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知识点总结
因式分解知识点列举
　　(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
　　(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式．
　　(3)确定公因式的：公因数的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的．
　　(4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
　　(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式．
　　(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出&-&号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出&-&号时，多项式的各项都要变号．
　　(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式．
　　(8)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
　　(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)
　　(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式
　　①系数能平方，(指的系数是完全平方数)
　　②字母指数要成双，(指的指数是偶数)
　　③两项符号相反．(指的两项一正号一负号)
　　(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么．
　　(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．字母表达式：a2&2ab+b2=(a&b)2
　　(13)完全平方公式的特点：
　　①它是一个三项式．
　　②其中有两项是某两数的平方和．
　　③第三项是这两数积的正二倍或负二倍．
　　④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方．
　　(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．
　　(15)利用立方和与立方差分解因式的关键：能把这两项写成某两数立方的形式．
　　(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．
　　(17)分组分解法的前提：熟练地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提．
　　(18)分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式．
　　(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解，合理选择分组方法是关键．
　(20)对于一个一般形式的二次项系数为1的二次三项式x2+px+q，如果将常数项q分解成两个因数a，b，而a+b等于一次项系数P，那么它就可以分解因式．
　　即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab
　　=(x+a)(x+b)
　　这里的关键：掌握a，b与原多项式的常数项，一次项系数之间的关系，这个关系主要是：ab=q，a+b=p
　　(21)十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法．
　　(22)十字相乘法分解因式：主要用于某些二次三项式的因式分解．
　　(23)对于一个一般形式的二次项的系数不是1的二次三项式ax2＋bx＋c，用十字相乘法分解因式的关键：找出四个因数，使a1a2=a，c1c2=c，a1c2＋a2c1=b．
　　这四个因数的找出，要经过反复尝试，为了减少尝试的次数，使符号问题简单化，当二次项的系数为负数时，应先把负号提出，使二次项的系数为正数，将二次项系数分解因数时，只考虑分解为两个正数的积．
　　即ax2＋bx＋c=a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2
　　＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)
　　(24)二次三项式ax2＋bx＋c在有理数范围内分解因式的充分必要条件是b2-4ac为一个有理数的平方．
　　(25)因式分解的一般步骤：
　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
　　②如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解法或其他方法分解．
　　(26)从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式．
　　①如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式．
　　②如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法．
　　③如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法．
　　(27)因式分解要注意的几个问题：
　　①每个因式分解到不能再分为止．
　　②相同因式写成乘方的形式．
　　③因式分解的结果不要中括号．
　　④如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出&-&号，使括号内的第一项系数为正数．
　　⑤因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面．
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各年级视频辅导入口怎么办啊 连简单的分解因式都不会呀_数学吧_百度贴吧
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怎么办啊 连简单的分解因式都不会呀收藏
唉真的是一题都想不出呀 各位大虾们帮帮哈~1.
4x四次方-13x²+92.
b²+c²+2ab+2ac+2bc3.
3x²+5xy-2y²+x+9y-44.&& x²+x-(a²-a) 怎么因式分解呀 (最好不要只是答案啦...) 完全弄不懂,郁闷死了遇到这类题要怎么解压
1.   4x^4 -13x^2 +9        观察到x^4, x^2, 1这个格式，再看 4, -13, 9这个系数，基本可以认定是(ax^2+b)•(cx^2+d)这个形式4x^4 -13x^2 +9=(4x^2-9)•(x^2-1)=(2x-3)&#x)•(x-1)•(x+1) [简单平方差]
2. b²+c²+2ab+2ac+2bc=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc    -a²=(a+b+c)²   -a²=(a+b+c+a)•(a+b+c-a) [平方差]=(2a+b+c)•(b+c)
你会不会乘法呀
非常感谢2.3楼~直接无视4L 可是第一题我用交叉相乘不是x²&&
14x²
9交叉相乘得9x²&&&&&&&&& 4x²相加和为13但题目中间是-13呀怎么弄?+_+ (初中的时候没学好交叉相乘,现在高中老师不讲了,郁闷的慌-_-)
这样交叉相乘就无问题了：x²   -14x² -9这样一来就是-13了，而负负得正，常数的9不变
哎呀看清了我的错晕死请忽视5楼吧~
4.   x²+x-(a²-a)= x² -a² +x +a= (x²-a²) + (x+a)= (x-a)(x+a) + (x+a)= (x-a+1)(x+a)
3. 3x²+5xy-2y²+x+9y-4这个过程我倒是不清楚⋯⋯答案是(3x-y+4)(x+2y-1)
还是谢谢了被人指点之后感觉特容易额脑子转的真慢呀-_-明天去学校看看那些数学天才做出第三没有
第3的怎么分解的啊....
回复：11楼 wolfram|alpha 帮我分解开的
第3题是用我们老师教的用完一次交叉相乘后再用一次交叉相乘
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或数学分解因式和提公因式这类题怎么做啊？？求方法！！！！！_百度知道
数学分解因式和提公因式这类题怎么做啊？？求方法！！！！！
昨天学了提公因式 ，不会方法 谁给我讲讲做题方法 我很感谢！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
提问者采纳
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“—”号时，多项式的各项都要变号。
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出门在外也不愁这个的因式分解到底是什么？，哦算了好多次都不对，求数学大神，，写详细步骤。_百度知道
这个的因式分解到底是什么？，哦算了好多次都不对，求数学大神，，写详细步骤。
提问者采纳
祝学习进步
嘻嘻，，懂了，谢谢！
提问者评价
太给力了，你的回答完美解决了我的问题！
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因式分解的相关知识
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出门在外也不愁如何因式分解_百度知道
如何因式分解
竞赛时一遇到此类题目就头晕，请讲解一下做题思路。
因式分解　　Factorization[编辑本段]概述　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。　　意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。　　分解因式与整式乘法互为逆变形。[编辑本段]因式分解的方法　　因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。　　注意三原则　　1 分解要彻底　　2 最后结果只有小括号　　3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）[编辑本段]基本方法　　⑴提公因式法　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。　　口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。　　注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式　　⑵公式法　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。　　平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；　　完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)； 　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；　　完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．　　公式：a^3+b^3+c^3+3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)　　例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。　　（3）分解因式技巧　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。　　2.分解因式技巧掌握：　　①等式左边必须是多项式；　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。　　3.提公因式法基本步骤：　　（1）找出公因式；　　（2）提公因式并确定另一个因式：　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。[编辑本段]竞赛用到的方法　　⑶分组分解法　　分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。　　能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。　　比如：　　ax+ay+bx+by　　=a(x+y)+b(x+y)　　=(a+b)(x+y)　　我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。　　同样，这道题也可以这样做。　　ax+ay+bx+by　　=x(a+b)+y(a+b)　　=(a+b)(x+y)　　几道例题：　　1. 5ax+5bx+3ay+3by　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b)　　=(5x+3y)(a+b)　　说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。　　2. x^3-x^2+x-1　　解法：=(x^3-x^2)+(x-1)　　=x^2(x-1)+ (x-1)　　=(x-1)(x2+1)　　利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。　　3. x2-x-y2-y　　解法：=(x2-y2)-(x+y)　　=(x+y)(x-y)-(x+y)　　=(x+y)(x-y-1)　　利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。　　　　⑷十字相乘法　　这种方法有两种情况。　　①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是甫钉颠固郯改奠爽订鲸常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．　　②kx²+mx+n型的式子的因式分解 　　如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．　　图示如下：　　×　　c d 　　例如：因为　　1 -3 　　×　　7 2 　　-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 　　所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．　　十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中　　⑸拆项、添项法　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。　　例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) 　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) 　　=(c+b)(c-a)(a+b)．　　　　⑹配方法　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。　　例如：x²+3x-40　　=x²+3x+2.25-42.25　　=(x+1.5)²-(6.5)²　　=(x+8)(x-5)．　　⑺应用因式定理　　对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．　　例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)　　注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；　　2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数　　⑻换元法　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。　　注意:换元后勿忘还元.　　例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则　　原式=(y+1)(y+2)-12　　=y²+3y+2-12=y²+3y-10　　=(y+5)(y-2)　　=(x²+x+5)(x²+x-2)　　=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．　　也可以参看右图。　　　　⑼求根法　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．　　例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，　　则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．　　所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．　　　　⑽图象法　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．　　与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。　　例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.　　作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 　　则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．　　　　⑾主元法　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。　　　　⑿特殊值法　　将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。　　例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则　　x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105， 　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值， 　　则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。　　　　⒀待定系数法　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。　　例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。　　于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) 　　=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 　　由此可得a+c=-1，　　ac+b+d=-5，　　ad+bc=-6，　　bd=-4．　　解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．　　则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．　　也可以参看右图。　　　　⒁双十字相乘法　　双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。　　双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:　　ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f　　x、y为未知数，其余都是常数　　用一道例题来说明如何使用。　　例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．　　分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。　　解：图如下，把所有的数字交叉相连即可　　x 2y 2　　① ② ③　　x 3y 6　　∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．　　双十字相乘法其步骤为：　　①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；　　②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；　　③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。[编辑本段]多项式因式分解的一般步骤：　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”　　几道例题　　1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．　　解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．　　2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：　　x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．　　解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．　　（分解因式的过程也可以参看右图。）　　当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。　　3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。　　分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。　　证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，　　∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．　　∴(a-c)(a+2b+c)=0．　　∵a、b、c是△ABC的三条边，　　∴a＋2b＋c＞0．　　∴a－c＝0，　　即a＝c，△ABC为等腰三角形。　　4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。　　解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)　　=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．[编辑本段]因式分解四个注意：　　因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考　　例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。　　解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）　　这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误　　例2把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）　　这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。 　　分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。　　考试时应注意：　　在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了　　由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。[编辑本段]因式分解的应用　　1、 应用于多项式除法。　　2、 应用于高次方程的求根　　3、 应用于分式的运算
只要确定这是一道因式分解题，就说明可以手分，观察系数，发现系数是对称的，将系数相同的各项组合，以下是这种题的固定套路： x^4-40*x^3+206*x^2-40*x+1 =(x^4+1)-40x(x^2+1)+206*x^2 至此，中间一项出现(x^2+1)，下面用206*x^2中的2个x^2，将(x^4+1)项拼凑成(x^2+1)^2 =(x^2+1)^2-40x(x^2+1)+204*x^2 因为204=2*2*3*17=6*34 =((x^2+1)-6x)*((x^2+1)-34x...
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看到题目是先别乱，一般竞赛时间比较充足。先写会的题目，然后努力攻克难题。攻克难题时，第一先把思路理清想清楚自己先要做什么？怎么做？；第二按照理清的思路做题，记住先写在草稿纸上甫钉颠固郯改奠爽订鲸；第三遇到卡壳别紧张，看看前面有没有做错，若没有错就想想思路有没有跑偏，思路也没跑偏就仔细检查也许你有的地方没化成公式。（我就是这样写题的，还获过奖。100%原创）
一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。 　　意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 　　分解因式与整式乘法为相反变形。方法　　因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。 　　注意三原则 　　1．分解要彻底 　　2．最后结果只有小括号 　　3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=x(-3x+1）） 　　归纳方法：北师大版八下课本上有的 　　1．提公因式法。 　　2．公式法。 　　3．分组分解法。 　　4．凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)] 　　5．组合分解法。 　　6．十字相乘法。 　　7．双十字相乘法。 　　8．配方法。 　　9．拆项补项法。 　　10．换元法。 　　11．长除法。 　　12．求根法。 　　13．图象法。 　　14．主元法。 　　15．待定系数法。 　　16．特殊值法。 　　17．因式定理法。编辑本段基本方法提公因式法　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。 　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。 　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 　　口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 　　例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m 　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 　　注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式公式法　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 　　平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2 反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b) 　　完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 　　(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 　　两根式：ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a) 　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)； 　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 　　完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3． 　　公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 　　例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2。分解因式技巧　　1．分解因式技巧掌握： 　　①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式 　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示 　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；　 　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 　　2．提公因式法基本步骤： 　　（1）找出公因式 　　（2）提公因式并确定另一个因式： 　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母 　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式 　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。编辑本段竞赛用到的方法分组分解法　　分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 　　能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 　　比如： 　　ax+ay+bx+by 　　=a(x+y)+b(x+y) 　　=(a+b)(x+y) 　　我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。 　　同样，这道题也可以这样做。 　　ax+ay+bx+by 　　=x(a+b)+y(a+b) 　　=(a+b)(x+y) 　　几道例题： 　　1． 5ax+5bx+3ay+3by 　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b) 　　说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 　　2． x³-x²+x-1 　　解法：=(x³-x²)+(x-1) 　　=x²(x-1)+ (x-1) 　　=(x-1)(x²+1) 　　利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。 　　3． x²-x-y²-y
相关公式解法：=(x²-y²)-(x+y) 　　=(x+y)(x-y)-(x+y) 　　=(x+y)(x-y-1) 　　利用二二分法，再利用公式法a²-b²=(a+b)(a-b)，然后相合解决。十字相乘法　　这种方法有两种情况。 　　①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． 　　例：x²-2x-8 　　=(x-4)(x+2) 　　②kx²+mx+n型的式子的因式分解 　　如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx²+mx+n=(ax+c)(bx+d)． 　　图示如下：
　　例如：(7x+2)(x-3)中a=1 b=7 c=2 d=-3 　　因为
　　-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19， 　　所以=(7x+2)(x-3)． 　　十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中拆项、添项法　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 　　例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 　　=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) 　　=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) 　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) 　　=(c+b)(c-a)(a+b)．配方法　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 　　例如：x²+3x-40 　　=x²+3x+2.25-42.25 　　=(x+1.5)²-(6.5)² 　　=(x+8)(x-5)．应用因式定理　　对于多项式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a． 　　例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．) 　　注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数 　　2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数换元法　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。 　　例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则 　　原式=(y+1)(y+2)-12 　　=y²+3y+2-12=y²+3y-10 　　=(y+5)(y-2) 　　=(x²+x+5)(x²+x-2) 　　=(x²+x+5)(x+2)(x-1)． 　　也可以参看右图。求根法　　令多项式f(x)=0,求出其根为x¹，x²，x³，……xn，则该多项式可分解为f(x)=a(x-x¹)(x-x²)(x-x³)……(x-xn) ． 　　例如在分解2x^4+7x³-2x²-13x+6时，令2x^4 +7x³-2x²-13x+6=0， 　　则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1． 　　所以2x^4+7x³-2x²-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．图象法　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x¹,x²,x³,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=a(x-x¹)(x-x²)(x-x³)……(x-xn)． 　　与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。 　　例如在分解x³ +2x²-5x-6时，可以令y=x³; +2x² -5x-6. 　　作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 　　则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．主元法　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法　　将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 　　例如在分解x³+9x²+23x+15时，令x=2，则 　　x³ +9x²+23x+15=8+36+46+15=105， 　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ． 　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值， 　　则x³+9x²+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。待定系数法　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 　　例如在分解x^4-x³-5x²-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 　　于是设x^4-x³-5x²-6x-4=(x²+ax+b)(x²+cx+d)
相关公式=x^4+(a+c)x³+(ac+b+d)x²+(ad+bc)x+bd 　　由此可得a+c=-1， 　　ac+b+d=-5， 　　ad+bc=-6， 　　bd=-4． 　　解得a=1，b=1，c=-2，d=-4． 　　则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)． 　　也可以参看右图。双十字相乘法　　双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。 　　双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下： 　　ax²+bxy+cy²+dx+ey+f 　　x、y为未知数，其余都是常数 　　用一道例题来说明如何使用。 　　例：分解因式：x²+5xy+6y²+8x+18y+12． 　　分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 　　解：图如下，把所有的数字交叉相连即可 　　x 2y 2 　　① ② ③ 　　x 3y 6 　　∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 　　双十字相乘法其步骤为： 　　①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x²+5xy+6y²=(x+2y)(x+3y) 　　②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6) 　　③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。二次多项式因式分解　　（根与系数关系二次多项式因式分解） 　　例：对于二次多项式 aX²+bX+c(a≠0) 　　aX²+bX+c=a[X²+(b/a)X+(c/a)X]. 　　当△=b²-4ac≥0时， 　　=a(X²-X1-X²+X¹X²) 　　=a(X-X¹)(X-X²).编辑本段多项式因式分解步骤　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解 　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”编辑本段几道例题　　1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 　　解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项） 　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） 　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] 　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) 　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] 　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 　　2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33： 　　x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 　　解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) 　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) 　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) 　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) 　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． 　　当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。 　　3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。 　　分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 　　证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， 　　∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． 　　∴(a-c)(a+2b+c)=0． 　　∵a、b、c是△ABC的三条边， 　　∴a+2b+c&0． 　　∴a－c=0， 　　即a=c，△ABC为等腰三角形。 　　4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 　　解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) 　　=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．编辑本段四个注意　　因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例 可供参考 　　例1 把－a2－b2+2ab+4分解因式。 　　解：－a2－b2+2ab+4=－（a2－2ab+b2－4）=－（a－b+2）（a－b－2） 　　这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=（－3x）2－（2y）2=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的错误 　　例2把－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1=－6xnyn－1（2xny－3x2y2+1） 　　这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。 　　分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2=y2（4x4－5x2－9）=y2（x2+1）（4x2－9）的错误。 　　考试时应注意： 　　在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！ 　　由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。编辑本段应用　　1． 应用于多项式除法。 　　2． 应用于高次方程的求根。 　　3． 应用于分式的通分与约分 　　顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展： 　　1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1） 　　.例如： 　　23|(2^11-1);；11=4×2+3 　　47|(2^23-1);；23=4×5+3 　　167|(2^83-1);,,,.83=4×20+3 　　。。 　　2,，p=2^n×3^2+1,，则（6p+1）|(2^P-1)， 　　例如：223|(2^37-1);；37=2×2×3×3+1 　　439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3+1 　　-1);；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1 　　，，，。 　　3，p=2^n×3^m×5^s-1,则（8p+1）|（2^P-1） 　　.例如；233|(2^29-1)；29=2×3×5-1 　　;-1)；179=2×2×3×3×5-1 　　1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1 　　，，，。编辑本段因式分解公式平方差公式　　(a+b)(a-b)=a^2-b^2完全平方公式　　(a+b)^2=a^2+2ab+b^;2 　　(a-b)^2=a^2-2ab+b^2立方和（差）立方公式　　两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。 　　即a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 　　证明如下： a^3-b^3=a^3-3a2^b+3ab^2-b^3 　　所以a^3-b^3=（a-b）a^3-[-3(a^2)b+3ab^2]=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b) 　　=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)希望您能采纳 好好学习吧
因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、提公因法 如果一
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