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1.75亿学生的选择
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1.75亿学生的选择
已知如图,AB=AC,AD=AE,AB、DC相交于点M,AC、BE相交于点N,AP⊥DC于P,AQ⊥BE于Q且∠DAB=∠EAC,说明AP=AQ
猥琐是神RTTQ
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证明：∵∠DAC＝∠BAC+∠DAB,∠EAB＝∠BAC+∠EAC,∠DAB＝∠EAC∴∠DAC＝∠EAB∵AB＝AC,AD＝AE∴△ABE≌△ACD （SAS）∴BE＝CD,S△ABE＝S△ACD∵AP⊥DC,AQ⊥BE∴S△ABE＝BE×AQ/2,S△ACD＝CD×AP/2∴BE×AQ/2＝CD×AP/2∴AP＝AQ
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扫描下载二维码本题难度：0.65&&题型：解答题
如图1，已知△ABC中，AB=AC，现在△ABC外作∠ACP=∠ACB，在BC上取一点D，在CP上取一点E，使BD=CE，并连接AD，AE．（1）求证：AD=AE；（2）若∠BCP=144°，求∠DAE的度数；（3）如图2，若AD⊥BC，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．试判断四边形CDFE的形状，并给出证明．
来源：2015年安徽省合肥市庐阳区中考数学二模试卷 | 【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
（1）问题发现：如图1，已知△ABC，点D为BC上的中点，连接AD，则S△ABD&&&&S△ACD（填“＞”，“＜”或“=”）（2）问题探究：如图2，已知四边形ABCD，E、F分别为AD、BC的中点，连接BE、DF，四边形EBFD与四边形ABCD的面积之比是多少？（3）实践应用：如图3，已知有一块六边形花圃ABCDEF，其中G、H、M、N分别为AB、BC、DE、EF上的点，且BG=2AG，BH=2CH，ME=2MD，NE=2NF，连接GF、BN、HE、CM，将花圃分成五块，图中标出的三块区域种植花草，其余两块为观赏区，三块种植区的面积由上至下分别为90m2、240m2、75m2，观赏区的面积为多少？
如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，AE、CD交于点F．（1）求证：△ACE≌△CBD；（2）过A作AG⊥CD于G，求证：AF=2FG；（3）如图2，若BF⊥AF，求的值．
如图1，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形．（1）求证：AF=BD；（2）若△ABC的边长为2，求△DEF面积的最小值；（3）如图2，若△ABC和△FDE都改成等腰三角形，且顶角∠BAC=∠DFE，D是BC的中点，求证：DF∥AC．
建立模型：如图1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，顶点C在直线l上．操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．求证：△CAD≌△BCE．模型应用：（1）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．（2）如图3，在直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a-6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．
如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），在AB的同侧以AD为边作△ADE使其为等边三角形，连接CE．（1）如图1，求证：CE∥AB；（2）当点D为BC的中点时，如图2，求AF：CF的值；（3）当点D为BC的中点时，作∠ACB的平分线，交DE于点G，如图3，请写出BD、DG、GE三条线段之间的数量关系，并加以说明．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“如图1，已知△ABC中，AB=AC，现在△ABC外作∠ACP=∠ACB，在BC上取一点D，在CP上取一点E，使BD=CE，并连接AD，AE．（1）求证：AD=AE；（2）若∠BCP=144°，求∠DAE的度数；（3）如图2，若AD⊥BC，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．试判断四边形CDFE的形状，并给出证明．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）根据已知条件由全等三角形的判定定理SAS证得结论．（2）由△ABD≌△ACE得到∠BAD=∠CAE所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC即可求得∠DAE=∠BAC=36°．（3）由（1）知△ABD≌△ACE又证得△ADF≌△AEF得到对应边相等对应角相等进一步证得CD=CE=EF=DF得到四边形CDFE为菱形．
【解答】证明：（1）∵AB=AC∴∠B=∠ACB又∵∠ACP=∠ACB∴∠B=∠ACP在△ABD和△ACE中AB=AC∠B=∠ACEBD=CE∴△ABD≌△ACE∴AD=AE（2）∵∠B=∠ACB=∠ACP∠BCP=144°∴∠B=∠ACB=∠ACP=72°∴∠BAC=36°由（1）知△ABD≌△ACE∴∠BAD=∠CAE∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC即∠DAE=∠BAC=36°．（3）四边形CDFE为菱形．理由如下：∵AB=ACAD⊥BC∴BD=CD∠1=∠2又∵BD=CE∴CE=CD由（1）知△ABD≌△ACE∴∠1=∠3∴∠2=∠3在△ADF和△AEF中AD=AE∠2=∠3AF=AF∴△ADF≌△AEF∴DF=EF∵EF∥BC∴∠EFC=∠DCF∴∠EFC=∠ECF∴EC=EF∴CD=CE=EF=DF∴四边形CDFE为菱形．
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
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知识点讲解
经过分析，习题“如图1，已知△ABC中，AB=AC，现在△ABC外作∠ACP”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
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判定：&&(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。&&(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。&&(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。&&(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)&&(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)&所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。性质：&&(1)的对应角相等。&&(2)全等三角形的对应边相等。&&(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。&&(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。&&(5)全等三角形的对应边上的中线相等。&&(6)全等相等。&&(7)全等三角形周长相等。&&(8)全等三角形的对应角的相等。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB的高，点P在BD...”，相似的试题还有：
如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，在BD上取点P，在CE的延长线上取点Q，使BP=AC，CQ=AB，猜想一下，AQ，AP有怎样的数量关系？为什么？
已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．
如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．已知:如图①所示.BD.CE分别是△ABC的外角平分线.过点A作AF⊥BD.AG⊥CE.垂足分别为F.G．连结FG.延长AF.AG.与直线BC相交.易证FG=BD.CE分别是△ABC的内角平分线——精英家教网——
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已知:如图①所示.BD.CE分别是△ABC的外角平分线.过点A作AF⊥BD.AG⊥CE.垂足分别为F.G．连结FG.延长AF.AG.与直线BC相交.易证FG=BD.CE分别是△ABC的内角平分线BD为△ABC的内角平分线.CE为△ABC的外角平分线.则在图②.图③两种情况下.线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想.并对其中的一种情况给予证明． 【】
题目列表(包括答案和解析)
已知：如图所示，△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，在BD上取一点P，使得BP＝AC，在CE的延长线上取一点Q，使得CQ＝AB，连结AP、AQ．
求证：AQ⊥AP．
已知：如图所示△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，AE＝BD，且DE∥BC，DE∶BC＝2∶3，求AD与CE的比．
已知：如图（1），在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，点D、E分别在BC、AC边上，且CD=CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．易证：△OMN是等腰直角三角形．（1）将图（1）中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图（2），连接AE、BD，O、M、N仍为AB、AD、BE中点，则△OMN是等腰直角三角形的结论是否发生变化？并说明理由．（2）若△CDE绕着点C顺时针继续旋转至图（3）所示位置时，O、M、N仍为AB、AD、BE中点，试问△OMN是等腰直角三角形的结论是否成立？（直接写出结论）
已知：如图（1），在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，点D、E分别在BC、AC边上，且CD=CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．易证：△OMN是等腰直角三角形．（1）将图（1）中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图（2），连接AE、BD，O、M、N仍为AB、AD、BE中点，则△OMN是等腰直角三角形的结论是否发生变化？并说明理由．（2）若△CDE绕着点C顺时针继续旋转至图（3）所示位置时，O、M、N仍为AB、AD、BE中点，试问△OMN是等腰直角三角形的结论是否成立？（直接写出结论）
如图①所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E．（1）求证：DE=DB+EC（2）如图②，将MN绕点A旋转，使MN和BC交于G点，其他条件不变，结论（1）还成立吗？若成立请给出证明；若不成立，请探究CE、DB、DE的关系，并证明你的结论．
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