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勾股定理的证明(比较全的证明方法)重点.ppt 21页
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* * * * 32 52 42 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为&勾&，下半部分称为&股&。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 勾股定理的由来 　　这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉 斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。
在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作&商高定理&。 　　毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几 里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》 时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个 定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．） 走进数学史 走进数学史
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法． 1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法 3．刘徽的证法 勾股定理的证明 5．其他证法 　　勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
现在在网络上看到较多的是16种,包括前面的6种,还有: 返回
这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树．
　　也许有人会问：“它与勾股定理有什么关系吗？” 　　仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形．
这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．
关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用面积来进行的．　 传说中毕达哥拉斯的证法 已知：如图，以在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以a、b、c为边向外作正方形．
求证：a2 +b2=c2． 数学故事链接
相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？ 探索勾股定理 　　数学家毕达哥拉斯的发现： A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC A B C 探索勾股定理 A B C SA=a2 SB=b2 SC=c2 a b c a2+b2=c2 设：直角三角形的三边长分别是a、b、c 猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ SA+SB=SC 探索勾股定理 返回
∴S矩形ADNM＝2S△ADC． 又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即平行线AK和BH间的距离），
∴S正方形ACHK＝2S△ABK．
∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB，
∴△ADC≌△ABK．
由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ．
同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．
∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG．
即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG ，
也就是 a2+b2=c2． 传说中
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勾股定理的十六种证明方法
我有更好的答案
其实真心觉得不用记这么多，大致看一下即可，最主要的是掌握其中的1~3种即可，不必记太多，没有用的。
采纳率：73%
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】（邹元治证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90&, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90&. ∴ ∠HEF = 180&―90&= 90&. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90&, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90&. 又∵ ∠GHE = 90&, ∴ ∠DHA = 90&+ 90&= 180&. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 . ∴ . ∴ .
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魅力无比的定理证明 ——勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 1．中国方法 画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 a2+b2=c2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2．希腊方法 直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 容易看出， △ABA’ ≌△AA’’ C。 过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。 △ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。 于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC， 即 a2+b2=c2。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等； ⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 如图， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 ② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD • BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD • AB。 ② 我们发现，把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 如此等等。 【附录】 一、【《周髀算经》简介】 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。 二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。 于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
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17.1 勾股定理PPT课件01
第十七章 勾股定理勾股定理的历史 两千多年前，古希腊有个毕 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 达哥拉斯学派，他们首先发现了 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 勾股定理，因此在国外人们通常 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 称勾股定理为毕达哥拉斯定理。 为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年希腊曾经发行了一枚纪 念邮票。斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此? 相传，毕达哥拉斯发现这一定理时，曾 宰牛百头，广设盛宴，表示庆贺，对这 个定理的重视可想而知。勾 股 定 理 的 历 史边铺 朋 的成 友 某的 家 相 种地 作 传 数面 客 ， 量反 ， 一 关映 发 次 系直 现 毕 。角 朋 达 三友哥 角家拉 形用斯 三砖去弦 勾 股我国是最早了解勾股定理的国家之一。 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、 股四、弦五”，它被记载于我国古代著名 的数学著作《周髀算经》中。勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。 即 : 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a ?b ? c2 22acb? 那么勾股定理是如何证 明的呢？SA+SB=SC CB 图甲 图甲 图乙 4 A的面积 4 B的面积 C的面积 8 1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？ACSA+SB=SCA CB图乙A B 图甲CSA+SB=SC 2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25SA+SB=SC cAaCA aB b图乙c Cb B图甲 图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的 面积有什么关系？SA+SB=SC C a b c c b 图甲 B SA+SB=SC图乙AaC3.猜想a、b、c 之间的关系？2 a2 +b2 =c3.猜想a、b、c 之间的关系？2 a2 +b2 =c3.猜想a、b、c 之间的关系？a2 +b2 =c23.猜想a、b、c 之间的关系？a2 +b2 =c2用 拼 图 法 证 明abb caa bcc ba3.猜想a、b、c 之间的关系？a2 +b2 =c2用 拼 图 法 证 明abb caa bcc ba3.猜想a、b、c 之间的关系？a2 +b2 =c2用 拼 图 法 证 明b∵ S大正方形=4×S直角三角形+ S小正方形a c b1 2 ? a ? b ? ? 4 ? ab ? c 2 b a2 ? 2ab ? b2 ? 2ab ? c22c aaac b2 ∴a2 +b2 =c勾股定理如果直角三角形两直角 边分别为a， b，斜边为c， 那么a 勾股 b 弦 ca ?b ?c222即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.勾股定理的其它证法 ? 勾股定理是几何中一个非常重 要的定理，自古以来人们进行 了大量的长期的研究，目前世 界上可查到的证明方法有三百 多种。? 我国有记载的最早勾股定理的证明， 是三国时，我国古代数学家赵爽在他 所著的《勾股圆方图注》中，用四个 全等的直角三角形拼成一个中空的正 方形来证明的。 每个直角三角形的 面积叫朱实，中间 的正方形面积叫黄 实，大正方形面积 叫弦实，这个图也 叫弦图。a b c赵爽弦图 c大正方形面积怎么求？a cab1 2 (b ? a) ? 4 ? ab ? c 22bb ? 2ab ? a ? 2ab ? c2 22结论：a ?b ? c2 22
有趣的总统证法美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史 上被传为佳话人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、 易懂、明了的证明，就把 这一证法称为“总统”证法。结论变形直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。c2 = a 2 + b 2c ? a ?b22 22cba ? c ? b ? (c ? b)(c ? b)b ? c ? a ? (c ? a )(c ? a )2 2a例题分析例1 在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长.∵ Rt△ABC中, ∠C是直角 ∴ AC2+BC2=A B2 ∴ AB ? AC 2 ? BC 2 ? 242 ? 7 2 ? 625 ? 25如果将题目变为： B八年级下册勾股定理----理解24 C在Rt△ABC中,AB=41, BC=40,求AC的长呢？A724AC ? AB2 ? BC 2 ? 412 ? 402 ? 81 ? 9结论：在直角三角形中，已知两边可以求第三边.试一试:1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°. (1) 已知：a=6，ｂ=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b；常 见 勾 股 数(3) 已知：c=13，b=5，求a；方法 (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b. 小结(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程.2、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４， AC＝３,则BC的长为B 4.B4C3AA 3 C3、如图,折叠长方形的一边，使点D 落在BC边上的点F处，若AB=8， AD=10. 求：EC的长.A10D 8-x810 8-x 6 FE x CB4利用勾股定理证明4、如图， △ABC 中，CD⊥AB于D求证：AC2 C BC2 = AB ? （AD -BD）CA DB
测验1、在Rt△ABC中，∠C=90°, (1)已知a=3,b=4,则c=______ (2)已知a=6,c=10,则b=_____ (3)已知a=2,b=4,则c=______ 2、直角三角形的两条边长分别为 5、12，则第三边长为 .3、如图,折叠长方形的一边，使点D 落在BC边上的点F处，若AB=8， AD=10. 求：EC的长.A10D 8-x810 8-x 6 FE x CB44、如图，在△ABC中，AB=AC，D点 在CB延长线上， 求证：AD2-AB2=BD? CDADBC如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线 A 上，求证：AD2-AB2=BD? CD 证明：过A作AE⊥BC于E D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) ∵AB=AC，∴BE=CEBEC= DE2- BE2 = (DE+BE)? ( DE- BE) = (DE+CE)? ( DE- BE) =BD? CD勾股定理如果直角三角形两直角 边分别为a， b，斜边为c， 那么a 勾股 b 弦 ca ?b ?c222即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.探究1、求下列各边长：? 1 ？ 23 245°？？45°1？等腰直角三角形三边的比为1：1： 2探究2、求下列各边长：？ ？ 4?130°30°？30°3 3？？含有30°的直角三角形三边的比为1： 3 ：2练习1、在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°， AB=10 (1) ∠A=30°，求：BC、AC (2) ∠A=45°，求：BC、AC练习2、一个3m 长的梯子AB,斜靠 在一竖直的墙AO 上,这时AO的距离 为2.5m,如果梯子 的顶端A沿墙下滑 0.5m,那么梯子底 端B也外移0.5m吗?A COBD探究3、在数轴上画出表示 2, 3, 5 ?的点。扩展利用勾股定理作出长为 的线段.2,3,5?1 12345
探究、 如 图 , 一 圆 柱 高 8cm, 底 面 半 径 2cm, 一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食 , 要 爬行的最短路程是( ) (π的值取 3) B2O 蛋糕 BC8AA如图,正四棱柱的底面边长 为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂 蚁欲从正四棱柱的底面上的 点A沿棱柱侧面到点C1处吃食 物,那么它需要爬行的最短 D 路径是多少？ C11A1 8 D A 5B1C B 5将四棱柱的侧面展开,连结AC1,A1D1 B1C1D1D B1 C1CA1AB8AD B C55直角三角形两直角边分别为5厘 米、12厘米，那么斜边上的高是多 少？a?b=c?h勾股定理---运用 八年级下册如图，在△ABC中，∠ACB = 90 ， CD是高，若AB=13cm，AC = 5cm，求 CD的长； C∵ ∠C=90° ∴AC2+BC2=AB2。? BC ? AB2 ? AC 2 ? 132 ? 52 ? 12 1 1 S ?ABC ? AC ? BC ? AB ? CD A 2 2B D5 ?12 ? 13? CD60 CD ? 13
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b， 2 2 2 斜边为c，那么 a ? b ? c互逆命题勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b 2 = c 2那么这个三角形是直角三角形。且边C 所对的角为直角。互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的 题设是第二个命题的结论, 而第一 个命题的结论又是第二个命题的题 设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么 另一个叫做它的逆命题.互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是 真命题, 那么它也是一个定理, 这 两个定理叫做互逆定理, 其中一个 叫做另一个的逆定理.定理与逆定理（1）任何一个命题都有逆命题； 原命题与逆命题的关系是题设和结论 相互转换 （2）原命题正确，逆命题不一定正确； 原命题不正确，逆命题可能正确。 （3）一个定理未必有逆定理。 我们已经学习过哪些互逆的定理。写出下列命题的逆命题并判断它们是否成立:（1）等腰三角形的两底角相等原命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个 三角形的两底角相等。逆命题：如果一个三角形的两底角相等，那么这个 三角形是等腰三角形。（2）两直线平行，同位角相等原命题：如果两条直线平行，那么同位角相等。逆命题：如果同位角相等，那么两直线平行。（3）三内角之比为1:2:3的三角形为 直角三角形原命题：如果一个三角形三内角之比为1：2：3， 那么这个三角形是直角三角形。 逆命题：如果一个三角形是直角三角形， 那么这个三角形三内角之比为1：2：3。练习：说出下列命题的逆命题，并说明这些命题 的逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对 值相等； （3）全等三角形的对应角相等； （4）到角的两边距离相等的点在角的平分 线上。例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a＝15 , b ＝8 , c＝17(2) a＝13 , b ＝15 , c＝14解：∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289 ∴ 152＋82＝172 ∴这个三角形是直角三角形下面以a,b,c为边长的三角形是不是直 角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= 3 (4) a:b: c=3:4:50 是 ∠ A=90 ____ _____ ;不是 ____ _____ ; 是 ____ ∠ _____ B=900; 0 ∠ C=90 是 _____ _____ ;像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.练一练1. 三角形三边长a、b、c满足条件(a ? b) ? c ? 2ab, 则此三角形是(2 2B)A、锐角三角形 C、钝角三角形B、直角三角形 D、等边三角形中考链接已知：如图，四边形 ABCD 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?C4 12B3D A131、已知 △ABC三角形的三边分别为 a,b,c 且a = m - n ,b = 2mn, c = m ?n2 2 2 2(m & n,m,n是正整数)， △ABC是直角三角形吗?说明理由分析：先来判断a,b,c三边哪条最长， 可以代m,n为满足条件的特殊值来试， m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。解： ? a ? b ? (m ? n ) ? (2mn) ? (m ? n ) ? c2 2 2 2 2 2 2 2 22∴△ABC是直角三角形自主评价：1、勾股定理的逆定理 2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。
小结：2勾股定理如果直角三角形两直角 边分别为a， b，斜边为c， 那么a ?b ?c22a 勾股 b弦 c即直角三角形两直角边的 平方和等于 斜边的平方.含有30°的直角三角形三边的比为1： 3 ：2等腰直角三角形三边的比为1：1： 2方法 小结c ? a 2 ? b2a ? c 2 ? b 2 ? (c ? b)(c ? b)1、运用勾股定理计算①知两边长直接求一边。b ?c 2 ? a 2 ? (c ? a)(c ? a)②只知一边长，可运用方程求另两边。 ③对于含45度和30度的直角三角形，可用 比例求边长。 2、运用勾股定理证明：构造直角三角形测验（1）直角三角形的两条直角边长分 别为3、4，则斜边长为 .（2）等腰直角三角形的腰长是1，则 底边长为 .（3）直角三角形中，30度的角所对 的边为5，则另两边长为 .4、等腰三角形底边上的高为8，周 长为32，求：这个三角形的面积。5、在平面直角坐标系中，点（-3，-4） 与原点之间的距离是_______， 点（3，- 4）与点（2，1）之间的距 离是_______.6.在? ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,a=____,b=___. (2)若a=8,b=15,则c=______.7.若正方形的面积为3cm2，则它的对 角线长是 . 8.一个直角三角形的三边为三个连续 偶数，则它的三边长分别 为 .9、已知，如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长.C D 1 2 BA10、如图，一块直角三角形的纸片，两直 角边AC=6M，BC=8M。现将直角边AC沿直 线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重 合，求CD的长．A ECD第8题图ＤB11、如图，在Rt △ABC中， ∠C=90°, ∠A=15°,BC=1,求 △ABC的面积。BDC A12、 △ABC中， ∠A=45°， ∠B=30°，BC=8，求AC的边长。CAB13、如图，小颍同学折叠一个直角 三角形的纸片，使A与B重合，折痕 为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm, 你能求出CE的长吗？D BAEC14、 如图，∠ACB=∠ABD=90°， CA=CB，∠DAB=30°，AD=8， 求：AC的长。D C 8 A30°B15 、 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， ∠BAD =900，∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC = 12， 求CD；D A C B16、直角三角形两直角边分别为5厘 米、12厘米，那么斜边上的高是多 少？八年级下册勾股定理---运用8.△ABC中,周长是24,∠C=90°,且 b=6, 则三角形的面积是多少? 解： ∵周长是24，且b=6 ∴a+c=24-6=18 设a=x,则c=18-x ∵ ∠C=90°, ∴a2+b2=c2 解得：x=8 ∴x2+62=(18-x)2S ?ABCA cbC a B1 1 ? ab ? ? 8 ? 6 ? 24 2 2已知三角形ABC中，AB=10，BC=21， AC=17，求BC边上的高线AD。 A 解：设BD=X，则DC=21－X。 ∵AD⊥BC ∴AD2=AB2-BD2=102-X2 B C D AD2=AC2-CD2=172-（21-X）2 ∴102-X2=172-（21-X）2 解，得 X=6 ∴AD2=102-62=64 ∴AD=8八年级下册勾股定理 勾股定理---运用8.△ABC中,周长是 2 ? 6, ∠C=90°,且 c=2,则三角形的面积是多少? Ac b C a B9.直角三角形中,斜边长是 2 6 , 面积为2,则 三角形的周长是多少?A如图，在Rt△ABC中?C=90?， AC=BC,且BC=5, 求三角形ABC的 面积和底边上的高 BAC如图，在Rt△ABC中?C=90?， ?A=30?，,且AC=3, 求BC的长和 三角形ABC的面积C B八年级下册勾股定理---运用求12.如图，△ABC中，∠A=45°， ∠B=30°，BC=8. AC的长.C 8 4 A 4D42B八年级下册勾股定理 勾股定理---运用6.如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°, ∠C=45°,AD=1,BC=2,求CD的长. （1） ∠B=90°, ∠C=45°, BC=2 则BE=BC=2E4501 D 1 2EC ? 22 ? 22 ? 8 ? 2 22（2） ∠B=90°, ∠C=45°, 则∠E=45°A ∵∠ADE=90°, ∠C=45°, AD=1 ∴DE=AD=1 B450 C? DC ? EC ? ED ? 2 2 ?1八年级下册勾股定理 勾股定理---运用10.如图，在四边形ABCD中，∠BAD =900，∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD和四边形ABCD的面积； D ABD ? AB2 ? AD2 ? 42 ? 32 ? 5DC ? BC 2 ? BD 2 ? 122 ? 52 ? 13S四边形 ABCD ? S ?ABD ? S ?BCDBC1 1 ? ? 4 ? 3 ? ? 5 ?12 ? 36 2 2八年级下册勾股定理 勾股定理---运用9.在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm,求△ABC的 面积。 A 作AD⊥BC于 D ∵ AB＝AC, AD⊥BC1 1 ? BD ? BC ? ?10 ? 5 2 2? AD ? AB2 ? BD 2 ? 132 ? 52 ? 121313 HS ?ABC1 1 ? BC ? AD ? ?10 ?12 ? 60 2 2B 10 DC2、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个 三角形的面积 解：设这个三角形为ABC， 高为AD，设BD为X，则AB 为（16-X）， A 由勾股定理得： X2+82=(16-X)2 即X2+64=256-32X+X2 ∴ X=6 ∴ S?ABC=BC?AD/2=2 ?6 ?8/2=488BXDC1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7 2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求（1）BD （ 2） CD （3）BCA ABDCBC例4、在下图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF 长为12厘米，求正方形CDEF的面积。F EAC2=32+42=52 SCDEF=FC2=AF2+AC2=122+52 =132=169厘米2A C B D例5、如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什 么关系？ S3 S1+S2=S3S1 S2即：两直角边上的半圆面积之 和等于斜边上半圆的面积。1、小明从家出发向正北方向走了150米，接着向正 东方向走到离家250米远的地方，小明向正东方向 走了多远？2、一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米。 （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方 向也滑动了4米吗？郑凯想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你 能帮他算出旗杆的高吗？Ax米(X+1)米C5米B如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、 3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂 蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短 路程是多少？ Ｃ Ａ ２０ 3 A 20 ２ 2 3 3 2B32 Ｂ已知：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A,∠B,∠C的对边分别为 a,b,c,设△ABC的面积为S,周长为P （1）填表： 三边a b c a+b-cS P3 、4、5 5、12、13 8、15、172 4 6（2）如果a+b-c=m， 观察上表猜想 S P =_______ (用含有m的代数式表示)。 （3）证明（2）中的结论。如图，长方体的长为15 cm， 宽为 10 cm，高为20 cm， E 点B离点C 5 cm,一只蚂蚁 如果要沿着长方体的表面 从点 A爬到点B，需要爬 A 行的最短距离是多少？E 20 20 A 10 F A 10 F C5 B C15 A 205 CB201510DFB E 10 CE 2010C 5 BE5 C20B15AAF1510FDC 20 A 10 F15 A 20 E 10 B C八年级下册勾股定理 勾股定理---运用1尺 5尺葭生池中今有方池一丈， 葭生其中央， 出水一尺， 引葭赴岸， 葭(jiá) 适与岸齐。 问：水深、葭长各几何？解：可设葭长为x尺，则水深为(x-1)尺X-1X则有: (x-1)2+52=x2解得： x=13 所以：葭长13尺，水深12尺。7.有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半 径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一 只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆 柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值 9cm B 取3) B高 12cm ABA长18cm (π的值取3)A 我怎么走 会最近呢?∵ AB2=92+122=81+144=225= 152 ∴ AB=15(cm)蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.再 见
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