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导数及其应用 导数及其应用(2)答案
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导数及其应用（2）答案
例8、（Ⅰ）解：根据求导法则有f(x)12lnx
x，x0， 故F(x)xf(x)x2lnx2a，x0，于是F(x)1
列表如下：
故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，∞)内是增函数，所以，在x2处取得极小值F(2)22ln22a．
（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2)22ln22a0． 于是由上表知，对一切x(0，∞)，恒有F(x)xf(x)0． 从而当x0时，恒有f(x)0，故f(x)在(0，∞)内单调增加． 所以当x1时，f(x)f(1)0，即x1ln2x2alnx0． 故当x1时，恒有xln2x2alnx1．
x12x2xbx13例9、解：（Ⅰ）由题意知，f(x)的定义域为(1，)，f(x)2x
2设g(x)2x2xb，其图象的对称轴为x 1
1111g(x)maxgb．当b时，g(x)maxb0， 22222即g(x)2x3xb0在(1，)上恒成立，当x(1，)时，f(x)0，当
2时，函数f(x)在定义域(1，（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当b)上单调递增．
312时，函12x1120有两个相同的解x，数f(x)无极值点．②b时，f(x)22x1
时，f(x)0， x1，时，f(x)0，x，
时，函数f(x)在(1，)上无极值点．③当b
0有两个不同解，
，x2，b0时
)，x21，． 0，即x1(1，
b0时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
由此表可知：b0时，f(x)有惟一极小值点x1
，当0b时，
x11，x1，x2(1)，
此时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
由此表可知：0b
时，f(x)有一个极大值x1
和一个极小值点
；综上所述：b0时，f(x)有惟一最小值点x
时，f(x)有一个极大值点x
和一个极小值点x
时，f(x)无极值点．
（Ⅲ）当b1时，函数f(x)x2ln(x1)，
令函数h(x)xf(x)xxln(x1)，则h(x)3x2x
时，f(x)0，所以函数h(x)在0，上单调递增，又h(0)0． 当x0，
恒有h(x)h(0)0，即x2x3ln(x1)恒成立．故当x(0，x(0，)时，)时，有ln(x1)x2x3．对任意正整数n取x所以结论成立．
变式8、解：（Ⅰ）设yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同．
(0，)，则有ln123． nnnn
∵f(x)x2a，g(x)
，由题意f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)．
x2ax3alnx0b，00223a即由x02a得：x0a，或x03a（舍去）． 2
令h(t)t3tlnt(t0)，则h(t)2t(13lnt)． h(t)在0，e为增函数，在
∞为减函数，于是h(t)在(0，∞)的最大值为he3e3． e，2
（Ⅱ）设F(x)f(x)g(x)
x2ax3alnxb(x0)，
故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，∞)为增函数，
于是函数F(x)在(0，∞)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0． 故当x0时，有f(x)g(x)≥0，即当x0时，f(x)≥g(x)．
变式9、（I）解：y
．由yx240，得x2．
因为当x(，2)时，y0，当x(2，2)时，y0，当x(2，)时，y0， 故所求函数的单调递增区间是(，2)，(2，)，单调递减区间是(2，2)．
（II）证明：（i）令h(x)f(x)gt(x)
t(x0)，则h(x)xt3，
当t0时，由h(x)0，得xt，当x(x3，))时，h(x)0，所以h(x)在(0，
内的最小值是h(t3)0．故当x0时，f(x)≥gt(x)对任意正实数t成立． （ii）对任意x00，gx(x0)4x0
，因为gt(x0)关于t的最大值是
x0，所以要使≥13
gx(x0)≥gt(x0)对任意正实数成立的充分必要条件是：4x0
(x02)(x04)≤0，①
又因为x00，不等式①成立的充分必要条件是x02，
所以有且仅有一个正实数x02，使得gx(x0)≥gt(x0)对任意正实数t成立． 例10、解：（I）由题意知f(1)3c，因此bc3c，从而b3． 又对f(x)求导得f(x)4axlnxax4bxx3(4alnxa4b)． 由题意f(1)0，因此a4b0，解得a12．
（II）由（I）知f(x)48xlnx（x0），令f(x)0，解得x1．当0x1时，
f(x)0，此时f(x)为减函数；当x1时，f(x)0，此时f(x)为增函数．
因此f(x)的单调递减区间为(0，1)，而f(x)的单调递增区间为(1，∞)．
（III）由（II）知，f(x)在x1处取得极小值f(1)3c，此极小值也是最小值，要使
f(x)≥2c（x0）恒成立，只需3c≥2c．即2cc3≥0，从而
(2c3c)(≥1)，解得c≥
或c≤1．所以c的取值范围为(，1]，．
例11、解：（Ⅰ）由ke得f(x)eex，所以f(x)ee．由f(x)0得x1，
故f(x)的单调递增区间是(1，)，由f(x)0得x1，故f(x)的单调递减区间是
（Ⅱ）由f(x)f(x)可知f(x)是偶函数．于是f(x)0对任意xR成立(，1)．等价于f(x)0对任意x≥0成立．由f(x)exk0得xlnk．①当k(0，1]时，
xf(x)ek1k≥0(x0)．此时f(x)在[0，)上单调递增．故f(x≥)f(0)，1符合题意．②当k(1，)时，lnk0．当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下表：
由此可得，在[0，．依题意，kklnk0，又)kklnk)上，f(x)≥f(lnk
k1，1ke．综合①，②得，实数k的取值范围是0ke．
（Ⅲ）F(x)f(x)f(x)exex，
F(x1)F(x2)ex1x2e(x1x2)ex1x2ex1x2ex1x2e(x1x2)2ex1x22，
F(1)F(n)en12，
n1F(2)F(n1)
F(n)F(1)e 2.
2n1由此得，[F(1)F(2)F(n)][F(1)F(n)][F(2)F(n1)][F(n)F(1)](e
F(1)F(2)F(n)(en12)2，nN．
33变式10、解：（Ⅰ）h(t)tt1．（Ⅱ）令g(t)h(t)(2tm)t3t1m，
30得t1，t1（不合题意，舍去）．当t变化时g(t)，g(t)的变化
情况如下表：
g(t)在(0，2)内有最大值g(1)1m．h(t)2tm在(0，2)内恒成立等价于g(t)0
在(0，2)内恒成立，即等价于1m0，所以m的取值范围为m1．
例12、解：（1）求函数f(x)的导数；f(x)3x21．曲线yf(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为：yf(t)f(t)(xt)，即 y(3t21)x2t3．
（2）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b(3t21)a2t3．于是，若过点(a，b)可作曲线yf(x)的三条切线，则方程2t33at2ab0有三个相异的实数根．
记 g(t)2t33at2ab，则
g(t)6t6at6t(ta)．
当t变化时，g(t)，g(t)变化情况如下表：
由g(t)的单调性，当极大值ab0或极小值bf(a)0时，方程g(t)0最多有一个实数根；当ab0时，解方程g(t)0得t0，t的实数根；当bf(a)0时，解方程g(t)0得t
，即方程g(t)0只有两个相异
，ta，即方程g(t)0只有两
个相异的实数根．综上，如果过(a，b)可作曲线yf(x)三条切线，即g(t)0有三个相
ab0，bf(a)0.
异的实数根，则
即 abf(a)．
例13、解：即函数(x)g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
(x)x8x6lnxm,
'(x)2x8
当x(0,1)时，'(x)0,(x)是增函数；当x(0,3)时，'(x)0,(x)是减函数；当
x(3,)时，'(x)0,(x)是增函数；当x1,或x3时，'(x)0. (x)最大值(1)m7,(x)最小值(3)m6ln315.当x充分接近0时，
(x)0当,x充分大时，(x)0.要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必
(x)最大值m70,须且只须
即7m156ln3. (x)m6ln3150,最小值
所以存在实数m，使得函数yf(x)与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,156ln3).
变式11、解：（Ⅰ）由题意gx3xax3a5， 令x3xa3x5，221a1，对1a1，恒有gx0，即a0
3x2x20210∴
即2，解得x1 33xx8010
故x2,1时，对满足1a1的一切a的值，都有gx0 3
'（Ⅱ）fx3x23m2，①当m0时，fxx1的图象与直线y3只有一个公3
共点；②当m0时，列表：
,上单调递2∴f
x2mm11又∵fx的值域是R，且在m
增∴当xm时函数yfx的图象与直线y3只有一个公共点。当xm时，恒有fxfm由题意得fm3，即2m
212m1，3解得3m0，综上，m的取值范围是 四、巩固练习
1、 D 2、解：（Ⅰ）a3，b4．（Ⅱ）c的取值范围为(，1)(9，)．
3、解：（Ⅰ）a2，f(x)2x33x2．（Ⅱ）0m≤
4、解：（1）当a0时， 12． f(x)为偶函数．当a0时， 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．（2）a的取值范围是(，16]．
5、解： （Ⅰ）5xy80．（Ⅱ）解：f(x)x(xa)2x32ax2a2x
22f(x)3x4axa(3xa)(xa)．令f(x)0，解得xa
由于a0，以下分两种情况讨论．（1）若a0，当x变化时，f(x)的正负如下表：
3因此，函数f(x)在x处取得极小值f43aa，且函数f(x)在xa处fa；2733
取得极大值f(a)，且f(a)0．（2）若a0，当x变化时，f(x)的正负如下表：
3因此，函数f(x)在xa处取得极小值f(a)，且f(a)0；函数f(x)在x处取得极
大值fa43aaa31，当k1，0时， ，且．（Ⅲ）证明：由，得fa32733
kcosx≤1，k2cos2x≤1．由（Ⅱ）知，f(x)在∞，1上是减函数，要使
2222f(kcosx)≥f(kcosx)，xR只要kcosx≤kcosx(xR)即
1122cosxcosx≤kk(xR) ①，设g(x)cos2xcosxcosx，则函数24
2g(x)在R上的最大值为2．要使①式恒成立，必须kk≥2，即k≥2或k≤1． 2
220上存在k1，所以，在区间1，使得f(kcosx)≥f(kcosx)对任意的xR恒
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------分隔线----------------------------用洛必达法则求0/0未定式 第二步为什么分子上变成了2^xln2,那个ln2不知道怎么出来的,求用洛必达法则求0/0未定式&&第二步为什么分子上变成了2^xln2,那个ln2不知道怎么出来的,求详解,该有结果为什么是ln2,不懂,求详解,
时夏HC58VN
2^x这是一个指数函数,它的求导公式就是2^x=2^xLn2.对下面的底要求一次对数.
2^x=2^xln2这是用的哪个求导公式啊，原式是哪个
指数函数的求导公式，我给你找下计算过程：y=a^x两边同时取对数：lny=xlna两边同时对x求导数：==>y'/y=lna==>y'=ylna=a^xlna
满意给个采纳哈，不懂的话可以接着问
结果为什么是ln2不是2^xln2
代入x=0,2^x=1,就只剩下lnx了
哦明白了谢谢
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