已知函数F=1/3X,已知 an 为等比数列前n项fn-c,求an最小值
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时间：2012-02-13 18:54
&>&&>&历年高考数学上海卷题型归类分析与预测
历年高考数学上海卷题型归类分析与预测 投稿：程櫑櫒
03-12全真题+00-02优秀题+春考优秀题目录方程与代数（前面的数字标识该知识点的常考难度） ………………3Ⅰ 集合的运算：交、并、补 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 Ⅰ 充分必要条件 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,…
义工课程总结 光阴似箭，转眼间，学期即将划上句号。回顾本学期的义工工作，有收获但也有许多不足。只能说做义工让我变得更加成熟、懂事。这门课程让我知道义工是指任何人志愿贡献个人时间及精力，在不在任何物质报酬的情况下，为改进社会而提供的服务，也是一个在不断…
销售助理工作流程销售发货1、 销售助理必须清楚库存货物状况，包括版本名称、型号、批号、数量、以及在库包装情况。定期（每周）进行库存盘点核对，每月底必须会同财务部一同进行实物盘点。对于货物入库信息，每日早晨应及时向仓库索要。2、 客户订货时，要仔细审核…
03-12全真题+00-02优秀题+春考优秀题
方程与代数（前面的数字标识该知识点的常考难度）
………………3
Ⅰ 集合的运算：交、并、补
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 Ⅰ 充分必要条件
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4 Ⅰ 分式、绝对值、一元二次不等式的解法
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4 Ⅱ 指对数方程、指对数不等式的解法
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5 Ⅱ 不等式：基本不等式、不等式证明
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5 Ⅰ 行列式：计算、代数余子式
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6 Ⅱ 算法
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6 Ⅰ 数列的极限
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7 Ⅱ 数学归纳法
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7 Ⅱ 等差、等比数列：判定、基本性质
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,8 Ⅳ 等差数列与等比数列：并项、同项、等量关系
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,9 Ⅲ 数列不等式
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11
函数与分析
……………………………………………………………14
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,14 Ⅰ
基本函数的单调性、奇偶性
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,14 Ⅲ
对称性、周期性结合下的函数图象
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,15 Ⅱ
函数奇偶性、单调性的判定、应用
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,17 Ⅲ
分段函数的图像：最值函数、远离函数
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,18 Ⅲ
奇偶性与单调性
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,18 Ⅲ
绝对值函数的应用
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,19 Ⅱ
函数图象的特征
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,19 Ⅲ
函数单调性与值域
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,19 Ⅱ
二分法求根
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,21 Ⅱ
解三角形：形状判定、解三角形
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,21 Ⅱ
三角函数：辅助角公式求最值、周期、换元法求值域
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,23 Ⅰ
三角比：定义、基本关系、化简、求值、反三角函数
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,24 Ⅱ
最简三角方程
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,24
图形与集合
……………………………………………………………25
向量的坐标形式：数量积的坐标形式、向量加减法的坐标形式
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,25 Ⅰ
向量运算的几何意义
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,26 Ⅲ
向量的运算技巧：蛇形法则
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,26 Ⅰ
直线：法向量、方向向量、倾斜角、斜率、位置关系、夹角、点与直线对称问题
,,,,,,,,,,,,27 Ⅰ
点到直线的距离公式
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,28 Ⅰ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,28
圆锥曲线的基本概念：标准方程、焦点、渐近线、准线、定义
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,28 Ⅰ
轨迹方程：代入法、直接法
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,30 Ⅲ
圆锥曲线综合：
韦达定理的应用：求弦中点坐标 点差法：应用及注意点
最值问题：椭圆上的动点到坐标轴上一定点距离的最大值与最小值
面积公式的运用
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,30
立体几何：圆锥的展开、异面直线的夹角、多面体的体积、折叠、旋转体的体积、二面角（理）
数据整理与概率统计
…………………………………………………43
排列、组合
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,43 Ⅰ
二项式定理
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,43 Ⅱ
概率：生日悖论、古典概型
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,43 Ⅰ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,44 Ⅱ
数理统计的概念：均值、方差、标准差、中位数、众数
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,44
………………………………………………………………45
复数的基本概念：四则运算、共轭、代数形式、几何形式
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,45 Ⅰ
实系数一元二次方程
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,46
………………………………………………………………47
线性规划（文）
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,47 Ⅰ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,48
………………………………………………………………48
极坐标、参数方程（理）
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,48 Ⅰ
期望值（理）
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,49 Ⅰ
独立、互斥事件的概率
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,49
特殊问题与技巧
………………………………………………………50
多变量问题 ^,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,50 Ⅱ
数列新型小题：数表、估值
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,50 Ⅲ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,51 Ⅲ
数形结合：含参不等式、含参方程、交点个数、复合方程根的个数
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,54 Ⅲ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,55 Ⅱ
不等式恒成立
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,61 Ⅲ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,62 Ⅲ
数列的迭代
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,63 Ⅱ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,64
历年高考题型分布： 09-12:14+4+5 07-08:11+4+6 00-06:12+4+6
方程与代数
Ⅰ 集合的运算：交、并、补
（12理2）若集合A?{x|2x?1?0}，B?{x|x??2}，则A?B=
. （12文2）若集合A?x2x?1?0，B?xx?1，则A?B＝（11理2）若全集U?R，集合A?{x|x?1}{x|x?0}，则CUA?。 （11文1）若全集U?R，集合A?{x|x?1}，则CUA?。 （11春2）若集合A?{x|x?1},B{x|x2?4}，则A?B=_____________。 （10文1）已知集合A??1,3,m?，B??3,4?，A
B??1,2,3,4?则m?
（09理2文2）已知集合A??x|x?1?，B??x|x?a?，且A?B?R，
则实数a的取值范围是______________________ .
（08理2文2）若集合A?xx?2、B?xx?a满足A?B??2?，则实数
am}．（06理1）已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，若B?A，则实数m＝
（06文1）已知A?{?1,3,m}，集合B?{3,4}，若B?A,则实数m?___。 （05理14文14）已知集合M??x||x?1|?2,x?R?，P??x|等于（
A．?x|0?x?3,x?Z?
B．?x|0?x?3,x?Z? C．?x|?1?x?0,x?Z?
D．?x|?1?x?0,x?Z?
（04理3文3）设集合A={5,log2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B=
则M?P?1,x?Z?，
（04理19文19）记函数f(x)=2?
的定义域为A,g(x)?lg[(x?a?1)(2a?x)](a?1)的x?1
定义域为B.
(2) 若B?A, 求实数a的取值范围.
（03理6文6）设集合A={x||x|0}, 则集合{x|x∈A且 x?A?B}
充分必要条件
（05文15）条件甲：“a?1”是条件乙：
A．既不充分也不必要条件B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
Ⅰ 分式、绝对值、一元二次不等式的解法
?3的解为。 x1
（11文6）不等式?1的解为。
（11理4）不等式
（11春1）函数y?lg(x?2)的定义域为__________________。 （10理1文2）不等式
?0的解集是
（10文22）（16分）若实数x、y、m满足x?m?y?m，则称x比y接近m. （1）若x?1比3接近0，求x的取值范围； （2）略 （3）略
（10理22）（18分）若实数x、y、m满足x?m＞y?m，则称x比y远离m.
（1）若x?1比1远离0，求x的取值范围；
（2）略 （3）略
（08理1文1）不等式x?1?1的解集是
（07理1）函数f?x??
lg?4?x?x?3
的定义域为_____
（03理15）a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x+b1x+c1>0和a2x+b2x+c2>0的解
集分别为集合M和N，那么“
A．充分非必要条件.
C．充要条件
??”是“M=N”的
B．必要非充分条件. D．既非充分又非必要条件.
指对数方程、指对数不等式的解法 （12文6）方程4?2
?3?0的解是（11理20文21）（12分）已知函数f(x)?a?2x?b?3x，其中常数a,b满足ab?0。 ⑴
略；⑵ 若ab?0，求f(x?1)?f(x)时x的取值范围。 （07理4）方程9?6?3?7?0的解是_____ （07文1）方程3
（06文8）方程log3(x2?10)?1?log3x的解是_______. （05理2文2）方程4?2?2?0的解是__________.
不等式：基本不等式、不等式证明
（11理15文15）若a,b?R，且ab?0，则下列不等式中，恒成立的是（
（10文22）（16分）若实数x、y、m满足x?m?y?m，则称x比y接近m. （1）略
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：ab?ab比a?
b接近2 （3）略
（07理13）已知a,b为非零实数，且a?b，则下列命题成立的是
已知x,y?R，且x?4y?1，则x?y的最大值为_____
（06文14）如果a?0,b?0，那么，下列不等式中正确的是（
（D）|a|?|b| Ⅰ
行列式：计算、代数余子式
（11春4）若行列式
x=____________。
（10理4）行列式
（10文3）行列式
（09理3文3）行列式 x 3中，元素4的
代数余子式大于0，
则x满足的条件是________________________ . Ⅱ
（11春）根据如图所示的程序框图，输出结果i=___________。 （10理7文11）2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入
。 （10春12）根据所示的程序框图（其中[x]表示不大于x的最大整数），输出r?
（09理4文4）某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________________________ .
数列的极限
（12理6文7）有一列正方体，棱长组成以1为首项，
为公比的等比数列，体积分别记为
V1,V2,,,,Vn,,,，则lim(V1?V2???Vn)?
（11文2）lim(1?
的无穷等比数列，且?an?各项的和为a，2
（08理14文14）若数列?an?是首项为1，公比为a?
，1≤n≤1000，2??n
（07文14）数列?an?中，an?? 则数列?an?的极限值（
n?，n≥1001，??n2?2n
Ｃ．等于0或1
Ｄ．不存在
（06理4）计算：lim3＝
?______。 （06文4）计算：lim3
6n?1n??3n?1?2n
（05理7）计算：limn=__________。
（04理4文4）设等比数列{an}(n∈N)的公比q=-
,且lim(a1+a3+a5+,,+a2n-1)=,则a1=
（03理8文8）若首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和，
则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）=
数学归纳法
（07理15）已知f?x?是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若
f?k??k成立，则f?k?1???k?1?成立，下列命题成立的是
A、若f?3??9成立，则对于任意k?1，均有f?k??k成立；
B、若f?4??16成立，则对于任意的k?4，均有f?k??k2成立； C、若f?7??49成立，则对于任意的k?7，均有f?k??k2成立； D、若f?4??25成立，则对于任意的k?4，均有f?k??k2成立。
（07文15）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k?1)≥(k?1)2成立”． 那么，下列命题总成立的是（
Ａ．若f(1)?1成立，则f(10)?100成立
Ｂ．若f(2)?4成立，则f(1)≥1成立
Ｃ．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
Ｄ．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
等差、等比数列：判定、基本性质
（11理18）设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai,ai?1的矩形面积（i?1,2,则{An}为等比数列的充要条件为（
{an}是等比数列。
,a2n?1,,a2n?1,,a2n?1,
或a2,a4,和a2,a4,和a2,a4,
,a2n,,a2n,,a2n,
是等比数列。 均是等比数列。
均是等比数列，且公比相同。
（11春8）若Sn为等比数列{an}的前n项的和，8a2?a5?0，则
=_________________。 S3
（04理12文12）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为
q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第
__组.(写出所有符合要求的组号)
其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.
（03理3文3）在等差数列{an}中，a5=3, a6=－2,则a4+a5+,,+a10
等差数列与等比数列：并项、同项、等量关系
（11理22）（18分）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an?3n?6，bn?2n?7（n?N），将集合
{x|x?an,n?N*}{x|x?bn,n?N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1,c2,c3,
⑴ 求c1,c2,c3,c4；
⑵ 求证：在数列{cn}中、但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,⑵
求数列{cn}的通项公式。
（11文23）（18分）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an?3n?6，bn?2n?7（n?N），将集合
{x|x?an,n?N*}{x|x?bn,n?N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1,c2,c3,
⑴ 求三个最小的数，使它们既是数列{an}中的项，又是数列{bn}中的项； ⑶
,c40中有多少项不是数列{bn}中的项？说明理由；
求数列{cn}的前4n项和S4n（n?N）。
（09理23）（18分）已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列。 （1） 若an?3n?1，是否存在m、k?N，有am?am?1?ak?说明理由； （2） 找出所有数列?an?和?bn?，使对一切n?N,
?bn,并说明理由； an
（3） 若a1?5,d?4,b1?q?3,试确定所有的p，使数列?an?中存在某个连续p项的和是
数列?bn?中的一项，请证明。
（09文23）（18分）已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列 （1）若 an?3n?1，是否存在m,n?N，有am?am?1?ak？请说明理由；
（2）若bn?aq（a、q为常数，且aq?0）对任意m存在k，有bm?bm?1?bk，试求a、q满
足的充要条件；
（3）若an?2n?1,bn?3n试确定所有的p,使数列?bn?中存在某个连续p项的和式数列中
?an?的一项，请证明.
（08理21）（18分）已知以a1为首项的数列?an?满足：an?1
?an?c,an?3,
（1）当a1?1，c?1,d?3时，求数列?an?的通项公式；
（2）当0?a1?1，c?1,d?3时，试用a1表示数列?an?前100项的和S100；
（3）当0?a1?
111 （m是正整数），c?，正整数d?3m时，求证：数列a2?, mmm11
?，a9m?2?成等比数列当且仅当d?3m. mm
（08文21）（18分）已知数列?an?：a1?1，a2?2，a3?r，an?3?an?2（n是正整数），与数列?bn?：b1?1，b2?0，b3??1，b4?0，bn?4?bn（n是正整数）. 记
Tn?b1a1?b2a2?b3a3???bnan.
（1）若a1?a2?a3???a12?64，求r的值；
（2）求证：当n是正整数时，T12n??4n；
（3）已知r?0，且存在正整数m，使得在T12m?1,T12m?2,?，T12m?12中有4项为100. 求
r的值，并指出哪4项为100.
（07理20）若有穷数列a1,a2...an（n是正整数），满足a1?an,a2?an?1....an?a1即ai?an?i?1 （i是正整数，且1?i?n），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列?bn?是项数为7的对称数列，且b1,b2,b3,b4成等差数列，b1?2,b4?11，试写出?bn?的每一项
（2）已知?cn?是项数为2k?1?k?1?的对称数列，且ck,ck?1...c2k?1构成首项为50，公差为?4的等差数列，数列?cn?的前2k?1项和为S2k?1，则当k为何值时，S2k?1取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m?1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1,2,2...2成
为数列中的连续项；当m?1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008
a2，a3，，am（m为正整数）满足条件a1?am，a2?am?1，,,，（07文20）如果有穷数列a1，
2，m），我们称其为“对称数列”．
am?a1，即ai?am?i?1（i?1，，
2521与数列8，，，，，42248都是“对称数列”例如，数列1，，，，．
b2，b3，b4是等差数列，且b1?2，b4?11．依（1）设?bn?是7项的“对称数列”，其中b1，
次写出?bn?的每一项；
c26，，c49是首项为1，公比为2的等比数
（2）设?cn?是49项的“对称数列”，其中c25，
列，求?cn?各项的和S；
d52，，d100是首项为2，公差为3的等差（3）设?dn?是100项的“对称数列”，其中d51，2，100)．
数列．求?dn?前n项的和Sn(n?1，，
（03理19）已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.
（1）求和：a1C2?a2C2?a3C2,a1C3?a2C3?a3C3?a4C3;
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. （03文22）已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.
（1）求和：a1C2?a2C2?a3C2,a1C3?a2C3?a3C3?a4C3;
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
（3）设q≠1，Sn是等比数列{an}的前n项和，求：
S1Cn ?S2Cn?S3Cn?S4Cn???(?1)nSn?1Cn
数列不等式
（11春23）(18分) 对于给定首项x0?a(a?0)，由递推公式xn?1?
得到数列{xn}，对于任意的n?N，都有xn?a，用数列{xn}可以计算a的近似值。 （1）取x0?5,a?100，计算x1,x2,x3的值（精确到0.01）；归纳出xn,xn?1的大小关系； （2）当n?1时，证明：xn?xn?1?
(xn?1?xn)； 2
（3）当x0?[5,10]时，用数列{xn}计算3的近似值，要求xn?xn?1?10?4，请你估计n，并说明理由。
（10理20）(13分) 已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N* （1）证明：?an?1?是等比数列；
（2）求数列?Sn?的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由。 （10文21）( 14分) 已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N
(1)证明：?an?1?是等比数列；
(2)求数列?Sn?的通项公式，并求出使得Sn?1?Sn成立的最小正整数n.
（06理21）已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn，且an?1＝(a?1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1． （1）求证：数列{an}是等比数列； （2）若a＝2
，数列{bn}满足bn＝
log2(a1a2???an)（n＝1，2，┅，2k），求数列n
3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k?1－|＋|b2k－|2222
{bn}的通项公式；
（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－≤4，求k的值．
（06文20）设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an?Sn?4096。 （1）求数列{an}的通项公式
（2）设数列{log2an}的前n项和为Tn,对数列?Tn?，从第几项起Tn??509？
（05春12） 已知函数f(x)?2x?log2x，数列{an}的通项公式是an?0.1n（n?N），当
|f(an)?2005|取得最小值时，n?（02理21文21）已知函数f (x)=a·b的图象过点A（4，（1）求函数f (x)的解析式；
（2）记an =log2f (n)，n是正整数，Sn是数列{an}的前n项和，解关于n的不等式 anSn≤0；
（3）（理）对于（2）中的an与Sn，整数10（理）96（文）是否为数列{ anSn }中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由. （02理22）规定Cx=
）和B（5，1）. 4
x(x?1)?(x?m?1)0
，其中x∈R，m是正整数，且Cx=1，这是组合
数Cn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广.
（1）求C?15的值；
mn?mmm?1m（2）组合数的两个性质：①Cn=Cn；②Cn+Cn=Cn?1.
是否都能推广到Cx（x∈R，m是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给出
证明；若不能，则说明理由；
mm（3）已知组合数Cn是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cx∈Z.
（01春22）已知{an}是首项为2，公比为
（1）用Sn表示Sn?1； （2）是否存在自然数c和k，使得
的等比数列，Sn为它的前n项和． 2
（00理21文21）在XOY平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn),?,对每个自然数n，点P，位于函数y?2000(
(0?a?10)的图象上，且点Pn，点(n,0)与点(n?1.0)10
构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。
（1）求点Pn的纵坐标bn的表达式。
（2）若对每个自然数n，以bn，bn?1,bn?2为边长能构成一个三角形，求a取值范围。 （理）（3）设Bn?b1b2?bn
?n?N?.，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列?Bn?的最大项的项数。
（文）（3）设cn?1g(bn)(n?N)，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列?cn?前多少项的和最大？试说明理由。
函数与分析
（11理1）函数f(x)?
的反函数为f(x)?。 x?2
（11文3）若函数f(x)?2x?1的反函数为f?1(x)，则f?1(?2)?
。 （10理8）对任意不等于1的正数a，函数f(x)=loga(x?3)的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是
（10文9）函数f(x)?log3(x?3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是 （09文1）函数f(x)=x+1的反函数f(x)=_____________. （08理4）若函数f(x)的反函数为f（08文4）若函数f(x)的反函数为f（07理3）函数f?x??
(x)?x2（x?0），则f(4)?
. (x)?log2x，则f(x)?
的反函数f?1?x??_____ x?11?1
（07文2）函数f(x)?的反函数f(x)?．
（06理3文3）若函数f(x)＝a（a＞0，且a≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a
（05理1文1）函数f(x)?log4(x?1)的反函数f
基本函数的单调性、奇偶性
（11理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,??)上单调递减的函数为（
(x)=__________。
y?cosx |x|
（11文15）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,??)上单调递减的函数为（
（11春16）f(x)?的图像关于
（A）原点对称.
（B）直线y?x对称.
（C）直线y??x对称.
（D）y轴对称. （05理13文13）若函数f(x)?
，则该函数在???,???上是（
A．单调递减无最小值
B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值
D．单调递增有最大值
（03理13文13）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是
A．y=tg|x|.
B．y=cos(－x).
C．y?sin(x?
对称性、周期性结合下的函数图象
（12理13）已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0). 2
函数y?xf(x)(0?x?1)的图像与x轴围成的图形的面积为
（12文13）已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(,1)、C(1,0)，函数y?xf(x)（0?x?1）的图像与x轴围成的图形的面积为
（11理13）设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)?x?g(x)在[3,4]上的值域为[?2,5]，则f(x)在区间[?10,10]上的值域为
（11文14）设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)?x?g(x)在[0,1]上的值域为[?2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为
。 （10春18）
（09春19）如图，在直角坐标系xOy中，有一组对．角．线．长为an的正方形
AnBnCnDn(n?1,2,?)，其对角线BnDn依次放置在x轴上（相邻顶点重合）. 设?an?是首
项为a，公差为d(d?0)的等差数列，点B1的坐标为(d,0). （1）当a?8,d?4时，证明：顶点
A1、A2、A3不在同一条直线上；
（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点
An均落在抛物线y2?2x上；
（3）为使所有顶点An均落在抛物线
y?2px(p?0)上，求a与d之间
所应满足的关系式.
（08春21）在直角坐标平面xOy上的一列点
A1?1,a1?,A2?2,a2?,
，简记为?An?. 若由bn?AnAn?1?j构成的
数列?bn?满足bn?1?bn,n?1,2,为T点列.
（1） 判断A1?1,1?,列，并说明理由；
，其中j为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称?An?
An?n,?,?n?
，是否为T点
（2）若?An?为T点列，且点A2在点AAk?2，1的右上方. 任取其中连续三点Ak、Ak?1、判断△AkAk?1Ak?2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若?An?为T点列，正整数1?m?n?p?q满足m?q?n?p，求证：
AnAq?>jA?p. jmA
（05理22）在直角坐标平面中，已知点P，，，,,，(1,2)P(2,2)P(3,2)P(n,2)，其123n
中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，,,,,，An为An?1关于点Pn的对称点．
（1） 求向量A0A2的坐标；
（2） 当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y?f(x)的图象，其中f(x)是
以3为周期的周期函数，且当x??0,3?时，f(x)?lgx，求以曲线C为图象的函数在?1,4?的解析式；
对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标
（04文15）若函数y?f(x)的图象与函数y?lg(x?1)的图象关于直线x?y?0对称,则
（04理15）若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转则 f(x)=(
（03文15）在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N(,)四点中，函数y?a的图象与其
反函数的图象的公共点只可能是点
A．P． B．Q. C．M. D．N.
（02理12文12）已知函数y=f (x)（定义域为D，值域为A）有反函数y=f (x)，则方程f (x)=0
有解x=a，且f (x)＞x（x∈D）的充要条件是y=f (x)满足
（02春21）对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知
函数f(x)=ax≠0)
(1) 当时，求函数f(x)的不动点；
(2) 若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3) 在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、
B两点关于直线y=kx+
对称，求b的最小值。
函数奇偶性、单调性的判定、应用 （12理20文20）已知函数f(x)?lg(x?1).
（1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围；（6分）
（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数
y?g(x)(x?[1,2])的反函数.（8分）
（12理7）已知函数f(x)?e|x?a|（a为常数）.若f(x)在区间[1,+?)上是增函数，则a的取值范围是
2（12理9）已知y?f(x)?x是奇函数，且f(1)?1.若g(x)?f(x)?2，则g(?1)?
（12文9）已知y?f(x)是奇函数，若g(x)?f(x)?2且g(1)?1，则g(?1)?
（11理20文21）（12分）已知函数f(x)?a?2?b?3，其中常数a,b满足ab?0。 ⑴
若ab?0，判断函数f(x)的单调性；⑵ 略 （07理19）已知函数f?x??x?
(x?0,a?R) x
（1）判断f?x?的奇偶性
（2）若f?x?在?2,???是增函数，求实数a的范围 （07文19）已知函数f(x)?x?
(x?0，常数a?R)．
（1）当a?2时，解不等式f(x)?f(x?1)?2x?1；
（2）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由． （03文19）已知函数f(x)?单调性.
11?x?log2，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和x1?x
分段函数的图像：最值函数、远离函数
（10理22）（18分）若实数x、y、m满足x?m＞y?m，则称x比y远离m. （1）若x2?1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3?b3比a2b?
ab2远离2 （3）已知函数f(x)的定义域D=｛x|x≠
+，k∈Z，x∈R ｝.任取x?D，f(x)等于24
sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要
（10文22）（16分）若实数x、y、m满足x?m?y?m，则称x比y接近m. （1）略 （2）略
（3）已知函数f(x)的定义域Dxx?k?,k?Z,x?R.任取x?D，f(x)等于1?sinx和
1?sinx中接近0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小
值和单调性（结论不要求证明）.
奇偶性与单调性
（09理12文13）已知函数f(x)?sinx?tanx.项数为27的等差数列?an?满足
an????，且公差d?0.若f(a1)?f(a2)???f(a27)?0，则当k=____________
时，f(ak)?0.
（08理8）设函数f(x)是定义在R上的奇函数. 若当x?(0,??)时，f(x)?lgx，则满足
f(x)?0的x的取值范围是（08文9）若函数f(x)?(x?a)(bx?2a) (常数a、b?R)是偶函数，且它的值域为???,4?，
则该函数的解析式f(x)?
（04理5文5）设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x∈[0,5]时,
f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的 解是
绝对值函数的应用
（09理13）某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为
2)，(3，1)，(3，4)，格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(?2，
(?2，3)，(4，5)，(6，6)为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，
使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短
（09文14）某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点
为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。
（04理10文10）若函数f(x)= ax?b?2在[0,+∞]上为增函数,则实数a、b的取值范围是
函数图象的特征 （09理14）将函数y?
6?)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角4?6x?x2?2(x??0，
?(0????)，得到曲线C.若对于每一个旋转角?，曲线C都是一个函数的图像，则?的
最大值为__________.
函数单调性与值域 （06理22）已知函数y＝x＋是减函数，在[
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上x
a，＋∞)上是增函数．
（1）如果函数y＝x＋（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；
（2）研究函数y＝x＋2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y＝x＋和y＝x＋2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函
数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)＝
(x2?)n＋(2?x)n（n是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研
究结论）．
（06文22）已知函数y?x?
有如下性质：如果常数a?
0，那么该函数在上是减
函数，在??上是增函数。
(x?0)在?0,4?上是减函数，在?4,???上是增函数，求b的值。 （1）如果函数y?x?x
(1?x?2)的最大值和最小值； xcn
（3）当n是正整数时，研究函数g(x)?x?n(c?0)的单调性，并说明理由。
（2）设常数c??1,4?，求函数f(x)?x?
（05文19）已知函数f(x)?kx?b的图象与x,y轴分别相交于点A、B，AB?2i?2j（i,j分别是与x,y轴正半轴同方向的单位向量），函数g(x)?x2?x?6.
（1）求k,b的值；
（2）当x满足f(x)?g(x)时，求函数
的最小值. f(x)
的定义域为(0,??)，且f(2)?2?. 设点P是函数图
N. 象上的任意一点，过点P分别作直线y?x和y轴的垂线，垂足分别为M、
（1）求a的值；
（2）问：|PM|?|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；
（05春21）已知函数f(x)?x?
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.
（04理20）已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(1) 求函数f(x)的表达式；
(2) 证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解.
（04春21）已知函数f?x??x?a，（a为正常数），且函数f?x?与g?x?g?x??x2?2ax?1的图象在y轴上的截距相等。 （1）求a的值；
（2）求函数f?x??g?x?的单调递增区间； （3）若n为正整数，证明：10f?n??()g?n??4.
，有下面四个结论： 2
（1） f(x)是奇函数；（2）当x>2003时，f(x)?恒成立；
（3）f(x)的最大值是；（4）f(x)的最小值是?。其中正确结论的个数为（
（03春16）关于函数f(x)?sinx?()?
二分法求根
（11理14）已知点O(0,0)、Q0(0,1)和R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和PR10中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足(|OQ1|?2)(|OR1|?2)?0；记Q1R1的中点为P取Q1P2，2
和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足(|OQ2|?2)(|OR2|?2)?0；依次下去，得到点P1,P2,
,Pn,，则lim|Q0Pn|?。
（10理17）若x0是方程()?x3的解，则x0属于区间
(D)(0,) 323323
（10文17）若x0是方程式 lgx?x?2的解，则x0属于区间
） （A）（0，1）.
（B）（1，1.25）.
（C）（1.25，1.75）
（D）（1.75，2）
（03理10文10）方程x+lgx=18的根x≈
.（结果精确到0.1）
解三角形：形状判定、解三角形
（12理16文17）在?ABC中，若sinA?sinB?sinC，则?ABC的形状是
（A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）不能确定. （11理6文8）在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若?CAB?750,?CBA?600，则A、C两点之间的距离是
（10理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为1,1,1，则此人能
（A）不能作出这样的三角形
（B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形
（D）作出一个钝角三角形
（10文18）若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC?5:11:13，则△ABC（
） （A）一定是锐角三角形.
（B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形.
(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
（09文20）（14分）已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m?(a,b)，
，,sAip?(b?2,a?2) .
（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形； （2） 若m⊥p，边长c = 2，角C =
，求ΔABC的面积 . 3
（08理17文17）（13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120?的扇形AOB. 小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD. 已知某人从C沿
CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）.
（07理17文17）在三角形ABC
中，a?2,C?
B，求三角形ABC的面积S。 ?
2（07春20）通常用a、b、c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示
△ABC的外接圆半径．
（1）如图，在以O为圆心、半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC?2，
?ABC?45，求弦AB的长；
（2）在△ABC中，若?C是钝角，求证：a?b?4R；
（3）给定三个正实数a、b、R，其中b?a．问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b
为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．
（06理18文18）如图，当甲船位于A20海里的B处有一艘30，相距10海里C处的乙船，
B处救援（角度精确到1）？ [解]
（05理9文10）在?ABC中，若A?120?，AB=5，BC=7，则?ABC的面积S=__________。 （03理7文7）在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC=
.（结果用反三角函数值表示）
三角函数：辅助角公式求最值、周期、换元法求值域 （12理科3）函数f(x)?
的值域是sinx?1
（12文科3）函数f(x)?
（11理8）函数y?sin(
的最小正周期是
?x)cos(?x)的最大值为。 26
（11文4）函数y?2sinx?cosx的最大值为
（11春19） (12分)已知向量?(sin2x?1,cosx),?(1,2cosx)，设函数f(x)??，求函数f(x)的最小正周期及x?[0,
]时的最大值.
（09理6文10）函数y?2cos2x?sin2x的最小值是_____________________ . （09春20）设函数fn(?)?sinn??(?1)ncosn?,0???
，其中n为正整数.
（1）判断函数f1(?)、f3(?)的单调性，并就f1(?)的情形证明你的结论； （2）证明：2f6(?)?f4(?)?cos4??sin4?
（3）对于任意给定的正整数n，求函数fn(?)的最大值和最小值.
（08理6）函数f(x)?sinx?sin??x?的最大值是
（08文18）（10分）已知函数f(x)?sin2x,g(x)?cos?2x??，直线x?t(t?R)与函
数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点.
时，求|MN|的值； 4
（2）求|MN|在t??0,? 时的最大值.
（07理6）函数f?x??sin?x?
sinx????的最小正周期是T?_____ 3??2?
（07文4）函数y?secxcos?x??的最小正周期T?
（06文6）函数y?sinxcosx的最小正周期是_________。 （06理17）求函数y＝2cos(x?
)＋3sin2x的值域和最小正周期．
（05文5）函数y?cos2x?sinxcosx的最小正周期T=__________.
（03理17文17）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值. （03理1文1）函数y?sinxcos(x?
三角比：定义、基本关系、化简、求值、反三角函数 （11春3）在△ABC中，tanA?（11春5）若sinx?
)?cosxsin(x?
)的最小正周期T=
，则sinA=_______________。 3
,x?[?,]，则x=____________。（结果用反三角函数表示） 322
（10理19文19）（12分）已知0?x?，化简：
lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)]?lg(1?sin2x).
（06理6）如果cos?＝，且?是第四象限的角，那么cos(??)＝．
54??（06文17）已知?是第一象限的角，且cos??，求的值。 13cos2??4?（05文6）若cos??
，???0,?，则cos????=__________. 73??2??1?
,则tg(α+)=
(04理1文1)若tgα=
最简三角方程
（11文17）若三角方程sinx?0与sin2x?0的解集分别为E和F，则（
E（10理15文16） “x?2k??
?k?Z?”是“tanx?1”成立的
（A）充分不必要条件.
（B）必要不充分条件.
（C）充分条件.
（D）既不充分也不必要条件. （04理14文14）三角方程2sin(
A.{xx?2k??
C.{xx?2k??
?x)?1的解集为(
B.{xx?2k??
D.{xx?k??(?1)
（03理2文2）若x?
是方程2cos(x??)?1的解,其中??(0,2?),则??
图形与集合
向量的坐标形式：数量积的坐标形式、向量加减法的坐标形式
（12理12）在平行四边形ABCD中，∠A=3, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别
是边BC、CD，则
?的取值范围是
（12文12）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足
，则AM?AN的取值范围是
?1，则（11理11文12）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB?3,BDAB?AD?
（11春15）若向量a?(2,0),b?(1,1)，则下列结论正确的是
（B?（C）(a?b)?b.
（D）a//b.
（11春18）若a1,a2,a3均为单位向量，则a1?(
,)是a1?a2?a3?(3,6)的 33
（A）充分不必要条件.
（B）必要不充分条件.
（C）充要条件.
（D）既不充分也不必要条件. （10理13）如图所示，直线x=2与双曲线?:
?y2?1的渐近线交于E1,E2两点，记
OE1?e1,OE2?e2，任取双曲线?上的点P，若OP?ae1,?be2(a、b?R)，则a、b满足的
一个等式是
）在平面直角坐标系中，双曲线?的中心在原点，它的一个焦点坐标为，
e1?(2,1)、e2?(2,?1)分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线?上的点P，若
b?R），则a、b满足的一个等式是 OP?ae1?be2（a、
（07理14）在直角坐标系xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形
ABC中，AB?2i?j，AC?3i?kj，则k的可能值有
（04理6）已知点A(1, －2),若向量与={2,3}同向
, =2,则点B的坐标为
（04文6）已知点A(－1,5)和向量={2,3},若=3,则点B的坐
向量运算的几何意义
（12春18）设O为?ABC所在平面上一点.若实数x、y、z满足xOA?yOB?zOC?0
） (x2?y2?z2?0)，则“xyz?0”是“点O在?ABC的边所在直线上”的[答］(A)充分不必要条件.
(B)必要不充分条件.
(C)充分必要条件.
(D)既不充分又不必要条件.
（08理5文5）若向量a、b满足a?1，b?2，且a与b的夹角为，则
a?b=__________.
（07文6）若向量a，b的夹角为60，a?b?1，则aa?b?
（06理13文13）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是
） （A）AB＝DC；（B）AD＋AB＝AC； （C）AB－AD＝BD；（D）AD＋CB＝0．
向量的运算技巧：蛇形法则
（11理17）设A1,A2,A3,A4,A5是空间中给定的5个不同的点，则使
???????????????
MA1?MA2?MA3?MA4?MA5?0成立的点M的个数为（
（11文18）设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同的点，则使MA1?MA2?MA3?MA4?0成立的点M的个数为（
直线：法向量、方向向量、倾斜角、斜率、位置关系、夹角、点与直线对称问题
（12理4）若?(?2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为
反三角函数值表示）.
（12文4）若d?(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为
（结果用反三角函数值表示）
（11文5）若直线l过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l的方程为
。 （11春7）两条直线l1:x?3y?2?0与l2:x?y?2?0的夹角的大小是________。 （09文15）已知直线l1:(k?3)x?(4?k)y?1?0,与l2:2(k?3)x?2y?3?0,平行，则K得值是（
（07理2）已知l1:2x?my?1?0与l2:y?3x?1，若两直线平行，则m的值为 _____ （07文3）直线4x?y?1?0的倾斜角??
（07文13）圆x2?y2?2x?1?0关于直线2x?y?3?0对称的圆的方程是（
Ａ．(x?3)?(y?2)?
Ｂ．(x?3)?(y?2)?
Ｃ．(x?3)2?(y?2)2?2
Ｄ．(x?3)2?(y?2)2?2
（06文2）已知两条直线l1:ax?3y?3?0,l2:4x?6y?1?0.若l1//l2，则a?____. （05文9）直线y?
x关于直线x?1对称的直线方程是__________. 2
（03文4）已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标 是
点到直线的距离公式 （11春17）直线l:y?k(x?
)与圆C:x2?y2?1
的位置关系是
（A）相交或相切.
（B）相交或相离.
（C）相切.
（D）相交.
（10理5文7）圆C:x?y?2x?4y?4?0的圆心到直线3x?4y?4?0的距离
（06理2）已知圆x－4x－4＋y＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是
（04理8）圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C的方程为
. （04文8）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0, －4),B(0, －2),则圆C的方程为
圆锥曲线的基本概念：标准方程、焦点、渐近线、准线、定义
（12文16）对于常数m、n，“mn?0”是“方程mx2?ny2?1的曲线是椭圆”的（
） A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
??1的一个焦点，则（11理3）设m为常数，若点F(0,5)是双曲线
??1的顶点和焦点，则椭圆C的方程（11春9）若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线54
是_____________。
（10理3文8）动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x?2?0的距离相等，则P的轨迹方程为
（08文6）若直线ax?y?1?0经过抛物线y2?4x的焦点，则实数a?（08理10）某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a、短轴长为2b的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、
h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海
域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为?1、?2，那么
船只已进入该浅水区的判别条件是
??1PF1?PF2
（08文12） 设P是椭圆2516上的点. 若F1、F2是椭圆的两个焦点，则
??1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物（07理8）已知双曲线45
线方程为_____
x2y2??1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程（07文5）以双曲线45
（06理7）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则
该椭圆的标准方程是
（06文7）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.
（05文7）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是2,0，则椭圆的标准方程是__________.
（05理5）若双曲线的渐近线方程为y??3x，它的一个焦点是__________。
（04理2文2）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为
,0?，则双曲线的方程是
?（03理12文12）给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到1620
焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确
的结果填在下面空格内.
轨迹方程：代入法、直接法
（09文17）点P（4，－2）与圆x?y?4上任一点连线的中点轨迹方程是
（A）(x?2)?(y?1)?1
（B）(x?2)?(y?1)?4 （C）(x?4)?(y?2)?4
（D）(x?2)?(y?1)?1
l是经过原点与点(1,b)（08理20）（16分）设P(a,b)(b?0)是平面直角坐标系xOy中的点，的直线.记Q是直线l与抛物线x2?2py(p?0)的异于原点的交点.
（1）已知a?1,b?2,p?2. 求点Q的坐标；
x21?y2?1上，p?
（2）已知点P(a,b)(ab?0)在椭圆. 求证：点Q落在双曲线42ab
4x2?4y2?1上；
（3）已知动点P(a,b)满足ab?0，p?
. 若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛2ab
物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.
（05理3文4）直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP?OA?4，则点P的轨迹方程是__________.
圆锥曲线综合：
韦达定理的应用：求弦中点坐标 点差法：应用及注意点
最值问题：椭圆上的动点到坐标轴上一定点距离的最大值与最小值 面积公式的运用
（12理22）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2?y2?1.
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；（4分）
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x?y?1相切，求证： OP⊥OQ；（6分）
（3）设椭圆C2:4x?y?1. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）
（12文22）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x?y?1
（1）设F是C的左焦点，M是C
右支上一点，若MF?M的坐标； （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k
l交C于P、Q两点，若l与圆x2?y2?1相切，求证：
x22（11文22）（16分）已知椭圆C:2?y?1（常数m?1），点P是C上的动点，M是右
顶点，定点A的坐标为(2,0)。
⑴ 若M与A重合，求C的焦点坐标； ⑵
若m?3，求|PA|的最大值与最小值； ⑶
若|PA|的最小值为|MA|，求m的取值范围
?y2?1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一（11春10）若点O和点F分别为椭圆2
点，则|OP|2?|PF|2的最小值为___________。 （11春21）(14分) 已知抛物线F:y2?4x
（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为
kAB,kBC,kCA，若A的坐标在原点，求kAB?kBC?kCA的值；
（2）请你给出一个以P(2,1)为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由。
说明：第（2）小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。
（10理23）（18分）已知椭圆?的方程为2?2?1(a?b?0)，点P的坐标为（-a，b）.
（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足PM=(PA+PB),求点M的坐标；
（2）设直线l1:y?k1x?p交椭圆?于C、D两点，交直线l2:y?k2x于点E.若
k1?k2??2，证明：E为CD的中点；
（3）对于椭圆?上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆?上存在不同的两个交点P1、P2满足PP1+PP2=PQ,写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围.
A(0,b)、B(0,?b)和Q(a,0)（10文23）（18分）已知椭圆?的方程为2?2?1(a?b?0)，
为?的三个顶点. （1）若点M满足AM?
(AQ?AB)，求点M的坐标； 2
（2）设直线l1:y?k1x?p交椭圆?于C、D两点，交直线l2:y?k2x于点E.若
k1?k2??2，证明：E为CD的中点；
（3）设点P在椭圆?内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆?的
a?10，b?5，点P的坐标是两个交点P1、P2满足PP1?PP2?PQPP1?PP2?PQ？令
（-8，-1），若椭圆?上的点P1、P2满足PP1、P2的坐标. 1?PP2?PQ，求点P（10春22）
（09理9文12）已知F1、F2是椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C
上一点，且1F2的面积为9，则b=____________. 1?PF2.若?PF（09文9）过点A（1，0）作倾斜角为
的直线，与抛物线y?2x交于M、N两点，则4
1,设过点A(?的直线l的方向向量（09理21）（16分）已知双曲线c:2
（1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离； （2） 证明：当k
时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l
（09文22）（16分）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为
，一条渐近线
设过点A(?的直线l的方向向量e?(1,k)。
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 若过原点的直线a//l
，且a与l，求K的值；
3） 证明：当k?
时，在双曲线C
的右支上不存在点Q，使之到直线lx2
?y2?1，P是C上的任意点. （08理18）（15分）已知双曲线C:4
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值.
?y2?1. （08文20）（16分）已知双曲线C:2
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）已知点M的坐标为(0,1). 设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点. 记???. 求?的取值范围；
(2,?1)、(0,1)，P为双曲线C上在第（3）已知点D、E、M的坐标分别为(?2,?1)、
一象限内的点. 记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长. 试将s表示为直线l的斜率k的函数.
（07理21）已知半椭圆2?2?1?x?0?与半椭圆2?2?1?x?0?组成的曲线称为“果
圆”，其中a?b?c,a?0,b?c?0。如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，
A2和B1，B2是“果圆” 与x，y轴的交点，
（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若A1A?B1B，求
的取值范围； a
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k，使得斜率为k
（07文21）我们把由半椭圆2?2?1 (x≥0)与半椭圆2?2?1 (x≤0)合成的曲
线称作“果圆”，其中a?b?c，a?0，b?c?0．
如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆” 与x，y轴
的交点，M是线段A1A2的中点．
（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；
（2）设P是“果圆”的半椭圆2?2?1
(x≤0)上任意一点．求证：当PM取得最小值时，
P在点B1，B2或A1处；
（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标．
（06理20）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y＝2x相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA?OB＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
（06文21）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，
左焦点为F(,右顶点为D(2,0),设点A?1,?. （1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程； （3）过原点O的直线交椭圆于点B,C，求?ABC面积的最大值。
（05理15）过抛物线y?4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
??1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦（05理19）如图，点A、B分别是椭圆
点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA?PF．
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M
的距离d的最小值．
（05文21）已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
（1）求抛物线方程；
（2）过M作MN?FA，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.
（05春22）（1）求右焦点坐标是(2,0)，且经过点(?2,?2)的椭圆的标准方程；
B两（2）已知椭圆C的方程是2?2?1(a?b?0). 设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、
点，AB的中点为M. 证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. （04文20）如图, 直线y=
x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与28
直线y=－5交于Q点.
(1) 求点Q的坐标；
(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值. （04理22）设P1(x1,y1), P1(x2,y2),,,, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=OP1, a2=OP2, ,,, an=OPn构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标
原点. 记Sn=a1+a2+,,+an.
?(1) 若C的方程为=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=255, 求点P3的坐标； 10025
(只需写出一个)
(2)若C的方程为2?2?1(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化
时, 求Sn的最小值；
. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,,,Pn存在的充要条件,并说明理由.
（04文22）设P1(x1,y1), P1(x2,y2),,,, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且
a1=OP1, a2=OP2, ,,, an=OPn构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标
原点. 记Sn=a1+a2+,,+an.
（1）若C的方程为－y=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=162, 求点P3的坐标；(只需写出一
（2）若C的方程为y=2px(p≠0). 点P1(0,0), 对于给定的自然数n, 证明：(x1+p),
(x2+p), ,,,(xn+p)成等差数列；
（3）若C的方程为2?2?1(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变
化时, 求Sn的最小值.
（03理21文21）在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知
|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.
（1）求向量AB的坐标；
（2）求圆x2?6x?y2?2y?0关于直线OB对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线y?ax2?1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，
说明理由：若存在，求a的取值范围.
（03春21）设F1、F2分别为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右两个焦点。
(1) 若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标； (2) 设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
(3) 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值。
试对双曲线2?2?1写出具有类似特性的性质，并加以证明。
?1，点P(a,b)的坐标满足a??1。过点P的直（01春21）已知椭圆C的方程为x?22
线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：
（1）点Q的轨迹方程；
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．
(y?1)2(x?1)2
??1的一个顶点与一个焦点，（00春22）如图所示,A、F分别是椭圆：
位于x轴的正半轴上的动点T(t,0)与F的连线交射线OA于Q.求: （1）点A、F的坐标及直线TQ的方程;
（2）?OTQ的面积S与t的函数关系式S?f(t)及该函数的
（3）写出S?f(t)的单调递增区间,并证明之.
立体几何：圆锥的展开、异面直线的夹角、多面体的体积、折
叠、旋转体的体积、二面角（理）
（12理19）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；（6分）
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）
B（12文19）如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝
2，AC?PA?2，求： 2
（1）三棱锥P?ABC的体积
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）
（12理8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面，则该圆锥的体积为
. （12文5）一个高为2的圆柱，底面周长为2?，该圆柱的表面积为
（11理7）若圆锥的侧面积为2?，底面积为?，则该圆锥的体积为
。 （11文7）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的侧面积是
（11理21）（14分）已知ABCD?A1BC11D1是底面边长为1的正四棱柱，
O1是AC11和B1D1的交点。
⑴ 设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为?，二面角A?B1D1?A1的大小为?。
求证：tan??； ⑵ 若点C到平面AB1D1的距离为
，求正四棱柱ABCD?A1BC11D1的高。 3
（11文20）20、（14分）已知ABCD?A1BC11D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1?2。求：
异面直线BD与AB1所成的角的大小（结果用反三角函数表示）； ⑵ 四面体AB1D1C的体积。
（11春13）有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB与CD所成的角的大小是_______________。
（10文6）已知四棱椎P?ABCD的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA?底面ABCD，且PA?8，则该四棱椎的体积是
（10理12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去AOB,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为____________
（10理21）（13分）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要
制作4个全等的矩形骨架，
总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料
片制成圆柱的侧面和下底 面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线A1B3与A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） （10文20）（14分）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形 骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）;
(2) 若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用
于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
（10春13）在右图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40cm,母
线长最短50cm、最长80cm,则斜截圆柱侧面面积S=
下半部分呈圆锥形（如图）。现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）. （09理5文5）如图，若正四棱柱ABCD?A1BC11D1的底面连长为2，高
为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. （09理8）已知三个球的半径R1，R2，R3满足
R1?2R2?3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量
关系是___________.
（09文6）若球O1、O2表示面积之比?4，则它们的半径之
=_____________. R2
（09文8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是
。 （09文16）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，
且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（
（09理19）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
AB?BC,求二面角B1?AC1?C1的大小。
（08理13）给定空间中的直线l及平面?. 条件“直线l与平面?内无数条直线都垂直”是“直
线l与平面?垂直”的
(A) 充要条件.
(B) 充分非必要条件.
(C) 必要非充分条件.
(D) 既非充分又非必要条件.
（08文13）给定空间中的直线l及平面?. 条件“直线l与平面?内两条相交直线都垂直”是“
(A) 充分非必要条件.
(B) 必要非充分条件
(C) 充要条件.
(D) 既非充分又非必要条件.
（08理16文16）（12分）如图，在棱长为 2 的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是BC1的中点. 求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90，
AA1?2，AC?BC?1，则异面直线A1B与AC所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）．
A （07理10）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两
个相交平面
?,?与两直线l1,l2，又知l1,l2在?内的射影为s1,s2，在?内的射影为t1,t2。试写出s1,s2与t1,t2满足的条件，使之一定能成为l1,l2是异面直线的充分条件（07理16）体积为1的直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90?，AC?BC?1，求直线
AB1与平面BCC1B1所成角。
（07文16）在正四棱锥P?ABCD中，PA?2，直线PA与平面ABCD所成的角为60，
求正四棱锥P?ABCD的体积V．
（06理14）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的
） （A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件． （06文15）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的
） （A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件 （C）充分必要条件
（D）既非充分又非必要条件
（06理19）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60． （1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． （06文19）在直三棱柱ABC?ABC中，?ABC?90,AB?BC?1.
（1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；
（3） 若AC1与平面ABC所成角为45，求三棱锥A1?ABC的体积。
（05理11文12）有两个相同的直三棱柱，高为
底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a?0)。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________。
（05理17）已知直四棱柱ABCD?A底面ABCD是直角梯形，?A为1BC11D1中，AA1?2，直角，AB//CD，AB?4，AD?2，DC?1，求异面直线BC1与DC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
（05文17）已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是BB1和BC的中点，AB=4，AD=2，求异面直线B1D与MN所成角的大小.（结果用反三角B1D与平面ABCD所成角的大小为60?，函数值表示）
（04理13文13）在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中,真命题是 （
A．若l?β且α⊥β,则l⊥α.
C．若l⊥β且α⊥β,则l∥α.
B．若l⊥β且α∥β,则l⊥α. D．若α∩β=m且l∥m,则l∥α.
（04理21文21）如图,P—ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
（1）证明：P—ABC为正四面体； （2）若PD=
PA, 求二面角D—BC—A的大小；(结果用反三角函数值表示) 2
（3）设棱台DEF—ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体, 使得它与棱台DEF—ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.
（04春20）如图，点P为斜三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM?BB1交AA1于点M，PN?BB1交CC1于点N.
(1) 求证：CC1?MN；
DE2?DF2?EF2?2DF?EFcos?DFE. 拓展到空间，
(2) 在任意?DEF中有余弦定理：
类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明. A
（03理18文18）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD， AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求 平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.
（03理14文14）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是
A．α、β都垂直于平面r.
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β.
（03理5文5）在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直
线PA与BC所成角的大小等于
.（结果用反三角函数值表示）
数据整理与概率统计
排列、组合
（11春12）2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为____________。
（10理14）以集合U=?a，b，c，d?的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1）a、b都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A?B或B?A，那么共有
种不同的选法。
(n?r?1,n、r?Z)恒等于
) （08理12）组合数Cn
r?1r?1nr?1r?1r?1
(B) (n?1)(r?1)Cn?1. (C) nrCn?1.
(D) Cn?1. n?1r
（06理10文16）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线
面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
二项式定理 （12理5）在(x?
)的二项展开式中，常数项等于x
（12文8）在?x??的二项式展开式中，常数项等于
（11春6）(x?
)的二项展开式的常数项为_______。 x
（05理4）在(x?a)10的展开式中，x的系数是15，则实数a=__________。
（04理9文9）若在二项式(x+1)的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是
(结果用分数表示)
概率：生日悖论、古典概型
（12理11）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是
（结果用最简分数表示）.
（12文11）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是
（结果用最简分数表示）
（11理12文13）随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是
_____________（默认每月天数相同，结果精确到0.001）。
（10文10）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的
（结果用最简分数表示）。
（09文11）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出
的志愿者中男女生均不少于1名的概率是
（结果用最简分数表示）。 （08理7）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、
F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是
(结果用分数表示). （08文8）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、
F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是
(结果用分数表示).
2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为 （07理7文9）有数字1、___________
（06理9）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是
（结果用分数表示）．
（06文10）在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。
（05理8文8）某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程。从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________。（结果用分数表示）
（03理9文9）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从
中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为
.（结果用分数表示）
（11文10）课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8。若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为
（10文5）将一个总数为A、B 、C三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取
数理统计的概念：均值、方差、标准差、中位数、众数
（12理17）设10?x1?x2?x3?x4?104，x5?105. 随机变量?1取值x1、x2、x3、x4、
x?xx?xx?xx?xx2
、223、324、425、521的概率也为0.2.
x5的概率均为0.2，随机变量?2取值x1?2
若记D?1、D?2分别为?1、?2的方差，则
（A）D?1＞D?2. （B）D?1＝D?2. （C）D?1＜D?2.
（D）D?1与D?2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关.
（09理17文18）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4
（B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0
（C）丙地：中位数为2，众数为3
（D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 （08理9文10）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且
总体的中位数为10.5. 若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是
（04理16文16）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中
数据,就业形势一定是(
A．计算机行业好于化工行业.
B．建筑行业好于物流行业.
C．机械行业最紧张.
D．营销行业比贸易行业紧张.
复数的基本概念：四则运算、共轭、代数形式、几何形式
（12理1文1）计算：=
（i为虚数单位）.
（11理19文19）（12分）已知复数z1满足(z1?2)(1?i)?1?i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，z1?z2是实数，求z2。
（10理2文4）若复数z?1?2i（i为虚数单位），则z?z?z?
（09理1）若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数z=_____________ . （09文19）（14分）已知复数z?a?bi（a、b?R）(I是虚数单位)是方程x?4x?5?0
的根 . 复数w?u?3i（u?
R）满足w?z? u 的取值范围 .（08理3文3）若复数z满足z?i(2?z)（i是虚数单位），则z=
. （07理9文10）若a,b为非零实数，则下列四个命题都成立： ④ a?
②?a?b??a2?2ab?b2
③若a?b，则a??b a
④若a?ab，则a?b。则对于任意非零复数a,b，上述命题仍然成立的序号是_____。
（06理5）若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝． （06文5）若复数z满足z?(m?2)?(m?1)i（i为虚数单位），其中m?R则z?____。 （05理18）证明：在复数范围内，方程z?(1?i)z?(1?i)z?（05文18）在复数范围内解方程|z|?(z?z)i?
（i为虚数单位）无解． 2?i
（i为虚数单位）. 2?i
（04理17文17）已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i, z2=a－2－i, 其中i为虚数单位,a∈R, 若
z1?z2<z1,求a的取值范围.
实系数一元二次方程
（12理15文15）若1?2i是关于x的实系数方程x?bx?c?0的一个复数根，则 （
（A）b?2,c?3. （B）b??2,c?3. （C）b??2,c??1.（D）b?2,c??1.
（11春14）为求方程x?1?0的虚根，可以把原方程变形为
(x?1)(x2?ax?1)(x2?bx?1)?0，由此可得原方程的一个虚根为______________。
“?2?a?2”（09理15）是“实系数一元二次方程x?ax?1?0有虚根”的
（A）必要不充分条件
（B）充分不必要条件 （C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件 （08文7）若z是实系数方程x2?2x?p?0的一个虚根，且z?2，则p?
. （07理12）已知2?ai,b?i是实系数一元二次方程x2?px?q?0的两根，则p,q的值为
A、p??4,q?5
B、p?4,q?5
C、p?4,q??5
D、p??4,q??5 （07文12）已知a，b?R，且2?ai,
b?3i（i是虚数单位）是一个实系数一元二次方程
的两个根，那么a，b的值分别是（
Ａ．a??3，b?2
Ｂ．a?3，b??2
Ｃ．a??3，b??2
Ｄ．a?3，b?2
线性规划（文）
（12文10）满足约束条件x?2y?2的目标函数z?y?x的最小值是
（11文9）若变量x、y满足条件?
y的最大值为
。，则z?x?
?x?y的最大值是
（10文15）满足线性约束条件??x?2y?3,的目标函数z
?x?0,??y?0
（09文7）已知实数x、y满足?y??2x 则目标函数z=x-2y的最小值是___________.
（0，1）（4，2）（2，6）（08文11）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、. 如
果P(x,y)是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w?xy取到最大值时，点
?x?y?3?0?x?2y?5?0?
（06文9）已知实数x,y满足?，则y?2x的最大值是_________.
（05文3）若x,y满足条件?
，则z?3x?4y的最大值是__________.
（04文7）当x、y满足不等式组?y?3时,目标函数k=3x－2y的最大值为
5，，x4天．四道（07文8）某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，
工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，
D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是．
极坐标、参数方程（理）
（12理10）如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角
.若将l的极坐标方程写成??f(?)的形式，则 ???f(?)?（11理5）在极坐标系中，直线?(2cos??sin?)?2与直线?cos??1的夹角大小为
（10理16）直线l的参数方程是?
(t?R)，则l的方向向量是d
(D)(1,-2) （09理10）在极坐标系中，由三条直线??0，??
积是________.
，?cos???sin??1围成图形的面
（06理8）在极坐标系中，O是极点，设点A（4），（5，B－
35?），则△OAB的面积是
（05理6）将参数方程?
?x?1?2cos?
（?为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
)到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d=
（03理4）在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线?cos???sin??0上运动，当线段AB
（04理7）在极坐标系中,点M(4,最短时，点B的极坐标是
期望值（理）
（11理9）马老师从课本上抄录一个随机变量?的概率分布律如下表
请小牛同学计算?的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E??
（10理6）随机变量?的概率分布率由下图给出：
则随机变量?的均值是
（09理7）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量?表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E?=____________（结果用最简分数表示）.
独立、互斥事件的概率
（10理9）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件
B为“抽得为黑桃”，则概率P（A?B）==________（结果用最简分数表示） （09理16）若事件E与F相互独立，且P?E??P?F??（A）0
，则P?EIF?的值等于 4
特殊问题与技巧
多变量问题
（11理10文11）行列式（a,b,c,d?{?1,1,2}）的所有可能值中，最大的
（09理18）过圆C：(x?1)2?(y?1)2?1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，?AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S??S??S??S|||,则直线AB有（
） （A） 0条
（D） 3条 Ⅱ
数列新型小题：数表、估值
?（12理18）设an?1，Sn?a1?a2???an. 在S1,S2,?,S100中，正数的个数是sinn
（12文18）若Sn?sin个数是（
（B）50. （C）75. （D）100.
?...?sin（n?N），则在S1,S2,...,S100中，正数的77
D、100 （10理10文12）在n行
n??123???n?2n?1??
1?中，记位于第in列矩阵?234???n?1n
?345???n12???
???????????????????????
?n12???n?3n?2n?1???
行第j列的数
为aij(i,j?1,2???,n)。当n?9时，a11?a22?a33?????a99?
。 （10春14）
（05理12文16）用n个不同的实数a1,a2,?,an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵。对第i行ai1,ai2,?,ain，记bi??ai1?2ai2?3ai3?....?(?1)nnain，
i?1,2,3,?,n!。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所
以，b1?b2???b6??12?2?12?3?12??24，那么， 在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1?b2???b120=________。
（12理21文21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
y?12x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 49
援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.
（1）当t?0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8
（09理20文21）（理14分 文16分）有时可用函数
0.1?15ln,(x?6)??a?x
x?4.4?,(x?6)??x?4
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x?N），f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1） 证明：当x?7时，掌握程度的增加量f(x?1)?f(x)总是下降；
（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为
(115,121],(121,127],(121,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。
（09春18）我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径R?34百公里）的中心F为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为ab百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的
长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表
面的距离（精确到1百公里）. （08春20）某厂根据市场需求开发折叠式小凳 （如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚
为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适
度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为
30cm，② 三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面.
（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；
（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm，
节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长
度（精确到0.1cm）.
（07理18文18）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，
已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%。
在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）
（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）
（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）
（05理20文20）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
（04理18文18）某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：
03-12全真题+00-02优秀题+春考优秀题目录方程与代数（前面的数字标识该知识点的常考难度） ………………3Ⅰ 集合的运算：交、并、补 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 Ⅰ 充分必要条件 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,…
03-12全真题+00-02优秀题+春考优秀题目录方程与代数（前面的数字标识该知识点的常考难度） ………………3Ⅰ 集合的运算：交、并、补 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 Ⅰ 充分必要条件 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,…
03-12全真题+00-02优秀题+春考优秀题目录方程与代数（前面的数字标识该知识点的常考难度） ………………3Ⅰ 集合的运算：交、并、补 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 Ⅰ 充分必要条件 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,…
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历年高考数学上海卷题型归类分析与预测 投稿：程櫑櫒
03-12全真题+00-02优秀题+春考优秀题目录方程与代数（前面的数字标识该知识点的常考难度） ………………3Ⅰ 集合的运算：交、并、补 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 Ⅰ 充分必要条件 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,…
义工课程总结 光阴似箭，转眼间，学期即将划上句号。回顾本学期的义工工作，有收获但也有许多不足。只能说做义工让我变得更加成熟、懂事。这门课程让我知道义工是指任何人志愿贡献个人时间及精力，在不在任何物质报酬的情况下，为改进社会而提供的服务，也是一个在不断…
销售助理工作流程销售发货1、 销售助理必须清楚库存货物状况，包括版本名称、型号、批号、数量、以及在库包装情况。定期（每周）进行库存盘点核对，每月底必须会同财务部一同进行实物盘点。对于货物入库信息，每日早晨应及时向仓库索要。2、 客户订货时，要仔细审核…
03-12全真题+00-02优秀题+春考优秀题
方程与代数（前面的数字标识该知识点的常考难度）
………………3
Ⅰ 集合的运算：交、并、补
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 Ⅰ 充分必要条件
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4 Ⅰ 分式、绝对值、一元二次不等式的解法
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4 Ⅱ 指对数方程、指对数不等式的解法
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5 Ⅱ 不等式：基本不等式、不等式证明
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5 Ⅰ 行列式：计算、代数余子式
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6 Ⅱ 算法
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6 Ⅰ 数列的极限
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7 Ⅱ 数学归纳法
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7 Ⅱ 等差、等比数列：判定、基本性质
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,8 Ⅳ 等差数列与等比数列：并项、同项、等量关系
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,9 Ⅲ 数列不等式
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11
函数与分析
……………………………………………………………14
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,14 Ⅰ
基本函数的单调性、奇偶性
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,14 Ⅲ
对称性、周期性结合下的函数图象
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,15 Ⅱ
函数奇偶性、单调性的判定、应用
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,17 Ⅲ
分段函数的图像：最值函数、远离函数
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,18 Ⅲ
奇偶性与单调性
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,18 Ⅲ
绝对值函数的应用
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,19 Ⅱ
函数图象的特征
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,19 Ⅲ
函数单调性与值域
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,19 Ⅱ
二分法求根
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,21 Ⅱ
解三角形：形状判定、解三角形
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,21 Ⅱ
三角函数：辅助角公式求最值、周期、换元法求值域
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,23 Ⅰ
三角比：定义、基本关系、化简、求值、反三角函数
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,24 Ⅱ
最简三角方程
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,24
图形与集合
……………………………………………………………25
向量的坐标形式：数量积的坐标形式、向量加减法的坐标形式
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,25 Ⅰ
向量运算的几何意义
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,26 Ⅲ
向量的运算技巧：蛇形法则
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,26 Ⅰ
直线：法向量、方向向量、倾斜角、斜率、位置关系、夹角、点与直线对称问题
,,,,,,,,,,,,27 Ⅰ
点到直线的距离公式
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,28 Ⅰ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,28
圆锥曲线的基本概念：标准方程、焦点、渐近线、准线、定义
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,28 Ⅰ
轨迹方程：代入法、直接法
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,30 Ⅲ
圆锥曲线综合：
韦达定理的应用：求弦中点坐标 点差法：应用及注意点
最值问题：椭圆上的动点到坐标轴上一定点距离的最大值与最小值
面积公式的运用
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,30
立体几何：圆锥的展开、异面直线的夹角、多面体的体积、折叠、旋转体的体积、二面角（理）
数据整理与概率统计
…………………………………………………43
排列、组合
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,43 Ⅰ
二项式定理
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,43 Ⅱ
概率：生日悖论、古典概型
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,43 Ⅰ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,44 Ⅱ
数理统计的概念：均值、方差、标准差、中位数、众数
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,44
………………………………………………………………45
复数的基本概念：四则运算、共轭、代数形式、几何形式
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,45 Ⅰ
实系数一元二次方程
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,46
………………………………………………………………47
线性规划（文）
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,47 Ⅰ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,48
………………………………………………………………48
极坐标、参数方程（理）
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,48 Ⅰ
期望值（理）
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,49 Ⅰ
独立、互斥事件的概率
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,49
特殊问题与技巧
………………………………………………………50
多变量问题 ^,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,50 Ⅱ
数列新型小题：数表、估值
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,50 Ⅲ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,51 Ⅲ
数形结合：含参不等式、含参方程、交点个数、复合方程根的个数
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,54 Ⅲ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,55 Ⅱ
不等式恒成立
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,61 Ⅲ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,62 Ⅲ
数列的迭代
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,63 Ⅱ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,64
历年高考题型分布： 09-12:14+4+5 07-08:11+4+6 00-06:12+4+6
方程与代数
Ⅰ 集合的运算：交、并、补
（12理2）若集合A?{x|2x?1?0}，B?{x|x??2}，则A?B=
. （12文2）若集合A?x2x?1?0，B?xx?1，则A?B＝（11理2）若全集U?R，集合A?{x|x?1}{x|x?0}，则CUA?。 （11文1）若全集U?R，集合A?{x|x?1}，则CUA?。 （11春2）若集合A?{x|x?1},B{x|x2?4}，则A?B=_____________。 （10文1）已知集合A??1,3,m?，B??3,4?，A
B??1,2,3,4?则m?
（09理2文2）已知集合A??x|x?1?，B??x|x?a?，且A?B?R，
则实数a的取值范围是______________________ .
（08理2文2）若集合A?xx?2、B?xx?a满足A?B??2?，则实数
am}．（06理1）已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，若B?A，则实数m＝
（06文1）已知A?{?1,3,m}，集合B?{3,4}，若B?A,则实数m?___。 （05理14文14）已知集合M??x||x?1|?2,x?R?，P??x|等于（
A．?x|0?x?3,x?Z?
B．?x|0?x?3,x?Z? C．?x|?1?x?0,x?Z?
D．?x|?1?x?0,x?Z?
（04理3文3）设集合A={5,log2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B=
则M?P?1,x?Z?，
（04理19文19）记函数f(x)=2?
的定义域为A,g(x)?lg[(x?a?1)(2a?x)](a?1)的x?1
定义域为B.
(2) 若B?A, 求实数a的取值范围.
（03理6文6）设集合A={x||x|0}, 则集合{x|x∈A且 x?A?B}
充分必要条件
（05文15）条件甲：“a?1”是条件乙：
A．既不充分也不必要条件B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
Ⅰ 分式、绝对值、一元二次不等式的解法
?3的解为。 x1
（11文6）不等式?1的解为。
（11理4）不等式
（11春1）函数y?lg(x?2)的定义域为__________________。 （10理1文2）不等式
?0的解集是
（10文22）（16分）若实数x、y、m满足x?m?y?m，则称x比y接近m. （1）若x?1比3接近0，求x的取值范围； （2）略 （3）略
（10理22）（18分）若实数x、y、m满足x?m＞y?m，则称x比y远离m.
（1）若x?1比1远离0，求x的取值范围；
（2）略 （3）略
（08理1文1）不等式x?1?1的解集是
（07理1）函数f?x??
lg?4?x?x?3
的定义域为_____
（03理15）a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x+b1x+c1>0和a2x+b2x+c2>0的解
集分别为集合M和N，那么“
A．充分非必要条件.
C．充要条件
??”是“M=N”的
B．必要非充分条件. D．既非充分又非必要条件.
指对数方程、指对数不等式的解法 （12文6）方程4?2
?3?0的解是（11理20文21）（12分）已知函数f(x)?a?2x?b?3x，其中常数a,b满足ab?0。 ⑴
略；⑵ 若ab?0，求f(x?1)?f(x)时x的取值范围。 （07理4）方程9?6?3?7?0的解是_____ （07文1）方程3
（06文8）方程log3(x2?10)?1?log3x的解是_______. （05理2文2）方程4?2?2?0的解是__________.
不等式：基本不等式、不等式证明
（11理15文15）若a,b?R，且ab?0，则下列不等式中，恒成立的是（
（10文22）（16分）若实数x、y、m满足x?m?y?m，则称x比y接近m. （1）略
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：ab?ab比a?
b接近2 （3）略
（07理13）已知a,b为非零实数，且a?b，则下列命题成立的是
已知x,y?R，且x?4y?1，则x?y的最大值为_____
（06文14）如果a?0,b?0，那么，下列不等式中正确的是（
（D）|a|?|b| Ⅰ
行列式：计算、代数余子式
（11春4）若行列式
x=____________。
（10理4）行列式
（10文3）行列式
（09理3文3）行列式 x 3中，元素4的
代数余子式大于0，
则x满足的条件是________________________ . Ⅱ
（11春）根据如图所示的程序框图，输出结果i=___________。 （10理7文11）2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入
。 （10春12）根据所示的程序框图（其中[x]表示不大于x的最大整数），输出r?
（09理4文4）某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________________________ .
数列的极限
（12理6文7）有一列正方体，棱长组成以1为首项，
为公比的等比数列，体积分别记为
V1,V2,,,,Vn,,,，则lim(V1?V2???Vn)?
（11文2）lim(1?
的无穷等比数列，且?an?各项的和为a，2
（08理14文14）若数列?an?是首项为1，公比为a?
，1≤n≤1000，2??n
（07文14）数列?an?中，an?? 则数列?an?的极限值（
n?，n≥1001，??n2?2n
Ｃ．等于0或1
Ｄ．不存在
（06理4）计算：lim3＝
?______。 （06文4）计算：lim3
6n?1n??3n?1?2n
（05理7）计算：limn=__________。
（04理4文4）设等比数列{an}(n∈N)的公比q=-
,且lim(a1+a3+a5+,,+a2n-1)=,则a1=
（03理8文8）若首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和，
则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）=
数学归纳法
（07理15）已知f?x?是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若
f?k??k成立，则f?k?1???k?1?成立，下列命题成立的是
A、若f?3??9成立，则对于任意k?1，均有f?k??k成立；
B、若f?4??16成立，则对于任意的k?4，均有f?k??k2成立； C、若f?7??49成立，则对于任意的k?7，均有f?k??k2成立； D、若f?4??25成立，则对于任意的k?4，均有f?k??k2成立。
（07文15）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k?1)≥(k?1)2成立”． 那么，下列命题总成立的是（
Ａ．若f(1)?1成立，则f(10)?100成立
Ｂ．若f(2)?4成立，则f(1)≥1成立
Ｃ．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
Ｄ．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
等差、等比数列：判定、基本性质
（11理18）设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai,ai?1的矩形面积（i?1,2,则{An}为等比数列的充要条件为（
{an}是等比数列。
,a2n?1,,a2n?1,,a2n?1,
或a2,a4,和a2,a4,和a2,a4,
,a2n,,a2n,,a2n,
是等比数列。 均是等比数列。
均是等比数列，且公比相同。
（11春8）若Sn为等比数列{an}的前n项的和，8a2?a5?0，则
=_________________。 S3
（04理12文12）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为
q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第
__组.(写出所有符合要求的组号)
其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.
（03理3文3）在等差数列{an}中，a5=3, a6=－2,则a4+a5+,,+a10
等差数列与等比数列：并项、同项、等量关系
（11理22）（18分）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an?3n?6，bn?2n?7（n?N），将集合
{x|x?an,n?N*}{x|x?bn,n?N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1,c2,c3,
⑴ 求c1,c2,c3,c4；
⑵ 求证：在数列{cn}中、但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,⑵
求数列{cn}的通项公式。
（11文23）（18分）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an?3n?6，bn?2n?7（n?N），将集合
{x|x?an,n?N*}{x|x?bn,n?N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1,c2,c3,
⑴ 求三个最小的数，使它们既是数列{an}中的项，又是数列{bn}中的项； ⑶
,c40中有多少项不是数列{bn}中的项？说明理由；
求数列{cn}的前4n项和S4n（n?N）。
（09理23）（18分）已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列。 （1） 若an?3n?1，是否存在m、k?N，有am?am?1?ak?说明理由； （2） 找出所有数列?an?和?bn?，使对一切n?N,
?bn,并说明理由； an
（3） 若a1?5,d?4,b1?q?3,试确定所有的p，使数列?an?中存在某个连续p项的和是
数列?bn?中的一项，请证明。
（09文23）（18分）已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列 （1）若 an?3n?1，是否存在m,n?N，有am?am?1?ak？请说明理由；
（2）若bn?aq（a、q为常数，且aq?0）对任意m存在k，有bm?bm?1?bk，试求a、q满
足的充要条件；
（3）若an?2n?1,bn?3n试确定所有的p,使数列?bn?中存在某个连续p项的和式数列中
?an?的一项，请证明.
（08理21）（18分）已知以a1为首项的数列?an?满足：an?1
?an?c,an?3,
（1）当a1?1，c?1,d?3时，求数列?an?的通项公式；
（2）当0?a1?1，c?1,d?3时，试用a1表示数列?an?前100项的和S100；
（3）当0?a1?
111 （m是正整数），c?，正整数d?3m时，求证：数列a2?, mmm11
?，a9m?2?成等比数列当且仅当d?3m. mm
（08文21）（18分）已知数列?an?：a1?1，a2?2，a3?r，an?3?an?2（n是正整数），与数列?bn?：b1?1，b2?0，b3??1，b4?0，bn?4?bn（n是正整数）. 记
Tn?b1a1?b2a2?b3a3???bnan.
（1）若a1?a2?a3???a12?64，求r的值；
（2）求证：当n是正整数时，T12n??4n；
（3）已知r?0，且存在正整数m，使得在T12m?1,T12m?2,?，T12m?12中有4项为100. 求
r的值，并指出哪4项为100.
（07理20）若有穷数列a1,a2...an（n是正整数），满足a1?an,a2?an?1....an?a1即ai?an?i?1 （i是正整数，且1?i?n），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列?bn?是项数为7的对称数列，且b1,b2,b3,b4成等差数列，b1?2,b4?11，试写出?bn?的每一项
（2）已知?cn?是项数为2k?1?k?1?的对称数列，且ck,ck?1...c2k?1构成首项为50，公差为?4的等差数列，数列?cn?的前2k?1项和为S2k?1，则当k为何值时，S2k?1取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m?1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1,2,2...2成
为数列中的连续项；当m?1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008
a2，a3，，am（m为正整数）满足条件a1?am，a2?am?1，,,，（07文20）如果有穷数列a1，
2，m），我们称其为“对称数列”．
am?a1，即ai?am?i?1（i?1，，
2521与数列8，，，，，42248都是“对称数列”例如，数列1，，，，．
b2，b3，b4是等差数列，且b1?2，b4?11．依（1）设?bn?是7项的“对称数列”，其中b1，
次写出?bn?的每一项；
c26，，c49是首项为1，公比为2的等比数
（2）设?cn?是49项的“对称数列”，其中c25，
列，求?cn?各项的和S；
d52，，d100是首项为2，公差为3的等差（3）设?dn?是100项的“对称数列”，其中d51，2，100)．
数列．求?dn?前n项的和Sn(n?1，，
（03理19）已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.
（1）求和：a1C2?a2C2?a3C2,a1C3?a2C3?a3C3?a4C3;
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. （03文22）已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.
（1）求和：a1C2?a2C2?a3C2,a1C3?a2C3?a3C3?a4C3;
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
（3）设q≠1，Sn是等比数列{an}的前n项和，求：
S1Cn ?S2Cn?S3Cn?S4Cn???(?1)nSn?1Cn
数列不等式
（11春23）(18分) 对于给定首项x0?a(a?0)，由递推公式xn?1?
得到数列{xn}，对于任意的n?N，都有xn?a，用数列{xn}可以计算a的近似值。 （1）取x0?5,a?100，计算x1,x2,x3的值（精确到0.01）；归纳出xn,xn?1的大小关系； （2）当n?1时，证明：xn?xn?1?
(xn?1?xn)； 2
（3）当x0?[5,10]时，用数列{xn}计算3的近似值，要求xn?xn?1?10?4，请你估计n，并说明理由。
（10理20）(13分) 已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N* （1）证明：?an?1?是等比数列；
（2）求数列?Sn?的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由。 （10文21）( 14分) 已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N
(1)证明：?an?1?是等比数列；
(2)求数列?Sn?的通项公式，并求出使得Sn?1?Sn成立的最小正整数n.
（06理21）已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn，且an?1＝(a?1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1． （1）求证：数列{an}是等比数列； （2）若a＝2
，数列{bn}满足bn＝
log2(a1a2???an)（n＝1，2，┅，2k），求数列n
3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k?1－|＋|b2k－|2222
{bn}的通项公式；
（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－≤4，求k的值．
（06文20）设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an?Sn?4096。 （1）求数列{an}的通项公式
（2）设数列{log2an}的前n项和为Tn,对数列?Tn?，从第几项起Tn??509？
（05春12） 已知函数f(x)?2x?log2x，数列{an}的通项公式是an?0.1n（n?N），当
|f(an)?2005|取得最小值时，n?（02理21文21）已知函数f (x)=a·b的图象过点A（4，（1）求函数f (x)的解析式；
（2）记an =log2f (n)，n是正整数，Sn是数列{an}的前n项和，解关于n的不等式 anSn≤0；
（3）（理）对于（2）中的an与Sn，整数10（理）96（文）是否为数列{ anSn }中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由. （02理22）规定Cx=
）和B（5，1）. 4
x(x?1)?(x?m?1)0
，其中x∈R，m是正整数，且Cx=1，这是组合
数Cn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广.
（1）求C?15的值；
mn?mmm?1m（2）组合数的两个性质：①Cn=Cn；②Cn+Cn=Cn?1.
是否都能推广到Cx（x∈R，m是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给出
证明；若不能，则说明理由；
mm（3）已知组合数Cn是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cx∈Z.
（01春22）已知{an}是首项为2，公比为
（1）用Sn表示Sn?1； （2）是否存在自然数c和k，使得
的等比数列，Sn为它的前n项和． 2
（00理21文21）在XOY平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn),?,对每个自然数n，点P，位于函数y?2000(
(0?a?10)的图象上，且点Pn，点(n,0)与点(n?1.0)10
构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。
（1）求点Pn的纵坐标bn的表达式。
（2）若对每个自然数n，以bn，bn?1,bn?2为边长能构成一个三角形，求a取值范围。 （理）（3）设Bn?b1b2?bn
?n?N?.，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列?Bn?的最大项的项数。
（文）（3）设cn?1g(bn)(n?N)，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列?cn?前多少项的和最大？试说明理由。
函数与分析
（11理1）函数f(x)?
的反函数为f(x)?。 x?2
（11文3）若函数f(x)?2x?1的反函数为f?1(x)，则f?1(?2)?
。 （10理8）对任意不等于1的正数a，函数f(x)=loga(x?3)的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是
（10文9）函数f(x)?log3(x?3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是 （09文1）函数f(x)=x+1的反函数f(x)=_____________. （08理4）若函数f(x)的反函数为f（08文4）若函数f(x)的反函数为f（07理3）函数f?x??
(x)?x2（x?0），则f(4)?
. (x)?log2x，则f(x)?
的反函数f?1?x??_____ x?11?1
（07文2）函数f(x)?的反函数f(x)?．
（06理3文3）若函数f(x)＝a（a＞0，且a≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a
（05理1文1）函数f(x)?log4(x?1)的反函数f
基本函数的单调性、奇偶性
（11理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,??)上单调递减的函数为（
(x)=__________。
y?cosx |x|
（11文15）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,??)上单调递减的函数为（
（11春16）f(x)?的图像关于
（A）原点对称.
（B）直线y?x对称.
（C）直线y??x对称.
（D）y轴对称. （05理13文13）若函数f(x)?
，则该函数在???,???上是（
A．单调递减无最小值
B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值
D．单调递增有最大值
（03理13文13）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是
A．y=tg|x|.
B．y=cos(－x).
C．y?sin(x?
对称性、周期性结合下的函数图象
（12理13）已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0). 2
函数y?xf(x)(0?x?1)的图像与x轴围成的图形的面积为
（12文13）已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(,1)、C(1,0)，函数y?xf(x)（0?x?1）的图像与x轴围成的图形的面积为
（11理13）设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)?x?g(x)在[3,4]上的值域为[?2,5]，则f(x)在区间[?10,10]上的值域为
（11文14）设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)?x?g(x)在[0,1]上的值域为[?2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为
。 （10春18）
（09春19）如图，在直角坐标系xOy中，有一组对．角．线．长为an的正方形
AnBnCnDn(n?1,2,?)，其对角线BnDn依次放置在x轴上（相邻顶点重合）. 设?an?是首
项为a，公差为d(d?0)的等差数列，点B1的坐标为(d,0). （1）当a?8,d?4时，证明：顶点
A1、A2、A3不在同一条直线上；
（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点
An均落在抛物线y2?2x上；
（3）为使所有顶点An均落在抛物线
y?2px(p?0)上，求a与d之间
所应满足的关系式.
（08春21）在直角坐标平面xOy上的一列点
A1?1,a1?,A2?2,a2?,
，简记为?An?. 若由bn?AnAn?1?j构成的
数列?bn?满足bn?1?bn,n?1,2,为T点列.
（1） 判断A1?1,1?,列，并说明理由；
，其中j为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称?An?
An?n,?,?n?
，是否为T点
（2）若?An?为T点列，且点A2在点AAk?2，1的右上方. 任取其中连续三点Ak、Ak?1、判断△AkAk?1Ak?2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若?An?为T点列，正整数1?m?n?p?q满足m?q?n?p，求证：
AnAq?>jA?p. jmA
（05理22）在直角坐标平面中，已知点P，，，,,，(1,2)P(2,2)P(3,2)P(n,2)，其123n
中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，,,,,，An为An?1关于点Pn的对称点．
（1） 求向量A0A2的坐标；
（2） 当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y?f(x)的图象，其中f(x)是
以3为周期的周期函数，且当x??0,3?时，f(x)?lgx，求以曲线C为图象的函数在?1,4?的解析式；
对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标
（04文15）若函数y?f(x)的图象与函数y?lg(x?1)的图象关于直线x?y?0对称,则
（04理15）若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转则 f(x)=(
（03文15）在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N(,)四点中，函数y?a的图象与其
反函数的图象的公共点只可能是点
A．P． B．Q. C．M. D．N.
（02理12文12）已知函数y=f (x)（定义域为D，值域为A）有反函数y=f (x)，则方程f (x)=0
有解x=a，且f (x)＞x（x∈D）的充要条件是y=f (x)满足
（02春21）对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知
函数f(x)=ax≠0)
(1) 当时，求函数f(x)的不动点；
(2) 若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3) 在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、
B两点关于直线y=kx+
对称，求b的最小值。
函数奇偶性、单调性的判定、应用 （12理20文20）已知函数f(x)?lg(x?1).
（1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围；（6分）
（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数
y?g(x)(x?[1,2])的反函数.（8分）
（12理7）已知函数f(x)?e|x?a|（a为常数）.若f(x)在区间[1,+?)上是增函数，则a的取值范围是
2（12理9）已知y?f(x)?x是奇函数，且f(1)?1.若g(x)?f(x)?2，则g(?1)?
（12文9）已知y?f(x)是奇函数，若g(x)?f(x)?2且g(1)?1，则g(?1)?
（11理20文21）（12分）已知函数f(x)?a?2?b?3，其中常数a,b满足ab?0。 ⑴
若ab?0，判断函数f(x)的单调性；⑵ 略 （07理19）已知函数f?x??x?
(x?0,a?R) x
（1）判断f?x?的奇偶性
（2）若f?x?在?2,???是增函数，求实数a的范围 （07文19）已知函数f(x)?x?
(x?0，常数a?R)．
（1）当a?2时，解不等式f(x)?f(x?1)?2x?1；
（2）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由． （03文19）已知函数f(x)?单调性.
11?x?log2，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和x1?x
分段函数的图像：最值函数、远离函数
（10理22）（18分）若实数x、y、m满足x?m＞y?m，则称x比y远离m. （1）若x2?1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3?b3比a2b?
ab2远离2 （3）已知函数f(x)的定义域D=｛x|x≠
+，k∈Z，x∈R ｝.任取x?D，f(x)等于24
sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要
（10文22）（16分）若实数x、y、m满足x?m?y?m，则称x比y接近m. （1）略 （2）略
（3）已知函数f(x)的定义域Dxx?k?,k?Z,x?R.任取x?D，f(x)等于1?sinx和
1?sinx中接近0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小
值和单调性（结论不要求证明）.
奇偶性与单调性
（09理12文13）已知函数f(x)?sinx?tanx.项数为27的等差数列?an?满足
an????，且公差d?0.若f(a1)?f(a2)???f(a27)?0，则当k=____________
时，f(ak)?0.
（08理8）设函数f(x)是定义在R上的奇函数. 若当x?(0,??)时，f(x)?lgx，则满足
f(x)?0的x的取值范围是（08文9）若函数f(x)?(x?a)(bx?2a) (常数a、b?R)是偶函数，且它的值域为???,4?，
则该函数的解析式f(x)?
（04理5文5）设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x∈[0,5]时,
f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的 解是
绝对值函数的应用
（09理13）某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为
2)，(3，1)，(3，4)，格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(?2，
(?2，3)，(4，5)，(6，6)为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，
使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短
（09文14）某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点
为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。
（04理10文10）若函数f(x)= ax?b?2在[0,+∞]上为增函数,则实数a、b的取值范围是
函数图象的特征 （09理14）将函数y?
6?)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角4?6x?x2?2(x??0，
?(0????)，得到曲线C.若对于每一个旋转角?，曲线C都是一个函数的图像，则?的
最大值为__________.
函数单调性与值域 （06理22）已知函数y＝x＋是减函数，在[
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上x
a，＋∞)上是增函数．
（1）如果函数y＝x＋（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；
（2）研究函数y＝x＋2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y＝x＋和y＝x＋2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函
数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)＝
(x2?)n＋(2?x)n（n是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研
究结论）．
（06文22）已知函数y?x?
有如下性质：如果常数a?
0，那么该函数在上是减
函数，在??上是增函数。
(x?0)在?0,4?上是减函数，在?4,???上是增函数，求b的值。 （1）如果函数y?x?x
(1?x?2)的最大值和最小值； xcn
（3）当n是正整数时，研究函数g(x)?x?n(c?0)的单调性，并说明理由。
（2）设常数c??1,4?，求函数f(x)?x?
（05文19）已知函数f(x)?kx?b的图象与x,y轴分别相交于点A、B，AB?2i?2j（i,j分别是与x,y轴正半轴同方向的单位向量），函数g(x)?x2?x?6.
（1）求k,b的值；
（2）当x满足f(x)?g(x)时，求函数
的最小值. f(x)
的定义域为(0,??)，且f(2)?2?. 设点P是函数图
N. 象上的任意一点，过点P分别作直线y?x和y轴的垂线，垂足分别为M、
（1）求a的值；
（2）问：|PM|?|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；
（05春21）已知函数f(x)?x?
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.
（04理20）已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(1) 求函数f(x)的表达式；
(2) 证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解.
（04春21）已知函数f?x??x?a，（a为正常数），且函数f?x?与g?x?g?x??x2?2ax?1的图象在y轴上的截距相等。 （1）求a的值；
（2）求函数f?x??g?x?的单调递增区间； （3）若n为正整数，证明：10f?n??()g?n??4.
，有下面四个结论： 2
（1） f(x)是奇函数；（2）当x>2003时，f(x)?恒成立；
（3）f(x)的最大值是；（4）f(x)的最小值是?。其中正确结论的个数为（
（03春16）关于函数f(x)?sinx?()?
二分法求根
（11理14）已知点O(0,0)、Q0(0,1)和R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和PR10中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足(|OQ1|?2)(|OR1|?2)?0；记Q1R1的中点为P取Q1P2，2
和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足(|OQ2|?2)(|OR2|?2)?0；依次下去，得到点P1,P2,
,Pn,，则lim|Q0Pn|?。
（10理17）若x0是方程()?x3的解，则x0属于区间
(D)(0,) 323323
（10文17）若x0是方程式 lgx?x?2的解，则x0属于区间
） （A）（0，1）.
（B）（1，1.25）.
（C）（1.25，1.75）
（D）（1.75，2）
（03理10文10）方程x+lgx=18的根x≈
.（结果精确到0.1）
解三角形：形状判定、解三角形
（12理16文17）在?ABC中，若sinA?sinB?sinC，则?ABC的形状是
（A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）不能确定. （11理6文8）在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若?CAB?750,?CBA?600，则A、C两点之间的距离是
（10理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为1,1,1，则此人能
（A）不能作出这样的三角形
（B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形
（D）作出一个钝角三角形
（10文18）若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC?5:11:13，则△ABC（
） （A）一定是锐角三角形.
（B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形.
(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
（09文20）（14分）已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m?(a,b)，
，,sAip?(b?2,a?2) .
（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形； （2） 若m⊥p，边长c = 2，角C =
，求ΔABC的面积 . 3
（08理17文17）（13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120?的扇形AOB. 小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD. 已知某人从C沿
CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）.
（07理17文17）在三角形ABC
中，a?2,C?
B，求三角形ABC的面积S。 ?
2（07春20）通常用a、b、c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示
△ABC的外接圆半径．
（1）如图，在以O为圆心、半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC?2，
?ABC?45，求弦AB的长；
（2）在△ABC中，若?C是钝角，求证：a?b?4R；
（3）给定三个正实数a、b、R，其中b?a．问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b
为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．
（06理18文18）如图，当甲船位于A20海里的B处有一艘30，相距10海里C处的乙船，
B处救援（角度精确到1）？ [解]
（05理9文10）在?ABC中，若A?120?，AB=5，BC=7，则?ABC的面积S=__________。 （03理7文7）在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC=
.（结果用反三角函数值表示）
三角函数：辅助角公式求最值、周期、换元法求值域 （12理科3）函数f(x)?
的值域是sinx?1
（12文科3）函数f(x)?
（11理8）函数y?sin(
的最小正周期是
?x)cos(?x)的最大值为。 26
（11文4）函数y?2sinx?cosx的最大值为
（11春19） (12分)已知向量?(sin2x?1,cosx),?(1,2cosx)，设函数f(x)??，求函数f(x)的最小正周期及x?[0,
]时的最大值.
（09理6文10）函数y?2cos2x?sin2x的最小值是_____________________ . （09春20）设函数fn(?)?sinn??(?1)ncosn?,0???
，其中n为正整数.
（1）判断函数f1(?)、f3(?)的单调性，并就f1(?)的情形证明你的结论； （2）证明：2f6(?)?f4(?)?cos4??sin4?
（3）对于任意给定的正整数n，求函数fn(?)的最大值和最小值.
（08理6）函数f(x)?sinx?sin??x?的最大值是
（08文18）（10分）已知函数f(x)?sin2x,g(x)?cos?2x??，直线x?t(t?R)与函
数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点.
时，求|MN|的值； 4
（2）求|MN|在t??0,? 时的最大值.
（07理6）函数f?x??sin?x?
sinx????的最小正周期是T?_____ 3??2?
（07文4）函数y?secxcos?x??的最小正周期T?
（06文6）函数y?sinxcosx的最小正周期是_________。 （06理17）求函数y＝2cos(x?
)＋3sin2x的值域和最小正周期．
（05文5）函数y?cos2x?sinxcosx的最小正周期T=__________.
（03理17文17）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值. （03理1文1）函数y?sinxcos(x?
三角比：定义、基本关系、化简、求值、反三角函数 （11春3）在△ABC中，tanA?（11春5）若sinx?
)?cosxsin(x?
)的最小正周期T=
，则sinA=_______________。 3
,x?[?,]，则x=____________。（结果用反三角函数表示） 322
（10理19文19）（12分）已知0?x?，化简：
lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)]?lg(1?sin2x).
（06理6）如果cos?＝，且?是第四象限的角，那么cos(??)＝．
54??（06文17）已知?是第一象限的角，且cos??，求的值。 13cos2??4?（05文6）若cos??
，???0,?，则cos????=__________. 73??2??1?
,则tg(α+)=
(04理1文1)若tgα=
最简三角方程
（11文17）若三角方程sinx?0与sin2x?0的解集分别为E和F，则（
E（10理15文16） “x?2k??
?k?Z?”是“tanx?1”成立的
（A）充分不必要条件.
（B）必要不充分条件.
（C）充分条件.
（D）既不充分也不必要条件. （04理14文14）三角方程2sin(
A.{xx?2k??
C.{xx?2k??
?x)?1的解集为(
B.{xx?2k??
D.{xx?k??(?1)
（03理2文2）若x?
是方程2cos(x??)?1的解,其中??(0,2?),则??
图形与集合
向量的坐标形式：数量积的坐标形式、向量加减法的坐标形式
（12理12）在平行四边形ABCD中，∠A=3, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别
是边BC、CD，则
?的取值范围是
（12文12）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足
，则AM?AN的取值范围是
?1，则（11理11文12）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB?3,BDAB?AD?
（11春15）若向量a?(2,0),b?(1,1)，则下列结论正确的是
（B?（C）(a?b)?b.
（D）a//b.
（11春18）若a1,a2,a3均为单位向量，则a1?(
,)是a1?a2?a3?(3,6)的 33
（A）充分不必要条件.
（B）必要不充分条件.
（C）充要条件.
（D）既不充分也不必要条件. （10理13）如图所示，直线x=2与双曲线?:
?y2?1的渐近线交于E1,E2两点，记
OE1?e1,OE2?e2，任取双曲线?上的点P，若OP?ae1,?be2(a、b?R)，则a、b满足的
一个等式是
）在平面直角坐标系中，双曲线?的中心在原点，它的一个焦点坐标为，
e1?(2,1)、e2?(2,?1)分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线?上的点P，若
b?R），则a、b满足的一个等式是 OP?ae1?be2（a、
（07理14）在直角坐标系xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形
ABC中，AB?2i?j，AC?3i?kj，则k的可能值有
（04理6）已知点A(1, －2),若向量与={2,3}同向
, =2,则点B的坐标为
（04文6）已知点A(－1,5)和向量={2,3},若=3,则点B的坐
向量运算的几何意义
（12春18）设O为?ABC所在平面上一点.若实数x、y、z满足xOA?yOB?zOC?0
） (x2?y2?z2?0)，则“xyz?0”是“点O在?ABC的边所在直线上”的[答］(A)充分不必要条件.
(B)必要不充分条件.
(C)充分必要条件.
(D)既不充分又不必要条件.
（08理5文5）若向量a、b满足a?1，b?2，且a与b的夹角为，则
a?b=__________.
（07文6）若向量a，b的夹角为60，a?b?1，则aa?b?
（06理13文13）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是
） （A）AB＝DC；（B）AD＋AB＝AC； （C）AB－AD＝BD；（D）AD＋CB＝0．
向量的运算技巧：蛇形法则
（11理17）设A1,A2,A3,A4,A5是空间中给定的5个不同的点，则使
???????????????
MA1?MA2?MA3?MA4?MA5?0成立的点M的个数为（
（11文18）设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同的点，则使MA1?MA2?MA3?MA4?0成立的点M的个数为（
直线：法向量、方向向量、倾斜角、斜率、位置关系、夹角、点与直线对称问题
（12理4）若?(?2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为
反三角函数值表示）.
（12文4）若d?(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为
（结果用反三角函数值表示）
（11文5）若直线l过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l的方程为
。 （11春7）两条直线l1:x?3y?2?0与l2:x?y?2?0的夹角的大小是________。 （09文15）已知直线l1:(k?3)x?(4?k)y?1?0,与l2:2(k?3)x?2y?3?0,平行，则K得值是（
（07理2）已知l1:2x?my?1?0与l2:y?3x?1，若两直线平行，则m的值为 _____ （07文3）直线4x?y?1?0的倾斜角??
（07文13）圆x2?y2?2x?1?0关于直线2x?y?3?0对称的圆的方程是（
Ａ．(x?3)?(y?2)?
Ｂ．(x?3)?(y?2)?
Ｃ．(x?3)2?(y?2)2?2
Ｄ．(x?3)2?(y?2)2?2
（06文2）已知两条直线l1:ax?3y?3?0,l2:4x?6y?1?0.若l1//l2，则a?____. （05文9）直线y?
x关于直线x?1对称的直线方程是__________. 2
（03文4）已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标 是
点到直线的距离公式 （11春17）直线l:y?k(x?
)与圆C:x2?y2?1
的位置关系是
（A）相交或相切.
（B）相交或相离.
（C）相切.
（D）相交.
（10理5文7）圆C:x?y?2x?4y?4?0的圆心到直线3x?4y?4?0的距离
（06理2）已知圆x－4x－4＋y＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是
（04理8）圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C的方程为
. （04文8）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0, －4),B(0, －2),则圆C的方程为
圆锥曲线的基本概念：标准方程、焦点、渐近线、准线、定义
（12文16）对于常数m、n，“mn?0”是“方程mx2?ny2?1的曲线是椭圆”的（
） A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
??1的一个焦点，则（11理3）设m为常数，若点F(0,5)是双曲线
??1的顶点和焦点，则椭圆C的方程（11春9）若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线54
是_____________。
（10理3文8）动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x?2?0的距离相等，则P的轨迹方程为
（08文6）若直线ax?y?1?0经过抛物线y2?4x的焦点，则实数a?（08理10）某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a、短轴长为2b的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、
h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海
域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为?1、?2，那么
船只已进入该浅水区的判别条件是
??1PF1?PF2
（08文12） 设P是椭圆2516上的点. 若F1、F2是椭圆的两个焦点，则
??1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物（07理8）已知双曲线45
线方程为_____
x2y2??1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程（07文5）以双曲线45
（06理7）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则
该椭圆的标准方程是
（06文7）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.
（05文7）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是2,0，则椭圆的标准方程是__________.
（05理5）若双曲线的渐近线方程为y??3x，它的一个焦点是__________。
（04理2文2）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为
,0?，则双曲线的方程是
?（03理12文12）给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到1620
焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确
的结果填在下面空格内.
轨迹方程：代入法、直接法
（09文17）点P（4，－2）与圆x?y?4上任一点连线的中点轨迹方程是
（A）(x?2)?(y?1)?1
（B）(x?2)?(y?1)?4 （C）(x?4)?(y?2)?4
（D）(x?2)?(y?1)?1
l是经过原点与点(1,b)（08理20）（16分）设P(a,b)(b?0)是平面直角坐标系xOy中的点，的直线.记Q是直线l与抛物线x2?2py(p?0)的异于原点的交点.
（1）已知a?1,b?2,p?2. 求点Q的坐标；
x21?y2?1上，p?
（2）已知点P(a,b)(ab?0)在椭圆. 求证：点Q落在双曲线42ab
4x2?4y2?1上；
（3）已知动点P(a,b)满足ab?0，p?
. 若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛2ab
物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.
（05理3文4）直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP?OA?4，则点P的轨迹方程是__________.
圆锥曲线综合：
韦达定理的应用：求弦中点坐标 点差法：应用及注意点
最值问题：椭圆上的动点到坐标轴上一定点距离的最大值与最小值 面积公式的运用
（12理22）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2?y2?1.
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；（4分）
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x?y?1相切，求证： OP⊥OQ；（6分）
（3）设椭圆C2:4x?y?1. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）
（12文22）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x?y?1
（1）设F是C的左焦点，M是C
右支上一点，若MF?M的坐标； （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k
l交C于P、Q两点，若l与圆x2?y2?1相切，求证：
x22（11文22）（16分）已知椭圆C:2?y?1（常数m?1），点P是C上的动点，M是右
顶点，定点A的坐标为(2,0)。
⑴ 若M与A重合，求C的焦点坐标； ⑵
若m?3，求|PA|的最大值与最小值； ⑶
若|PA|的最小值为|MA|，求m的取值范围
?y2?1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一（11春10）若点O和点F分别为椭圆2
点，则|OP|2?|PF|2的最小值为___________。 （11春21）(14分) 已知抛物线F:y2?4x
（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为
kAB,kBC,kCA，若A的坐标在原点，求kAB?kBC?kCA的值；
（2）请你给出一个以P(2,1)为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由。
说明：第（2）小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。
（10理23）（18分）已知椭圆?的方程为2?2?1(a?b?0)，点P的坐标为（-a，b）.
（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足PM=(PA+PB),求点M的坐标；
（2）设直线l1:y?k1x?p交椭圆?于C、D两点，交直线l2:y?k2x于点E.若
k1?k2??2，证明：E为CD的中点；
（3）对于椭圆?上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆?上存在不同的两个交点P1、P2满足PP1+PP2=PQ,写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围.
A(0,b)、B(0,?b)和Q(a,0)（10文23）（18分）已知椭圆?的方程为2?2?1(a?b?0)，
为?的三个顶点. （1）若点M满足AM?
(AQ?AB)，求点M的坐标； 2
（2）设直线l1:y?k1x?p交椭圆?于C、D两点，交直线l2:y?k2x于点E.若
k1?k2??2，证明：E为CD的中点；
（3）设点P在椭圆?内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆?的
a?10，b?5，点P的坐标是两个交点P1、P2满足PP1?PP2?PQPP1?PP2?PQ？令
（-8，-1），若椭圆?上的点P1、P2满足PP1、P2的坐标. 1?PP2?PQ，求点P（10春22）
（09理9文12）已知F1、F2是椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C
上一点，且1F2的面积为9，则b=____________. 1?PF2.若?PF（09文9）过点A（1，0）作倾斜角为
的直线，与抛物线y?2x交于M、N两点，则4
1,设过点A(?的直线l的方向向量（09理21）（16分）已知双曲线c:2
（1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离； （2） 证明：当k
时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l
（09文22）（16分）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为
，一条渐近线
设过点A(?的直线l的方向向量e?(1,k)。
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 若过原点的直线a//l
，且a与l，求K的值；
3） 证明：当k?
时，在双曲线C
的右支上不存在点Q，使之到直线lx2
?y2?1，P是C上的任意点. （08理18）（15分）已知双曲线C:4
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值.
?y2?1. （08文20）（16分）已知双曲线C:2
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）已知点M的坐标为(0,1). 设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点. 记???. 求?的取值范围；
(2,?1)、(0,1)，P为双曲线C上在第（3）已知点D、E、M的坐标分别为(?2,?1)、
一象限内的点. 记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长. 试将s表示为直线l的斜率k的函数.
（07理21）已知半椭圆2?2?1?x?0?与半椭圆2?2?1?x?0?组成的曲线称为“果
圆”，其中a?b?c,a?0,b?c?0。如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，
A2和B1，B2是“果圆” 与x，y轴的交点，
（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若A1A?B1B，求
的取值范围； a
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k，使得斜率为k
（07文21）我们把由半椭圆2?2?1 (x≥0)与半椭圆2?2?1 (x≤0)合成的曲
线称作“果圆”，其中a?b?c，a?0，b?c?0．
如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆” 与x，y轴
的交点，M是线段A1A2的中点．
（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；
（2）设P是“果圆”的半椭圆2?2?1
(x≤0)上任意一点．求证：当PM取得最小值时，
P在点B1，B2或A1处；
（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标．
（06理20）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y＝2x相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA?OB＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
（06文21）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，
左焦点为F(,右顶点为D(2,0),设点A?1,?. （1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程； （3）过原点O的直线交椭圆于点B,C，求?ABC面积的最大值。
（05理15）过抛物线y?4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
??1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦（05理19）如图，点A、B分别是椭圆
点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA?PF．
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M
的距离d的最小值．
（05文21）已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
（1）求抛物线方程；
（2）过M作MN?FA，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.
（05春22）（1）求右焦点坐标是(2,0)，且经过点(?2,?2)的椭圆的标准方程；
B两（2）已知椭圆C的方程是2?2?1(a?b?0). 设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、
点，AB的中点为M. 证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. （04文20）如图, 直线y=
x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与28
直线y=－5交于Q点.
(1) 求点Q的坐标；
(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值. （04理22）设P1(x1,y1), P1(x2,y2),,,, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=OP1, a2=OP2, ,,, an=OPn构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标
原点. 记Sn=a1+a2+,,+an.
?(1) 若C的方程为=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=255, 求点P3的坐标； 10025
(只需写出一个)
(2)若C的方程为2?2?1(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化
时, 求Sn的最小值；
. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,,,Pn存在的充要条件,并说明理由.
（04文22）设P1(x1,y1), P1(x2,y2),,,, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且
a1=OP1, a2=OP2, ,,, an=OPn构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标
原点. 记Sn=a1+a2+,,+an.
（1）若C的方程为－y=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=162, 求点P3的坐标；(只需写出一
（2）若C的方程为y=2px(p≠0). 点P1(0,0), 对于给定的自然数n, 证明：(x1+p),
(x2+p), ,,,(xn+p)成等差数列；
（3）若C的方程为2?2?1(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变
化时, 求Sn的最小值.
（03理21文21）在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知
|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.
（1）求向量AB的坐标；
（2）求圆x2?6x?y2?2y?0关于直线OB对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线y?ax2?1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，
说明理由：若存在，求a的取值范围.
（03春21）设F1、F2分别为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右两个焦点。
(1) 若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标； (2) 设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
(3) 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值。
试对双曲线2?2?1写出具有类似特性的性质，并加以证明。
?1，点P(a,b)的坐标满足a??1。过点P的直（01春21）已知椭圆C的方程为x?22
线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：
（1）点Q的轨迹方程；
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．
(y?1)2(x?1)2
??1的一个顶点与一个焦点，（00春22）如图所示,A、F分别是椭圆：
位于x轴的正半轴上的动点T(t,0)与F的连线交射线OA于Q.求: （1）点A、F的坐标及直线TQ的方程;
（2）?OTQ的面积S与t的函数关系式S?f(t)及该函数的
（3）写出S?f(t)的单调递增区间,并证明之.
立体几何：圆锥的展开、异面直线的夹角、多面体的体积、折
叠、旋转体的体积、二面角（理）
（12理19）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；（6分）
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）
B（12文19）如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝
2，AC?PA?2，求： 2
（1）三棱锥P?ABC的体积
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）
（12理8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面，则该圆锥的体积为
. （12文5）一个高为2的圆柱，底面周长为2?，该圆柱的表面积为
（11理7）若圆锥的侧面积为2?，底面积为?，则该圆锥的体积为
。 （11文7）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的侧面积是
（11理21）（14分）已知ABCD?A1BC11D1是底面边长为1的正四棱柱，
O1是AC11和B1D1的交点。
⑴ 设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为?，二面角A?B1D1?A1的大小为?。
求证：tan??； ⑵ 若点C到平面AB1D1的距离为
，求正四棱柱ABCD?A1BC11D1的高。 3
（11文20）20、（14分）已知ABCD?A1BC11D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1?2。求：
异面直线BD与AB1所成的角的大小（结果用反三角函数表示）； ⑵ 四面体AB1D1C的体积。
（11春13）有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB与CD所成的角的大小是_______________。
（10文6）已知四棱椎P?ABCD的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA?底面ABCD，且PA?8，则该四棱椎的体积是
（10理12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去AOB,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为____________
（10理21）（13分）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要
制作4个全等的矩形骨架，
总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料
片制成圆柱的侧面和下底 面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线A1B3与A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） （10文20）（14分）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形 骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）;
(2) 若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用
于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
（10春13）在右图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40cm,母
线长最短50cm、最长80cm,则斜截圆柱侧面面积S=
下半部分呈圆锥形（如图）。现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）. （09理5文5）如图，若正四棱柱ABCD?A1BC11D1的底面连长为2，高
为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. （09理8）已知三个球的半径R1，R2，R3满足
R1?2R2?3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量
关系是___________.
（09文6）若球O1、O2表示面积之比?4，则它们的半径之
=_____________. R2
（09文8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是
。 （09文16）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，
且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（
（09理19）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
AB?BC,求二面角B1?AC1?C1的大小。
（08理13）给定空间中的直线l及平面?. 条件“直线l与平面?内无数条直线都垂直”是“直
线l与平面?垂直”的
(A) 充要条件.
(B) 充分非必要条件.
(C) 必要非充分条件.
(D) 既非充分又非必要条件.
（08文13）给定空间中的直线l及平面?. 条件“直线l与平面?内两条相交直线都垂直”是“
(A) 充分非必要条件.
(B) 必要非充分条件
(C) 充要条件.
(D) 既非充分又非必要条件.
（08理16文16）（12分）如图，在棱长为 2 的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是BC1的中点. 求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90，
AA1?2，AC?BC?1，则异面直线A1B与AC所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）．
A （07理10）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两
个相交平面
?,?与两直线l1,l2，又知l1,l2在?内的射影为s1,s2，在?内的射影为t1,t2。试写出s1,s2与t1,t2满足的条件，使之一定能成为l1,l2是异面直线的充分条件（07理16）体积为1的直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90?，AC?BC?1，求直线
AB1与平面BCC1B1所成角。
（07文16）在正四棱锥P?ABCD中，PA?2，直线PA与平面ABCD所成的角为60，
求正四棱锥P?ABCD的体积V．
（06理14）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的
） （A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件． （06文15）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的
） （A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件 （C）充分必要条件
（D）既非充分又非必要条件
（06理19）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60． （1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． （06文19）在直三棱柱ABC?ABC中，?ABC?90,AB?BC?1.
（1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；
（3） 若AC1与平面ABC所成角为45，求三棱锥A1?ABC的体积。
（05理11文12）有两个相同的直三棱柱，高为
底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a?0)。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________。
（05理17）已知直四棱柱ABCD?A底面ABCD是直角梯形，?A为1BC11D1中，AA1?2，直角，AB//CD，AB?4，AD?2，DC?1，求异面直线BC1与DC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
（05文17）已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是BB1和BC的中点，AB=4，AD=2，求异面直线B1D与MN所成角的大小.（结果用反三角B1D与平面ABCD所成角的大小为60?，函数值表示）
（04理13文13）在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中,真命题是 （
A．若l?β且α⊥β,则l⊥α.
C．若l⊥β且α⊥β,则l∥α.
B．若l⊥β且α∥β,则l⊥α. D．若α∩β=m且l∥m,则l∥α.
（04理21文21）如图,P—ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
（1）证明：P—ABC为正四面体； （2）若PD=
PA, 求二面角D—BC—A的大小；(结果用反三角函数值表示) 2
（3）设棱台DEF—ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体, 使得它与棱台DEF—ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.
（04春20）如图，点P为斜三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM?BB1交AA1于点M，PN?BB1交CC1于点N.
(1) 求证：CC1?MN；
DE2?DF2?EF2?2DF?EFcos?DFE. 拓展到空间，
(2) 在任意?DEF中有余弦定理：
类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明. A
（03理18文18）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD， AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求 平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.
（03理14文14）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是
A．α、β都垂直于平面r.
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β.
（03理5文5）在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直
线PA与BC所成角的大小等于
.（结果用反三角函数值表示）
数据整理与概率统计
排列、组合
（11春12）2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为____________。
（10理14）以集合U=?a，b，c，d?的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1）a、b都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A?B或B?A，那么共有
种不同的选法。
(n?r?1,n、r?Z)恒等于
) （08理12）组合数Cn
r?1r?1nr?1r?1r?1
(B) (n?1)(r?1)Cn?1. (C) nrCn?1.
(D) Cn?1. n?1r
（06理10文16）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线
面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
二项式定理 （12理5）在(x?
)的二项展开式中，常数项等于x
（12文8）在?x??的二项式展开式中，常数项等于
（11春6）(x?
)的二项展开式的常数项为_______。 x
（05理4）在(x?a)10的展开式中，x的系数是15，则实数a=__________。
（04理9文9）若在二项式(x+1)的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是
(结果用分数表示)
概率：生日悖论、古典概型
（12理11）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是
（结果用最简分数表示）.
（12文11）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是
（结果用最简分数表示）
（11理12文13）随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是
_____________（默认每月天数相同，结果精确到0.001）。
（10文10）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的
（结果用最简分数表示）。
（09文11）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出
的志愿者中男女生均不少于1名的概率是
（结果用最简分数表示）。 （08理7）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、
F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是
(结果用分数表示). （08文8）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、
F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是
(结果用分数表示).
2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为 （07理7文9）有数字1、___________
（06理9）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是
（结果用分数表示）．
（06文10）在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。
（05理8文8）某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程。从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________。（结果用分数表示）
（03理9文9）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从
中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为
.（结果用分数表示）
（11文10）课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8。若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为
（10文5）将一个总数为A、B 、C三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取
数理统计的概念：均值、方差、标准差、中位数、众数
（12理17）设10?x1?x2?x3?x4?104，x5?105. 随机变量?1取值x1、x2、x3、x4、
x?xx?xx?xx?xx2
、223、324、425、521的概率也为0.2.
x5的概率均为0.2，随机变量?2取值x1?2
若记D?1、D?2分别为?1、?2的方差，则
（A）D?1＞D?2. （B）D?1＝D?2. （C）D?1＜D?2.
（D）D?1与D?2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关.
（09理17文18）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4
（B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0
（C）丙地：中位数为2，众数为3
（D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 （08理9文10）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且
总体的中位数为10.5. 若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是
（04理16文16）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中
数据,就业形势一定是(
A．计算机行业好于化工行业.
B．建筑行业好于物流行业.
C．机械行业最紧张.
D．营销行业比贸易行业紧张.
复数的基本概念：四则运算、共轭、代数形式、几何形式
（12理1文1）计算：=
（i为虚数单位）.
（11理19文19）（12分）已知复数z1满足(z1?2)(1?i)?1?i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，z1?z2是实数，求z2。
（10理2文4）若复数z?1?2i（i为虚数单位），则z?z?z?
（09理1）若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数z=_____________ . （09文19）（14分）已知复数z?a?bi（a、b?R）(I是虚数单位)是方程x?4x?5?0
的根 . 复数w?u?3i（u?
R）满足w?z? u 的取值范围 .（08理3文3）若复数z满足z?i(2?z)（i是虚数单位），则z=
. （07理9文10）若a,b为非零实数，则下列四个命题都成立： ④ a?
②?a?b??a2?2ab?b2
③若a?b，则a??b a
④若a?ab，则a?b。则对于任意非零复数a,b，上述命题仍然成立的序号是_____。
（06理5）若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝． （06文5）若复数z满足z?(m?2)?(m?1)i（i为虚数单位），其中m?R则z?____。 （05理18）证明：在复数范围内，方程z?(1?i)z?(1?i)z?（05文18）在复数范围内解方程|z|?(z?z)i?
（i为虚数单位）无解． 2?i
（i为虚数单位）. 2?i
（04理17文17）已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i, z2=a－2－i, 其中i为虚数单位,a∈R, 若
z1?z2<z1,求a的取值范围.
实系数一元二次方程
（12理15文15）若1?2i是关于x的实系数方程x?bx?c?0的一个复数根，则 （
（A）b?2,c?3. （B）b??2,c?3. （C）b??2,c??1.（D）b?2,c??1.
（11春14）为求方程x?1?0的虚根，可以把原方程变形为
(x?1)(x2?ax?1)(x2?bx?1)?0，由此可得原方程的一个虚根为______________。
“?2?a?2”（09理15）是“实系数一元二次方程x?ax?1?0有虚根”的
（A）必要不充分条件
（B）充分不必要条件 （C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件 （08文7）若z是实系数方程x2?2x?p?0的一个虚根，且z?2，则p?
. （07理12）已知2?ai,b?i是实系数一元二次方程x2?px?q?0的两根，则p,q的值为
A、p??4,q?5
B、p?4,q?5
C、p?4,q??5
D、p??4,q??5 （07文12）已知a，b?R，且2?ai,
b?3i（i是虚数单位）是一个实系数一元二次方程
的两个根，那么a，b的值分别是（
Ａ．a??3，b?2
Ｂ．a?3，b??2
Ｃ．a??3，b??2
Ｄ．a?3，b?2
线性规划（文）
（12文10）满足约束条件x?2y?2的目标函数z?y?x的最小值是
（11文9）若变量x、y满足条件?
y的最大值为
。，则z?x?
?x?y的最大值是
（10文15）满足线性约束条件??x?2y?3,的目标函数z
?x?0,??y?0
（09文7）已知实数x、y满足?y??2x 则目标函数z=x-2y的最小值是___________.
（0，1）（4，2）（2，6）（08文11）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、. 如
果P(x,y)是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w?xy取到最大值时，点
?x?y?3?0?x?2y?5?0?
（06文9）已知实数x,y满足?，则y?2x的最大值是_________.
（05文3）若x,y满足条件?
，则z?3x?4y的最大值是__________.
（04文7）当x、y满足不等式组?y?3时,目标函数k=3x－2y的最大值为
5，，x4天．四道（07文8）某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，
工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，
D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是．
极坐标、参数方程（理）
（12理10）如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角
.若将l的极坐标方程写成??f(?)的形式，则 ???f(?)?（11理5）在极坐标系中，直线?(2cos??sin?)?2与直线?cos??1的夹角大小为
（10理16）直线l的参数方程是?
(t?R)，则l的方向向量是d
(D)(1,-2) （09理10）在极坐标系中，由三条直线??0，??
积是________.
，?cos???sin??1围成图形的面
（06理8）在极坐标系中，O是极点，设点A（4），（5，B－
35?），则△OAB的面积是
（05理6）将参数方程?
?x?1?2cos?
（?为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
)到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d=
（03理4）在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线?cos???sin??0上运动，当线段AB
（04理7）在极坐标系中,点M(4,最短时，点B的极坐标是
期望值（理）
（11理9）马老师从课本上抄录一个随机变量?的概率分布律如下表
请小牛同学计算?的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E??
（10理6）随机变量?的概率分布率由下图给出：
则随机变量?的均值是
（09理7）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量?表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E?=____________（结果用最简分数表示）.
独立、互斥事件的概率
（10理9）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件
B为“抽得为黑桃”，则概率P（A?B）==________（结果用最简分数表示） （09理16）若事件E与F相互独立，且P?E??P?F??（A）0
，则P?EIF?的值等于 4
特殊问题与技巧
多变量问题
（11理10文11）行列式（a,b,c,d?{?1,1,2}）的所有可能值中，最大的
（09理18）过圆C：(x?1)2?(y?1)2?1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，?AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S??S??S??S|||,则直线AB有（
） （A） 0条
（D） 3条 Ⅱ
数列新型小题：数表、估值
?（12理18）设an?1，Sn?a1?a2???an. 在S1,S2,?,S100中，正数的个数是sinn
（12文18）若Sn?sin个数是（
（B）50. （C）75. （D）100.
?...?sin（n?N），则在S1,S2,...,S100中，正数的77
D、100 （10理10文12）在n行
n??123???n?2n?1??
1?中，记位于第in列矩阵?234???n?1n
?345???n12???
???????????????????????
?n12???n?3n?2n?1???
行第j列的数
为aij(i,j?1,2???,n)。当n?9时，a11?a22?a33?????a99?
。 （10春14）
（05理12文16）用n个不同的实数a1,a2,?,an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵。对第i行ai1,ai2,?,ain，记bi??ai1?2ai2?3ai3?....?(?1)nnain，
i?1,2,3,?,n!。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所
以，b1?b2???b6??12?2?12?3?12??24，那么， 在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1?b2???b120=________。
（12理21文21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
y?12x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 49
援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.
（1）当t?0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8
（09理20文21）（理14分 文16分）有时可用函数
0.1?15ln,(x?6)??a?x
x?4.4?,(x?6)??x?4
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x?N），f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1） 证明：当x?7时，掌握程度的增加量f(x?1)?f(x)总是下降；
（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为
(115,121],(121,127],(121,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。
（09春18）我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径R?34百公里）的中心F为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为ab百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的
长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表
面的距离（精确到1百公里）. （08春20）某厂根据市场需求开发折叠式小凳 （如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚
为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适
度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为
30cm，② 三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面.
（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；
（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm，
节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长
度（精确到0.1cm）.
（07理18文18）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，
已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%。
在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）
（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）
（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）
（05理20文20）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
（04理18文18）某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：
03-12全真题+00-02优秀题+春考优秀题目录方程与代数（前面的数字标识该知识点的常考难度） ………………3Ⅰ 集合的运算：交、并、补 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 Ⅰ 充分必要条件 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,…
03-12全真题+00-02优秀题+春考优秀题目录方程与代数（前面的数字标识该知识点的常考难度） ………………3Ⅰ 集合的运算：交、并、补 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 Ⅰ 充分必要条件 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,…
03-12全真题+00-02优秀题+春考优秀题目录方程与代数（前面的数字标识该知识点的常考难度） ………………3Ⅰ 集合的运算：交、并、补 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 Ⅰ 充分必要条件 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,…
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