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来源：　　作者：王友红;
探究一道希望杯竞赛题　 第二十三届希望杯全国数学邀请赛高一第一试试题中有这样一道最值题:已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8≤5,S11≥23,则a10的最小值为.解法1设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由S8≤5,S11≥23得8a1+28d≤5,11a1+55d≥23.因此,问题转化为以8a1+28d≤5,11a1+55d≥{23为约束条件,a10=a1+9d为目标函数的线性规划问题.作出可行域,易知目标函数a10=a1+9d在点(-)处取得最小值.故a10的最小值为-3;4344=6.点评解法1将线性规划思想应用于数列问题,思路自然,便于理解,不过计算量较大,图也不易画准,很容易出现失误.那么,能否直接运用不等式的相关知识解决此题吗?回答是肯定的.解法2设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由S8≤5,S11≥23得8a1+28d≤5,11a1+55d≥23{,即8(a10-9d)+28d≤5,11(a10-9d)+55d≥23{,整理得8a10-5≤44d,11a10-23≥44d{,所以11a10-23≥44d≥8a10-5,即a10≥6.若a10(本文共计1页)　　　　　　　　　　
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等差数列及其前n项和分析
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等差数列及其前n项和四川阆中东风中学校主讲人：张良茂高考要求：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式。教学重难点：让学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式。教学方法：探究教学教学过程：（一）考纲要求：1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系.（二）自主复习：1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为______(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是，其中A叫做a，b的．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝．(2)前n项和公式：Sn＝＝_______．3．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋(n，m∈N*)．(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则．(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为．(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．4．等差数列的四种判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)?{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)?{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)?{an}是等差数列．(三)互动解疑探究一　等差数列的基本运算(高频考点)(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)A.　　　　　　　　　　　B．C．10D．12(2)(2015·高考安徽卷)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．.(1)(2016·豫东、豫北十所名校联考)已知等差数列{an}中，a5＝13，S5＝35，则公差d＝(　　)A．－2B．－1C．1D．3(2)(2016·九江第一次统考)等差数列{an}中，a1＝，am＝，an＝(m≠n)，则数列{an}的公差为______．探究二　等差数列的性质(1)(2016·济宁模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＋a11＝10，则＝(　　)A．1　　　　　　　　　　　B．2C．－1D．－2(2)数列{an}是等差数列且a1＋a2＋…＋a10＝10，a11＋a12＋…＋a20＝20，则a41＋a42＋…＋a50＝________．　(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)A．0　　　　　　　　　B．37C．100D．－37(2)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．探究三数列的前n项和与最值(2014·高考江西卷)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．（1）若等差数列满足则当n=_______时，的前n项和的值最大。（2）已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为(　　)A．7B．8C．7或8D．8或9探究四　等差数列的判定与证明　已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)．设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}是等差数列．（四）归纳内化：1.等差数列的基本运算2.等差数列的性质3.数列的前n项和与最值4.等差数列的判定与证明（五）应用扩展1.设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝__________．　2.(2016·陕西省五校模拟)等差数列{an}中，如果a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和为(　　)A．297B．144C．99D．663.已知正项数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＋＝2，则a12＝________．4.已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，bn＝，若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围为________．5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝.判断，{an}是否为等差数列，说明你的理由．（1）在等差数列中，设为其前n项和，且,则当n________,1
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所属科目：数学&&&&文件类型：doc类别：试题、练习
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文档内容预览：&& 第二节　等差数列及其前n项和等差数列(1)理解等差数列的概念．(2)掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．(4)了解等差数列与一次函数的关系．知识点一　等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫作a，b的等差中项．?易误提醒　1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．[自测练习]1．现给出以下几个数列：①2,4,6,8，…，2(n－1)，2n；②1,1,2,3，…，n；③常数列a，a，a，…，a；④在数列{an}中，已知a2－a1＝2，a3－a2＝2.其中等差数列的个数为(　　)A．1
D．4解析：①由4－2＝6－4＝…＝2n－2(n－1)＝2，得数列2,4,6,8，…，2(n－1)，2n为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1,1,2,3，…，n不是等差数列；③常数列a，a，a，…，a为等差数列；④当数列{an}仅有3项时，数列{an}是等差数列，当数列{an}的项数超过3项时，数列{an}不一定是等差数列．故等差数列的个数为2.答案：B2．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________.解析：由题意得该等差数列的公式d＝＝，所以c－a＝2d＝.答案：知识点二　等差数列的通项及求和公式等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.?必记结论　1．巧用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．2．前n项和公式Sn＝n2＋n视为关于n的一元二次函数，开口方向由公差d的正负确定；Sn＝中(a1＋an)视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．[自测练习]3．(2016·日照模拟)已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，那么a4＋a5＋a6等于(　　)A．40
B．42C．43
D．45解析：设等差数列公差为d，则有a2＋a3＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，故a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝3×(2＋4×3)＝42，故选B.答案：B4．(2015·兰州诊断)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8＝(　　)A．18
B．36C．54
D．72解析：由S8＝，又a4＋a5＝a1＋a8＝18，∴S8＝＝72.答案：D5．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a2＋a6＝a8，则＝________.解析：在等差数列中，由a2＋a6＝a8得2a1＋6d＝a1＋7d，即a1＝d≠0，所以＝＝＝＝3.答案：3考点一　等差数列的基本运算|1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)A．5
D．11解析：法一：数列{an}为等差数列，设公差为d，∴a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋×d＝5(a1＋2d)＝5.法二：数列{an}为等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝＝5.答案：A2．等差数列{an}中，a1＝，am＝，an＝(m≠n)，则数列{an}的公差d为________．解析：∵am＝＋(m－1)d＝，an＝＋(n－1)d＝，∴(m－n)d＝－，∴d＝，∴am＝＋(m－1)＝，解得＝，即d＝.答案：3．(2015·通州模拟)已知等差数列{an}中，a2＝－2，公差d＝－2，那么数列{an}的前5项和S5＝________.解析：将已知条件代入公式易得S5＝5(a2－d)＋d＝－20.答案：－20等差数列的基本运算的两个解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．　　考点二　等差数列的判断与证明|　已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解]　(1)证明：－＝＝，∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列．(2)由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.等差数列的四种判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.　　1．已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．证明：∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝，∴当n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－，∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．考点三　等差数列的性质及最值|　(1)(2016·泉州质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＋a14＝10，则S18＝(　　)A．20　　　　　　　　　 B．60C．90
D．100[解析]　因为{an}是等差数列，所以S18＝＝9(a5＋a14)＝90，故选择C.[答案]　C(2)(2015·广州模拟)已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)A．10
B．20C．30
D．40[解析]　本题考查等差数列的性质．这个数列的项数为2n，于是有2×n＝25－15＝10,2n＝10，即这个数列的项数为10，故选A.[答案]　A(3)已知在等差数列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n项的和，S10＝S22.①求Sn；②这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．[解]　①∵S10＝a1＋a2＋…＋a10，S22＝a1＋a2＋…＋a22，又S10＝S22，∴a11＋a12＋…＋a22＝0，即＝0，即a11＋a22＝2a1＋31d＝0.又a1＝31，∴d＝－2.∴Sn＝na1＋d＝31n－n(n－1)＝32n－n2.②法一：由①知，Sn＝32n－n2＝－(n－16)2＋256，∴当n＝16时，Sn有最大值256.法二：由①知，令(n∈N*)，解得≤n≤，∵n∈N*，∴n＝16时，Sn有最大值256.求等差数列前n项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1&0，且Sp＝Sq(p≠q)，则：①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．　　2．(2015·深圳调研)等差数列{an}中，已知a5&0，a4＋a7&0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)A．S7
B．S6C．S5
D．S4解析：∵∴∴Sn的最大值为S5.答案：C3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝18，则a8＝________.解析：等差数列性质可得S3＝3，S6－S3＝15，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8成等差数列，故有2(S6－S3)＝S3＋S9－S6?2×15＝3＋3a8，解得a8＝9.答案：9　　17.整体思想在等差数列中的应用【典例】　已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，＝4，则的值为(　　)A.
D．4[思路点拨]　若利用a，d基本计算较繁，可考虑S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，采用整体求值较简便．[解析]　由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4，得＝3，则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.[答案]　A[方法点评]　利用整体思想解数学问题，就是从全局着眼，由整体入手，把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法．有不少等差数列题，其首项、公差无法确定或计算烦琐，对这类问题，若从整体考虑，往往可寻得简捷的解题途径．[跟踪练习]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，∴S30－S20＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.答案：60A组　考点能力演练1．已知等差数列{an}满足：a3＝13，a13＝33，则数列{an}的公差为(　　)A．1
D．4解析：设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝2，故选择B.答案：B2．(2016·宝鸡质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n&9)，若Sn＝336，则n的值为(　　)A．18
B．19C．20
D．21解析：因为{an}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，Sn＝＝＝×32＝16n＝336，解得n＝21，故选择D.答案：D3．(2015·武昌联考)已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是(　　)A．18
B．19C．20
D．21解析：a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，则{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当Sn取得最大值时，n＝20.答案：C4．在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＋a5＝40，则3a1＋a11＝(　　)A．20
B．30C．40
D．60解析：本题考查等差数列的通项公式及性质的应用．由等差数列的性质得a2＋a3＋a4＋a5＝2(a3＋a4)＝40，解得a3＋a4＝20，即a3＋a4＝2a1＋5d＝20，又3a1＋a11＝4a1＋10d＝2(2a1＋5d)＝40，故选C.答案：C5．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且＝，则＝(　　)A.
D.解析：法一：令Sn＝(7n＋1)n，Tn＝(n＋3)n，则an＝14n－6，bn＝2n＋2，所以＝＝.法二：设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则＝＝＝＝＝＝.答案：D6．(2015·广州一模)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝20，则S11＝________.解析：因为{an}是等差数列，所以S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝20，所以a6＝4，所以S11＝＝11a6＝44.答案：447．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则{an}的通项公式为an＝________.解析：设bn＝nSn＋(n＋2)an，则b1＝1×S1＋(1＋2)a1＝1×a1＋3a1＝4，b2＝2×S2＋(2＋2)a2＝2×(a1＋a2)＋(2＋2)a2＝8，所以等差数列{bn}的首项为4，公差为4，所以bn＝4＋(n－1)×4＝4n，即nSn＋(n＋2)an＝4n.当n≥2时，Sn－Sn－1＋an－an－1＝0，所以an＝an－1，即2·＝，所以是以为公比，1为首项的等比数列，所以＝n－1，所以an＝.答案：8．设等差数列{an}满足公差d∈N*，an∈N*，且数列{an}中任意两项之和也是该数列的一项．若a1＝35，则d的所有可能取值之和为________．解析：本题考查等差数列的通项公式．依题意得an＝a1＋(n－1)d，ai＋aj＝2a1＋(i＋j－2)d＝a1＋(m－1)d(i，j，m∈N*)，即(m－i－j＋1)d＝a1，kd＝a1＝35(其中k，d∈N*)，因此d的所有可能取值是35的所有正约数，即分别是1,3,32,33,34,35，因此d的所有可能取值之和为＝364.答案：3649．已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：b1＝a1且bn＝an＋bn－1(n≥2，n∈N*)，求数列{bn}的通项公式．解：(1)由题意得：∵公差d&0，∴∴d＝2，an＝2n－1.(2)∵bn＝an＋bn－1(n≥2，n∈N*)，∴bn－bn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)．∵bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1(n≥2，n∈N*)，且b1＝a1＝1，∴bn＝2n－1＋2n－3＋…＋3＋1＝n2(n≥2，n∈N*)．∴bn＝n2(n∈N*)．10．(2015·南昌一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6，正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若λbn&an对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．解：(1)∵a1＝1，S3＝6，∴数列{an}的公差d＝1，an＝n.由题知，①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，又b1＝2S1＝21＝2，满足上式，故bn＝2n.(2)λbn&an恒成立?λ&恒成立，设cn＝，则＝，当n≥2时，cn&1，数列{cn}单调递减，∴(cn)max＝，故λ&.B组　高考题型专练1．(2015·高考重庆卷)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　)A．－1
D．6解析：由等差数列的性质知a2＋a6＝2a4，所以a6＝2a4－a2＝0，故选B.答案：B2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝(　　)A.
D．12解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由题设知d＝1，S8＝4S4，所以8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，所以a10＝＋9＝，选B.答案：B3．(2015·高考北京卷)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是(　　)A．若a1＋a2&0，则a2＋a3&0B．若a1＋a3&0，则a1＋a2&0C．若0&a1&a2，则a2&D．若a1&0，则(a2－a1)(a2－a3)&0解析：若{an}是递减的等差数列，则选项A，B都不一定正确．若{an}为公差为0的等差数列，则选项D不正确．对于C选项，由条件可知{an}为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a2＝，由基本不等式得&，所以C正确．答案：C4．(2015·高考安徽卷)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．解析：因为a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，所以数列{an}是首项为1、公差为的等差数列，所以前9项和S9＝9＋×＝27.答案：275．(2015·高考北京卷)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的第几项相等？解：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2，得n＝63.所以b6与数列{an}的第63项相等．6．(2015·高考重庆卷)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得a1＋2d＝2,3a1＋d＝，即a1＋2d＝2，a1＋d＝，解得a1＝1，d＝，故通项公式为an＝1＋，即an＝.(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，故{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.
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