必修作业 >北师大版课标初中数学九年级九年级上学期一元二次方程配方法
配方法（初中数学九年级）
(&甘肃张掖临泽三期初中数学一班 )
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发表日期：
北师大版课标初中数学九年级九年级上学期一元二次方程配方法
教学设计学科名称：配方法（初中数学九年级）
所在班级情况，学生特点分析：
（1）学生来自九年级（4）班，年龄在十四五岁之间，在学校同年级里属于普通班，整体水平较低，语言组织能力弱，但好奇心，好胜心强。
（2）学生基本能借助课件进行学习，有小部分学生能上网查找阅读材料并进行浏览。
（3）学生对图文并茂，集知识性、趣味性、生活化于一体的教学资源非常感兴趣。
教学内容分析
配方法是初中教学中的重要内容，也是一种重要的数学方法。配方的方法在以后的学习中经常用到，如在二次根式、代数式的变形及二次函数中有广泛应用。对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，同时它又是推导公式法的基础。
知识与技能目标:
1、 会用直接开平方法解形如：（x+m）2= n(n≥0)的一元二次方程；
2、理解配方法的思想，掌握用配方法解形如 的一元二次方程;
3、 能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。&
过程与方法目标:
通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”的数学思想方法。
情感与态度目标：培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
教学重、难点
教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。&
教学难点：发现与理解配方的方法。
教学方法：&&&&&&
&&&&& 启发—探究式的教学方法。
教学准备：
多媒体、投影仪
教学课时：1课时
五、教学过程
（一）创设情境，设疑引新
&在实际生活中，常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答。
某小区为了美化环境，将小区的布局做了如下调整：
例1、将一个正方形花园的每边扩大2米后，改造成一个面积为25米2的大花园，那么原来小花园的每边长是多少呢？
(1)、这个方程有什么特点？
(2)、如何求解？
&教师归纳：
形如：（x+m）2= n& (n≥0)& 这样的方程，我们可以采用两边直接开平方，求出方程的解，这种方法我们称为直接开平方法。
（二）、观察比较，探索新知
探究（1）提问：
1、这样的方程你能解吗？&&& x2+4x+4=25&&&&&&&& ②
&2、为什么？
3、那能不能把这个方程化为这样的形式？怎么化？
探究（2）提问：
1、这样的方程能解吗？&&& x2+12x-15=0&&&&&&& ③
2、方程③与方程①、方程②有什么不同？
3、那能不能把方程③化成方程①的形式呢？
在学生的充分讨论后，教师引导：
&&& x2+12x-15=0&&
a2 + 2& a& b+b2 = (a+b)2
通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.
配方的依据：完全平方公式，
(三)合作讨论、自主探究
下面我们来研究对于一般的方程： &怎样配方？
&配方的关键：当方程的二次项系数为1时，在方程的两边加上一次项系数一半的平方。
(四) 随堂练习,巩固深化
一、用配方法解下列方程
(1) x2+8x-9=0
(2) x2-x-1=0
（3）x2- x-3=0&
(4) x2+2x+2=0 （无解）
解一元二次方程的基本思路：将方程化为（ x+m）2=n(n≥0)的形式，两边开平方，便可求出它的解。（注：当n＜0时，左边是一个完全平方式，右边是一个负数，因此，方程在实数范围内无解。
(四) 拓展延伸、继续探究
列方程解应用题
如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为
<font size="3" face="仿宋_GBm2,道路的宽应为多少？
（五）课堂总结，提高认识
教师提问：
今天你学到了什么知识？
你能用自己的话说说吗
（学生归纳后教师做归纳）
（六）课外作业：
1、基础训练：
P50& 习题2.3
&2、思考题：
（1）、当二次项系数不为1时的一元二次方程，例如：
①& 3x2+8x-3=0
&②& 2x2+6=7x
如何用配方法解呢？
观看课件，并思考问题
&解：设原正方形的边长为xm，则有：
&&&& （x+2）2=25&&&&&&&&&&& ①
&&&&&&& x+2=±5
&&&&& x1= 5-2=3
&&&&& x2 =-5-2=-7（不合题意，舍去）
答：原正方形的边长为3米
&它们一边是一个完全平方式，另一边是一个非负数，&&&&&&&&&&&&&& 形如：（x+m）2= n& (n≥0)
&通过两边开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
没有（x+m）2= n& (n≥0)
&方程的左边是一个完全平方式，可化为：（x+4）2=25
&& x2+4x+4=25
方程可化为：& （x+2）2=25
两边开平方得：& x+2=±5
&&& x1= 3&&&&& x2 = -7
&方程①、方程②的左边是完全平方式，而方程③没有这样的形式。
学生陷入思考
给学生充分讨论交流的时间
方程③的具体解答过程是：& &&&x2+12x=15&&
x2+12x+62=15+62&&
x2+12x+62=51&&&&&&&&&&&&&& (x+6)2=51
&& x1= -6+ && x2 = -6- &
归纳出配方法的一般步骤：
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把原方程化成 的形式。
2.移项整理 得 x +px=-q&
3.在方程 x +px= -q 的两边同时加上一次项系数 p的一半的平方
x2+px+( &)2& =
4、用直接开平方法解方程
X=- ± && ( ≥0)&
学生独立完成
由学生独立完成
一元二次方程
&是否可以用
&直接开平方法&&&&&&&& x +px+q=0
&&&&&&&&&&&&&& &配方：
&&&&& （x+m）2= n& (n≥0)
解两个一元 &&&&&&&&&&&&用直接开
二次方程&&&&&&&&&&&&& 平方法
从实际问题出发,让学生感受到“数学无处不在”
学生在原有平方根的基础上能解方程
教师就一元二次方程的有两个根进行说明
启发学生观察方程的特点
体会解一元二次方程的降次思想
给出直接开平方法的概念。
&激发学生的求知欲，感受到问题的存在。
在教学中，先让学生独立解题，感受到解题的困难。然后引导学生通过观察上述方程中的特点,寻找解一元二次方程的新解法，培养学生的探索精神,并体会方程等价转化的数学思想.
引导学生观察前后两方程的联系找到问题的突破口，依据完全平方式进行配方。
给出完整的解法，让学生理解体会配方法
理解配方法
体现从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程。
让学生能解一次项系数分别为偶数、奇数、和分数时，一元二次方程的解法，巩固利用配方法解方程的基本技能。
注意检查学生的掌握情况。
通过学生自己归纳，巩固对配方法的掌握。
用配方法解方程的应用,提高学生的解题能力.
通过学生自己的归纳，巩固对本课知识的掌握。
通过教师的归纳让学生体会两个转化：一是降次的思想；二是等价转化的思想
基础训练是为巩固学生对本次课重点内容的掌握。
思考题是为了检查学生对知识的灵活运用，同时也为下一节课做准备
1、北师大版九年级数学上册教材全解；
2、北师大版九年级数学上册教师用书及配套光盘
自我问答：
本课的重点放在探究这几个方程的解法上，让学生从特殊方程的配方法进而转化到一般化的一元二次方程的配方，归纳出配方法的基本方法，这也体现了数学教学中从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程。在教学中，开展自主探究，合作交流的学习方式，通过学生的主动探究，掌握和理解配方法。在学习小结阶段，由学生自己小结后，教师还要作补充和强调的总结。在知识层面上，回顾和理解用配方法解方程的步骤和依据；在方法层面上，回顾配方中的“等价转化”的数学思想方法和解一元二次方程中的“降次”的思想。在课后作业的设计中，既注重学生的基础知识的训练，又为下一节课的学习作了铺垫和准备。
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第一部分 如何做好初高中衔接
第二部分 现有初高中数学知识存在的“脱节” 4
第三部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 5-9
分章节讲解
第五部分 衔接知识点的专题强化训练 67-100
第一部分，如何做好高、初中数学的衔接
如何学好高中数学 ●
初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经
过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习
的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的
信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的
衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数
高中数学与初中数学特点的变化
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1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下
子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立
了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也
对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高
中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，
不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型
抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本
概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本
概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多
课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。
这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记
牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识
教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形
成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到
统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。
不良的学习状态
1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各
种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升
入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象
初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有
预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。
2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在
初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如
此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。
存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知
识再弥补后悔晚矣。
3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部
分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、
寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些
同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。
4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知
道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”
，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。
5 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必
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须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值
的求法、实根分布与参变量的讨论、，三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问
题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。
科学地进行学习
高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动
学习，才能提高学习成绩。
1 培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定
计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
(1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。
但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。
(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴
趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，
突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。
(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课
更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。
(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的
理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使
对所学的新知识由“懂”到“会”。
(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能
的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。
(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思
路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实
在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得
的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。
(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的
基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识
融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。
(8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学
习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发
展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。
2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有的同学贪多求快，囫囵
吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，
学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许
多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或
半自动化的熟练程度。
3 注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运
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用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求
较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，
又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是
这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。
第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节”
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对
三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用
的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等
等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此
类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互
转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、
右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦
定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
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第三部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
1 绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
? a(a ? 0)
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0
的绝对值是
a ? ? 0(a ? 0)
??a(a ? 0)
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两个绝对值不等式:|
x |? a(a ? 0) ? ?a ? x ? a ；| x |? a(a ? 0) ? x ? ?a 或 x ? a
2 乘法公式：
⑴平方差公式：
a2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b)
⑵立方差公式：
a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )
⑶立方和公式：
a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )
⑷完全平方公式：
(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ，
(a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc
⑸完全立方公式：
(a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3
3 分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是
1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为
⑶关于方程
ax ? b 解的讨论
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a ? 0 时，方程有唯一解
a ? 0 ， b ? 0 时，方程无解
a ? 0 ， b ? 0 时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组
（1）不等式：
①用符不等号（>、≠、 r 时，直线和圆相离，如圆O
；当圆心到直线的距离
d = r 时，直
线和圆相切，如圆O
；当圆心到直线的距离
中点，求弦
BD 的长度。
Q B>>D ? >>AD,O 是圆心，?OD
? B, BE ? AE ? AB ? 3cm.
在 RtVBOE 中，OB=5cm,BE=3cm,?OE
OB2 ? BE 2 ? 4cm.
? 5cm,?DE ?1cm.
在 RtVBDE 中，BE=3cm,DE=1cm,?BD
已知圆的两条平行弦的长度分别为
6 ，且这两条线
3.求这个圆的半径.
设圆的半径为
r ，分两种情况（如图
在两条平行线的外侧，
如图（1），AB=6，CD=
- ON = 3 ，得
r 2 - 9 - r 2 - 24 = 3，解得 r = 5.
在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD=
r 2 - 9 + r 2 - 24 = 3 ，无解.
综合得，圆的半径为
半径分别为
R,r(R ? r) ，它们可能有哪几种位置关系？
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3.3-7，两圆的圆心距为O1O2
，不难发现：当O1O2
? R ? r 时，两圆
相内切，如图（1）；当O1O2
? R ? r 时，两圆相外切，如图（2）；当
O1O2 ? R ? r 时，两圆相内含，如图（3）；当
R ? r ? O1O2 ? R ? r 时，两圆相交，
如图（4）；当O1O2
? R ? r 时，两圆相外切，如图（5）.
的半径分别为
3 和 2，O1O2
? 4 ， A, B 为两圆的
交点，试求两圆的公共弦
AB 的长度.
连 AB 交O1O2 于C
则O1O2 ? AB ，且C
为 AB 的中点，
设 AC ? x ，则O
9 ? x2 ,O C ? 4 ? x2 ,
9 ? x2 ? 4 ? x2 ? 4 ，解得 x ?
3.3-9，⊙O
AB=30cm，AB
所对的劣弧和优弧的中点
D、C，求弦
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2.已知四边形
ABCD 是⊙O
的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm,
5cm，求梯形
3.3-10，⊙O
CD 相交于点
AE ?1cm, EB ? 5cm,?DEB ? 60o , 求 CD 的长。
4．若两圆的半径分别为
3 和 8，圆心距为
13，试求两圆的公切线的长度.
在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个
条件的所有点组成的.例如，把长度为
r 的线段的一个端点固定，另一个端点绕
这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于
同时，到定点的距离等于
r 的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离
r 的点的轨迹.
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨
迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图
形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，
符合条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的
我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反
过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有
下面的轨迹：
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.
过两个已知点
A 、 B ，圆心O
的轨迹是什么？画出它的图形.
3.3-11，如果以点O
为圆心的圆经过点
A 、 B ，那么OA
过来，如果一个点O
到 A 、 B 两点距离相等，即OA
= OB ，那么以O
OA 为半径的圆一定经过
A 、 B 两点.
这就是说，过
A 、 B 点的圆的圆心的轨迹，就是到
A 、 B 两点距离相等的
点的轨迹，即和线段
AB 两个端点距离相等的点的轨迹.
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A 、 B 两点的圆的圆心
O 的轨迹是线段
AB 的垂直平分线.
1．画图说明满足下列条件的点的轨迹：
A 的距离等于3cm
的点的轨迹；
的距离等于
2cm 的点的轨迹；
AB // CD ，到
的距离相等的点的轨迹.
2．画图说明，到直线l
的距离等于定长
d 的点的轨迹.
1． 已知弓形弦长为
4，弓形高为
1，则弓形所在圆的半径为（
2． 在半径等于
4 的圆中，垂直平分半径的弦长为（
3． AB 为⊙O
的直径，弦
为垂足，若
BE=6，AE=4，则
3.3-12，在⊙O
AB 延长线上的一点，已知
OB=10cm,OE=12cm，
? 30o , 求 AB。
3.3-13，已知在
? 90o , AC ? 5cm, BC ?12cm, 以 C 为圆心，
为半径的圆交斜边于
3.3-14，在直径为
的半圆铁片上切去一块高为
的弓形铁片，求
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3.3-15，VABC
内接于⊙O，D
B>>C 的中点，
于 E。求证：AD
3.3-16， ?AOB
? 90o ，C、D
是 >>AB 的三等分点，AB
E、F，求证：AE=BF=CD。
5． 已知线段
AB = 4cm .画出到点
A 的距离等于
3cm 的点的轨迹，再画出到点
2cm 的点的轨迹，指出到点
A 的距离等于
3cm ，且到点
B 的距离等于
2cm 的点，
这样的点有几个？
CM，MD，则
C，O，M，D
172 ?152 ? 8,CM ? 25, DM ? 9, AC ? 5 34cm, BD ? 3 34cm
的距离分别为
3cm,4cm，梯形的高为
7cm，梯形的面积为
3cm，OE=2cm.,OF=
4.外公切线长为
12，内公切线长为
1.(1)以 A 为圆心，3cm
为半径的圆；（2）与
l 平行，且与
2cm 的两条平行线；
AB 平行，且与
AB,CD 距离相等的一条直线.
2.两条平行直线，图略.
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于 M，AB=13cm,
2.AB=120cm.
? 75o , 再证 AE=BF=AC=CD.
2 个，图略.
?4a ? 5, a ? ?2,
n ? ?1? a , ? 2 ? a ?1,
??2a ? 2, a ?1.
1．解下列不等式：
（1）3x2－x－4＞0；
（2）x2－x－12≤0；
（3）x2＋3x－4＞0；
（4）16－8x＋x2≤0．
x 的不等式
x2＋2x＋1－a2≤0（a
为常数）．
1．解下列方程组：
?(x ? 3)2 ? y2 ? 9,
?x ? 2y ? 0;
?x ? y ? 2 ? 0;
??x2 ? y2 ? 4,
??x ? y ? 2.
2．解下列不等式：
（1）3x2－2x＋1＜0；
（2）3x2－4＜0；
（3）2x－x2≥－1；
（4）4－x2≤0．
1． m 取什么值时,方程组
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?y ? 2x ? m
有一个实数解?并求出这时方程组的解．
x 的不等式
x2－(1＋a)x＋a＜0（a
为常数）．
1．已知关于
2x2＋bx－c＞0
x＜－1，或
x＞3．试解关于
x 的不等式
bx2＋cx＋4≥0．
2．试求关于
y＝－x2＋mx＋2
在 0≤x≤2 上的最大值
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衔接知识点的专题强化训练
数与式的运算
【要点回顾】
[1]绝对值的代数意义：
[2]绝对值的几何意义：
[3]两个数的差的绝对值的几何意义：
a ? b 表示
[4]两个绝对值不等式:|
x |? a(a ? 0) ?
| x |? a(a ? 0) ?
2．乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
[1]平方差公式：
[2]完全平方和公式：
[3]完全平方差公式：
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
1] (a ? b ? c)2 ?
? a3 ? b3 (立方和公式)
(立方差公式)
说明:上述公式均称为“乘法公式”．
a(a ? 0) 叫做二次根式，其性质如下：
[2]平方根与算术平方根的概念：
a 的平方根，记作
x ? ? a(a ? 0) ，其中
a (a ? 0) 叫做 a 的算术平方根．
[3]立方根的概念：
a 的立方根，记为
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[1]分式的意义
的式子，若
B 中含有字母，且
B ? 0 ，则称
为分式．当
具有下列性质：
的分子、分母中至少有一个是分式时，
就叫做繁分式，如
说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
[3]分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分
子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都
乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
【例题选讲】
解下列不等式：（1）
x ?1 ? x ? 3 ＞4．
(x2 ? 2x ?
(a ? 2)(a ? 2)(a4 ? 4a2 ?16)
（4） (x2 ? 2xy ? y2 )(x2 ? xy ? y2 )2
x2 ? 3x ?1 ? 0 ，求 x3 ? 的值．
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已知 a ? b ? c ? 0 ，求 a( ? ) ? b( ? ) ? c( ? ) 的值．
计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
(1? x)2 ? (2 ? x)2
x3 ? y3 的值．
x2 ? 3x ? 9 6x
化简：（1）
9x ? x 6 ? 2x
（1）解法一：原式=
x(x ?1) x ?1
(x ?1)(x ?1)
解法二：原式=
（2）解：原式=
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x2 ? 3x ? 9
(x ? 3)(x2 ? 3x ? 9) x(9 ? x2 ) 2(3? x) x ? 3 (x ? 3)(x ? 3) 2(x ? 3)
2(x ? 3) ?12 ? (x ?1)(x ? 3) ?(x ? 3)2 3? x
2(x ? 3)(x ? 3)
2(x ? 3)(x ? 3) 2(x ? 3)
分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解
再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．
【巩固练习】
1． 解不等式
x ? 3 ? x ? 2 ? 7
x2 ? xy ? y2
2． 设 x ?
，求代数式
3． 当 3a ? ab ? 2b ? 0(a ? 0,b ? 0) ，求 ? ?
4． 设 x ?
x ? x ? 2x ?1的值．
5． 计算 (x ? y ? z)(?x ? y ? z)(x ? y ? z)(x ? y ? z)
6．化简或计算：
(1) ( 18 ? 4
? 2 ? (2 ? 5)2 ?
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【要点回顾】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式
运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完
全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．
常用的乘法公式：
[1]平方差公式：
[2]完全平方和公式：
[3]完全平方差公式：
[4] (a ? b ? c)2 ?
[5] a3 ? b3 ?
(立方和公式)
[6] a3 ? b3 ?
(立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上
述公式可以进行因式分解．
2．分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对
于四项以上的多项式，如
ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提
取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解
法．分组分解法的关键在于如何分组．
常见题型：（1）分组后能提取公因式
（2）分组后能直接运用公式
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3．十字相乘法
x2 ? ( p ? q)x ? pq 型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是
1；②常数项是两个数
之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．
x2 ? ( p ? q)x ? pq ? x2 ? px ? qx ? pq ? x(x ? p) ? q(x ? p) ? (x ? p)(x ? q) ，
x2 ? ( p ? q)x ? pq ? (x ? p)(x ? q)
运用这个公式，可以把某些二次项系数为
1 的二次三项式分解因式．
（2）一般二次三项式
ax2 ? bx ? c 型的因式分解
由 a1a2 x ? (a1c2 ? a2c1)x ? c1c2 ? (a1x ? c1)(a2 x ? c2 ) 我们发现，二次项系数 a 分解成
1 ? 1 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，
a1,a2 ,c1,c2
a1c2 ? a2c1 ，如果它正好等于
? bx ? c 的一次项系数
? bx ? c 就可
(a1x ? c1)(a2 x ? c2 ) ，其中 a1,c1 位于上一行， a2 ,c2 位于下一行．这种借助画十
字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能
确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
4．其它因式分解的方法
其他常用的因式分解的方法：（1）配方法
（2）拆、添项法
【例题选讲】
（公式法）分解因式：(1)
3a3b ?81b4 ；(2) a7 ? ab6
（分组分解法）分解因式：（1）
ab(c2 ? d 2 ) ? (a2 ? b2 )cd
2x2 ? 4xy ? 2y2 ?8z2
（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)
x2 ? 5x ? 24
(2) x2 ? 2x ?15
(3) x2 ? xy ? 6y2
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(x2 ? x)2 ?8(x2 ? x) ?12
解：（1）Q
? 24 ? (?3)?8,(?3) ? 8 ? 5
? x2 ? 5x ? 24 ? [x ? (?3)](x ? 8) ? (x ? 3)(x ? 8)
?15 ? (?5)?3,(?5) ? 3 ? ?2
? x2 ? 2x ?15 ? [x ? (?5)](x ? 3) ? (x ? 5)(x ? 3)
（3）分析：把
x2 ? xy ? 6y2 看成 x 的二次三项式，这时常数项是
?6y2 ，一次项系数
y ，把 ?6y2 分解成
3y 与 ?2y 的积，而
3y ? (?2y) ? y ，正好是一次项系数．
x2 ? xy ? 6y2 ? x2 ? yx ? 62 ? (x ? 3y)(x ? 2y)
由换元思想，只要把
x2 ? x 整体看作一个字母
a ，可不必写出，只当作分解二次
a2 ?8a ?12 ．解：
(x2 ? x)2 ?8(x2 ? x) ?12 ? (x2 ? x ? 6)(x2 ? x ? 2)
? (x ? 3)(x ? 2)(x ? 2)(x ?1)
（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 12x2
? 5x ? 2 ；(2) 5x2 ? 6xy ?8y2
解：(1) 12x
? 5x ? 2 ? (3x ? 2)(4x ?1)
? 6xy ?8y ? (x ? 2y)(5x ? 4y)
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是
1 时较困难，具体分
解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”
，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负
（拆项法）分解因式
x3 ? 3x2 ? 4
【巩固练习】
1．把下列各式分解因式：
(1) ab(c2 ? d 2 ) ? cd(a2 ? b2 )
(2) x2 ? 4mx ? 8mn ? 4n2
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(3) x4 ? 64
(4) x3 ?11x2 ? 31x ? 21
x3 ? 4xy2 ? 2x2 y ? 8y3
a ? b ? ,ab ? 2 ，求代数式
a2b ? 2a2b2 ? ab2 的值．
3．现给出三个多项式，
x 2 ? x ?1， x 2 ? 3x ?1，
x 2 ? x ，请你选择其中两个进行
加法运算，并把结果因式分解.
a ? b ? c ? 0 ，求证： a3 ? a2c ? b2c ? abc ? b3 ? 0 ．
一元二次方程根与系数的关系
【要点回顾】
1．一元二次方程的根的判断式
一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ，用配方法将其变形为：
由于可以用
b2 ? 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把
b2 ? 4ac 叫做
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一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根的判别式，表示为：
? ? b2 ? 4ac
对于一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
时，方程有两个不相等的实数根：
时，方程有两个相等的实数根：
时，方程没有实数根．
2．一元二次方程的根与系数的关系
定理：如果一元二次方程
ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为 x1, x2 ，那么：
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把
此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是
特别地，对于二次项系数为
1 的一元二次方程
x ＋px＋q＝0，若
x1，x2 是其两根，由韦
达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即
p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程
x ＋px＋q＝0
x －(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于
x1，x2 是一元二次方程
x ＋px＋q＝0
的两根，所以，x1，x2
也是一元二次方程
x －(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有
x1，x2 为根的一元二次方程（二次项系数为
x －(x1＋x2)x＋x1·x2＝
【例题选讲】
x 的一元二次方程
3x2 ? 2x ? k ? 0 ，根据下列条件，分别求出
k 的范围：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根
（3）方程有实数根；
（4）方程无实数根．
x 、 y 满足 x2 ? y2 ? xy ? 2x ? y ?1 ? 0 ，试求 x 、 y 的值．
若 x1, x2 是方程 x ? 2x ? 2007 ? 0 的两个根，试求下列各式的值：
(1) x1 ? x2 ；
(3) (x1 ? 5)(x2 ? 5) ； (4) | x1 ? x2 | ．
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x1, x2 是一元二次方程
? 4kx ? k ?1 ? 0 的两个实数根．
(1) 是否存在实数
(2x ? x )(x ? 2x ) ? ? 成立？若存在，求出
k 的值；若不存在，
请说明理由．
1 ? 2 ? 2 的值为整数的实数
k 的整数值．
假设存在实数
(2x ? x )(x ? 2x ) ? ? 成立．∵
一元二次方程
4kx2 ? 4kx ? k ?1 ? 0 的两个实数根，∴
x , x 是一元二次方程
?? ? (?4k) ? 4?4k(k ?1) ? ?16k ? 0
?x1 ? x2 ?1
4kx ? 4kx ? k ?1 ? 0 的两个实数根，∴
(2x1 ? x2 )(x1 ? 2x2 ) ? 2(x1 ? x2 ) ? 5x1x2 ? 2(x1 ? x2 ) ? 9x1x2
∴不存在实数
(2x ? x )(x ? 2x ) ? ? 成立．
1 ? 2 ? 2 ? 1
要使其值是整数，只需
4 整除，故
k ?1 ? ?1,?2,?4 ，注意到
k ? 0 ，要使
1 ? 2 ? 2 的值为整数的实数
k 的整数值为
?2,?3,?5．
【巩固练习】
x1, x2 是方程 2x
? 6x ? 3 ? 0 的两个根，则
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t 是一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根，则判别式
? ? b2 ? 4ac 和完全平方
? (2at ? b)2 的关系是(
D．大小关系不能确定
x1, x2 是方程 x
? px ? q ? 0 的两实根，
x1 ?1, x2 ?1是关于 x 的方程
x2 ? qx ? p ? 0 的两实根，则
p = ___ __ ， q = _
4．已知实数
a,b,c 满足
a ? 6 ? b,c2 ? ab ? 9 ，则 a = ___ __ ， b = _____ ， c = _____
5．已知关于
x2 ? 3x ? m ? 0 的两个实数根的平方和等于
11，求证：关于
程 (k ? 3)x2 ? kmx ? m2 ? 6m ? 4 ? 0 有实数根．
x1, x2 是关于 x 的方程
x ? (2k ?1)x ? k ?1 ? 0 的两个实数根，且
x1, x2 都大于 1．
(1) 求实数
k 的取值范围；(2) 若
平面直角坐标系、一次函数、反比例函数
【要点回顾】
1．平面直角坐标系
组成平面直角坐标系。
x 轴或横轴，
y 轴或纵轴，
x 轴与 y 轴统称坐标轴，他们的公共原点
o 称为直角坐标系的原点。
[2] 平面直角坐标系内的对称点：
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对称点或对称直线方程
对称点的坐标
2．函数图象
[1]一次函数：
称 y 是 x 的一次函数，记为：
y ? kx ? b (k、
b 是常数，k≠0)
特别的，当
b =0 时，称
y 是 x 的正比例函数。
[2] 正比例函数的图象与性质：函数
y=kx(k 是常数，k≠0)的图象是
时，图象过原点及第一、第三象限，y
x 的增大而
图象过原点及第二、第四象限，y
随 x 的增大而
一次函数的图象与性质：函数
y ? kx ? b (k、b 是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且
y=kx 平行的一条直线.设
y ? kx ? b (k≠0)，则当
x 的增大而
x 的增大而
[4]反比例函数的图象与性质：函数
(k≠0)是双曲线，当
时，图象在第一、第
三象限，在每个象限中，y
随 x 的增大而
时，图象在第二、第四象限.，
在每个象限中，y
x 的增大而
．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线
y ? ?x ；又是中心对称图形，对称中心是原点．
【例题选讲】
A?2 , y1 ?、 B?x2 , ? 3?，根据下列条件，求出
A 、 B 点坐标．
A 、 B 关于
x 轴对称；(2)
y 轴对称；(3)
A 、 B 关于原点对称．
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2 已知一次函数
的图象过第一、二、三象限且与
轴分别交于
A 、 B 两点，
O 为原点，若
ΔAOB 的面积为
2，求此一次函数的表达式。
3 如图，反比例函数
的图象与一次函数
y ? mx ? b 的图象交于
A(1，3) ，
B(n，?1) 两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当
x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
解：（1）Q
A(1，3) 在 y ? 的图象上，?k
? 3 ，? y ?
B(n，?1) 在 y ?
?3 ? m ? b
图象上，?n
? ?3 ，即 B(?3，?1)
b ? 2 ， 反比例函
??1 ? ?3m ? b，
数的解析式为
，一次函数的解析式为
y ? x ? 2 ，
（2）从图象上可知，当
x ? ?3 或 0 ? x ?1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，
所以反比例函数的值大于一次函数的值。
【巩固练习】
y ? kx ? m 与 y ? (m ? 0) 在同一坐标系内的图象可以是（
2．如图，平行四边形
ABCD 中，A
在坐标原点，D
在第一象限角平分线上，又知
2 ，求 B , C , D 点的坐标．　
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3．如图，已知直线
x 与双曲线
(k ? 0) 交于 A，B
两点，且点
A 的横坐标
（2）过原点
O 的另一条直线
l 交双曲线
(k ? 0) 于 P，Q
P 点在第一象限），
P 为顶点组成的四边形面积为
P 的坐标．
【要点回顾】
1． 二次函数
y＝ax2＋bx＋c
的图像和性质
y＝x2 的图象之间存在怎样的关系？
y＝a(x＋h)2＋k
与 y＝ax2 的图象之间存在怎样的关系？
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋
x )＋c＝a(x2＋
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数
ax2 的图象作左右平移、上下平移得到的，
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
[1]当 a＞0
y＝ax2＋bx＋c
图象开口方向
；顶点坐标为
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，对称轴为直线
x 的增大而
x 的增大而
时，函数取最小值
[2]当 a＜0
y＝ax2＋bx＋c
图象开口方向
；顶点坐标为
对称轴为直线
x 的增大而
x 的增大而
时，函数取最大值
上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问图 2.2-3 图 2.2-4
题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
2．二次函数的三种表示方式
[1]二次函数的三种表示方式：
（1）．一般式：
（2）．顶点式：
（3）．交点式：
说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式
设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设
如下三种形式：
①给出三点坐标可利用一般式来求；
②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．
③给出三点，其中两点为与
x 轴的两个交点
(x1 ,0) . (x2 ,0) 时可利用交点式来求．
3．分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫
作分段函数．
【例题选讲】
求二次函数
y＝－3x2－6x＋1
图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最
小值），并指出当
x 取何值时，y
随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
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某种产品的成本是
120 元/件，试销阶段每件产品的售价
x（元）与产品的日销售量
y（件）之间关系如下表所示：
若日销售量
y 是销售价
x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品
的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
y ? x2 , ? 2 ? x ? a ，其中 a ? ?2 ，求该函数的最大值与最小值，并求出
函数取最大值和最小值时所对应的自变量
根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知某二次函数的最大值为
2，图像的顶点在直线
上，并且图象经过点
（3，－1）；
（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到
x 轴的距离等于
（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．
在国内投递外埠平信，每封信不超过
20g 付邮资
80 分，超过
20g 不超过
160 分，超过
40g 不超过
60g 付邮资
240 分，依此类推，每封
xg(0＜x≤100)的信应付
多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．
分析：由于当自变量
x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可
以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当
x 在各个小范围内
20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是
160 分）．
解：设每封信的邮资为
y（单位：分），则
y 是 x 的函数．这个函数的解析式为
x ?(20,40]
y ? ?240, x ?(40,60]
x ?(60,80]
??400, x ?(80,100]
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由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示．
【巩固练习】
1．选择题：
（1）把函数
y＝－(x－1)2＋4
的图象的顶点坐标是
（A）（－1，4）
（B）（－1，－4）
（C）（1，－4）
（D）（1，4）
y＝－x2＋4x＋6
的最值情况是
（A）有最大值
（B）有最小值
（C）有最大值
（D）有最大值
y＝2x2＋4x－5
中，当－3≤x＜2
y 值的取值范围是
（A）－3≤y≤1
（B）－7≤y≤1
（C）－7≤y≤11
（D）－7≤y＜11
（1）已知某二次函数的图象与
A(－2，0)，B(1，0)，且过点
C（2，4），则该
二次函数的表达式为
（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式
3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点
?1），B（1，0），C（
（2）已知抛物线的顶点为（1，
?3 ），且与
y 轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与
x 轴交于点
M（ ?3 ，0），（5，0），且与
y 轴交于点（0，
（4）已知抛物线的顶点为（3，
?2 ），且与
x 轴两交点间的距离为
4．如图，某农民要用
12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他
圈养小鸡．已知墙的长度为
6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？
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5．如图所示，在边长为
2 的正方形
ABCD 的边上有一个动点
A 出发沿折线
动一周后，回到
A 点．设点
A 移动的路程为
（1）求函数
y 的解析式；
（2）画出函数
y 的图像；
（3）求函数
y 的取值范围．
图 2.2－10
二次函数的最值问题
【要点回顾】
1．二次函数
y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最值．
二次函数在自变量
x 取任意实数时的最值情况(当
a ? 0 时，函数在
，无最大值；当
a ? 0 时，函数在
处取得最大值
2．二次函数最大值或最小值的求法．
第一步确定
a 的符号，a＞0
有最小值，a＜0
有最大值；
第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
3．求二次函数在某一范围内的最值．
y ? ax2 ? bx ? c 在 m ? x ? n （其中 m ? n ）的最值．
第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：
第二步：讨论：
[1]若 a ? 0 时求最小值或
a ? 0 时求最大值，需分三种情况讨论：
①对称轴小于
m 即 x0 ? m ，即对称轴在
m ? x ? n 的左侧；
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m ? x0 ? n ，即对称轴在
m ? x ? n 的内部；
③对称轴大于
n 即 x0 ? n ，即对称轴在
m ? x ? n 的右侧。
[2] 若 a ? 0 时求最大值或
a ? 0 时求最小值，需分两种情况讨论：
，即对称轴在
m ? x ? n 的中点的左侧；
，即对称轴在
m ? x ? n 的中点的右侧；
说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位
置，具体情况，参考例
【例题选讲】
1 求下列函数的最大值或最小值．
y ? 2x 2 ? 3x ? 5；
（2） y ? ?x 2 ? 3x ? 4 ．
2 当1? x ? 2 时，求函数
y ? ?x2 ? x ?1的最大值和最小值．
3 当 x ? 0 时，求函数
y ? ?x(2 ? x) 的取值范围．
4 当 t ? x ? t ?1时，求函数
x2 ? x ? 的最小值(其中
t 为常数)．
分析：由于
x 所给的范围随着
t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对
x2 ? x ? 的对称轴为
x ?1．画出其草图．
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(1) 当对称轴在所给范围左侧．即
t ?1时：当
x ? t 时， y
t 2 ? t ? ；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即
t ?1? t ?1? 0 ? t ?1时：
当 x ?1时，
当对称轴在所给范围右侧．即
t ? 0 时：当 x ? t ?1时，
(t ?1)2 ? (t ?1) ? ? t 2 ? 3 ．
t 2 ? 3,t ? 0
综上所述：
y ? ??3,0 ? t ?1
? t 2 ? t ? ,t ?1
5 某商场以每件
30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量
与每件的销售价
x (元)满足一次函数
m ?162 ? 3x,30 ? x ? 54 ．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润
y 与每件销售价
x 之间的函数关系式；
若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售
利润为多少？
【巩固练习】
y ? x2 ? (m ? 4)x ? 2m ? 3 ，当 m = _____ 时，图象的顶点在
y 轴上；当
_____ 时，图象的顶点在
x 轴上；当
m = _____ 时，图象过原点．
2．用一长度为
l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为
a ? 0 ，当 ?1?
x ?1时，函数
y ? ?x2 ? ax ? b ?1的最小值是
?4 ，最大值是
a,b 的值．
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4．已知函数
y ? x2 ? 2ax ?1在 ?1? x ? 2 上的最大值为
x 的二次函数
y ? x2 ? 2tx ?1在 ?1? x ?1上的最大值(
t 为常数)．
【要点回顾】
1．一元二次不等式及其解法
[1]定义：形如
x 的一元二
次不等式．
[2]一元二次不等式
ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 与二次函数
y ? ax2 ? bx ? c
(a ? 0) 及一元二
ax2 ? bx ? c ? 0 的关系(简称：三个二次)．
（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如
(1) 将二次项系数先化为正数；
(2) 观测相应的二次函数图象．
①如果图象与
x 轴有两个交点
(x1,0),(x2 ,0) ，此时对应的一元二次方程有两个不相等
x1, x2 (也可由根的判别式
? ? 0 来判断) ．则
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②如果图象与
x 轴只有一个交点
,0) ，此时对应的一元二次方程有两个相等的实
(也可由根的判别式
? ? 0 来判断) ．则：
③如果图象与
x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根
(也可由根的判别
式 ? ? 0 来判断) ．则：
（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：
(1) 化二次项系数为正；
(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根
x1, x2 ．那么“
? 0 ”型的
x ? x1或x ? x2 (俗称两根之外)；“
? 0 ”型的解为
x1 ? x ? x2 (俗称两根之间)；
否则，对二次三项式进行配方，变成
ax2 ? bx ? c ? a(x ? )2 ?
合完全平方式为非负数的性质求解．
2．简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应
当注意分母不为零.
3．含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为
ax ? b 的形式．
[1]当 a ? 0 时，不等式的解为：
[2]当 a ? 0 时，不等式的解为：
[3]当 a ? 0 时，不等式化为：
0? x ? b ；
b ? 0 ，则不等式的解是全体实数；② 若
b ? 0 ，则不等式无解．
【例题选讲】
解下列不等式：(1)
x2 ? x ? 6 ? 0
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(x ?1)(x ? 2) ? (x ? 2)(2x ?1)
?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0
⑴解法一：原不等式可以化为：
(x ? 3)(x ? 2) ? 0 ，于是： ?
?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0
x ? ?3或x ? 2 所以，原不等式的解是
x ? ?3或x ? 2 ．
解法二：解相应的方程
x ? x ? 6 ? 0 得： x1 ? ?3, x2 ? 2 ，所以原不等式的解是
x ? ?3或x ? 2 ．
(2) 解法一：原不等式可化为：
?x2 ? 4x ? 0 ，即 x2 ? 4x ? 0 ? x(x ? 4) ? 0 于是：
x ? 0 x ? 4 ，所以原不等式的解是
x ? 0或x ? 4 ．
?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0
解法二：原不等式可化为：
?x2 ? 4x ? 0 ，即 x2 ? 4x ? 0 ，解相应方程
? 4x ? 0 ，得 x1 ? 0 , x2 ? 4 ，所以原不等式的解是
x ? 0或x ? 4 ．
说明：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数
的图象判断出不等式的解．
解下列不等式：(1)
x2 ? 2x ?8 ? 0
(2) x2 ? 4x ? 4 ? 0
x2 ? x ? 2 ? 0
已知对于任意实数
x ， kx2 ? 2x ? k 恒为正数，求实数
k 的取值范围．
解下列不等式：
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x 的不等式
m2 x ? 2 ? 2mx ? m 的解．
解：原不等式可化为：
m(m ? 2)x ? m ? 2
(1) 当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时，
mx ?1，不等式的解为
(2) 当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时，
0 ? m ? 2 时，不等式的解为
m ? 0 时，不等式的解为
m ? 0 时，不等式的解为全体实数．
(3) 当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时，不等式无解．
综上所述：当
m ? 0 或 m ? 2 时，不等式的解为
0 ? m ? 2 时，不等式的解为
m ? 0 时，不等式的解为全体实数；当
m ? 2 时，不等式无解．
【巩固练习】
1．解下列不等式：
(1) 2x2 ? x ? 0
(2) x2 ? 3x ?18 ? 0
(3) ?x2 ? x ? 3x ?1
(4) x(x ? 9) ? 3(x ? 3)
2．解下列不等式：
2x2 ? x ?1
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3．解下列不等式：
(1) x2 ? 2x ? 2x2 ? 2
x 的不等式
(m ? 2)x ?1? m ．
5．已知关于
x 的不等式
mx2 ? x ? m ? 0 的解是一切实数，求
m 的取值范围．
6．若不等式
x ? 3 ，求 k 的值．
7． a 取何值时，代数式
(a ?1)2 ? 2(a ? 2) ? 2 的值不小于 0？
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● 各专题参考答案 ●
专题一数与式的运算参考答案
1 （1）解法
x ? 2 ? 0 ，得 x ? 2 ；
x ? 2 ，不等式可变为
x ? 2 ?1，即
x ? 3 ； ②若
x ? 2 ，不等式可变为
?(x ? 2) ?1，
即 ?x ? 2 ?1，解得：
x ?1．综上所述，原不等式的解为1?
x ? 2 表示 x 轴上坐标为
x 的点到坐标为
2 的点之间的距离，所以不等式
x ? 2 ?1的几何意义即为
x 轴上坐标为
x 的点到坐标为
2 的点之间的距离小于
轴可知坐标为
x 的点在坐标为
3 的点的左侧，在坐标为
1 的点的右侧．所以原不等式的解
3： x ? 2 ?1 ? ?1? x ? 2 ?1 ? 1? x ? 3 ，所以原不等式的解为1?
（2）解法一：由
x ?1 ? 0 ，得 x ?1；由
x ? 3 ? 0 ，得 x ? 3 ；
x ?1，不等式可变为
?(x ?1) ? (x ? 3) ? 4 ，即 ?2x ? 4 ＞4，解得 x＜0，又
∴x＜0；②若1?
x ? 2 ，不等式可变为
(x ?1) ? (x ? 3) ? 4 ，即 1＞4，∴不存在满足条件
x ? 3 ，不等式可变为
(x ?1) ? (x ? 3) ? 4 ，即 2x ? 4 ＞4，
综上所述，原不等式的解为
解法二：如图，
x ?1 表示 x 轴上坐标为
P 到坐标为
1 的点 A 之间的距离|PA|，即
|PA|＝|x－1|；|x－3|表示
P 到坐标为
B 之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－
所以，不等式
x ?1 ? x ? 3 ＞4 的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，x
0)的左侧、或点
4)的右侧．
所以原不等式的解为
图 1．1－1
2（1）解：原式=[x2
? (? 2x) ? ]2
? (x2 )2 ? (? 2x)2 ? ( )2 ? 2x2 (? 2)x ? 2x2 ? ? 2? ?(? 2x)
? x4 ? 2 2x3 ?
说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
（2）原式=
m)3 ? ( n)3 ?
（3）原式=
(a2 ? 4)(a4 ? 4a2 ? 42 ) ? (a2 )3 ? 43 ? a6 ? 64
（4）原式=
(x ? y)2 (x2 ? xy ? y2 )2 ? [(x ? y)(x2 ? xy ? y2 )]2
? (x3 ? y3 )2 ? x6 ? 2x3 y3 ? y6
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例 3 解：Q x2 ? 3x ?1 ? 0
原式= (x ? )(x2 ?1? ) ? (x ? )[(x ? )2 ? 3] ? 3(32 ? 3) ?18
例 4 解：Q a ? b ? c ? 0,?a ? b ? ?c,b ? c ? ?a,c ? a ? ?b
a ? b a(?a) b(?b) c(?c)
a2 ? b2 ? c2
Q a3 ? b3 ? (a ? b)[(a ? b)2 ? 3ab] ? ?c(c2 ? 3ab) ? ?c3 ? 3abc
?a3 ? b3 ? c3 ? 3abc
②，把②代入①得原式= ?
例 5 解：（1）原式=
(2 ? 3)(2 ? 3) 22 ? 3
?(x ?1) ? (x ? 2) ? 2x ? 3
（2）原式=| x ?1| ? | x ? 2 |? ?
?(x ?1) ? (x ? 2) ?1 (1? x ? 2)
说明：注意性质
a2 ?| a | 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的
取值分类讨论．
（3）原式=
（4） 原式=
x ? x2 ? 2? 22 x ? 2x ? x x ? 2 2x ? 3 2x ? x x
2 ? 3 (2 ? 3)2
例 6 解： x ?
? 7 ? 4 3, y ? 7 ? 4 3 ?
x ? y ?14, xy ?1
原式= (x ? y)(x2 ? xy ? y2 ) ? (x ? y)[(x ? y)2 ? 3xy] ?14(142 ? 3) ? 2702
说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据
结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．
【巩固练习】
1． ?4 ? x ? 3
3． ?3 或 2 4． 3?
5． ?x4 ? y4 ? z4 ? 2x2 y2 ? 2x2 z2 ? 2y2 z2
?1?? 3, ?2? , ?3?
, ?4? b ? a
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专题二因式分解答案
例 1 分析：(1)
中应先提取公因式再进一步分解；(2)
中提取公因式后，括号内出现
a6 ? b6 ，可看着是 (a3 )2 ? (b3 )2 或 (a2 )3 ? (b2 )3 ．
3a3b ?81b4 ? 3b(a3 ? 27b3 ) ? 3b(a ? 3b)(a2 ? 3ab ? 9b2 ) ．
a7 ? ab6 ? a(a6 ? b6 ) ? a(a3 ? b3 )(a3 ? b3 )
? a(a ? b)(a2 ? ab ? b2 )(a ? b)(a2 ? ab ? b2 )
? a(a ? b)(a ? b)(a2 ? ab ? b2 )(a2 ? ab ? b2 )
例 2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再
分解因式．
ab(c2 ? d 2 ) ? (a2 ? b2 )cd ? abc2 ? abd 2 ? a2cd ? b2cd
? (abc2 ? a2cd) ? (b2cd ? abd 2 )
? ac(bc ? ad) ? bd(bc ? ad) ? (bc ? ad)(ac ? bd)
（2）分析：先将系数
2 提出后，得到
x2 ? 2xy ? y2 ? 4z2 ，其中前三项作为一组，它是一
个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
2x2 ? 4xy ? 2y2 ?8z2 ? 2(x2 ? 2xy ? y2 ? 4z2 )
? 2[(x ? y)2 ? (2z)2 ] ? 2(x ? y ? 2z)(x ? y ? 2z)
x3 ? 3x2 ? 4 ? (x3 ?1) ? (3x2 ? 3) ? (x ?1)(x2 ? x ?1) ? 3(x ?1)(x ?1)
? (x ?1)[(x2 ? x ?1) ? 3(x ?1)] ? (x ?1)(x2 ? 4x ? 4) ? (x ?1)(x ? 2)2
【巩固练习】
1． (1) (bc ? ad)(ac ? bd) ; (2) (x ? 4m ? 2n)(x ? 2n) ; (3) (x2 ? 4x ? 8)(x2 ? 4x ? 8);
(4) (x ?1)(x ? 3)(x ? 7) ; (5) (x ? 2y)2 (x ? 2y) ．
3． ( x2 ? x ?1) ? ( x2 ? 3x ?1) ? x2 ? 4x
? x(x ? 4)
其他情况如下：
( x 2 ? x ?1) ? ( x 2 ? x) ? x 2 ?1 ? (x ?1)(x ?1) ；
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x 2 ? 3x ?1) ? ( x 2 ? x) ? x 2 ? 2x ?1 ? (x ?1) 2 .
4． a3 ? a2c ? b2c ? abc ? b3 ? (a2 ? ab ? b2 )(a ? b ? c)
专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案
? ? (?2)2 ? 4?3? k ? 4 ?12k ，∴(1)
4 ?12k ? 0 ? k ?
4 ?12k ? 0 ? k ? ；
4 ?12k ? 0 ? k ? ；(4)
4 ?12k ? 0 ? k ? ．
2 解：可以把所给方程看作为关于
x 的方程，整理得：
x2 ? (y ? 2)x ? y2 ? y ?1 ? 0
x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：
? ? [?(y ? 2)]2 ? 4(y2 ? y ?1) ? ?3y2 ? 0 ? y ? 0 ，
代入原方程得：
x2 ? 2x ?1 ? 0 ? x ? ?1．综上知：
x ? ?1, y ? 0
3 解：由题意，根据根与系数的关系得：
x1 ? x2 ? ?2, x1x2 ? ?2007
(1) x1 ? x2 ? (x1 ? x2 ) ? 2x1x2 ? (?2) ? 2(?2007) ? 4018
(3) (x1 ? 5)(x2 ? 5) ? x1x2 ? 5(x1 ? x2 ) ? 25 ? ?2007 ? 5(?2) ? 25 ? ?1972
(4) | x1 ? x2 |? (x1 ? x2 ) ? (x1 ? x2 ) ? 4x1x2 ? (?2) ? 4(?2007) ? 2 2008
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
x1 ? x2 ? (x1 ? x2 ) ? 2x1x2 ， ? ?
， (x1 ? x2 ) ? (x1 ? x2 ) ? 4x1x2 ，
| x1 ? x2 |? (x1 ? x2 ) ? 4x1x2 等等．韦达定理体现了整体思想．
【巩固练习】
p ? ?1,q ? ?3 ；
4． a ? 3,b ? 3,c ? 0 ；
5． m ?1 (1)当
k ? 3时，方程为
3x ?1 ? 0 ，有实根；(2)
当 k ? 3 时， ? ? 0 也有实根．6．(1)
(2) k ? 7 ．
平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案
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1 解：(1)因为
A 、 B 关于
x 轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以
x2 ? 2 ， y1 ? 3 ，则 A?2 , 3?、 B?2 , ? 3?．
A 、 B 关于
y 轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，
x2 ? ?2 ，
y1 ? ?3 ，则 A?2 , ? 3?、 B??2 , ? 3?．
A 、 B 关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以
x2 ? ?2 ， y1 ? 3 ，
A?2 , 3?、 B??2 , ? 3?．
2 分析：因为直线过第一、三象限，所以可知
k>0，又因为
b＝2，所以直线与
（0，2），即可知
2，由此可推算出
OA＝2，而直线过第二象限，
A 点坐标为（－2，0），由
A、B 两点坐标可求出此一次函数的表达式。
与 y 轴交点，∴B（0，2），∴OB＝2，
AO ? BO ? 2 ? AO ? 2
、 Q y ? kx ? 2 ，过第二象限，?
、、、、x、1、、? ?2 y1 ? 0 y ? kx ? 2
k ?1 ? y ? x ? 2
【巩固练习】
D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．
k ? 8 ．（2）点
P 的坐标是
P(2，4) 或 P(8，1) ．
专题五二次函数参考答案
解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线
x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；
y 取最大值
x 的增大而增大；当
x 的增大而减小；
A(－1,4) y
采用描点法画图，选顶点
A(－1，4))，与
x 轴交于点
y 轴的交点为
D(0，1)，过这五点画出图象（如图
2－5 所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选
出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．
分析：由于每天的利润＝日销售量
y×(销售价
x－120)，日销售量
y 又是销售
x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与
x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
y 是 x 的一次函数，于是，设
y＝kx＋（B），将
x＝130，y＝70；x＝150，y＝
?70 ?130k ? b,
50 代入方程，有
k＝－1，b＝200．∴
y＝－x＋200．
?50 ?150k ? b,
设每天的利润为
z（元），则
z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－
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160)2＋1600，
x＝160 时，z
答：当售价为
160 元/件时，每天的利润最大，为
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对
a 的取值进行讨论．
解：（1）当
y＝x2 的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的
最大值和最小值都是
（2）当－2＜a＜0
2．2－6①可知，当
时，函数取最大值
时，函数取最小值
2．2－6②可知，当
时，函数取最大值
时，函数取最小值
2．2－6③可知，当
x＝a 时，函数取最大值
函数取最小值
说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对
a 的所有可能情形进行讨论．此外，本
例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解
决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
4（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从
而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数
解：∵二次函数的最大值为
2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为
顶点在直线
上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数
的解析式为
y ? a(x ? 2)2 ?1(a ? 0) ，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴
?1 ? a(3? 2)2 ?1，解得
∴二次函数的解析式为
y ? ?2(x ? 2)2 ?1，即 y＝－2x2＋8x－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后
设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，
并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数
x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为
y＝a(x＋3)
?12a2 ? 4a2
(x－1) (a≠0)，展开，得
y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为
由于二次函数图象的顶点到
x 轴的距离
2，∴|－4a|＝2，即
．所以，二次函数的
x2 ? x ? ，或
x2 ? x ? ．
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线
又由顶点到
x 轴的距离为
2，可知顶点的纵坐标为
2，或－2，于是，又可以将二次函数的
表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线
x＝－1．又顶
x 轴的距离为
2，∴顶点的纵坐标为
2，或－2．于是可设二次函数为
y＝a(x＋1)2＋
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y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或
0＝a(1＋1)2－
2．∴a＝－
．所以，所求的二次函数为
(x＋1)2＋2，或
说明：上述两种解法分别从与
x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交
点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问
（3）解：设该二次函数为
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，
(2，8)，可得
??22 ? a ? b ? c
a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为
y＝－2x2＋
?8 ? 4a ? 2b ? c
【巩固练习】
2．（1）y＝x2＋x－2
（2）y＝－x2＋2x＋3
y ? 2x 2 ? 2x ?1．（2） y ? 4(x ?1) 2 ? 3 ? 4x 2 ? 8x ?1．
(x ? 3)(x ? 5) ? x 2 ? x ? 3 ．（4） y ? ?x ? 3? ? 2 ? x ? 3x ?
3m 时，矩形的面积最大．
5．（1）函数
f（x）的解析式为
0 ? x ? 2,
2 ? x ? 4,
4 ? x ? 6,
6 ? x ? 8.
图 2.2－11
y 的图像如图所示
（3）由函数图像可知，函数
y 的取值范围是
专题六二次函数的最值问题参考答案
1 分析：由于函数
y ? 2x 2 ? 3x ? 5和 y ? ?x 2 ? 3x ? 4 的自变量 x 的取值范围是全体
实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
解：（1）因为二次函数
y ? 2x 2 ? 3x ? 5中的二次项系数
2＞0，所以抛物线
y ? 2x 2 ? 3x ? 5有最低点，即函数有最小值．因为
y ? 2x 2 ? 3x ? 5= 2(x ? ) 2 ? ，所以
y ? 2x 2 ? 3x ? 5有最小值是 ?
（2）因为二次函数
y ? ?x 2 ? 3x ? 4 中的二次项系数-1＜0，所以抛物线
y ? ?x 2 ? 3x ? 4 有最高点，即函数有最大值．因为
y ? ?x 2 ? 3x ? 4 = ? (x ? ) 2 ? ，所
y ? ?x 2 ? 3x ? 4 有最大值
2 解：作出函数的图象．当
ymin ? ?1，当 x ? 2 时， ymax ? ?5 ．
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说明：二次函数在自变量
x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高
点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量
x 的范围的图象形状各异．下面给出
一些常见情况：
3 解：作出函数
y ? ?x(2 ? x) ? x2 ? 2x 在 x ? 0 内的图象．
可以看出：当
ymin ? ?1，无最大值．所以，当
x ? 0 时，函数的取值范围是
由已知得每件商品的销售利润为
(x ? 30) 元，那么
m 件的销售利润为
y ? m(x ? 30) ，又 m ?162 ? 3x ．
? y ? (x ? 30)(162 ? 3x) ? ?3x2 ? 252x ? 4860,30 ? x ? 54
(2) 由(1)知对称轴为
x ? 42 ，位于
x 的范围内，另抛物线开口向下
x ? 42 时， ymax ? ?3? 42 ? 252? 42 ? 4860 ? 432
?当每件商品的售价定为
42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为
【巩固练习】
3． a ? 2,b ? ?2 ．
4． a ? ? 或 a ? ?1．
t ? 0 时， ymax ? 2 ? 2t ，此时 x ?1；当
t ? 0 时， ymax ? 2 ? 2t ，此时 x ? ?1 ．
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专题七不等式答案
2 解：(1) 不等式可化为
(x ? 2)(x ? 4) ? 0 ∴ 不等式的解是
?2 ? x ? 4
(2) 不等式可化为
(x ? 2)2 ? 0 ∴
不等式的解是
x ? 2 ；(3)
不等式可化为
)2 ? ? 0 ．
3 解：显然
k ? 0 不合题意，于是：
?(?2) ? 4k ? 0
?k ? ?1或k
4 分析：(1)
类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次
不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式
不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．
解法(一)原不等式可化为：
?2x ? 3 ? 0 ?2x ? 3 ? 0
??x ? ?1 ??x ? ?1
解法(二) 原不等式可化为：
(2x ? 3)(x ?1) ? 0 ? ?1? x ? ．
解：原不等式可化为：
?(3x ? 5)(x ? 2) ? 0
?x ? 2 ? 0
x ? ?2或x ? ?
说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为
本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：
?x ? 2 ? 0
?x ? 2 ? 0
?3(x ? 2) ?1
?3(x ? 2) ?1
【巩固练习】
1． (1) ? ? x ? 0
(2) ? 3 ? x ? 6
(4)x ? ?3；
2． (1)x ? ?1或x或?或1
(3)x ? ?2 x ? 0
(4)x ? ? ；
3．(1) 无解
(2) 全体实数
m ? 2 时，
m ? 2 时， x ?
m ? 2 时，
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