【答案】分析：（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可；（Ⅱ）把a，b代入解析式可得△=4-12c≥0，等于0时可直接求得c的值；求出y的相应的值后可得c的取值范围；（Ⅲ）抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的实数根的个数，因此，本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程3ax2+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．解答：解：（Ⅰ）当a=b=1，c=-1时，抛物线为y=3x2+2x-1，方程3x2+2x-1=0的两个根为x1=-1，．∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（-1，0）和（，0）；（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4-12c≥0，有c≤．（3分）①当时，由方程3x2+2x+=0，解得x1=x2=-．此时抛物线为y=3x2+2x+与x轴只有一个公共点（-，0）；（4分）②当时，x1=-1时，y1=3-2+c=1+c；x2=1时，y2=3+2+c=5+c．由已知-1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有即，解得-5＜c≤-1．综上，或-5＜c≤-1．（6分）（Ⅲ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，由已知x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，又∵a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．∴2a+b＞0．∵b=-a-c，∴2a-a-c＞0，即a-c＞0．∴a＞c＞0．（7分）∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2-12ac=4（a+c）2-12ac=4[（a-c）2+ac]＞0，∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．（8分）又该抛物线的对称轴，由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得-2a＜b＜-a，∴．又由已知x1=0时，y1＞0；x2=1时，y2＞0，观察图象，可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．（10分）点评：借助图象，可将抽象的问题直观化；二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；抛物线与x轴交点的个数就是一元二次方程根的个数．
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科目：初中数学
已知抛物线y=ax2+3ax+b交x轴分别于A、B（1，0），交y轴于C（0，2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图（1），P为抛物线第三象限的点，若S△PAC=2S△PBC，求P点坐标；（3）如图（2），D为抛物线的顶点，在抛物线上是否存在点Q，使△ADQ为锐角三角形？若存在，求出Q点横坐标的取值范围．
科目：初中数学
已知抛物线y=ax2-3ax+4，（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线与x轴交于A（-1，0）、B两点，且过第一象限上点D（m，m+1），求sin∠DAB．
科目：初中数学
题型：解答题
已知抛物线y=ax2-3ax+4，（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线与x轴交于A（-1，0）、B两点，且过第一象限上点D（m，m+1），求sin∠DAB．
科目：初中数学
来源：学年福建省厦门市松柏中学九年级（上）期中数学试卷（解析版）
题型：解答题
已知抛物线y=ax2-3ax+4，（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线与x轴交于A（-1，0）、B两点，且过第一象限上点D（m，m+1），求sin∠DAB．
科目：初中数学
来源：2010年湖北省武汉市中考数学模拟试卷（13）（解析版）
题型：解答题
已知抛物线y=ax2+3ax+b交x轴分别于A、B（1，0），交y轴于C（0，2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图（1），P为抛物线第三象限的点，若S△PAC=2S△PBC，求P点坐标；（3）如图（2），D为抛物线的顶点，在抛物线上是否存在点Q，使△ADQ为锐角三角形？若存在，求出Q点横坐标的取值范围．
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，可得函数对称轴方程，又因为函数最低点的纵坐标为-4，所以可求的抛物线顶点坐标，设出抛物线顶点式，利用待定系数法解答即可；（2）作出辅助线，过点O1作O1P⊥x轴于P，连接O1A，构造有一角∠AO1P与∠ACB相等的直角三角形，并求出相应边长，根据正切函数定义解答；（3）①由（2）中结论，直线CF1过C（0，5），O（3，3），可求出CF1的解析式，易得F1的坐标；②根据对称性，由①可以求出x轴上另一点F2（-152，0）．③④△OCF3与△DEC时，根据相似三角形的性质求出OF3的横坐标．解答：解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，所以二次函数的对称轴为x=1+52=3，因为其最低点的纵坐标为-4，故顶点坐标为（3，-4）．设解析式为y=a（x-3）2-4；将A（1，0）代入解析式得a（1-3）2-4=0，即a=1，解析式为y=（x-3）2-4，化为一般式得抛物线的函数解析式为：y=x2-6x+5；（本小题3分）（2）tan∠ACB=23．过点O1作O1P⊥x轴于P，连接O1A，由抛物线与圆的对称性可知O1P所在的直线是抛物线的对称轴．故OP=3，AP=OP-OA=2，由CD=AB得：CD=AB=4过点O1作O1Q⊥y轴于Q，由垂径定理得：DQ=CQ=2，O1P=OQ=OC-CQ=3，故tan∠ACB=tan∠AO1P=APO1P=23；（本小题3分）（3）①设CE交x轴于F1，因为DE∥AB，所以∠DEC=∠OFC，∠COF1=∠CDE，所以△OCF1∽△DCE．直线CF1过C（0，5），O（3，3），得其解析式为y=-23x+5；当y=0时，得x=152，所以F1（152，0）．②△OCF2∽△DCE时，根据对称性，由①可以求出x轴上另一点F2（-152，0）．③△OCF3∽△DEC时，OF3DC=CF3CE，即OF34=52+OF32213，两边平方得OF3=103．存在点F，点F的坐标分别为：F1（152，0）、F2（-152，0）、F3（103，0）、F4（-103，0）．（适当写出过程，每求出一个点得1分）点评：此题综合考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和圆周角与圆心角的关系等基础知识，还结合相似三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的难度．
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科目：初中数学
8、如图，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是（　　）A、B、C、D、
科目：初中数学
如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P（-，），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．（1）求a值；（2）设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设A，B两点的横坐标分别记为xA，xB，若在x轴上有一动点Q（x，0），且xA≤x≤xB，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？
科目：初中数学
如图，抛物线y=-ax2+ax+6a交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点D，O为坐标原点，抛物线上一点C的横坐标为1．（1）求A，B两点的坐标；（2）求证：四边形ABCD的等腰梯形；（3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．
科目：初中数学
已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在此抛物线上，矩形面积为12，（1）求该抛物线的对称轴；（2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；（3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．
科目：初中数学
已知：如图，抛物线y=ax2+ax+c与y轴交于点C（0，-2），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！已知：当x=2时,抛物线y=ax²+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C（0,3）,与X轴交于点A、B（1）求该抛物线的关系式（2）若点M（x,y1),N(x+1,y2),都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小（3）D是线段AC的中点,E为线段AC上一动点（A、C两端点除外）,过点E做Y轴的平行线EF与抛物线交于点F.问：是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E的坐标,若不存在,说明理由没钱
做过了,下面是答案.
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（1）y=-b/2a=2
y=ax^2-4ax+c
y=a(x-2)^2-4a+c
-4a+c=-1因为过（0,3）所以c=3a=1,b=-4y=x^2-4x+3我只会这个
扫描下载二维码已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-2，0）、B（8，0），与y轴交于点C（0，-4）．直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m=2时，求∠DCF的大小；
（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使得∠DPF=45°，且满足条件的点P只有两个，则m的值为-．（第（3）问不要求写解答过程）
解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），
∵抛物线与y轴交于点C（0，-4），
∴-4=a（0+2）（0-8）．
∴抛物线的解析式为，即2-
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，
∴直线的解析式为y=x+2，
∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，
∴F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，
可得CM=FM=MD=5，
∴F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上．
∴∠DCF=．
（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-）
设F（3，3+m），则FG=m+3+，设D关于对称轴的对称点为D1，
当四边形DGD1F为正方形时，满足题意，此时P点与顶点G重合，或者与D1重合，
故DD1=F′G，D点横坐标为：x=-（F′G-3）=-，纵坐标为-（F′G-3-m）=，
将D点坐标抛物线解析式，解得．
（1）已知抛物线过A（-2，0）、B（8，0）两点，可设交点式y=a（x+2）（x-8），再将点C（0，-4）代入求a即可；
（2）由抛物线解析式可知对称轴为x=3，与y轴的交点（0，-4），可求MC的长，y=x+2，可知D、F两点坐标，计算DM，FM，判断C、D、F三点在以M为圆心的圆上，利用圆周角定理求∠DCF的大小；
（3）当直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使得∠DPF=45°，且满足条件的点P只有两个时，仿照（2）可求满足条件的m的值．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(1,0),且经过点(0,1)(1)求该抛物线对应的函数解析式（2）将该抛物线向下平移m(m＞0)个单位，设得到的抛物线定点为A，与x轴的两个交点为B,若△ABC为等边三角形①求m的值②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，是四边形CBDP为菱形？若存在，写出P点的坐标；若不存在，说明理由。（本题无图！）
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（1）函数y=ax²+bx+c的顶点为（1,0）,∴-b/(2a)=1,①(4ac-b²)/(4a)=0 ②∵经过点(0,1)将其代入y=ax²+bx+c得 c=1 ③由①②③联立解得 a=1,b=-2,c=1∴该抛物线对应的函数解析式为y=x²-2x+1(2)①该抛物线向下平移m(m＞0)个单位这时的顶点坐标为A（1,-m)抛物线轨迹方程y=x²-2x+1-m的解为x=1-√m或1+√m所以这时抛物线与x轴的两交点坐标为B（1-√m,0)和C(1+√m,0）∴ AB=(-√m,m) AC=(√m,m) ∴ |AB|=|AC|=√(m+m²) ,AB*AC=-m+m²∴△ABC是一个等腰三角形若△ABC为等边三角形需令AB与AC的夹角θ=60°,所以cosθ=cos60°=1/2AB*AC=|AB| |AC|cosθ代入得-m+m²=√(m+m²) √(m+m²) *(1/2) 解得m=0或m=3(m=0与m>0矛盾,舍去）∴m=3②存在,线段AD与BC互相垂直平分,∴四边形ACBD为菱形,A是抛物线上的点∴所求点P就是A 点,由①得A(1,-3),即P(1,-3)
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(4ac-b²)/(4a)=0
∵经过点(0,1)
将其代入y=ax²+bx+c得 c=1
最后一问应为不存在因为题目已限定四边形CBDP为菱形，带有字母顺序而这样满足的P点只有一个（2倍根号3+1，3）该点不在抛物线上因此不存在
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