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高考数学——应用题系列（附答案）
1．如图，某小区准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池,其余地方种花.若 ,设的面积为，正方形的面积为，将比值称为"规划合理度".（1）试用,表示和.（2）当为定值，变化时,求"规划合理度"取得最小值时的角的大小.解：（1） 如图，在ＡＢＣ中　　，　　　　＝　 设正方形的边长为　　则　　　　　　　 ＝（2）、
< 　又0 <２ <　当０<?１　　为减函数当时　取得最小值为此时　2．如图，有一块四边形绿化区域，其中，，，现准备经过上一点和上一点铺设水管，且将四边形分成面积相等的两部分，设，．　　（1）求的关系式；　　（2）求水管的长的最小值．解：（1）延长BD、CE交于A，则AD=，AE=2则S△ADE= S△BDE= S△BCE=∵S△APQ=，∴
∴　　（2）　　
=·当即，3. 某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）.（1）写出g（x），h（x）的解析式；（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？解：（1）由题知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216－x）人.　　　　　　　　　　∴g（x）=，h（x）=，　　即g（x）=，h（x）=（0＜x＜216，x∈N*）. ........................4分　　（2）g（x）－h（x）=－=.
∵0＜x＜216，∴216－x＞0.　　当0＜x≤86时，432－5x＞0，g（x）－h（x）＞0，g（x）＞h（x）；　　当87≤x＜216时，432－5x＜0，g（x）－h（x）＜0，g（x）＜h（x）.　　∴f（x）= ........................8分　　（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值.　　当0＜x≤86时，f（x）递减，　　∴f（x）≥f（86）==.
∴f（x）min=f（86），此时216－x=130.　　当87≤x＜216时，f（x）递增，　　∴f（x）≥f（87）==.　　∴f（x）min=f（87），此时216－x=129.
∴f（x）min=f（86）=f（87）=.∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129........................15分4. 现有一批货物用轮船从上海运往青岛，已知该船航行的最大速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成。轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用每小时960元。（Ⅰ）把全程运输y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解：设每小时燃料费用为m元，则m=(0＜x≤35)
(2￠)由题意，全程所用的时间为小时，所以，x?(0,35]
(4￠)故所求的函数为，x?(0,35]
(6￠)（2）以下讨论函数，x?(0,35]的单调性：设0＜x1＜x2≤35,
(7￠)(10￠)∵0＜＜≤35，∴∴＞0==>
(12￠)∴函数，x?(0,35]是减函数，故当轮船速度为35海里/小时时，所需成本最小.
(14￠)5.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架. 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米. 为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解：如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y－0.5）米. 在△ABC中，依余弦定理得：即化简，得∵，∴因此.当且仅当时，取"="号，即时，y有最小值6. 某出版公司为一本畅销书定价如下:.这里n表示定购书的数量,C（n）是定购n本书所付的钱数（单位:元）（1）有多少个n,会出现买多于n本书比恰好买n本书所花钱少?（2）若一本书的成本价是5元,现有两人来买书,每人至少买1本,两人共买60本,问出版公司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱?（1）由于C（n）在各段上都是单调增函数，因此在每一段上不存在买多于n本书比恰好买n本书所花钱少的问题，一定是在各段分界点附近因单价的差别造成买多于n本书比恰好买n本书所花钱少的现象.解：　　　　C（25）＝，C（23）＝，∴C（25）<C（23）........1分　　　　C（24）＝，∴ C（25）<C（24）.....................................2分　　　　C（49）＝，C（48）＝，∴ C（49）<C（48）　　　　C（47）＝，∴ C（49）<C（47）　　　　C（46）＝，∴ C（49）<C（46）　　　　C（45）＝，∴ C（49）<C（45）........... .............................5分　　　　∴这样的n有23，24，45，47，48.......................................... ...............6分　　（2）设甲买n本书，则乙买60－n本，且n30，n（不妨设甲买的书少于或等于乙买的书）　　　　①当1n11时，4960－n59　　　　　出版公司赚得钱数........ ...7分　　　　②当1224时，3660－48，　　　　出版公司赚得钱数................... .........8分　　　　(3)当2530时，3060－35，　　　　　出版公司赚得钱数................... .........9分　　　　∴ ..............................................10分　　　　∴当时，　　　　当时，　　　　当时，.......... ........... ........... .....................11分　　　　故出版公司至少能赚302元，最多能赚384元........... ......................12分7. 某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处（如图），一条海岸线AO在城市O的正东方向，另一条海岸线OB在城市O北偏东方向，位于城市O北偏东方向15km的P处有一个美丽的小岛. 旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O出发沿海岸线OA到达C处，再从海面直线航行，途经小岛P到达海岸线OB的D处，然后返回城市O. 为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C处应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积.解：以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系.据题意，直线OB的倾斜角为 ，从而直线OB的方程为y=3x.
................................. 2分由已知，|OP|=15，，得点P的坐标为（9，12）................... 4分设点C的坐标为 (t ，0)，则直线PC的方程为 ：，
........................... 5分联立y=3x，得，
∴t ＞5. .................. 7分∴................................. 9分= =120. ............ 11分上式当且仅当，即t=10时取等号.而当时，∴当t=10时，S△OCD取最小值120. ................................. 14分答：当C地处于城市O正东方向10km处时，能使三角形区域面积最小，其最小面积为120(km)2. ................................. 16分8．建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小．　　（1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？　　（2）如防洪堤的高限制在的范围内，外周长最小为多少米？18－1．解：（1），AD＝BC+2×hcot=BC+，　　，解得．　　设外周长为，则；　　当，即时等号成立．外周长的最小值为米，此时堤高为米．　　（2）设，　　则，是的增函数，　　∴(米)．（当时取得最小值）．9. 某种出口产品的关税税率、市场价格(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中、均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．（1）试确定、的值；（2）市场需求量(单位：万件)与市场价格近似满足关系式：．时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．解：(1)由已知，
..................3分　　
................................................5分(2)当时，
................................................7分∴
........................10分而在(0，4]上单调递减∴当时，f (x)有最大值
................................................12分故当时，关税税率的最大值为500%．
................................................14分10. 有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距与车速和车长的关系满足：（为正的常数），假定车身长为，当车速为时，车距为2.66个车身长。（1） 写出车距关于车速的函数关系式;（2） 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？解 ⑴因为当时，，所以， ......4分∴
...............................................................6分⑵设每小时通过的车辆为，则．即 ......12分∵，.........................................................14分∴，当且仅当，即时，取最大值．答：当时，大桥每小时通过的车辆最多．.........16分11. 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部是矩形，其中米，米.上部是个半圆，固定点为的中点.是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆（和不重合）.（1）当和之间的距离为1米时，求此时三角通风窗的通风面积；（2）设与之间的距离为米，试将三角通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；（3）当与之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？并求出这个最大面积.解：（1）由题意，当和之间的距离为1米时，应位于上方，且此时中边上的高为0.5米.　　又因为米，可得米.　　所以，平方米，　　即三角通风窗的通风面积为平方米.
分）1如图（1）所示，当在矩形区域滑动，即时，的面积；分2如图（2）所示，当在半圆形区域滑动，即时，，故可得的面积　　　　　　　　　　　　；综合可得（3）1当在矩形区域滑动时，在区间上单调递减，　　　　　　则有；
分2当在半圆形区域滑动时，，等号成立，.因而当（米）时，每个三角通风窗得到最大通风面积，　　最大面积为（平方米）.
分12．（本小题满分15分）十七届三中全会于2008年10月初在北京召开．国家为了更好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察．该地区有100户农民，且都从事蔬菜种植．据了解，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分农民从事蔬菜加工。据估计，若能动员户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高％，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为万元．　　（Ⅰ）在动员户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的总年收入，求的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求的最大值．解：（Ⅰ）由题意得％）即又解得（Ⅱ）从事蔬菜加工的农民总收入为万元，从事蔬菜种植的农民的年总收入为％）万元。根据题意得：％）恒成立，即恒成立，恒成立．而，当且仅当时取等号，所以的最大值为5.教育部国家教师科研基金十二五规划重点课题国家教育资源公共信息服务平台成果展示网站
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高中数学 一类应用题的统一解法解题思路大全
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　　　　一类应用题的统一解法　　有关应用题中最值问题，在实际条件的约束下，不能仅靠使用重要不等式求出最值，需要借助比较法，把问题转化为与端点值的大小关系问题。　　例1
某种印刷品，单面印刷，其版面（如图中阴影部分）排成矩形，版面面积为A，它的左右两边都要留宽为a的空白，上下两边都要留有宽为b的空白，且印刷品左右长度不超过定值l。问：如何选择尺寸（纸张也是矩形），才能使印刷品所用纸张面积最小？从而使印刷的总用纸量最小。　　　　图1　　解：设版面左、右长为x，上、下宽为y　　则有 （x>0，y>0）扫扫二维码，随身浏览文档
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高一数学一元一次不等式组应用题及答案
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