知识点梳理
1.定义：就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似。2.判定：&&（1）平行与三角形一边的(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似&&（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似&&（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似&&（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似&直角三角形相似判定定理&&（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。直角三角形相似判定定理&&（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。3.性质：&&(1)相似三角形的对应角相等.&&(2)相似三角形的对应边成比例.&&(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.&&(4)相似三角形的周长比等于相似比.&&(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.&（6）相似三角形的传递性。
1、与坐标轴、原点对称的特点：关于x的点的横坐标相同,纵坐标互为关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数2、平移的坐标特点。图形向左平移m个单位，纵坐标不变，横坐标增加 m个单位；图形向右平移m个单位，纵坐标不变，横坐标减少m个单位；图形向上平移个单位，横坐标不变，纵坐标增加n个单位；向下平移n个单位，横坐标不变减小n个单位。
在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长为l={\frac{n}{360}}o2πR={\frac{nπR}{180}}。1.这里的，180在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位；2.在弧长的计算公式中，已知中任意的两个量，都可以求出第三个量；3.应区分弧、弧长、弧的度数这三个概念，度数相等的弧，其弧长不一定相等，弧长相等的弧，也不一定是等弧。
【比例的性质】①&基本性质&如果&a:b=c:d&或&{\frac{a}{b}}={\frac{c}{d}}&，那么&ad=bc．②&合比性质&如果&{\frac{a}{b}}={\frac{c}{d}}，那么&{\frac{a±b}{b}}={\frac{c±d}{d}}．③&等比性质&如果&{\frac{a}{b}}={\frac{c}{d}}=…={\frac{m}{n}}\left({b+d+…+n≠0}\right)，那么&{\frac{a+c+…+m}{b+d+…+n}}={\frac{a}{b}}．【黄金分割】点&C&把&AB&分成两条线段&AC&和&BC，如果较长的线段是全线段和较短线段的比例中项，即&{\frac{AB}{AC}}={\frac{AC}{BC}}，这样的线段分割叫做黄金分割，其中点&C&叫做线段&AB&的黄金分割点．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第...”，相似的试题还有：
如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．(1)当∠AOB=30&时，求弧AB的长度；(2)当DE=8时，求线段EF的长；(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．(1)当∠AOB=30&时，求弧AB的长度；(2)当DE=8时，求线段EF的长；(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．(1)当∠AOB=30&时，求弧AB的长度；(2)当DE=8时，求线段EF的长；(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．初中数学 COOCO.因你而专业 ！
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如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作轴垂线，分别交轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．【小题1】当∠AOB=30°时，求弧AB的长度【小题2】当DE=8时，求线段EF的长；【小题3】在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【小题1】连接BC，∵A（10，0），∴OA=10，CA=5。∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°。∴弧AB的长=。【小题2】连接OD，∵OA是⊙C直径，∴∠OBA=90°。又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分线。∴OD=OA=10。在Rt△ODE中，OE=。∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA。∴，即，∴EF=3。【小题3】设OE=，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，∴E1（，0）。当∠ECF=∠OAB时，有CE=5﹣，AE=10﹣，∴CF∥AB，有CF=AB。∵△ECF∽△EAD，∴，即，解得，。∴E2（，0）。②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。连接BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO。∴∠BEA=∠ECF。∴CF∥BE。∴。∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=900，∴△CEF∽△AED，∴，而AD=2BE，∴。即，解得∵＜0，舍去，∴E3（，0）。∵＜0，舍去， 又∵点E在轴负半轴上，∴E4（，0）。综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）。解析:（1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=AO=5，根据弧长公式求解；（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；（3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标．
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连接,,,,,,弧的长;(分)连接,是直径,,又,是的垂直平分线,,在中,,,由,,得,,即,;(分)设,当交点在,之间时,由以点,,为顶点的三角形与相似,有或,当时,此时为等腰三角形,点为中点,即,;当时,有,,,有,,,即,解得:,;当交点在点的右侧时,,要使与相似,只能使,连接,为斜边上的中线,,,,,,,,,,而,,即,解得,(舍去),;当交点在点的左侧时,.要使与相似,只能使连接,得,,,,又,,,,而,,,解得,(舍去),点在轴负半轴上,,综上所述:存在以点,,为顶点的三角形与相似,此时点坐标为:,,,.(分)
本题考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理的运用,圆周角定理,弧长公式的运用.关键是理解题意,根据基本条件,图形的性质,分类求解.
3996@@3@@@@相似三角形的判定与性质@@@@@@266@@Math@@Junior@@$266@@2@@@@图形的相似@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3776@@3@@@@坐标与图形性质@@@@@@251@@Math@@Junior@@$251@@2@@@@平面直角坐标系@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3892@@3@@@@勾股定理@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3946@@3@@@@弧长的计算@@@@@@260@@Math@@Junior@@$260@@2@@@@圆@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3991@@3@@@@平行线分线段成比例@@@@@@266@@Math@@Junior@@$266@@2@@@@图形的相似@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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求解答 学习搜索引擎 | 如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB,AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴,直线OB于点E,F,点E为垂足,连接CF.(1)当角AOB={{30}^{\circ }}时,求弧AB的长度;(2)当DE=8时,求线段EF的长;(3)在点B运动过程中,是否存在以点E,C,F为顶点的三角形与\Delta AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA=90°．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【考点】．【专题】压轴题．【分析】（1）利用圆周角定理，直径所对的圆周角等于90°，即可得出答案；（2）利用（1）中的结论易得OB是的垂直平分线，易得点B，点C的坐标，由点O，点B的坐标易得OB所在直线的解析式，从而得出点E的坐标，用待定系数法得抛物线的解析式；（3）利用（2）的结论易得点P的坐标，分类讨论①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，易得OP所在直线的函数关系式，表示出Q点的纵坐标，得QE的长，表示出四边形POAE的面积；②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3，易得AP所在直线的解析式，从而求得Q点的纵坐标，得QE求得四边形POAE的面积，当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令2+94p+15=16，解得p，得出结论．【解答】解：（1）∵OA是⊙O的直径，∴∠OBA=90°，故答案为：90；（2）连接OC，如图1所示，∵由（1）知OB⊥AC，又AB=BC，∴OB是AC的垂直平分线，∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C（6，8），B（8，4）∴OB所在直线的函数关系为y=x，又∵E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3，即E（6，3），抛物线过O（0，0），E（6，3），A（10，0），∴设此抛物线的函数关系式为y=ax（x-10），把E点坐标代入得：3=6a（6-10），解得a=-．∴此抛物线的函数关系式为y=-x（x-10），即y=-x2+x；（3）设点P（p，-p2+p），①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，OP所在直线函数关系式为：y=（-p+）x∴当x=6时，y=，即Q点纵坐标为，∴QE=-3=，S四边形POAE=S△OAE+S△OPE=S△OAE+S△OQE-S△PQE=oOAoDE+QEoOD-oQEoPxo=×10×3+×（-p+）×6-o（）o（6-p），=2+94p+15②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3，P（p，-p2+p），A（10，0）∴设AP所在直线方程为：y=kx+b，把P和A坐标代入得，2+54p，解得．∴AP所在直线方程为：y=x+，∴当x=6时，y=o6+=P，即Q点纵坐标为P，∴QE=P-3，∴S四边形POAE=S△OAE+S△APE=S△OAE+S△AQE-S△PQE=oOAoDE+oQEoDA-oQEo（Px-6）=×10×3+oQEo（DA-Px+6）=15+o（p-3）o（10-p）=2+4p=2+16，∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令2+94p+15=16，解得，p=3±，∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个，综上所知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．【点评】本题主要考查了圆周角定理及二次函数的相关问题，解决这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，然后数形结合解决问题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：fangcao老师　难度：0.33真题：51组卷：627
解析质量好中差
&&&&，V2.17943在平面坐标系中,点A(13,0),以OA为直径在第一象限内做半圆C,点B是该半圆上的一个动点,连接OB,AB,并延长AB致点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴,直线OB于点E,F,点E为垂足,连接CF,OD 当点E在线段OC之间运动时,是否存在以点E,C,F为顶点的三角形与三角形AOB相似,求点E的坐标
这种题目腻歪透了,看题意老半天,包含的知识点也少.点C位置也不清楚.根本太脱离高考题.建议删去,看看教科书上的基本题目好吧?
做半圆C，所以点C是圆心。这是初三的统考中的最后一题，没写出来，嘻嘻
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