好热闹！我也来凑几句.
如楼主所说，本题的背景是2005年全国高中数学联赛加试题第2题，这道竞赛题由江西陶平生先生命制，因此我们不得不从陶先生说开去.
陶先生于1991年在《数学通讯》上曾发表题为“Garfunkel-Bankoff不等式的一个等价命题”的文章，给出了如下关于三角形的不等式：(1+cos2A)/(1+cosA)+(1+cos2B)/(1+cosB)+(1+cos2C)/(1+cosC)&=1(1),显然这个不等式等价于：(cosA)^2/(1+cosA)+(cosB)^2/(1+cosB)+(cosC)^2/(1+cosC)&=1/2(2),注意到射影定理：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA,(3),在(2),(3)中令cosA=x,cosB=y,cosC=z,便将不等式(2)这道陈题隐蔽起来，从而向参赛选手们推出了2005年的加试题.
至于这道2005年的竞赛题的官方解答之所以“先将代数不等式几何化，再几何不等式代数化”，是因为陶先生受到他所建立的一个“三角形证题系统”（令cotA=u,cotB=V,cotC=w,将三角形不等式代数化)的束缚，从而导致证明的复杂化.估计不会有参赛选手给出与官方解答相同的证明.其实在这道竞赛题的多种证法中，“将代数不等式进行到底”也许是最为快捷的.
在本题中，由于x,y,z可以由a,b,c唯一表示，即f(x,y,z)=g(a,b,c),由于a,b,c是可以变化的，所以g(a,b,c)可以认为是三元函数,但是由于g(a,b,c)是一个齐次（对称）函数，故可令b/a=u,c/a=v,于是有g(a,b,c)=h(u,v),从而达到降维的目的，因此，这个函数f本质上的确是一个二元函数.另一方面，由不等式的齐次性，令a+b+c=1,则在此约束条件下也可使函数“降维”,且可知动点(a,b,c)的确落在平面：a+b+c=1上. 因此，前面评论中各位的见解（除山路水桥老师的“(x,y,z)是一个定点”外）都是正确的.
最后，给楼主一个建议：可将题目修正为：
设a,b,c&0,x,y,z&=0,且满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c.
求函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值.
参考文献：
[1]陶平生.Garfunkel-Bankoff不等式的一个等价命题.《数学通讯》[J].1991年第7期.27
[2]陶平生.三角形不等式的一个证题系统.中国初等数学研究文集[M].河南教育出版社,1992年6月.858-869
其实我对龚老师在长帖中所表述的观点基本上是赞同的。maxlove和我与龚老师的惟一的分歧在于：在x=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，y=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)，z=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)三式中，认为a,b,c是可变的还是确定(给定)的。
态度明确：不同意我的见解。。。只要不是居高临下讲话，大家都是可以平等讨论的。题意上加个“且”字，从表面上看意思确是不太一样，基本上可以自圆其说。
pantum0500
加进一些等号倒是可以了！
任何人都不可能保证自己的想法（解答）永远没有不全面的地方，所以就希望有讨论，有改进。
我承认是一个初等数学的外行，但总觉得初等数学和高等数学有相同的地方。
总想谈谈自己对某些初等数学问题的“粗浅”的看法，使解答“完善”；
或对某些现成的解法提提“不成熟”的改进意见，使解答“完美”。
解决问题第一，但是为什么就不能使解答更完善，使人欣赏到更漂亮的过程。但是这里却缺少讨论的氛围。
【本解答或许是100年争论不清的奇谈怪论，只希望有人能注意到尚有此不同的观点就可以了】。
【【【由于本人精力有限，或者说理屈词穷，几天后就将此解答全部撤销】】】。
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对于函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z)来说。
其自变量虽然有“被指定的定义域”的限制，但是他在没有其他约束条件下，定义域毕竟属于【3D】还有3个自由度，即它是个三元函数。
这是没有约束条件下的讲法，有了约束条件问题就变得复杂了，幸好这里的约束条件都是“线性”的“等式”，而且约束条件间和定义域之间是“相容”的。问题也就不那么复杂了。
当加上了第一个线性等式约束条件后，定义域由【3D】变成了【2D】，自变量所对应的“点”已经被限制在“一个平面的区域”上取了，已经只有2个自由度了。
即它已经不再是个三元函数了。本质上是个有3个中间变量，2个自变量的二元函数。
当再加上第二个线性等式约束条件后，定义域由【2D】变成了【1D】，自变量所对应的“点”已经被限制在“一条直线段区域”上取了，这时已经只有1个自由度了。
本质上是个有3个中间变量，1个自变量的一元函数了。
一般情况下，一个三元函数最多有两个约束条件。如果有了三个约束条件，则所谓的“定义域”很可能只是有限的几个点了。
对于本题的具体情况，第三个线性等式约束条件一出现，函数就只能定义在一个点上了，而这个点的坐标是由方程组cy+bz=a，az+cx=b，bx+ay=c 唯一确定的：
x=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，y=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)，z=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。
那么“自变量”也就无所谓自“变”量了。“函数值”都被唯一确定了，还有什么最大最小可言？
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【附注一（ 15:30）】zhh2360的猜测是合理的，我本来也有这样的猜测。因为对问题的提法要做彻底改变，而且对彻底改变提法的【新问题】，我也没有能力解决。所以只能对【原问题】做一个评论。
【zhh2360猜测】的合理性就是：将一个六元函数，通过三个约束条件，使问题在【本质上】变成六个中间变量，三个自变量的问题。
难道真有必要如此转弯抹角地，最后得到求
(cosA)^2/(1+cosA)+(cosB)^2/(1+cosB)+(cosC)^2/(1+cosC)
最大值的问题。
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【附注二（ 07:50）】zhh2360 （ 23:36）说道：
对于3个三个约束条件的条件极值的解法，可以用变量为a,b,c表示x,y,z，也可以将3个三个条件看成以a,b,c为变量的线性方程组，由于a,b,c不全为0，所以其行列式=0=1-2xyz-x^2-y^2-z^2。
你的这个过程全部是正确的，这是齐次线性方程组有非零解的充要条件。
但是题意条件要【强】得多，【a，b，c全是正数】被你减弱为【a，b，c不全为0】。
条件 x^2+y^2+z^2+2xyz=1只保证除了零解外，还存在非零解。
所以我认为除了 x^2+y^2+z^2+2xyz=1 外，还应该有两个条件，以保证【a，b，c全是正数】。
我相信最后这个六元函数通过三个约束条件终究会化得三元函数：
(cosA)^2/(1+cosA)+(cosB)^2/(1+cosB)+(cosC)^2/(1+cosC)。
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【附注三（ 10:55）】
pantum-04-21 08:31） 说道：从楼主的口气可感受到，圣人的解答可以被采纳了！呵呵
尊敬pantum0500：请你不要这样说，大家可以讨论。
请不要不屑于指出别人的错误。
也不要吝啬对别人的支持和捧场。
我没有说，我一定正确。我不能不懂装懂，我根本没能力解决这个问题，或者说【还没有能力认识到】这个题是正确的、有解的。
我再强调一下：这个解答几天之后就将全部撤销。
是本题的叙述不严格，如果用下面的叙述就可以了。“设x,y,z&=0,且满足:有a,b,c∈R+,使cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c。 求函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。”
(山路水桥)龚老师:尽管不赞同你的观点,没必要删啊!!!
条件"x^2+y^2+z^2+2xyz=1,x,y,z∈R+"可以保证线性方程组有“a，b，c全是正数”的解。比如看前两个方程就知道了。
pantum0500
从楼主的口气可感受到，圣人的解答可以被采纳了！呵呵
所以这问题可以看成：“x,y,z∈R+,满足:1-2xyz-x^2-y^2-z^2=0，函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。”由于最大值是在边界上，即x=0,y^2+z^2=1,所以本问题应为求上确界=2/[√2+2].
所以这问题可以看成：“x,y,z∈R+,满足:1-2xyz-x^2-y^2-z^2=0，函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。”由于最大值是在边界上，即x=0,y^2+z^2=0,所以本问题应为求上确界=2/[√2+2].
对于3个三个约束条件的条件极值的解法，可以用变量为a,b,c表示x,y,z，也可以将3个三个条件看成以a,b,c为变量的线性方程组，由于a,b,c不全为0，所以其行列式=0=1-2xyz-x^2-y^2-z^2.
非常感谢pantum0500提醒“即使用空间解析几何来看，点(x,y,z)也在平面上，根本没有三个自由度！”但我又仔细看了我的解答，我也提及了：一个约束条件下点(x,y,z)在平面上；两个约束条件下点(x,y,z)在直线上；……
pantum0500
我前面做过这道题，当时说有上确界，而且这个上确界是达不到的，楼主不相信，可能自己有改编的，但不一定正确
pantum0500
a,b,c还是可以变化的
pantum0500
即使用空间解析几何来看，点(x,y,z)也在平面上，根本没有三个自由度！
有了三个等式,x,y,z可用a,b,c表示了,就是三元了.
x,y,z可为不全为零的非负实数.三个已知等式暗藏了a,b,c是非钝角三角形三边长.
如果按maxlove的“原题三元”的说法的。把a,b,c【看作参数的】。那么本题确实是毫无意义了。
很同意zhh2360的“六元函数”的说法。“三个约束条件”下，本质可转化为“6个中间变量，三个自变量的问题。”
你的猜测我也想到过，但被我否定了，既然x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z)可以表示为g(a,b,c)，为什么楼主还要来一个毫无意义的拐弯抹角。所以我认定楼主是把a,b,c【看作参数的】，本意确是求f(x,y,z)的最大值。
原题只求最小值.不同意大师说法,应该是三元的.
我猜提问者的问题也许是："设a,b,c;x,y,z∈R+,满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c。 求函数f(x,y,z,a,b,c)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。"当然只是猜测而已。
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x/(1+x)=[a/(b+c)]/[1+a/(b+c)]=a/(b+c)/[(a+b+c)/(b+c)]=a/(a+b+c)
同理：
...
方程两边同乘以a+b+c，得到
[a(x-a)]/(b+c)+(x-a)+[b(x-b)]/(a+c)+(x-b)+[c(x-c)]/(a+b)+(x-c)=...
已知A={x|x^2-x-6＜0},B={x|x^2+2x-8＞0},C={x|a＜x＜3a},若（A∩B）含于C，求实数a的取值范围。
求A中x的范??
本题应该有两个解
1、假设C地在A、B之间
X/10+（X-10）/5=4
2、假设C地在A地上游
X/10+（X+10）/5=4
xy+2xz=[(√3)x(y+2z)]/(√3)
≤[((√3)x+(y+2z))/2]^2 /(√3)
(二元均值不等式）
＝[(((√3)x+y)...
答: 运输：基础设施包括公路7万3千英里，铁路2，900英里，机场66个（商用机场5个），可航行河流总长1，100英里
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1． 排序不等式：
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111????a1a2an
?a?a2???an
a1?a2???an
3． 柯西不等式：设ai,bi?R(i?1,2,...n)则(
)?(?aibi)2.
等号成立当且仅当存在??R，使得bi??ai(i?1,2,...,n). 从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式 变形：（1）设ai?R,bi?R则
(?ai)2(?bi)
（2）设ai,bi同号，且ai,bi?0,则?ai?
(?ai)2(?aibi)
4． 琴生（Jensen）不等式：若f(x)是(a,b)上的凸函数，则对任意x1,x2,...,xn?(a,b)
x1?x2?...?xn1
)?[f(x1)?f(x2)?...?f(xn)].
5．幂均值不等式：
a??a2?...?ana1??a2?...?an
?设????0(ai?R) 则 M??(1)?()??M?.
6. 切比雪夫不等式：
设两个实数组a1?a2?...?an，b1?b2?...?bn则
(a1bn?a2bn?1?...?anb1)?n
(a1b1?a2b2?...?anbn). n
（该不等式的证明只用排序不等式及
?a??b的表达式就可得证）
7．一个基础不等式：
x?y1????x?(1??)y 其中x,y?0,??[0,1],若x,y中有一个为零，则结论成立
8．赫尔德（Holder）不等式：设 ak,bk?0(k?1,2,...n). p,q?1且
??1，则 pq
?(?a)?(?b)（等号成立当且仅当akp?tbkq）
*9.与对数函数有关的一个不等式：
?ln(1?x)?x， x?0.（该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性）
*10．三角函数有关的不等式：sinx?x?tanx x?(0,*11．绝对值不等式: 设a,b,a1,a2,?an*12．舒尔（Schur）不等式：
设x,y,z?R，则x(x?y)(x?z)?y(y?x)(y?z)?z(z?x)(z?y)?0 *13. 闵可夫斯基（Minkowski）不等式：
如果x1,x2,......,xn与y1,y2,......,yn都是非负实数p?1， 那么(?(xi?yi))?(?x)?(?y)
?C，则有：│|a|-|b|│≤│a+b│≤│a│+│b│；
│a1?a2???an│≤a1?a2???an
14. 贝努利不等式
（1）设xi??1,i?1,2,?n,n?2且同号，则
?(1?x)?1??x
（2）设x??1，则（ⅰ）当0???1 时，有(1?x)?1??x；
（ⅱ）当??1或??0 时，有(1?x)??1??x，上两式当且仅当x?0时等号成立。 不等式（1）的一个重要特例是(1?x)n?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?2) 15.艾尔多斯—莫迪尔不等式
设P为△ABC内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则
PA?PB?PC?2(PD?PE?PF)当且仅当△ABC为正三角形，且P为三角形中
心时上式取等号。这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式 16. 外森比克不等式：
已知三角形的边长为a,b,c，其面积为S，求证a?b?c?43S，当且仅当a=b=c时取等号
其他不等式综合问题 例1：（第26届美国奥数题）设a、b、c∈R+，
推广1：设a、b、c、d∈R+，求证：?
推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证：?
例2：设x、y、z∈R+，求证：
?2?2?1. 2222
y?z?yzz?x?zxx?y?xy
a3?b3?abcb3?c3?abcc3?a3?abcabc
a?b?c?abcdabcd
推广1：设ai∈R+，(I=1,2,3,…，n)求证：?
推广2：设xyz∈R+，求证：
xn?1yn?1zn?13
yn?1?ynz?yn?1z2?????zn?1zn?1?znx?zn?1x2????xn?1xn?1?xny?xn?1y2?????yn?1n?2
例3：设x、y∈（0，1），求证：
推广1：xi∈（0，1）(i=1、2、3，…，n),求证：?
i?11?xi1??xi
。（9） ??
1?x21?y21?xy
推广2：xi∈（0，1）,(i=1、2、3，…，n),求证：?
i?11?xi?11?xixi?1
n11?（xn+1=x1） ??推广3：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求证：2
i?11?xi?11?xixi?1
例4．已知a,b,c,m为正数．求证：
222xyz例5．设正数x,y,z,a,b,c满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=的??1?x1?y1?z
abca?mb?mc?m
bcab?mc?ma?m
例6．设n是给定的正整数，且n≥3,对于n个实数x1,x2,…,xn，记|xi-xj|(1≤i<j≤n)的最小值为m.若x12+x22+…+xn2=1,试求m的最大值
例7．设n是一个固定的整数，n≥2 (Ⅰ)确定最小的常数c使得不等式
(xi?xj)?c(?xi)4对所有的非负实数x1，x2，…，xn都成立；(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的
常数c，确定等号成立的充要条件。
例8．（2007年CMO试题5）设有界数列{an}(n?1)满足an?
?,n?1,2,3? k?12n?2007
,n?1,2,3,? n
相关练习：
1.设a,b,c?R 且 abc?1, 求证 a?b?c?a?b?c.
2.设xi?0,(i?1,2,...,n).
?1, 求证:?
3.已知a,b,c为满足a?b?c?1的正数，求证：
a?bcb?cac?ab4
1?x1?y1?z4. 若 x,y,z均大于?1，求证
J????2. 2221?y?z1?z?x1?x?y
5. 已知正数 a1,a2,......,an，b1,b2,......,bn满足条件：a1?a2?......?an?b1?b2?......?bn?1
??......?求 的最小值。
a1?b1a2?b2an?bn
6. 设x,y,z为正数，且3x?4y?5z?1，求
7. 设a,b,c,d?R,abcd?1 求证
8. 设正数a,b,c,x,y,z满足cy?bz?a,az?cx?b,bx?ay?c，
求函数f(x,y,z)?x?y?z最小值
的最小值。 ??
a(b?1)b(c?1)c(d?1)d(a?1)
9. 证明：对任意自然数n，成立不等式
234....n?3.
10. 非负数a1,a2,...,an中最大的一个为a，证明不等式
a12?a2?...?ana1?a2?...?an2a2
（并给出等号成立的条件）
11.已知 xi?R,(i?1,2,...,n;n?2)满足
12.非负实数a,d和正数b,c满足b?c?a?d，求证
?|xi|?1,?xi?0，求证|?
xi11|??. i22n
??2?. c?da?b2
13.若x,y,z为非负实数，满足x?y?z?1，证明
0?xy?yz?zx?2xyz?
14．?ABC的三边a,b,c满足a?b?c?1，证明5(a?b?c)?18abc?
xnxnx12x2?1
??...???x1?x2?...?xn. 15．设x1,x2,...,xn都是正数，求证
???1; 16．设实数x,y,z都不等于1，xyz?1，（1）求证：
(x?1)2(y?1)2(z?1)2
（2）证明：存在无穷多组三元有理数组(x,y,z)使得上式等号成立。
xnxnx12x21?117．n个正数x1,x2,?,xn，它们的和是1.??????.
x1?x2x2?x3xn?1?xnxn?x12
18．设整数n?3.非负实数a1,a2,...,an满足a1?a2?...?an?2，
求a1?a2?...?an?1?an的最小值。
1?a21?a31?an1?a12
19．已知x,y,z?R,xyz?1,且x(1?z)?1,y(1?x)?1,z(1?y)?1,
求证2(x?y?z)?
???3.（怎样利用条件xyz?1.） xyz
20．设a,b,c,d为正实数，且满足ab?bc?cd?da?1，
21．已知n?N 且n?2，求证：4?1?1?1?1?...?1?1?2.
b?c?da?c?da?b?da?b?c3
22．设u,v,w均为正实数，满足条件uvw?vwu?wvu?1，试求u?v?w的最小值
23．已知正实数a,b,c,d满足abcd?1，a?b?c?d?
证明：a?b?c?d?
24．求函数y?
25． 求证不等式： ?1?(
abcd???. bcda
bcda???. abcd..
x?27??x?x的最大和最小值。
)?lnn?. ?2
26．设a?b?c是直角三角形的三边长，求最大常数K，
使得a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?Kabc对于所有的直角三角形都成立
课后练习：
（一）代数不等式讨论题 1．求证：
2．求证：1?
3．若0?a,b,c
4．已知a,b,c?R，求证：abc?(abc)
n111?1?????n?n（n?2） 2232?1
?????2?(n?Z?) 222
?1，求证：
abc???(1?a)(1?b)(1?c)?1
b?c?1c?a?1a?b?1
5．设a?b?c?d
?1，求证：
(a?b)4?(a?c)4?(a?d)4?(b?c)4?(b?d)4?(c?d)4?6
?1,n?Z,n?2，求证：a?1?a?1
7．设x2?y2?1，求证：x2?2xy?y2?2
9．设{ai}(i
10．已知ai?R,i?1,2?n,p?Z，求证：
?b?0,n?Z,n?1，求证：a??a?b
?1,2,?)是互不相同的正整数序列，证明：?ai7??ai5?2(?ai3)2
?a1?a2???an
11．设ai?0,i?1,2,?n,，且?ai?1，求证：?(ai?
)?(n?1)2 ain
12．设ai?0,i?1,2,?n,，求证：
13．设ai?Z,i?1,2,?n,，且互不相等，求证：???2
14．设a,b,c?R，求证：
??? b?cc?aa?b2
15．设a,b,c?R，求证：abc?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b)
16．设0?ai?a(i?1,2,3,4)，求证：
17．求证：从任意三个正数中总能选出两个数x,y，使得0?x?y?1成立
a1?a2?a3?a4a1a2?a2a3?a3a4?a4a1
18．设{an}是满足1?a0?a1???an??的实数序列，而{bn}由下列定义的实数序
列：bn??(1?ak?1)1，求证：?n?Z有0?bn?2成立
19．设x,y,z?R，求证：(x
21．已知a,b?R?,
?y2?z2)[(x2?y2?z2)2?(xy?yz?zx)2]
?(x?y?z)2[(x2?y2?z2)?(xy?yz?zx)]2
?a?1,x2?y?0，求证：loga(ax?ay)?loga2?1
??1，求证：?n?Z,(a?b)ab
?an?bn?22n?2n?1
?5,xn?1?xn?
，求证：45?x xn
23．设x1?x2?x3?x4?2,x2?x3?x4?x1，求证：(x1
24．已知v?R
25．设a1,b1,c1,a2,b2,c2
?x2?x3?x4)2?4x1x2x3x4
,u?[?2,2]，求证：(u?v)2?(2?u2?)2?8
?R，满足a1?0,a2?0,a1c1?b1,a2c2?b2，
求证：(a1?a2)(c1?c2)(b1?b2)
26．设n?Z,n?2,x1,x2?xn为正数，并且?xi?1，求证：?
（二）几何不等式讨论题
1．在?ABC中，P、Q、R将其周长三等分，P、Q在AB边上，求证：
2．设a,b,c为?ABC三边长，求证：(a?b?c)2?4(ab?bc?ca)
3．求证：在?ABC中，
4．?ABC三边长分别是a、b、c，面积为S，其内一点P到三边距离分别为x、y、z，试求xyz的最大值
S?PQRS?ABC
5．?ABC三边长分别是a、b、c，面积为S，求证：a4?b4?c4?16S2?(a?b)4?(b?c)4?(c?a)4
6．?ABC三边长分别是a、b、c，求证：a2b(a?b)?b2c(b?c)?c2a(c?a)?0
7．给出?ABC极其内部一点P，直线AP、BP、CP分别交对边于M、N、Q，证明，三个比值AP/PM，BP/PN，CP/PQ中至少有一个不大于2，也有一个不小于2
8． 在?ABC的三边AB、BC、CA上，分别取与顶点不重合的三点M、K、L，证明：?LAM、
?MBK、?KCL中至少有一个的面积不大于?ABC的面积的1/4
9．设P是?ABC内一点，从P向BC、CA、AB做垂线，垂足分别为D、E、F，找出所有使BCCAAB为极小值的P点 ??PDPEPF
10．设ABCD为一凸四边形，它的三个边AB、AD、BC满足AB=AD+BC，四边形内距离
CD为h的地方有一点P，使得AP=h+AD，BP=h+BC，证明：1?1AD?1
11．在?ABC中设AB、BC、CA上高分别为ha,hb,hc，内切圆半径为r，求证ha?hb?hc?9r
12．在?ABC中，a,b,c为三边长，p?1(a?b?c)，r为内切圆半径，求证： 2
?2?2?2?2(p?a)?(p?b)?(p?c)?r
13．已知某四面体有且仅有一条棱长大于1，证明该四面体的体积V
（三）三角不等式讨论题
1．在?ABC中，求证：
?1 83?cosA?cosB?cosC?1 2
cos?,(sin?)cos?,(cos?)sin?的大小关系 2．设??(?,?)，求(cos?)42
3．设?,?,?是一锐角三角形的三个内角，求证：sin??sin??sin??tg??tg??tg??2?
4．在?ABC中，求证：2sinAsinBsinC
?sin2A(sinB?sinC?sinA)??sin2B(sinC?sinA?sinB)?sin2C(sinA?sinB?sinC)
5．设0?x?y?z??，证明：
2?2?2sinxcosy?2sinycosz?sin2x?sin2y?sin2z
6．在?ABC中，证明：sinAsinBsinC?1 2228
7．在锐角?ABC中，证明：sinA?sinB?sinC?2
8． 设P为?ABC中内一点，若?PAB??,?PBC??,?PCA??， 证明：sin?sin?sin??1 8
重要不等式应用汇总1． 排序不等式：设a1?a2?...?an, b1?b2?...?bn j1,j2,...,jn是1,2,...,n的一个排列，则a1bn?a2bn?1?...?anb1?a1bj1?a2bj2?...?anbjn?a1b1?a2…
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重要不等式应用汇总1． 排序不等式：设a1?a2?...?an, b1?b2?...?bn j1,j2,...,jn是1,2,...,n的一个排列，则a1bn?a2bn?1?...?anb1?a1bj1?a2bj2?...?anbjn?a1b1?a2…
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一道竞赛题的新证法
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&&2005年全国高中数学联赛加试第二题为：设正数a、b、c、x、y、z满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c.求函数f(x,y,z)=x^2/1+x+y^2/1+y+z^2/1+z的最小值。
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