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设A，B都是n阶实对称矩阵.证明：存在正交矩阵P，使得P1AP和P1BP都是对角矩阵的充分必要条件是AB=BA.
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提问人：匿名网友
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设A，B都是n阶实对称矩阵.证明：存在正交矩阵P，使得P-1AP和P-1BP都是对角矩阵的充分必要条件是AB=BA.
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若A为n阶对称矩阵，P为n阶矩阵，证明P^TAP为对称矩阵（如图第9题）
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利用 (P^TAP)^T=P^TA(P^T)^T 即可
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出门在外也不愁试证:若A是n阶实对称矩阵,且A^2=E,则存在正交矩阵T,使得T^-1AT=diag(Er,0),
新年好!题目不对,A=-E就是反例,改题后可如图证明.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.
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一．a1,a2,?,an是n个不相同的整数，证明f(x)?(x?a1)(x?a2)?(x?an)?1在有理数域上可约的充分必要条件是f(x)可表示为一个整数多项式的平方
?a1????a2?TT二．设????，且???0，求(1)En???
(2)(En???T)?1 ????a??n?
(其中En为n阶单位阵，?为?的转置)
三．矩阵Am?n是行满秩(即秩A?m)，证明：
(1)存在可逆阵Q，使得A?(Em,0)Q
(2) 存在矩阵TBn?m，使得AB?Em
2n四．设n阶方阵A满足A?A，?1,?2,?,?n是P中n个线形无关的列向量，设V2是由A?1,A?2,?,A?n生成的
n子空间，V1是AX?0的解空间，证明：P?V1?V2(V1?V2表示V1与V2的直和)
??1???TTA,BnB?五．设都是阶实对称矩阵，且正定，则存在S及D???，使得A?SDS,B?SS
六．设n阶矩阵A?(aij)，满足下列条件：(1)0?aij??i,ja?ai2???ain?1
(i=1,2,?,n)求证：(1)A1,
??x1??????n???|x是实数???i?，A是n阶正定阵，的每一个特征值?，都有??1(2)?0?1为A的一个特征??x????n??
?x1??y1??????????，???????n
，求证：(1)T2(?A?)?(?TA?)(?TA?)等号成立当且仅当?与?线形相关时成?x??y?n???n?
（2）若A是正定矩阵，则(?A?)?(?A?)(?A?)也成立
八（1）设A,B分别为复数矩阵域上的k阶和l阶方阵，并且A,B没有公共的特征值，求证AX?XB只有空解（这里T2TTX?(xij)k?k）
（2）在?n?n中，变换?:X?AX?XA,A??n?n，?为一个固定的矩阵，且?的特征值不为（-?）的特征值，求证：?为一个线形变换。
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贡献者：空念晨曦}