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京ICP证040069号 昌公网安备号 法律顾问：第十五讲 数学期望
　　4.1.1　数学期望的定义及计算公式
　　分布函数完全刻画了随机变量取值的概率规律，但要确定随机变量所服从的分布并非一件易事。在实践中，往往我们只要知道随机变量的某些特征就够了。例如，了解一批鸡蛋的单重，我们常提两个问题“多大个？”，“是否匀乎？”前一个问题要求回答鸡蛋的平均大小，第二个问题要求回答单重数据波动的大小。
　　大体上讲，数学期望（或均值）就是随机变量的平均取值，而方差则刻画了随机变量对它的均值的偏离程度。
　　定义4.1.1　设离散型随机变量
的概率分布为
绝对收敛（即
）时，称数值
的数学期望（又称均值），记为
　　由于假定级数是绝对收敛的，因而级数的和与各项排列的顺序无关。
　　定义4.1.2　设连续型随机变量X 的概率密度为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
对收敛（即
）时，称积分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
的数学期望（又称均值），记为
　　注：离散型随机变量的均值是一种加权平均，为什么又称为“期望”呢？这是因为概率论的最初研究工作与赌博密切相关。公元1657年，荷兰的惠更斯在概率方面作出了重要的贡献，在一篇题为《论赌博中的推理》的文章中解决了许多新问题，特别是引进了“数学期望”这一重要的概念。给出的结论相当于：如果
是一个赌徒获得赌金
是他获得赌金
的概率，则他期望获得的金额数是
　　当我们已知随机变量
与它的概率分布时，我们不要计算
的期望值，而要计算
的某一函数的期望值，不妨记为
。我们如何计算呢？一种方法如下：因
本身是一随机变量，它必须有概率分布，可由
的概率分布而得
的概率分布，根据期望值的定义，则我们能够计算
　　理论上，利用上述方法，从
的概率分布我们能够计算
的任一函数的期望值。但利用下面定理的结果，不用先计算
的概率分布，即可计算
的期望值，这是一种很简单的计算期望值方法。　　　　　　　　　
　　定理4.1.1　设
是随机变量
是离散型随机变量，它的概率分布为
是连续型随机变量，它的概率密度为
　　关于二维随机变量函数的数学期望，也有如下类似定理。
　　定理4.1.2　设
是随机变量
）是离散型随机变量，其分布律为
　　2°若（
）是连续型随机变量，其概率密度为
　　以上定理的严格数学证明已经超出本书的范围，我们略去。
　　例4.1.1　经预测，国际市场每年对我国某种出口产品的需求量
（以吨计）在
上服从均匀分布，每出口一吨可获利3万元，　　
若积压一吨，则亏损2万元，现由某公司独家经营此出口业务，问该公司应储备多少吨该种产品，才能使所获利润的数学期望最大？
　　解　设该公司储备
吨该种产品，显然有
则该公司所获利润为
的概率密度为
　　于是&&&
　　　　　　　
（吨）时，该公司所获利润的期望最大。
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历史上的今天
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blogTitle:'Khan公开课 - 统计学学习笔记：（三）随机变量、概率密度、二项分布和期望值',
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随机变量 Random Variable
随机变量和一般数据上的变量不一样，通常用大写字母表示，如X、Y、Z，不是个参数而是function，即函数。例如，下面表示明天是否下雨的随机变量X
随机变量有两种，一种是离散的（discrete），一种是连续的（continue）。离散的如上面例子是可以枚举，而连续的随机变量的取值是infinite的。
概率密度函数
概率probrabolity，以roll dice为例，P(X=6)=1/6，P(X&=5)=1/3，即6点的骰子概率为1/6，大于等于5点的骰子概率为1/3。这是离散的概率例子。
对于连续的，例如明天雨量。下面左图是个分布例子。
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