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2013系统班数学
初数一上（5.27陈剑）
第一章应用题
一比、比例、百分比
例1& & & & 比例与百分比变化
由于负数很难被约掉带着印记找选项
初数一中（5.27陈剑）
例2& & & & 部分量与总量
遇到分数或比例关系时马上借助整除、倍数等特征观察选项、排除法后还剩两个选项：I经验法 中间选项概率比两边选项高些II逻辑常识估算III代入验证法L选一个好算的代入验证
例3& & & & 不同分类标准对应的元素比例问题
如果某一部分占整体的份额为质数又该部分又分为几类，则这几类的总份额为质数，有倍数关系
例4& & & & 在比例变化中，增加项变化。某一对象不变，只变另一个对象的比例问题 。
若2部分之比为m：n则总数为m+n的倍数（多个适用）。比例的继承性。在比例变化中若某对象数量不变则该对象的份额可继承。
初数一下（5.27上午陈剑）
二工程问题
2和兴 找效率的关系
甲单独m 乙单独n
则甲效率1/m 乙效率1/n
合作效率1/m+1/n=（n+m）/（nm）
合作时间=1/（1/m+1/n）=mn/（m+n）
例6& & & && &效率变化的工程问题
如果工作量分段时 可借助比例采用倍数进行分析
例7& & & & 单位效率
等量比较法
例8甲乙效率的转化
甲m天=乙n天 再等比例放大后分析。
初数二上（5.27下午陈剑）
例9& & & & 效率变化的工程问题
若新效率速度比老效率速度提高p%则新效率为老效率（1+p%）再将效率关系转化为时间的关系由时间的比例进行求解。新效率=n/m老效率（n）m新效率m天=老效率n天
例10& & & & 多人完成时间
将时间的倍数关系转化为效率的关系因为效率可以字节相加减（效率与时间成反比）
例11：不同效率工作
当出现降速因素使速度不一样的同时完成时，公式如下：正常时甲m天乙n天设m&n出现降速因素时，甲的效率速度为正常的p%乙的效率速度为正常的q%（p&q）则降速因素作用时间=（n-m）/（q%-p%）。
例12&&牛吃草
遇到有进有排有增有减的问题时要转化为单位时间进行比较可得到进排的效率
初数二中（5.27下午陈剑）
三路程问题
1基本公式：S/V/T关系
相遇：s=s甲+s乙=v甲t+vt=(v1+v2)*t.t=s/*v1+v2)
& && &V甲/v乙=s甲/s乙（时间相同
追及（有差距）
等量关系：s差距=s甲-s乙=（v甲-v乙）t
V甲/v乙-s甲/s乙（时间相同）
甲乙每相遇一次甲比乙多跑一圈。若给定时间，恰相遇k次则甲比乙多跑k圈。
相遇一次。每相遇一次时间=s/（v甲-v乙）（给定时间求相遇次数）v甲/v乙=s甲/s乙=s乙+ks）/s乙=1+ks/s乙
甲乙每相遇一次，甲乙路程之和为一圈。若给定时间相遇k次，则甲乙路程之和为k圈。
每相遇一次时间=s/（v甲+v乙））给定时间求相遇次数）
V甲：v乙=s甲：s乙=ks-s乙：s乙=ks/s乙-1
例14 多个物体与同一物体相遇
对于多个物体与同一个物体相遇时，以每个物体的相遇点研究参照物的路程。
例15 汽车往返接人：
在求速度之比时，转化为相同路程的时间反比
例16两人多次往返
对于两人多次往返相遇问题，两人走得路程之和为（2n-1）s（n表示相遇次数）利用v甲/（v甲+v乙）=s甲：s总求解
初数二下（5.27下午陈剑）
例17圆圈型
高分指南p32 3 起点相遇
关键：每人跑的路程都是整数圈
对于在起点相遇的跑圈问题，先求出速度的最简整数比，然后在扩大k倍得到第k次在起点相遇的圈数。
高分指南p32 -4
V顺=v船+v水
V逆=v船-v水
四浓度问题
溶液=溶质+溶剂
溶液的本质：两种的混合
浓度=溶质/溶液=溶质/（溶质+溶剂）
浓度的本质：表示某一部分（溶质、干货）占总体的百分比。
可将浓度转化为比例即溶质：溶剂
浓度的混合问题可借助杠杆原理a%的与b%混合得到c%。a%质量：b%质量=（b-c）：（c-a）
物质守恒原则：
浓度不变原则
例18单一对象变化：稀释（高分指南p17）、浓缩（蒸发）&&溶剂变化溶质不变
& && && && && && & 加浓：溶质变化溶剂不变。
固定比例比较法。&&
例19 溶液的置换&&纯溶剂、溶质
对于等量置换问题，（纯溶剂）由于溶液不变，则有溶质为原来的n/m，则浓度为原来的n/m
五画饼问题
A并b=a+b-a交b=全集-非a非b=只a+只b+a交b
A并b并c=a+b+c-a交b-b交c-a交c+a交b交c=全集-非a非b非c=只有一个 +只有两个+都有
初数三1（6.2上午陈剑
第一章应用题
六不定方程（高分指南p25）
当未知数各数较多，而方程较少时，此时，表面上无穷多解，但结合性质（整除，奇数偶数、倍数、范围要求等），解可唯一确定。
例23 例1.61
技巧：先假设元素数值相同，再根据多退少补原则进行分析。
三元杠杆原理（了解）
根据到支点的距离分析数量的多少。
高分指南p25 例1.62 数量交换
技巧：对于数量交换的问题，先转换为一个参照物分别换每个对象的数量。
再根据总体的平均交换原则借助 赔 赚 比例分析。
初数三2（6.2上午陈剑）
七线性（一次方的关系）规划
高分指南p237 13题
遇到线性规划的最小值问题可根据性价比估算。（即价格便宜的越多越好）
高分指南p239 7题
高分指南p249 13题
初数三3（6.2上午陈剑）
八阶梯形价格（分段问题）
不同数值对应不同计费方式。
关键：确定数值的边界值。常见：1水费2税3话费4电费5邮费6打车费7销售提成、奖金
高分指南p239 3题
对于表格型的分段问题，将数值按范围分别求费用在相加。
九．其他题型：
例29 “植树”问题&&等距离分段问题
直线型：长为l米的马路，每隔m米植树，共有l/m+1
圆圈型：周长l米，每隔m米植树，共有l/m
往往需要用最小公倍数
初数三4（6.2上午陈剑）
例30 倒扣分问题
（理想-现实）/（差距）=负面数量
例31 还原问题
“余下的”& &逆着算。
某次为余下的n/m又k个，则k占k/（1-n/m）
第二章实数、绝对值、平均值
1概念及性质
整数Z：正整数、0、.负整数
自然数N：从0开始的（最小的自然数为0）
质数、合数：
正整数包含：1 质数&&合数。
2的身份：既是质数又是偶数的整数。是唯一的偶质数。大于2的质数比为奇数。质数中只有一个偶数2.最小的质数为2
2整除的特点
能被2整除的数：各位为0、2、4、6、8
能被3整除的数：各数位数字之和必能被3整除
能被5整除的数：个位为0或5
能被6整除的数：同时满足能被2和3整除的数
能被9整除的数：各数位数字之和必能被9整除
能被10整除的数：个位必为0
初数四1（6.2下午陈剑）
！x-a！+！x-b！
！x-a！+！x-b！+！x-c！
！x-a！-！x-b！
核心：用距离描述绝对值
1 ！x-a！+！x-b！表示x到a点距离与x到b点距离之和
特点：有最小值!A-B！无最大值。
& && &！x-a！+！x-b！=c：无根：c&!a-b!
& && && && && && && && & 2个不等跟。C&!a-b!
& && && && && && && && && && &距离（c-最小值）/2
& && && && && && && && & 无数根 c=！a-b！根x介于ab之间
&&对于不等式，先求出根，再写解集
21x-a!+!x-b!+!x-c!表示x到a、b、c距离之和。
最小值本质：重复的距离越少越好。
奇数个绝对值相加，x在中间零点时，表达式有最小值，无最大值。
偶数个绝对值相加，x在中间（n/2，n/2+1（两个零点之间时，表达式有最小值，无最大值。
初数四2（6.2下午陈剑）
3！x-a！-！x-b！表示x到a点距离与x到b点距离之差。
特点：有最小值-！a-b！也有最大值！a-b！
& && &最大值与最小值互为相反数
& && &！x-a！-！x-b！=c& &无根：c&最大值或c&最小值。
& && && && && && && && &唯一根 最小值&c&最大值
& && && && && && && && &无数根c=+-！a-b！
求无解或任意实数时，关键要找到最值。
F（x）&c无解——f（x）&=c解为R。为特值法创造条件。
非负性、三角不等式
初数四3（6.2下午陈剑）
1 算数平均值
2几何平均值
3定理 （x1+——+xn）/n&=n次根号（x1x2——xn）
题型1 考查质数合数奇数偶数的性质
高分指南p6例1.2
￥*m+#*n=k 先试出一组数，再以mn的最小公倍数为单位进行内部再分配。
题型2 数的整除：与余数有关：
连续k个正整数的乘积能被k！整除。
被除数=商*除数+余数
被除数-余数=商*除数。除数要大于余数。
题型3 公倍数公约数。
对于两个正整数，最大公约数/最小公倍数=两数之积
已知最小公倍数最大公约数求两个数：最小公倍数/最大公约数=分解
甲m分钟一圈、乙n分钟一圈，丙k分钟一圈。则mnk的最小公倍数表示三人同时回到起点对应的时间。通过速度的最简整数比得到没人跑的圈数。
题型4 绝对值得非负性
常见非负性量：绝对值。偶数次方。开偶数次方
非负数之和为零每个非负数为零
两个非负数之和为非负数
题型5 ！x！/x或x/！x！
题型6三角不等式
！a！-！b！&=!a+-b!&=!a!+!b!
初数四4（6.2下午陈剑）
形如三角形三边关系。
题型7 一般比例式计算问题
X+y:y+z:z+z=a:b:c则x：y：z=（a+b+c）/2-b：（a+b+c）/2-c：（a+b+c）/2-a=a+c-b：a+b-c：b+c-a
若xy：yz：zx=a：b：c则1/z：1/x：1/y-a：b：c&&x：y：z=1/b：1/c：1/a
题型8正比反比问题
题型9 求最值
平均值定理n个数的算术平均值大于几何平均值。三条件：各项都为正。出现定值（和或积为定值）。等号能够取到。
两公式：a+b&=2*根号ab
技巧：积为定值，和有最小值。。和为定值，积有最大值。
题型10平均值的基本定义和概念
初数五1（6.23上午陈剑）
第三章整式分式函数
一充分性判断项目（技巧）
1充分性必要性
目的：研究命题推到关系
A——b称a为b的充分条件
口诀：有a必有b，无a，b不定称a为b的充分条件
理解：若小范围落入大范围时，则小范围为大范围的充分条件
2题干的设计：
条件一& &条件二
3命题特点：
运算量：至少运算两次
无论怎么算都有备选答案不易检查。
准确度要求高。差之毫厘谬以千里。
方法一:自下而上
由条件带入题干判断。适用于两条件为单一或简单的数值。
方法二&&自上而下
先由题干计算出结果，再比较两条件。当条件的数值落入题干数值则该条件充分。
5解题技巧：
各选项的地位不相等。（选项的几率、次数不相等）
高：a&&b& &至少有一个条件充分
低&&c& && &&&两个条件单独均不充分。
各选项的数量（10个题）
绝对平均2次
低 ce 3个&&高abd7个4ab3d
两条件内在逻辑关系初定答案
& &两条件矛盾关系（占近一半）备选a b d、e。不能选c
& &两条件包含关系：备选：b（范围小的有可能是a）80%d15%e5%
& &两条件等价关系：备选：d95%e5%
& &能明确条件一（或二）充分另一个未知。备选a（b）d
& &明确条件一（或二）不充分，另一个未知。B（A）ce
核心：从否定条件角度入手
初数五2（6.23上午陈剑）
6各选项的特征
二因式定理、余式定理
1因式定理：f（x）含有（x-a）的因式 ——f（x）=（x-a）*……——f（x）能被（x-a）整除——f（a）=1
口诀：因式为0时表达式的值也为0
高分指南p60一次因式检验定理
F（x）除以（ax-b）的余式为f（b/a）
三指数和对数函数
高分指南p48
2图像及性质
高分指南p49
题型1有关整式的计算
例2.1两个多项式相等
基本方法：对应项的系数相等
F（x）=g（x）
技巧：对任意x 两者都相等。即可用特值法求解。何时用？——特征。怎么用——目的
例2.2多项式的整除
基本方法：竖式除法。余式为0
& && && & 待定系数法L关键：抓住最高次方的系数及常数项。
技巧：遇到整除或因式时，令除式或因式为0根据被除式也为0分析。
初数五3（6.23上午陈剑）
题型2分式化简
例2.4考点：采用整体的思路求解。
原则：遇到根号化简时利用共轭因式借助平方差分析。根号a-根号b&&与根号a+根号b
题型3解分式方程
例2..9考点：分式方程无解的含义：本有解。只不过解被舍掉导致无解。
方法：先求出解，再令根等于分母无意义的值
技巧：在求解参数值时，根据表达式的对应特点（几次方、指数、对数）可得到参数取值的个数情况。
题型4有关恒等式的考题
考点：变形的方法及公式
例2.10连等式。一个数的多少次方=1有多少种情况。一个数的0次方=1.1的任何次方=1。-1的偶次方=1
初数五4（6.23上午陈剑）
公式（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac若1/a+1/b+1/c=0则有a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2
题型5 余式定理
被除式=除式*商+余式。
技巧：强制除式为0求解余式。
要求余式的次方小于除式的次方
例2.12f（x）除以一次因式的余式为该点的函数值。
技巧：根据函数值直接带入选项验证即可
初数六1 （6.23下午陈剑）
题型6因式定理
例2.15 例2.17
Sn=a*n^2+b*n+c sn-sn-1=an
技巧：对于抛物线（二次函数）函数值之差组成等差数列。
题型7 考查循环小数（除法）
纯循环：从十分位开始循环
混循环：从其他数位开始循环。
纯小数：整数部分为0
混小数：整数部分不为0
纯循环的小数 不等于 循环的纯小数
例2.19例2.20
初数六2（6.23下午陈剑）
题型8指数函数与对数函数
例2.21；；例2.23
题型9最小公倍数在计算中的应用
平均速度=2v1v2/（v1+v2）
（v车+v人）t1=l
（v车-v人）t2=l
V车=1/2（l/t1+l/t2）
发车间隔t=l/v车=2t1t2/（t1+t2）
N/（1/x1+……1/xn）调和平均值
调和平均值&=几何平均值&=算术平均值
调和平均值应用
往返平均速度=2v1v2/（v1+v2）
公交车发车间隔t==2t1t2/（t1+t2）
船数问题t==2t1t2/（t1+t2）
购物求平均价格
初数六3（6.23下午陈剑）
第四章方程和不等式
一 二次函数与抛物线
1开口方向：a决定
2对称轴：-b/2a
3顶点坐标（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）
二一元二次方程
德尔塔=b^2-4ac
X1+x2=-b/a
1/x1+1/x2=-b/c
！x1-x2!=根号德尔塔/！a！
题型1 方程根的分布
有两正跟：x1+x.2&0
& && && &&&X1x2&0
& && && & 德尔塔&=0
两负根& &x1+x2&0（ab同号）
& && && &X1x2&0（ac同号）
& && &&&德尔塔&=0&&abc同号
有一正一负跟：x1x2&0
& && && && && &德尔塔&0ac异号
Ac同号俩同号跟：俩正 ab异号
& && && && && &&&两负 ab同号
& &异号俩异号根&&！正！&！负！ab异号& && &
& && && && && && && &&&&& && &Ab同号
一根比k大 一根比k小，a&0 f(k)&0 a&0 f（k）&0
简化为 a*f（k）&0
德尔塔是完全平方数
整数根：德尔塔是完全平方数。X1+x2是整数。X1x2是整数
A为b与c的公约数
初数六4（6.23下午陈剑）
不等式经过运算后范围会扩大。
例3.2例3.3
技巧：遇到选择取值范围的题目，可按如下优先顺序代特值排除。M=0,1,-1，整数值、边界值。
原则：区分度。
& && &优先让系数为0
题型2 超越方程：（指数对数）问题
初数七1（7.28晚上陈剑）
题型2超越方程(指数、对数)
思路：换元，转化为一般的一元二次方程求解，注意取值范围
例3.4例3.5例3.6
根号下（n+1）+根号下n与根号下n+1-根号下n互为倒数
门当户对原则：
A根号m+b根号m=c根号m+d根号n——a=c b=d
根号n+1+根号n与根号n+1-根号n倒数
配方问题：（m+n）+-2根号下（mn）=（根号m+-根号n）^2
题型3韦达定理应用
例3.10例3.11
注意：用韦达定理时不要忘记验证德尔塔。
题型4简单的无理方程
通过平方去掉根号
求解后验跟
题型5关于对数不等式求解
初数七2（7.28晚上陈剑）
N=loga&&a^n换底公式
题型6关于解集为空集或为任意实数
两大类型：
类型一：一元二次不等式ax^2+bx+c&&0解为R
A&&0 德尔塔&0
Ax^2+bx+c&&0解为空集
A&&0 德尔塔&=0
类型二：绝对值不等式
!x-a!-!x-b!&&s
F(x)最大值为M最小值为m
F(x)&&s解为R& &s&M&&s&m
& &&=&=解为R& &s&=M&&s&=m
& &&&s解为空集&&s&=m&&s&=M
&=&=解为空集 s&m&&s&M
F（x）&s解为空集f(x)&=s解为R
初数七3（7.28晚上陈剑）
当x^2的系数与x的系数含有公因式时不要忘记讨论系数为0的情况。
题型7含绝对值的不等式
去绝对值符号的方法：
定义法(分段讨论法：
!f（x）!= f(x)&&&=0
& && && & -f(x)&&&0
基本公式法：！f（x）！&a-a&f(x)&a
& && && && && && &&&&fx&-a&&或&a
平方法！fx！^2=f^2(x)
画图分析：
初七4（7.28晚上陈剑）
题型8分式不等式
!a!&a a&0
& &=& & &=
题型9无理不等式
题型10 含有参数不等式。
初数八1（8.25陈剑）
第五章数列
一等差数列
1定义：an+1-an=d
2通项公式an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d（用于已知其中一项ak求其他元素）
An=dn+（a1-d）斜率为公差d
3前n项和sn=（a1+an）/2*n=na1+n（n-1）/2*d=d/2+（a1-d/2）n常数项为0过坐标原点。开口方向由d决定、二次项系数为半公差（d/2）。对称轴1/2-a1/d。d=0是sn=na1
A1=s1 an=sn-sn-1（n&=2）
D=（an-am）/（n-m）
M+n=l+k则am+an=al+ak
Sn、s2n-sn、s3n-s2n仍未等产数列其公差为n^2d
二等比数列
1通项an=a1q^(n-1)
An=akq^(n-k)（用于已知一项ak求其他元素）
2前n项和sn=na1&&q=1
& && && && & A1（1-q^n）/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) q不等于1
Sn/sm=（1-q^n）/(1-q^m)(q不等于1)
3所有项和s（无穷多项）s=a1/（1-q）q^n_0 n_无穷 q^n——0！q！&1
求公比an/am=q^(n-m)
M+n=l+k aman=alak
Sn、s2n-sn、s3n-s2n仍为等比数列公比为q^n
等比数列任一个元素不能为零。不为零的常数列即成等差数列又成等比数列
题型归纳：
题型1已知前n项和sn或通项an或递推关系中的部分求其他。
高分指南p112
An=& &a1=s1（n=1）
& && &Sn-sn-1（n&=2）
技巧：sn=an^2+bn则通项an=2an+(b-a)
初数八2（8.25陈剑）
题型2等差数列前n项和sn可以看做二次函数来解题
例4.6例4.7
题型3等差数列等比数列结合
初数八3（8.25陈剑）
题型4：特殊数列求和
两大类型：拆分列项抵消：1/[n *(n+1)]=1/n-1/(n+1)，1/[根号下（n+1）+根号n]=根号（n+1）-1根号n& &n/(n+1)!=1/n!-1/(n+1)!
& && && & 将表达式拆开分别利用等差数列或等比数列分析。
例4.11例4.12例4.13
例：9/10！+10/11！+……+99/100！=（1/9！-1/10！）+(1/10!-1/1!)+……（1/99！-1/100！）=1/9！-1/100！
K个1 1/9*k个9=1/9*（10^k-1）
题型5利用数列元素性质求解
初数八4（8..25陈剑）
例4.16例4.17 p139 -23题例4.19
题型6常见错误
题型7 应用题
例4.29例4.30p238-18题
几何一1（6.17上午陈剑）
第六章几何
第一节平面几何
考试地位：3个题。计9分
考试特点：点线面相关的图形
考试题型：求面积（阴影面积）：必考
& && && & 求长度或角度
& && && & 判断图形的性质（形状、象限位置）
三个分支：
解析几何：平面几何+坐标系
立体几何：平面几何+折叠翻转
1三角形内角之和180
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
应用：求线段长度的范围和最值
几何一2（6.17上午）
三角形的面积
应用：同底等高时面积相等。
& && &底相同时面积之比等于高之比。高相同时面积之比等于底之比。
底为另一个三角形底的k倍。高位另一三角形高的n倍，则面积为另一三角形的kn倍
几何一3（6.17上午陈剑）
三角形的四心
内心：内切圆的圆心。内角的角平分线的交点。
特点：内心到三边距离相等。等等与半径r
S=r/2(a+b+c)& &r=2s/(a+b+c)
由其对于直角三角形rt三角形
外心：外接圆的圆心。三角形的中垂线交点。
特点：外心到三个顶点距离相等。
直角三角形：外心在斜边的中点。即斜边为外接圆的直径，即r=斜边/2。斜边中点到三顶点距离相等都等于斜边的一半
重心：三条中线的交点。
重心将中线分为2:1的两段。重心坐标（xa+xb+xc/）3，（ya+yb+yc）/3
垂心：三条高的交点
对于等边三角形，四心合一
特殊三角形
等腰三角形：h=根号下a^2-c^2/4
S=1/2c根号下a^2-c^2/4
等边三角形（正三角形）h=根号3/2a
S=根号3/4a^2
内切圆半径r=h/3=根号3/6 * a
外接圆半径R=2r=根号3/3*a
直角三角形：
勾股定理：a^2+b^2=c^2
常用勾股数：3、4、5；6、8、10.9、12、15.5、12、13.7、24、25.8、15、17.周长a+a^2
后两边是相邻的整数。后两边之和是最短边的平方。周长等最短边和最短边+1的乘积
等腰直角三角形45、45、90
三边1:1：根号2
内角为30、60、90的直角三角形三边比1：根号3:2
几合一4（6.17上午陈剑）
30角所对的直角边为斜边的一般
相似：面积比等于相似比的平方。
N边形内角和为（n-2）*180
1矩形（长方形）
周长c=2（a+b）
对角线l=根号下（a^2+b^2）
应用技巧：
应用：对角线互相垂直的任意四边形面积s=l1六/2
S=（a+b）/2*h
S=中位线*高
S1/s2=（a/b）^2(相似)s1s2(上下)=s3s4（左右）=s3^2
上底为a下底为b对角巷长分别为l1l2的梯形面积等价于边长为l1l2（a+b）三角型面积
几何二1（6.17下午陈剑）
题型1求角度
角度：平行直线：内错角、同位角、同旁内角
三角形：等腰、等边、直角、内角和、外角
圆：圆周角圆心角弦切角
同弧时 弦切角=圆周角
圆心角=2倍的圆周角
题型2 求面积、面积比）核心问题）
几何二2（6.17下午陈剑）
S阴影=s总-s空白
几何二3（6.17下午陈剑）
几何二4（6.17下午陈剑）
求面积的核心方法
割补法：s阴影=s规则-s空白
相邻三角形借助底高关系求面积
借助相似（平行）或全等（折叠）
及部分的面积之间有重叠。利用总面积减去重复的面积。
题型三判断图形的形状性质（三角形）
第二节解析几何
考试地位：2-3题计6-9分
考试特点：公式多、坐标系
核心：对称（点线）
& && &位置关系（直线与直线、直线与圆、圆与圆）
一【平面直角坐标系
坐标轴上的点不属于任何象限。
点（两点距离）
中点坐标。，
1倾斜角、斜率
斜率k=正切值=对边/斜边
斜率的本质及特点：
！k！的大小表示直线陡缓程度。
。越大直线越陡。越小直线越缓
30k=根号3/3
45& & & & 1
60& & & & 根号3
几何三1（8.25上午陈剑）
第二节解析几何
一般式：ax+by+c=0&&k=-a/b
斜截式y=kx+b
点斜式y=y0+k(x-x0)或(y-y0)/(x-x0)=k
截距式：x/a+y/b=1
两点式：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)
3两条直线的位置关系：
& && && & 斜截式& && && && && && & 一般式
平行& &k1=k2 b1不等于b2& && && &&&a1/a2=b1/b2不等于c1/c2
相交& && &k1不等于k2& && && && && &&&a1/a2不等于b1/b2
垂直& && & k1k2=-1& && && && && && &a1a2+b1b2=0
与ax+by+c=0垂直的直线可表示为bx-ay+c1=0
4点到直线的距离
！ax0+bx0+c!/根号下（a^2+b^2）
应用：求弦长=2根号下（r^2-d^2）
& && &直线与圆的位置关系（d与r的大小）
5俩平行直线的距离
d=!c1-c2!/根号下(a1^2+b1^2)
6两直线的夹角
TANa=！K1-K2！/（1+k1k2）！
一般式：X^2+y^2+ax+by+c=0&&（x+a/2）^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4
标准式（x-x0）^2+(y-y0)^2=r^2
2直线与圆的位置关系
相离：d&r无交点
相切：d=r&&有一个交点
相交：d&r&&两个交点&&弦长=2根号下(r^2-d^2) 当d=0时直线过圆心，最长弦=直径。与op垂直的弦为最短的弦。
3圆与圆的关系
外离：无交点。d&r1+r2 l两条外公切线、&&两条内公切线，公切线交点位于两圆圆心连线上。
外切：一个交点。d=r1+r2 两条外公切线 一条内公切线。内公切线垂直于两圆心的连线。
相交：两个交点。r1-r2&d&r1+r2 两条外公切线。0条内公切线。公共弦：两圆心连线垂直平分公共弦。公共弦的直线方程。两圆相减(a1-a2)x+(b1-b2)y+c1-c2=0
内切：一个交点。d=r1-r2 一条外公切线。0条内公切线、外公切线垂直于两圆心连线
内含：无交点d&r1-r20条外公切线0条内公切线。特殊d=0时同心圆
几何三2（8.25上午陈剑）
AB=根号下{d^2-(r1-r2)^2}
尤其外切AB=2根号下r1r2
有交点不等于相交
题型5判断直线与直线直线与圆的位置关系
高分指南p159例5.19
技巧：当所求直线或圆经过某点或满足某特征时马上先代入选项排除
例5.20例5.21
常用角度的斜率（正切值）
A& & & & 0& & & & 30& & & & 45& & & & 60& & & & 90
K& & & & 0& & & & 根号3/3& & & & 1& & & & 根号3& & & & 无穷。竖直
几何三3（8.25上午陈剑）
题型7 有关对称的问题
五种基本对称
点关于点的对称：方法：利用中点坐标求解
直线关于点的对称：方法：平行：斜率相等。A到两直线距离相等。技巧：l•：a(2xa-x)+b(2ya-y)+c=0
点关于直线对称：方法pp•垂直于l。pp•中点在l上。
技巧：当对称轴斜率为+-1时可采用代入的方法巧算
直线关于直线对称（相交）
应用：光的反射问题。
方法：三线共点、夹角相等求斜率或在l上任取一点，关于l的对称点在所求直线上。
技巧 ：当对称轴的斜率为+-1时可采用反代的方法巧解。
直线关于直线对称（平行）:技巧:利用中点分析l`方程为:ax+by+2c0-c=0
圆的对称：求出圆心的对称坐标，圆的半径不变
几何三4（8.25上午陈剑）
五种特殊对称：
& & & & 点p（z0，y0）& & & & 直线l：ax+by+c=0
关于x轴对称& & & & P`(x0,-y0)& & & & L`ax-by+c=0将y换成-y即可
关于y轴对称& & & & P`(-x0,y0)& & & & L`-ax+by+c=0将x换成-x即可
关于原点对称& & & & P`(-x0,-y0)& & & & L`ax+by-c=0分别关于两个坐标轴各对称一次。即将x换成-x，y换成-y
关于y=x对称& & & & P`(y0,x0)& & & & L`bx+ay+c=0&&将x与y交换
关于y=-x对称& & & & P`(-y0,-x0)& & & & L` bx+ay-c=0将xy交换后都加负号
若两直线关于水平、竖直线（坐标轴）对称则两直线斜率互为相反数。
若两直线关于y=+-x+b对称则两直线斜率互为倒数。
两直线垂直斜率互为负倒数。
两直线平行斜率相等。
题型9光的反射问题：
P167 例5.37例5.38
光的特征：光路最短原理。
几何四1（8.25下午陈剑）
题型10：几何与函数、方程、数列等的综合题型
小结：对于（y-b）/(x-a)的最值问题将其看成动点（x，y）与定点（a，b）所构成直线的斜率。
技巧：当相切时有最值。
例4例5例6例7
相交弦定理：交点在圆外，总有pa*pb=pc*pd
几何四2（8.25下午陈剑）
第三节立体几何
全面积f=2（ab+bc+ac）
体对角线d=根号下（a^2+b^2+c^2）
所有棱长和l=4（a+b+c）
两个关系式v=abc=根号下（ab*bc*ac）
（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)
(l/4)^2=d^2+f
正方体：v=a^3
分类：圆柱：底面为圆
& && &棱柱：底面为多边形
侧面积（展开矩形的面积）
S侧=高*底的周长
对于圆柱s=2派rh
全面积=侧面+上下底面积。
对于圆柱f=2派rh+2派r^2=2派r（h+r）
体积v=底面积*高
对于圆柱v=派r^2*h
两个特殊圆柱：
等边圆柱：轴截面为正方形。高=直径即h=2r
展开为正方形的圆柱。即h=2派r
同样大的矩形卷成圆柱。“矮胖状”v=派（b/2派）^2*a=b^2/4派
& && && && & 高瘦壮v=派（a/2派）^2*b=a^2b/4派
同样的矩形卷成高度相同的圆柱与正三棱柱。
V圆柱/v棱柱=派（b/2派）^2/[根号3/4*（b/3）^2]=3根号3/派&1
体积v=4/3派r^2
表面积s=4派r^2
立体图& & & & 内切球& & & & 外接球
长方体& & & & 无& & & & 直径等于体对角线。半径=根号下（a^2+b^2+c^2）/2
正方体& & & & 直径等于棱长。半径=a/2& & & & 直径等于体对角线，半径=根号3*a/2
圆柱体& & & & 只有等边圆柱才有内切球，球半径=圆柱半径& & & & 球直径=轴截面对角线球半径=根号下（4R^2+h^2）/2
几何四3（8.25下午陈剑）
水珠为球形的原因。表面积尽量小，防止过快蒸发。体积相等的正方体等边圆柱和求其表面积s正&s柱&s球。
周长相等的正三角形正方形及圆。S圆&s正&s三角。
对于周长相等的多边形，随着边数的增多，面积越来越大。
水的问题：将某容器中的水倒入另一个容器
& && && & 密闭容器中水的不同摆放方式
& && && & 水中放入某立体图形，
几何四4（8.25下午陈剑）
例7例8例9例10
球v大：v小=（r大/r小）^3=64&&r大/r小=4/1
S小/s大=64（r小/r大）^2=4
公式：一个大金属球熔化制成n^3个小金属球则表面积为原来的n倍
例11.关键：看那些面连在一起。
高分指南p236 3题
概率一上（8.19上午陈剑）
第七章排列组合
考试地位：5-6个题计15-18分占1/4比重
特点：变数：研究的是不确定性问题，即研究随机问题。（确定的元素及位置看成一种方法。）
复习要求：“新的考试方法、思路”。“导航图”。“口诀化（模板化）”
公式少、运算小
一两个基本原理：（分析问题的首要思路）
1加法原理：
定义完成一件是有n类办法，每类又有mi中方法共有m1+m2+……+mn种
本质：每类方法都能独立完成该认为。
特征：分成几类就有几项相加。
2乘法原理：
定义：完成一件事分成n步，每步又有mi种方法。则共有m1*m2……*mn种
本质：缺少任何一步均无法完成任务。
特征：分成几步就有几项相乘。
3两个原理的区别与联系
当两个原理同时出现一定要先加后乘，即先分类再分步。
标志：任务是否完成： 完成 +
& && && && && && && & 未完成：乘号
二排列定义及公式:
排列pnm或anm。（乘法原理）
1定义：从n个不同元素中任取m个元素并为一组记做cnm
2使用三条件：n个不同元素、任意取（不指定）、并为一组（不排序）
3计算公式：cnm=n*（n-1）*……(n-m+1)/m!
特殊m=0，cn0=1&&0！=1
Cnk=cn n-k
组合.Cnm表示从n个中取m个构成小组的个数。
排序的口诀：
几个元素排序几的阶乘。
100个人取10个人包含张三李四让他们占城一排，有多少种方法。C98 8*10!
口诀指定元素不参选但参与排序
概率一中（8.19上午陈剑）
在要求张三最左边李四在最右边c98 8*8!
口诀：指定元素放在指定位置不排序。
四常考数值：c3 0=c3 3=1 c3 1=c3 2=3 3!=6
C4 0=c4 4=1 c4 1=c 4 3=4 c4 2=64!=24
C5 1=c5 4=5 c5 2=c5 3=10 5!=120
C6 2=c6 4=15 c6 3=20 6!=720
排列组合知识要点及思路方法
一四大符号：+*-/
+：加法原理（分类）
*：乘法原理（分步）
-：反面求解法（正面不易求）
/：消除排序（乘法的逆算）
二五大基本方法：
1相邻问题：打包捆绑法
2相间问题：插空法
4对号与不对号：
5列举、穷举法
三六大技能
1分堆、分配（分堆+配送）
2排座位：单排、多排、环排
3可重复选取：m^n
4正面复杂反面求解法
5全能元素：在同一时刻只能充当一个角色。
6涂色：每个区域只能一种颜色。相邻区域不同色。
题型1准确分步及合理分类（两个原理的应用。
例1口诀：固定某类元素让另一类元素排序。
从同一类元素中，前后选取两次会出现重复（随机取）。除法口诀：几个元素多排序就除以几的阶乘。
例2区别：分组不讲顺序（不能排序）分配问题将元素按位置逐一分好。
概率一下（8.19上午陈剑）
口诀：对于 在 或 不在，优先考虑 在 某位置。即优先考虑确定性的东西，在考虑不确定的
题型2约束条件排列
常用约束条件：含不含、在不在、至少至多。相邻相间、整除、数列、奇数偶数
P198&&6.3&&6.4
口诀：相同元素列举法
概率二1（9.9下午陈剑）
常考思路及方法
1反面求解法：正面复杂时，可采用反面分析。
否定词：“不在”“不含”
定性词“至少“”至多“”不少于”“不多于“
关系词：“或”“并”
P198题型3正难则反，等价转化策略
2减法、除法
两者都为解决重复多算问题。
减法：分类的角度多算了。
& && &从反面求解。
7个人站成一排，甲不在排头已不在排尾求有多少种
甲：在尾 6！
中间：c5 1*c5 1*5！或7！-6！-6！+5！
N！-2*（n-1）！+（n-2）！
除法：从排序的角度多算
三类使用除法的情况：
局部元素相同
思路：先看成不同元素全排列，再除以相同元素个数的阶乘。
例6.18例6.14
局部元素定序：（高矮、大小……）
思路：先将元素全排列，再除以定序元素个数的阶乘
定序问题的本质是组合问题。
小结：对于局部元素相同或定序问题，只需用组合选位置即可无需排序。
出现等数量分堆.
思路：分好后要除以相同数量堆数的阶乘。
概率二2（9.9下午陈剑）
例：6本不同的书& && && && && && && && &6本相同的书
3本2本1本分为三堆：c6 3c3 2c1 1& && &1
4、1、1& &c6 4 c2 1c11/2!& && && && && &1
2、2、2& &c6 2 c4 2c22/3!& && && && && &&&1
甲3乙2丙1&&c6 3 c3 2c1 1& && && && && &&&1
甲4乙1丙1& &c6 4c2 1c1 1& && && && && &&&1
甲2乙2丙2& &c6 2 c4 2c2 2& && && && && &1
3、2、1交给三人 c6 3c3 2c11*3!& && && && &&&3！
4、1、1交给三人&&c6 4c2 1c11/2！*3!& && &&&C3 1& && &
2、2、2交给三人&&c6 2c4 2c2 2/3！*3!& && && &1
未指定人分配时先分堆在乘以人数的阶乘。指定人数分配时不用考虑直接
当元素相同时仅以数量作为区分标志
例6.35例6.17
3相同元素的分配问题——隔板法
例6.24例6.25例6.26例6.27例6.28
使用要求 ：元素相同n个
& && && &&&分配对象不同m个
& && && &&&每个对象至少分一个c n-1&&m-1隔板数。
& && && &&&若允许空cn+m-1 m-1
概率二3（9.9下午陈剑）
4排座位（元素、位置问题）
三种类型：
单排：相邻、相间、排头、排尾。
例5男2女站成一排，男生甲站正中间且两女生相邻。C4 1c 2 1 *2!
多排（一般考两排。
例 有两排每排6个座位。前排中间两个位置不能做，现有3人就做：
甲乙不相邻：甲乙：前排& && &c2 1c2 12!c8 1
& && && && && && &后排& && &c5 2&&2!c8 1
& && && && && && &一前一后c 4 1 c6 1 2!c8 1
总数c10 3-甲乙相邻：c7 1 2！c8 1
甲乙丙三人不相邻:：反面：至少有两个相邻
后排：c4 3*3！=24
有前有后：一前2后:c3 1c4 1*c5 2*2!
& && && & 2前1后:c3 2c2 1c2 1*2!c6 1
环排：（无首无尾无方位区分）
N个人坐成一圈有（n-1）！种
例4男4女坐成一圈男女交错座有多少种做法：3！*4！
5对号与不对号问题：
对号;:就1种（确定问题
不对号：背答案
两个元素不对号：1种
三个元素不对号：2种
四个元素不对号：c3 1c3 1*1=9种
五个元素不对号：44种
例8个杯子与杯盖发现有4杯盖放对了另外4个杯盖放错了。有多少种这样可能性？
6可重复元素的排列问题：
例6.34每后面的项放在次方上
每a只一个b b^a
概率二4）9.9下午陈剑）
7人争5项冠军每项冠军只1人：7^5
7人参加5项培训每人只参加一项。5^7
7人参加5项考试考试时间相同：5^7
7人坐车有5车站可下车：5^7
7人进5个房间：5^7
P240-12p268-10
要求：相邻区域不同色
& &&&每个区域只一种颜色
概率三1（9.15上午陈剑）
第八章概率（三个中心
一古典概型：（比例问题）
计算公式p（a）=a包含的情况数/总情况数
计算特征：分别用排列组合计算出分子与分母的情况数。
题型1事件运算关系（加法、乘法）
例1：p=5/7*2/6*1/5+2/7*5/6*1/5=2/21
改：不超过3次找到了2件次品。P=2/7*1/6+2/21=1/70=c2 2/c7 2
改：取3次出现2件次品：p=c5 1 c22/c7 3
对于逐次不放回取样的概率等于一次性取样的概率。
例2：p=c8 3/c10 3
必然事件：必然发生的事件概率为1
不可能事件：不可能发生的时间：概率为0
改成：3只红黑都有p=c2 2c8 1+c2 1c8 2/c10 3
例3：甲合格概率p1=（c8 2c2 1+c8 ）/c10 3=14/15=1-c8 1c2 2/c10 3
乙合格概率p2=(c6 2c4 1+c6 3)/c10 3=2/3
故甲乙都合格p1p2=28/45
概率三2（9.15上午陈剑）
例4：（amb）在三角形内部
a=1 b=1——4
a=2 b=1——3
a=3 b=1——2
概率p=10/36=5/18
投掷两次：点数之和或之积满足某条件。
& && && & 点数构成坐标落入某图形。
& && && & 作为方程的系数分析根的情况。
X^2+bx+c=0有实根的概率。
德尔塔=b^2-4c&=0&&b^2&=4c b=2 c=1 ;b=3c=1,2;b=4c=1,2,3,4;b=5c=1——6b=6c=1——6
共19种p=19/36&&德尔塔&017种&017种=02种共36种
掷三次：点数之和为奇数或偶数
& && &&&构成等差数列等比数列
& && &&&出现最大点数、最小点数
三次得到点数一次构成等差数列的概率、等比数列的概率
D=0 6个 d=1 1、2、3/2、3、4/3、4、5/4、5、6d=-1 共8个
D=2 1、3、5/2、4、6d=-2共4个总共18个
P=18/（6*6*6）=1/12
Q=1 6个 q=21、2、4。Q=1/2 p=8/（6*6*6）=1/27
三次，得到点数最大为4&&p=（1+3*3+3*3*3）/6^3
P=(4^3-3^3)/6^3
得到点数最小为4：p=(3^3-2^3)/6^3
最大为k。&=k-&=k-1
最小为k：&=k-&=k+1
概率三3(9.15上午陈剑)
常考类型：颜色：双色
& && && & 编号：约束条件
& && && & 混合：二次取球问题
例5：p=1/3*4/8+1/3*5/8+1/3*0=3/8
& &&&技巧：当盒子与球均任意选取，可利用最小公倍数将每个盒子球的数量统一再将其混合在一起分析。
例6 p=6/1*3/8=9/40
例7: p=c3 2/c5 3=3/10
题型3 分房问题（可重复问题）
例8恰有一个为空情况数：c4 2c4 3*3!/4^4=9/16
概率三4（9.15上午陈剑）
5球放入3盒子，盒子非空：
相同球相同盒子2
相同球不同盒子3+3=6c4 2
不同球相同盒子c5 3+c52*c32/2!=25
不同球不同盒子25*3!=150
元素：相同：分配对象相同：列举
& && && && &分配对象不同：隔板法
& &&&不同：分配对象相同：分堆
& && && &&&分配对象不同：先分堆在排序
例9& & & &&&p=2^2/4^2=1/4
题型4随机取样问题（约束条件）
例10& & & & p=9/10*8/9*1/8=1/10
一窜n把钥匙，逐一尝试第三次才能试开概率
一把能开门1/n每次试开的概率相同
2把能开门（n-2）/n*(n-3)/(n-1)*2/(n-2)
例11& & & & 2/10
5签2中奖每人中间概率
抽取后放回p甲=p乙=2/5
抽取后不放回p甲=2/5&&p乙=2/5*1/4+3/5*2/4=2/5
概率四1（9.15下午陈剑）
例12配对问题：c6 1c5 2c2 1c2 c1+c6 2=255
P=255/c12 4=17/33
反面p=1-c6 4c2 1c2 1c2 1c2 1/c12 4=17/33
归纳：n双鞋取出k只不成双、方法数为：cn k 2^k
例13之和为5 p=4/36=1/9
& && && && &之和为9p=4/36=1/9
例14质数2、3、5、7. c4 2c2 1*3/4^3=9/16
合数4、6、8、9c4 2c2 1*3/4^3=9/16
例15同类不同类p=(c12 2+c10 2+c8 2+c6 2)/c36 2=77/315
P（不同类）=1-p（同类）
二独立事件 （概率的乘法）
1定义p（ab）=p（a）p（b）几个事件同时发生的概率等于每个事件概率相乘。
2应用：独立、互不干扰
& && &&&定概率
& && &&&有放回取样（样本不变）
例甲乙丙破译密码成功的概率分别为p1p2p3求下列情况概率：
三人中恰有一人破译成功：p=p1(1-p2)(1-p3)+p2(1-p1)*(1-p3)+p3(1-p1)(1-p2)
至少有两人破译成功:p=p1p2(1-p3)+p1p3(1-p2)p2p3(1-p1)+p1p2p3=p1p2+p1p3+p2p3-2p1p2p3
密码被破译(表示至少有一人破译成功)的概率：p=1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)
例18设射击n次。至少命中一次的概率=1-0.75^n&=0.75 0.75^n&=0.25 n&=log0.75 0.25约等于4.8 n至少为5:
概率四2（9.15下午陈剑）
设每次命中的概率为p则n次中至少命中一次的概率为1-（1-p）^n
P211 例6.47
三个元件正常的概率分比为p1p2p3，串联方式系统正常概率：p1p2p3（都正常）并联方式系统正常工作概率：1-（1-p1）(1-p2)(1-p3)(至少一个正常)
例6.49击中飞机
设每门炮命中率为p1要使命中敌机的概率为p2至少需要多少门炮1-（1-p1）^n=p2
概率四3（9.15下午陈剑）
三贝努力公式
1公式：n次试验中成功k次的概率为cn k*p^k *q^(n-k)
2各参数含义、n——试验总次数k——成功次数 n-k——失败次数p——每次成功的概率q=1-p——每次失败的概率
天气预报每天准确率为p1一周7天：
有4天准确的概率：c7 4*p1^4*(1-p1)^3
有4天准确且周三准确的的概率：c6 3*p1^4*(1-p1)^3
有4天准确且周三不准确的概率：c6 4*p^4*(1-p)^3
有4天准确且周三准确周五不准确的概率：c5 3*p^4*(1-p)^3
本质：cnk对于确定的结果（无论成功还是失败）不能选。成功多少次写p的多少次方失败多少次写q的多少次方
比赛的特征：
比赛的局数不一定打完只需分出胜负即可
冠军最后一局一定胜
比赛局数越多对有实力的人越有利。（消除偶然因素）
例6.42例6.44
数据描述：
公式：=（x1+x2+……+xn）/n
概率四4（9.15下午陈剑）
例6.52p236-6
技巧一：将每人的数值共同扣掉一个整数m，再将剩余的数值平均分，平均分=m+剩余数值/n
技巧二：按数值（成绩）将人数平分，口算出此时平均值a，再将剩余数值平均分平均数=a+剩余值/n
二方差和标准差
1方差s^2=1/n[(x1-平均值)^2+……+（xn-平均值）^2]
=1/n[(x1^2+……+xn^2)-2x均值（x1+……xn）+nx均值^2]=(x1^2+……xn^2)/n-x均值^2=x^2均值-x均值^2
标准差s=根号（s^2）
平均数：表示实力
当平均数相同时在比较方差或标准差。方差或标准差越小数据越稳定。
例2& & & & x+y=20 1/5[(x-10)^2+(y-10)^2+1+1]=2 x=12 y=8
直方图：频数直方图
& && & 频率直方图。
组中值代表范围的平均分
面积=组距*（频率/组距）=频率
谢谢，顶顶啊
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