已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时f（x）=x，若在区间[-1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R，k≠-1）有四个根，则k的取值范_答案网
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&已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时f（x）=x，若在区间[-1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R，k≠-1）有四个根，则k的取值范分类:&&&【来自ip:&11.196.137.162&的&热心网友&咨询】
&问题补充：
已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时f（x）=x，若在区间[-1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R，k≠-1）有四个根，则k的取值范围是________．
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&网友答案：
（-，0）解析分析：把方程f（x）=kx+k+1的根转化为函数f（x）的图象和y=kx+k+1的图象的交点在同一坐标系内画出图象，由图可得结论．解答：解：由已知可画出函数f（x）的图象，先画出f（x）在x∈[0，1]上的图象，利用偶函数画出在x∈[-1，0]上的图象，再利用函数的周期性画出R上的图象，下面画出的是函数在x∈[-1，3]上的图象，如图：又可知关于x的方程y=kx+k+1（k≠1）恒过点M（-1，1），在上图中画出直线l0，l1，l2，显然当这些过定点M（-1，1）的直线位于l0与l2之间如L1时，才能与函数f（x）有四个交点；又因为直线l0与l2的斜率为k0=0和k2=-，因此k的取值范围应为：-＜k＜0，故
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＞＞＞设函数f（x）=x3-kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（..
设函数f（x）=x3-kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，-k]上的最小值m和最大值M．
题型：解答题难度：中档来源：广东
f′（x）=3x2-2kx+1（1）当k=1时f′（x）=3x2-2x+1，∵△=4-12=-8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．（2）当k＜0时，f′（x）=3x2-2kx+1，其开口向上，对称轴x=k3，且过（0，1）（i）当△=4k2-12=4(k+3)(k-3)≤0，即-3≤k＜0时，f′（x）≥0，f（x）在[k，-k]上单调递增，从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k，当x=-k时，f（x）取得最大值M=f（-k）=-k3-k3-k=-2k3-k．（ii）当△=4k2-12=4(k+3)(k-3)＞0，即k＜-3时，令f′（x）=3x2-2kx+1=0解得：x1=k+k2-33，x2=k-k2-33，注意到k＜x2＜x1＜0，∴m=min{f（k），f（x1）}，M=max{f（-k），f（x2）}，∵f(x1)-f(k)=x31-kx21+x1-k=(x1-k)(x21+1)＞0，∴f（x）的最小值m=f（k）=k，∵f(x2)-f(-k)=x32-kx22+x2-(-k3-kok2-k)=(x2+k)[(x2-k)2+k2+1]＜0，∴f（x）的最大值M=f（-k）=-2k3-k．综上所述，当k＜0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（-k）=-2k3-k解法2：（2）当k＜0时，对?x∈[k，-k]，都有f（x）-f（k）=x3-kx2+x-k3+k3-k=（x2+1）（x-k）≥0，故f（x）≥f（k）．f（x）-f（-k）=x3-kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x2-2kx+2k2+1）=（x+k）[（x-k）2+k2+1]≤0，故f（x）≤f（-k），而&f（k）=k＜0，f（-k）=-2k3-k＞0．所以&f(x)max=f(-k)=-2k3-k，f（x）min=f（k）=k．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=x3-kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“设函数f（x）=x3-kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（..”考查相似的试题有：
839149877145412767471482620930827427已知函数f（x）=x3-（k2-1）x2-k2+2（k∈R），若过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线与直线x-y+b=0垂_百度知道
已知函数f（x）=x3-（k2-1）x2-k2+2（k∈R），若过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线与直线x-y+b=0垂
已知函数f（x）=x3-（k2-1）x2-k2+2（k∈R），若过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线与直线x-y+b=0垂直，求a的值．
我有更好的答案
a）的切线的斜率k=f′（1）=3-2（k2-1），a）代入，把P（1，∴f′（x）=3x2-2（k2-1）x，解得k2=3．∴f（x）=x3-2x2-1，a）的切线与直线x-y+b=0垂直，∴3-2（k2-1）=-1，∵过函数f（x）图象上一点P（1，∴过函数f（x）图象上一点P（1∵f（x）=x3-（k2-1）x2-k2+2（k∈R）
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出门在外也不愁【答案】分析：由f（x）=x3-（k2-1）x2-k2+2（k∈R），得f′（x）=3x2-2（k2-1）x，由此求出过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线的斜率k=3-2（k2-1），再由过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线与直线x-y+b=0垂直，解得k2=3．由此求出f（x），把P（1，a）代入，求得a．解答：解：∵f（x）=x3-（k2-1）x2-k2+2（k∈R），∴f′（x）=3x2-2（k2-1）x，∴过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线的斜率k=f′（1）=3-2（k2-1），∵过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线与直线x-y+b=0垂直，∴3-2（k2-1）=-1，解得k2=3．∴f（x）=x3-2x2-1，把P（1，a）代入，得a=1-2-1=-2．点评：本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线互相垂直的条件的合理运用．
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科目：高中数学
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+π6)(x∈R)B、f(x)=2sin(2πx+π6)(x∈R)C、f(x)=2sin(πx+π3)(x∈R)D、f(x)=2sin(2πx+π3)(x∈R)
科目：高中数学
（;深圳一模）已知函数f(x)=13x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．（1）求f（x）；（2）设g(x)=xf′(x)&，&m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
科目：高中数学
（;上海模拟）已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．求证：f1(x)+f2(x)＞4c2k(k+c)．
科目：高中数学
来源：上海模拟
题型：解答题
已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．求证：f1(x)+f2(x)＞4c2k(k+c)．
科目：高中数学
来源：深圳一模
题型：解答题
已知函数f(x)=13x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．（1）求f（x）；（2）设g(x)=xf′(x)&，&m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．设函数f（x）=x3-kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，-k]上的最小值m和最大值M．_百度作业帮
设函数f（x）=x3-kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，-k]上的最小值m和最大值M．
f′（x）=3x2-2kx+1（1）当k=1时f′（x）=3x2-2x+1，∵△=4-12=-8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．（2）当k＜0时，f′（x）=3x2-2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i）当2-12＝4(k+3)(k-3)≤0，即时，f′（x）≥0，f（x）在[k，-k]上单调递增，从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k，当x=-k时，f（x）取得最大值M=f（-k）=-k3-k3-k=-2k3-k．（ii）当2-12＝4(k+3)(k-3)＞0，即时，令f′（x）=3x2-2kx+1=0解得：1＝k+k2-33，x2＝k-k2-33，注意到k＜x2＜x1＜0，∴m=min{f（k），f（x1）}，M=max{f（-k），f（x2）}，∵1)-f(k)＝x31-kx21+x1-k＝(x1-k)(x21+1)＞0，∴f（x）的最小值m=f（k）=k，∵2)-f(-k)＝x32-kx22+x2-(-k3-kok2-k)＝(x2+k)[(x2-k)2+k2+1]＜0，∴f（x）的最大值M=f（-k）=-2k3-k．综上所述，当k＜0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（-k）=-2k3-k解法2：（2）当k＜0时，对?x∈[k，-k]，都有f（x）-f（k）=x3-kx2+x-k3+k3-k=（x2+1）（x-k）≥0，故f（x）≥f（k）．f（x）-f（-k）=x3-kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x2-2kx+2k2+1）=（x+k）[（x-k）2+k2+1]≤0，故f（x）≤f（-k），而&f（k）=k＜0，f（-k）=-2k3-k＞0．所以&max＝f(-k)＝-2k3-k，f（x）min=f（k）=k．
（1）当k=1时，求出f′（x）=3x2-2x+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k＜0时，f′（x）=3x2-2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k＜0时，对?x∈[k，-k]，f（x）-f（k）及f（x）-f（-k）．
本题考点：
利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评：
熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．
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