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拉格朗日中值定理的应用毕业论文.doc27页
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本科毕业论文
设计题目：
拉格朗日中值定理的应用
毕业论文（设计）内容介绍
论文（设计）
目 拉格朗日中值定理的应用
论文（设计）
关 键 词 拉格朗日中值定理、应用、极限、收敛
论文（设计）题目的来源、理论和实际意义：
以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学地理论基础，而拉格朗日中值定理是这几个中值定理中最重要的一个，具有中值性，在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。
中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数取极值、单调性、拐点、凹凸性等多项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以把握函数图像的各种几何特征。总之，微分中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。
拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的特殊应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，本文将对其应用进行了深入的总结。
论文（设计）的主要内容及创新：
课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的特殊应用，因而本文对拉格朗日中值定理的理解进行了深入的分析，介绍了它的几种证法，并在此基础上就拉格朗日中值定理的应用进行了系统的总结。
附：论文（设计） 本人
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淘豆网网友近日为您收集整理了关于本科毕业论文-微分中值定理的应用的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：本科毕业论文-微分中值定理的应用 提供全套毕业设计本科生毕业论文设计题目微分中值定理的应用作者姓名赵薇指导教师杨大方所在学院河北师范大学专业数学与应用数学班级(届) 2013 届(3)班完成日期 2012 年月日I目录中文摘要、关键词..................................................................................... II1 绪论............................................................................................................12 预备知识...................................................................................................13 微分中值定理的简介.................................................................(来源：淘豆网[/p-5694627.html])..............24 微分中值定理的应用...............................................................................64.1 利用三大定理结论解题..................................................................64.2 讨论导函数 0 点的存在性及个数估计..........................................74.3 证明函数或导数存在某种特征点..................................................84.4 证明函数恒为常数........................................................................104.5 研究函数的性态...................................(来源：淘豆网[/p-5694627.html])......................................... 114.6 证明不等式与求极限.................................................................... 11结论.............................................................................................................15参考文献.....................................................................................................15英文摘要、关键词....................................................................................IIIII微分中值定理的应(来源：淘豆网[/p-5694627.html])用摘要微分中值定理是反映导数与函数间的重要定理,也是微积分学的理论基础,在许多方面它有重要的作用,在进行一些公式推导与定理证明中有许多应用.函数与其导数是两个不同的函数;而导数只是反映函数在一点的局部特征,如果想要了解函数在其定义域上的整体性态,就需要在导数与函数间建立起联系,微分中值定理便起到了这样的作用.中值定理是沟通函数与其导数之间的一个桥梁,是运用导数的局部性质来推断函数的整体性质的重要工具.在本文中主要总结了三大中值定理内容以及它们在数学分析中的应用,我们可以发现它们既有区别又有紧密联系,在这三大中值定理中,罗尔中值定理是基础;拉格朗日中值定理是关键,建立了函数值与导数值之间的定量联系,因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态;柯西中值定理是推广,同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则,为方便以后我们解题提供了可靠的依据,中值定理的主要作用在于理论分析和证明.这三大中值定理在其应用方面也起到了很大的作用:比如判断函数方程根的存在性,求各种类型的不定式极限,证明不等式,研究函(来源：淘豆网[/p-5694627.html])数单调性等方面.这篇文章主要分了四部分:第一部分绪论对全文进行了概述;第二部分预备知识对全文进行了一个铺垫;第三部分是微分中值定理的简介;第四部分介绍微分中值定理的应用.关键词中值定理,定理的应用,联系1微分中值定理的应用1 绪论本文中我们要讨论怎样由导数'f 的已知性质来推断函数 f 所应具有的性质.我们已经知道导数只是反映了函数在一点附近的局部特性,那么如何利用导数进一步研究函数的性态,使导数用于解决更广泛的问题?微分中值定理就是沟通导数值与函数值之间的研究桥梁,它是一个非常有效的工具,运用这个工具,许许多多有关函数的问题都能迎刃而解.三大中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理,都是利用导数的局部性质来推断函数的整体性质的,以罗尔定理,拉格朗日定理和柯西定理组成的一组中值定理构成了整个微分学的理论基础.微分中值定理的重要性也体现在解决数学问题中,比如我们可以利用它判断函数方程根的存在性,求极限,证明不等式,研究函数单调性等.2 预备知识定义若函数 f 在点 0x 的某邻域)(来源：淘豆网[/p-5694627.html])( 0xU 内对一切 0( )x U x 有)()( 0 xfxf
( )()( 0 xfxf
),则称函数 f 在点 0x 取得极大(小)值,称点为极大(小)值.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.例证明:若 0)(' 0
xf ,则存在 0 ,对任何 0 0( , )x x x
,有)()( 0 xfxf
.证因为由导数定义知 0)()(lim)('0000xxxfxfxfxx --,所以由保号性可知,存在正数,对一切),( 00
xxx ,有 0)()(0xxxfxf o--,从而很容易推断,当 00 xx 时,上式成立.用类似的方法可讨论 0)(' 0
xf , 0)(' 0
xf 和 0)(' 0
xf 的情况.注:这个例题告诉我们:若)(' 0xf 存在却不为零,则 0x 不是)(xf 的极值点.于是我们就得到了著名的费马定理.费马定理设函数)(xf 在点 0x 的某邻域内有定义,且在点 0x(来源：淘豆网[/p-5694627.html]) 可导.若点 0x 为 f 的极值点,则必有 0)(' 0 xf .费马定理的几何意义非常明确:若函数)( 0xf 在极值点 0xx
可导,那么在该点的切线平2行于 x 轴.我们称满足方程 0)(' 0 xf 的点为稳定点.这个定理的提出为研究微分中值定理做了铺垫,同时也推广了导数在实际中的应用,更方便了以后解题.达布定理若函数 f 在 ba, 上可导且)(')(' bfaf
,k 为介于)(' af , )(' bf
之间任一实数,则至少存在一点),( ba , 使得 kf )('ξ.有时又称上述定理为导数介值定理.它们为中值定理的应用提供了依据,在实际生活中也有广泛的应用.3 微分中值定理的简介本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备定理——罗尔定理,然后再给出一个形式更为一般的微分中值定理,即柯西中值定理.在此基础上,我们进一步发现它们之间的联系及区别,它们是利用导数性质研究函数性质的一个非常有用的工具.罗尔定理若函数 f 满足(来源：淘豆网[/p-5694627.html])如下条件:(i) f 在闭区间上 ba, 连续;(ii) f 在开区间),( ba 上可导;(iii) )()( bfaf
,则在),( ba 内至少存在一点,使得 0)(' f . ⑴例 1 设)(''' xf 在 ba, 上存在,且有 0)(')()(')(
bfbfafaf ,则存在∈),( ba ,使得0)(''' f .分析:题中)(''' xf 在 ba, 上存在,则可以推断出)(xf , )(' xf , )('' xf 在 ba, 连续,且在),( ba可导, )(xf , )(' xf 满足罗尔中值定理的(1),(2)点,又有 0)(')()(')(
bfbfafaf ,满足罗尔中值定理(3)点,因此)(xf , )(' xf 分别满足罗尔中值定理,多次使用罗尔定理就可得到本题的结论.证由题意知)(xf 在 ba, 连续(来源：淘豆网[/p-5694627.html]),且在),( ba 可导,又)()( bfaf
,满足罗尔定理,得存在一点),( ba ,使 0)(' f .3由 0)(')('
faf ,且)(' xf 在),( ba 可导,由题意知)(' xf 在[ , ]a
满足罗尔定理知,存在一点),(
a ,使 0)('' f .由 0)(')('
,且)(' xf 在),( ba 可导,由题意知)(' xf 在[ , ]b 满足罗尔定理知,存在一点),( b
,使 0)('' f .由 0)('')(''
ff ,且)('' xf 在),( ba 可导,由题意知满足罗尔定理知,存在一点( , )
,使得 0)(''' f .例 2 若)(xf 在 ba, 上连续, ),( ba 内可导,且)()( bfaf
=0,则至少存在一点( , )a(来源：淘豆网[/p-5694627.html]) b
,使( ) '( ) 0f f
.证构造函数( ) ( )xF x e f x ,由题意知可推知)(xF 在 ba, 上连续, ),( ba 内可导,且( ) ( )F a F b ,由罗尔中值定理知,存在一点( , )a b
,即[ ( ) '( )] 0e f f
.又因为 0e ,所以( ) '( ) 0f f
.注:定理中的三个条件缺少任何一个,结论都不一定成立.但如果把罗尔定理的条件)()( bfaf
去掉,当然罗尔定理的结论不一定成立,那么又会有什么结论呢?设 A点是))(,( afa , B点是))(,( bfb ,若把 A B连接起来看成'x 轴,建立新坐标系''' yxO ,则在新坐标系下不仅两端的函数值相等,曲线仍然连续且在曲线上非端点处的切线存在.由罗尔定理知,曲线上存在一点,使该点切线平行于'x 轴,即至少存在一点),( ba ,使)(')()(faba(来源：淘豆网[/p-5694627.html])fbf--.因此有拉格朗日定理若)(xf 满足下列条件:(i) )(xf 在闭区间 ba, 上连续;(ii) ( )f x 在开区间( , )a b 上可导;则至少存在一点),( ba ,使)(')()(fabafbf--. ⑵显然,特别当)()( bfaf
时,本定理的结论即为罗尔定理的结论⑴.这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形.(这里的编号⑴就是前面罗尔定理的结论: 0)(' f )4例 3 设)(xf 在 1,0 上连续,在 1,0 上可导,且 0)1()0(
ff , 1)21( f ,则存在)1,0( ,使得'( ) 1f
.分析:为证'( ) 1f ζ,就是要找曲线( )y f x 上斜率为 1 的切线,从拉格朗日中值公式的角度看问题,如果有一条割线的斜率为 1,那么任务也就完成了.由于曲线过原点,故只需看直线 y x (斜率为 1)与此曲线是否有交点.证作函数 xxfxF
)()( ,由题设知(
fF , ,011)1()1(
fF 故根据)(xF 的连续性可知,存在)1,21(1
,使得 0)( 1 F .现在注意到 00)0()0(
fF ,根据罗尔定理可知,存在一点),0( 1
,使得0)(' 1 F ,即'( ) 1f
.由此题知拉格朗日中值公式把函数值与其导数值联结成一个“精确的”等式,这就为我们用导数的知识研究函数的性态提供了极大的方便.注:拉格朗日中值定理还可以在两个方面加以推广:其一是增加函数的个数;其二是提高函数可微性的次数,本文只介绍前者.即柯西中值定理设函数 f 、 g 满足(i)在 ba, 上连续;(ii)在( , )a b 内可导;(iii) )(' xf 和)(' xg 不同时为零;(iv) )()( bgag
,则存在),( ba ,使得)(')(')()()()(gfagbgafbf-. ⑶注:如果我们让 xxg )( ,那么此时柯西中值定理的结论就是拉格朗日中值定理的结论.因此,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的一种特殊情形.例 4 设函数 f 在[ , ]( 0)a b a
上连续,在( , )a b 内可导,则存在( , )a b
,使得( ) ( ) '( )lnbf b f a fa
.分析:本题不能直接看出满足哪个中值定理,我们可以对所要证明的结论做一下变形,即( ) ( ) '( )ln 1f b f a fb a ,也就是( ) ( ) '( )ln ln 1f b f a fb a,此时我们令 xxg ln)(
,显然( )g x 在[ , ]a b上与)(xf 一起满足柯西中值定理的条件,于是由柯西中值定理即可得我们所要的结论.5证设 xxg ln)(
,显然它在[ , ]a b 上与)(xf 一起满足柯西中值定理的条件,于是存在[ , ]a b
,使得( ) ( ) '( )ln ln 1f b f a fb a,上式整理后便得到所要证明的结论.微分中值定理之间的内在联系罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理以及泰勒定理是微分学的重要定理之一,这些定理统称为微分中值定理.其中以拉格朗日定理为中心,它们可以用下面的图表示:上面介绍了三个中值定理的内容及它们之间的联系,为解决问题提供了方便,下面我们分别介绍一下它们的几何意义.罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端高度相等,则至少存在一条水平切线.我们知道罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形,拉格朗日中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线)(xfy
上至少存在一点( , ( ))P f
,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线 A B,我们在证明中引入的辅助函数)(xF ,正是曲线)(xfy
与直线 A B( )()()()( axabafbfafy
)之差.柯西中值定理有着与前两个中值定理类似的几何意义,只是现在要把 f ,g 这两个函数写作以 x 为参量的参数方程( )( )g xv f x ,在u o v 平面上表示一段曲线.由于上文⑴式右边的)()()()(agbgafbf-表示连接该曲线两端的弦 A B的斜率,而上文⑶式左边的'( )'( ) xf dvg du
,则表示该曲线上与 x
相对应的一点( ( ), ( ))C g f
处的切线的斜率.因此⑴式即表示上述切线与弦 A B互相平行.拉格朗日定理柯西定理泰勒公式罗尔定理特例推广64 微分中值定理的应用4.1 利用三大定理结论解题例 1 设)(xf , )(xg 在 ba, 上可导,且在),( ba 上 0)(' xg ,则存在),( ba ,使得)(')(')()()()(ξξξξgfbggfaf.分析:本题所要证明的结论是柯西中值定理的形式,直接证明不容易证明,对所要得到的结论变形,此时我们可以借助辅助函数证明.证我们解此题的思路是:作一个辅助函数并纳入罗尔定理的框架.由于目标等式的模样不利于设计辅助函数,故先将其改为下面式子的形式:)]()()[(')(')]()([ bggfgfaf
ξξξξ.不难判定,上式左端是函数)()()()()()()( xgafbgxfxgxfxF
,在 x 处的导数,因此)(xF 就是辅助函数.因为)()()()()()( bFbgxfbgafaF
,所以由罗尔定理可知,存在),( ba ,使得0)(' ξF ,故结论得证.例 2 若 0M ,使]1,0[x 时,有 Mxf )('' 且)(xf 在 1,0 内取极大值,则 Mff
)1(')0(' .分析:由题意知)(xf 在 1,0 内取到极值,我们可以设这个极值点为 0x , )( 0xf 为极大值,则 0)(' 0 xf .证设 0 (0,1)x
, )( 0xf 是极大值,则 0)(' 0 xf .∵ 0M ,对]1,0[x ,有 Mxf )('' .∴)(xf 存在二阶导数且有界.∴)(')1(')(')0(')1(')0(' 00 xffxffff
.∵)(xf 对]1,0[x 有二阶导数且有界.∴由拉格朗日中植定理知,存在一点 0(0, )x
,有00'( ) '(0)''( )0f x ffx,且存在一点 0( ,1)x ,有00'(1) '( )''( )1f f xfx.∴ 0 0 0 0'(0) '(1) ''( ) ''( )(1 ) ( 1)f f f x f x M x x M
)1(')0(' .7例 3 设20
,证明存在( , )
,使得 cotcoscossinsin.分析:此题不难看出所要证明的结论符合柯西中值定理结论的形式,我们可以令xxf sin)(
, xxg cos)(
,显然它们在区间, 上满足柯西中值定理的条件,由柯西中值定理即可得到所要证明的结论.证我们可以设 xxf sin)(
, xxg cos)(
,且它们同时在区间, 满足柯西中值定理的条件,由柯西中值定理知,存在( , )
,使得 cotcoscossinsin.4.2 讨论导函数 0 点的存在性及个数估计例 1 设 f 为 R 上可导函数,证明:若方程 0)(' xf 没有实根,则方程 0)( xf 至多只有一个实根.证反证法:倘若 0)( xf 有两个实根 1x 与 2x (设 21 xx
),则函数 f 在 21, xx 上满足罗尔定理三个条件,从而存在 1 2( , )x x
, 使得'( ) 0f
,这与 0)(' xf 的假设矛盾,于是命题得证.例 2 设)(xf 在 ba, 内三阶可导, 0)(')('
bfaf ,并在),( bac 点有)(max)( xfcfbxa
,证明:方程 0)(''' xf 在),( ba 内至少有一个根.分析:要证方程 0)(''' xf 在),( ba 内至少有一个根,只需证明)('' xf 满足罗尔中值定理,由题意知c 为)(xf 的最大值点,从而也是极大值点,因此 0)(' cf .再利用两次罗尔中值定理就可以得到我们所要的结果.证∵)(max)( xfcfbxa
, ( , )c a b ,∴c 为)(xf 的最大值点,从而也是极大值点.∴ 0)(' cf .再由 0)(')('
bfaf ,对)(' xf 在 ca, 和 bc, 上分别运用罗尔定理,那么存在),(1 ca , ),(2 bc 使 0)('')('' 21
ξξ ff .再对)('' xf 在 21, 运用罗尔定理,因此存在),( 21
,使得 0)(''' ξf ,此即方程 0)(''' xf 在),( ba 内至少有一根.播放器加载中，请稍候...
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this.p={ dwrMethod:'queryLikePosts',fpost:'',userId:2707534,blogListLength:23};泰勒中值定理“中间点”当x→+∞时的渐近性态--《沈阳师范学院学报(自然科学版)》1997年03期
泰勒中值定理“中间点”当x→+∞时的渐近性态
【摘要】：讨论在区间[a,x]上建立的泰勒中值定理的“中间点”当 x→+∞时的渐近性态,给出两个渐近估计式.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O172.1【正文快照】：
关于在区间〔a .x〕上建立的中值定理的“中间点”渐近性问题的研究,以往〔‘一“,都是讨论当x一a时“中间点”的渐近性质.对于当x~+。时“中间点”的渐近性质,目前讨论的甚少.本文讨论当x一十二时,泰勒中值定理“中间点”的渐近性态,给出了两个渐近估计式. 泰勒中值定理设f(x
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【参考文献】
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张树义;[J];烟台师范学院学报(自然科学版);1994年02期
张树义;[J];辽宁师范大学学报(自然科学版);1995年02期
【共引文献】
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严平,储茂权;[J];安徽师范大学学报(自然科学版);2001年01期
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郑权;[J];北方工业大学学报;1993年01期
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【二级参考文献】
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孙慧澄;倪进;陈光迪;;[J];南京大学学报(自然科学版);1980年04期
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邓恒道;[J];苏州大学学报(医学版);1984年00期
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