关系是（
D 外切 2222
7． 圆：x?y?4x?6y?0和圆：x?y?6x?0交于A,B两点，则AB的垂直平分线的方程是
8．两圆x?y?1和(x?4)?(y?a)?25相切，则实数a的值为
五、求圆的轨迹方程
1、 点P(x0,y0)是圆x2?y2?4上的动点，点M为OP（O为原点）中点，求动
点M的轨迹方程。
2、 已知两定点A(-2,0)、B(1,0)，若动点P满足｜PA｜=2｜PB｜，则点P轨
迹方程所包围的图形面积等于
3、 等腰三角形ABC底边一个端点B(1,-3)，顶点A(0,6)，求另一个端点C的
轨迹方程。
4、 已知BC是圆x2?y2?25的动弦，且｜BC｜＝６，求BC中点轨迹方程。
5、 已知点M与两个定点O（0，0），A(3，0)的距离的比为，求点M的轨
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大杂锅uAY4
∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，则QA-Q0=QP-QO=OP=R即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OA为实轴长的双曲线故选C．
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结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．
本题考点：
圆锥曲线的轨迹问题．
考点点评：
双曲线是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．
扫描下载二维码求轨迹圆O的半径为定长r，A是圆内一定点，P是圆上任意一点。线段 - 爱问知识人
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时，点Q的轨迹是什么？为什么？
圆O的半径为定长r，A是圆内一定点，P是圆上任意一点。线段的垂直平分线L和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
因为直线l是线段AP的垂直平分线，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等，就有：QP=QA
而点Q在半径OP上
所以，QP+OQ=OP=r
所以，QA+OQ=r
因为点O和A均为定点
所以，点Q的轨迹就是：到两个定点A、O的距离之和等于定长r的点的集合。
显然，这就是一个椭圆。该椭圆是以A、O为焦点，长轴长为r。焦距为|AO|
时，点Q的轨迹是什么？为什么？
【线段的垂直平分线L和半径OP相交于点Q】什么线段？是AP吧！
感觉条件知道：QA=QP
∴OQ+OA=OP+OQ=r【是定长】根据椭圆的定义知道：
点Q的轨迹是：以点A，O为焦点的椭圆。
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设动圆圆心为M(x，y)，半径为R.
动圆与定圆相外切时，R=|MO|-r.
又动圆与直线x=a相切，R=a-x.
∴√(x^2+...
已知O是△ABC内一点,角AOB=150度，角BOC=90度,向量OA=a,向量OB=b,向量OC=c,|a|=2,|b|=1,|c|=3,请用a和b表示c.
...
t²+(2-i)t+2xy+(x-y)i=0
(t²+2t+2xy)+(t+x-y)i=0
t²+2t...
不对。应该是：过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。
我个人认为这个已知的条件太苛刻 一般是完成不了的。
祝你好运一生一世！点击好评，谢谢你！
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∵l为AP的垂直平分线,Q为l上的一点,∴AQ=PQ∵OQ+QP=r∴AQ+OQ=r∵形成一个以O,A为焦点的椭圆∴OA=2C,OQ+AQ=2a∴r=2a当P点在圆上运动时,Q的轨迹曲线为以A,O为焦点,长半轴为r的椭圆.
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（1）当点A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，则QA-Q0=QP-QO=OP=r．即动点Q到两定点A、O的距离差为定值r＜OA，根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线的一支．故⑦满足条件．（2）当A为⊙O内一定点，且A不与点O重合，∵P为⊙O上一动点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，QA=QP=OP-OQ=r-OQ，∴QA+OQ=r＞OA，故Q的轨迹是：以O，A为焦点，r为长轴的椭圆，故⑤满足条件．（3）当点A和原点O重合时，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，点Q是线段OP的中点，故有OQ==，故Q的轨迹是：以O为圆心，以为半径的圆，故③满足条件．（4）当点A在圆上时，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则Q和点O重合，故Q的轨迹是点O，为一个点，故①满足条件．故答案为①③⑤⑦．
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