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1点A（a，b），B（a-1，c）均在函数y=\frac{1}{x}的图象上，若a＜0，则b_c（填＞或＜或=2已知：y=（{m}^{2}+2m）{x}^{{m}^{2+m-1}}，如果y是x的正比例函数，则m=___，如果y是x的反比例函数，则m=_____3若反比例函数y=（2p+1）{x}^{{p}^{2-26}}变成x的指数的图象在第二，四象限，则该函数的解析式为----4已知（{x}_{1}，{y}_{1}）和（{x}_{2}，{y}_{2}）是双曲线y=-\frac{5}{x}上两点，当{x}_{1}＜{x}_{2}＜0时，{y}_{1}与{y}_{2的大小关系式下列函数中，5&& y既不是x的正比例函数，也不是反比例函数的是A y=-\frac{1}{9x} B10=-x：5y C y=4x=16在四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=1：5：3：3，则这个四边形是A平行四边形B矩形C直角梯形D等腰梯形7等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=\frac{1}{2}BC，若梯形的周长是30cm，则AD=_CM，角B=-角A=-梯形的面积8在平行四边形中，AB=2，BC=4，BE⊥AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，BE=\sqrt{3}，求BF，BD的长
悬赏雨点：23 学科：【】
2、若为正比例函数，让x的次数为1，系数不等于0列式求值即可；若为反比例函数，让x的次数为-1，系数不等于0列式求值即可．若y是x的正比例函数，则m2+2m≠0.①m2+m-1=1.②解①②得：m≠0，m≠-2，m=-2，m=1∴如果y是x的正比例函数，则m=1若y是x的反比例函数，则m2+2m≠0.③m2+m-1=-1.....④解③④得：m≠0，m≠-2，m=0，m=-1∴如果y是x的反比例函数，则m=-13、根据题意可知：反比例函数，x的次数为-1，图象在第二，四象限，系数小于0∴P2-26=-1....①2P+1＜0.②解①得：P=±5，解②得：P＜-1/2综上，P=-5∴函数的解析式为：y=-9/x4、由题意可知，y=-5/x的图象在二、四象限当x＜0时函数是增函数，当x＞0时函数是减函数∴x1＜x2＜0时，y1＜y25、A.y=-1/（9x）=-（1/9）/x，是反比例函数B.10=-x：5y==＞50y=-x==＞y=（-1/50）x，是正比例函数C.y=4x+1，是一次函数既不是x的正比例函数，也不是反比例函数∴选C6.因为四边形内角和为360°，∠A：∠B：∠C：∠D=1：5：3：3∴∠A=1/12×360°=30°，∠B=5/12×360°=150°，∠C=∠D=3/12×360°=90°∴选C直角梯形7、根据题意可知：AD=AB=CD=1/2BC∴周长=AD+AB+BC+CD=5/2BC=30∴BC=12，AD=AB=CD=1/2BC=6cm过A作AE⊥BC于E∴BE=（BC-AD）/2=3=1/2AB∴AE=√3BE=3√3cm∴∠B=60°，∵∠A+∠B=180°∴∠A=120°S=1/2（AD+BC）?AE=1/2（6+12）×3√3=27√3cm28、如图，∵BE=√3，AB=2，∠AEB=90°，∴AE=1，DE=3∴BD=√（DE2+BE2）=2√3&∵BF是∠ABC的平分线，&∴∠ABF=∠FBC=1/2∠ABC∵AD∥BC∴∠AFB=∠FBC∴∠ABF=∠AFB∴AF=AB=2，EF=AE-AE=1∴BF=√（DE2+EF2）==2
&&获得：23雨点
1、根据反比例函数的增减性，k＞0，当a＜0时，两坐标位于第三象限的图象上，y随x的增大而减小，由此判断a、b的大小．∵函数y=1x的图象位于一、三象限，又∵a＜0，∴a-1＜0，A（a，b），B（a-1，c）均在第三象限的分支上，在这个分支上y随x的增大而减小，∵a＞a-1，∴b＜c．故填：b＜c．由于抛物线与轴有两个不同的交点,所以;套用材料中的公式可求得线段的表达式,利用公式法可得到顶点的纵坐标,进而求得斜边上的高(设为),若为等腰直角三角形,那么,可根据这个等量关系求出的值.方法同,只不过,的等量关系为:.若要改变的大小,就必须向上或向下平移抛物线;首先根据题的结论求出的值,然后设出平移后的抛物线解析式,进而套用的结论求出平移的距离,由此确定平移方案.
当为等腰直角三角形时,过作于,则;抛物线与轴有两个交点,,,,又,,,即,,,.当为等边三角形时,.(解法同.),,即,;因为向左或向右平移时的度数不变,所以只需将抛物线向上或向下平移使,然后向左或向右平移任意个单位即可.设向上或向下平移后的抛物线的解析式为:,平移后,,,抛物线向下平移个单位后,向左或向右平移任意个单位都能使得度数由变为.
此题主要考查了根与系数的关系,用公式法求抛物线顶点坐标的方法以及直角三角形,等腰直角三角形,等边三角形的性质,解决此题的关键是读懂题意,弄清题目所给公式的含义.
3830@@3@@@@二次函数综合题@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
第三大题，第9小题
求解答 学习搜索引擎 | 若{{x}_{1}},{{x}_{2}}是关于x的一元二次方程a{{x}^{2}}+bx+c=0(a不等于0)的两个根,则方程的两个根{{x}_{1}},{{x}_{2}}和系数a,b,c有如下关系:{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a},{{x}_{1}}o{{x}_{2}}=\frac{c}{a}.我们把它们称为根与系数关系定理.如果设二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c(a不等于0)的图象与x轴的两个交点为A({{x}_{1}},0),B({{x}_{2}},0).利用根与系数关系定理我们又可以得到A,B两个交点间的距离为:AB=|{{x}_{1}}-{{x}_{2}}|=\sqrt{{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\sqrt{{{(-\frac{b}{a})}^{2}}-\frac{4c}{a}}=\sqrt{\frac{{{b}^{2}}-4ac}{{{a}^{2}}}}=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{|a|}请你参考以上定理和结论,解答下列问题:设二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点为A({{x}_{1}},0),B({{x}_{2}},0),抛物线的顶点为C,显然\Delta ABC为等腰三角形.(1)当\Delta ABC为等腰直角三角形时,求{{b}^{2}}-4ac的值;(2)当\Delta ABC为等边三角形时,{{b}^{2}}-4ac=___;(3)设抛物线y={{x}^{2}}+kx+1与x轴的两个交点为A,B,顶点为C,且角ACB={{90}^{\circ }},试问如何平移此抛物线,才能使角ACB={{60}^{\circ }}?2012届广东省各地市一模试题打包2文数_学霸学习网
2012届广东省各地市一模试题打包2文数
绝密★启用前试卷类型：A2012 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（文科）本试卷共 6 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后 务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将 监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答 案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：1 1．锥体的体积公式 V ? Sh ，其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高 3 2．独立性检验统计量 K ?2n(ad ? bc) 2 ，其中 n ? a ? b ? c ? d ． (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )概率表P ( K 2 ? k0 )0.152.0720.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635一、选择题：本大题共 10 个小题；每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一 项是符合题目要求的．1．设全集 U ? ?1,3,5, 6,8? ， A ? ?1, 6? ， B ? ?5, 6,8? ，则 ? C U A ? ? B ? A． ?6?8? B． ?5，8? C． ?6，6， D． ?5，8??x ? 2 ? 0 ? 2．已知点 P( x, y ) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动，则 z ? x ? y 的最小值是 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?A． ?22B． 2C． ?13．已知抛物线 y ? 8 x 的准线 l 与双曲线 C : 则双曲线 C 的离心率 e ? A．x ? y 2 ? 1 相切， 2 a2 5 52D． 13 2B．5 2C．2 3 3D．4．执行如图的程序框图，则输出的 ? 是A． ?4B． ?2C． 0D． ?2 或 05．已知过点 (0,1) 的直线 l : x tan ? ? y ? 3tan ? ? 0 的斜率为 2 ，则 tan(? ? ? ) ? 7 7 5 A． ? B． C． D． 1 3 3 7 ６．如图，三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中， AA1 ? 平面 ABC ，A1 A ? AB ? 2, BC ? 1, AC ? 5 ，若规定主（正）视方向垂直平面 ACC1 A1 ，则此三棱柱的侧（左）视图的面积为 A．4 5 5B． 2 5 D． 2C． 47．给出四个函数： f ( x) ? x ?1 x ?x 3 ， g ( x) ? 3 ? 3 ， u ( x) ? x ， v( x) ? sin x ，其中满足条件：对任意 x 实数 x 及任意正数 m ，有 f (? x) ? f ( x) ? 0 及 f ( x ? m) ? f ( x) 的函数为A． f ( x) B． g ( x) C． u ( x ) D． v ( x )8．已知 x, y, z ? R ，则“ lg y 为 lg x, lg z 的等差中项”是“ y 是 x, z 的等比中项”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件?1, x ? 0 ? 9．已知符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0 ，则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln x 的零点个数为 ? ?1, x ? 0 ?A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 10．在实数集 R 中，我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序” ，类似地，我们在复数集 C 上 也可以定义一个称为 “序” 的关系， “ ? ” 定义如下： 记为 。 对于任意两个复数 z1 ? a1 ? b1i ，z2 ? a2 ? b2i （ a1 , b1 , a2 , b2 ? R ， i 为虚数单位）“ z1 ? z2 ”当且仅当“ a1 ? a2 ”或“ a1 ? a2 且 b1 ? b2 ” ， ．下面命 题为假命题的是 ．．． A． 1 ? i ? 0 B．若 z1 ? z2 ， z2 ? z3 ，则 z1 ? z3 C．若 z1 ? z2 ，则对于任意 z ? C ， z1 ? z ? z2 ? z D．对于复数 z ? 0 ，若 z1 ? z2 ，则 z ? z1 ? z ? z2二、填空题：本大题共５小题，考生作答４小题，每小题 5 分，满分４0 分．本大题分为必做题和选 做题两部分．（一）必做题：第 11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．某人５次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 8 ， 12 ， 10 ， 11 ， 9 ，估计此人每次上班途中 平均花费的时间为 分钟． 12．奇函数 f ( x) ? 1 ? x ?21 （其中常数 a ? R ）的定义域为 x?a．．13．已知 a ? b ? R ，且 ab ? 50 ，则 | a ? 2b | 的最小值为（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14． （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点 P (1 , 距离为 ．π π 3 ) 到曲线 l : ? cos(? ? ) ? 2 上的点的最短 2 4 2 BC D图415． （几何证明选讲选做题）如图 4， A , B 是圆 O 上的两点，且 OA ? OB ，OA ? 2 ， C 为 OA 的中点，连接 BC 并延长 BC 交圆 O 于点 D ，则 CD ? ．OA三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ， x ?R （其中 A ? 0, ? ? 0, ? （1）求函数 f ( x) 的解析式； （2）已知横坐标分别为 ? 1、1 、5 的三点 M 、 N 、 P 都在函数 f ( x) 的图像上，求 sin ?MNP 的值．yπ π ，其部分图像如图 5 所示． ?? ? ） 2 21?2 ?1 0 ?11图523456 x17． （本小题满分 13 分） 通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表： （1）从这 50 名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为 5 的样本，问样本中看与不看 营养说明的女生各有多少名? (2) 从（1）中的 5 名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明的女生各一名 的概率； （3）根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？性别与看营养说明列联表 单位: 名男 看营养说明 不看营养说明 总计 50 10 60女 30 20 50总计 80 30 11018． （本小题满分 13 分） 如图，直角梯形 ABCD 中， AB ∥CD ， AD ? AB ， CD ? 2 AB ? 4 ， AD ? 中点，将 ?BCE 沿 BE 折起，使得 CO ? DE ，其中点 O 在线段 DE 内. （1）求证： CO ? 平面 ABED ；2 ， E 为 CD 的（2）问 ?CEO (记为 ? )多大时, 三棱锥 C ? AOE 的体积最大? 最大值为多少?D E CCABD O A BθE19． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c (实数 a, b, c 为常数)的图像过原点, 且在 x ? 1 处的切线为直线3 21 y?? . 2（1）求函数 f ( x) 的解析式； （2）若常数 m ? 0 ，求函数 f ( x) 在区间 ? ? m, m ? 上的最大值.20． （本小题满分 14 分） 已知各项为实数的数列 ?an ? 是等比数列, 且 a1 ? 2, a5 ? a7 ? 8(a2 ? a4 ). 数列 ?bn ? 满足： 对任意正整数n ,有 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 .(1) 求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式；(2) 在数列 ?an ? 的任意相邻两项 ak 与 ak ?1 之间插入 k 个 (?1)k bk (k ? N? ) 后， 得到一个新的数列 {cn } . 求数列 {cn } 的前 2012 项之和.21． （本小题满分 14 分）x2 y 2 3 如图，已知椭圆 C ： 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ，以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T ： 2 a b( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N ．（1）求椭圆 C 的方程； （2）求 TM ? TN 的最小值，并求此时圆 T 的方程； （3）设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点，且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R , S ， O 为坐标 原点，求证： OR ? OS 为定值．M R T N S O x y P???? ??? ?2012 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）参考答案及评分标准说明： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查 内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分． 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 B 5 D 6 A 7 C 8 A 9 C 10 D二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分．其中 第 14、15 两小题是选作题，考生只能选做一题，如果两题都做，以第 14 题的得分为最后得分． 11． 10 12．? x ?1 ? x ? 1, 且x ? 0?13. 2014． 2 215．3 5 5三、解答题：本大题 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ，x ?R ， 其中 ? ? 0, ? (1)求函数 f ( x) 的解析式； (2) 已知横坐标分别为 ?1, 1, 5 的三点 M , N , P 在函数 f ( x) 的图像上，求 sin ?MNP 的值.y1 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5 6π π ? ? ? . 函数 f ( x) 的部分图像如下图所示. 2 2x第 16 题图 2π π 解： （1）由图可知， 最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8, 所以 T ? ? 8,? ? . ???3 分?4π π π ? ? ) ? 1 ，且 ? ? ? ? 4 2 2 π π 3π π π π 所以 ? ? ? ? ? , ? ? ? , ? ? . ????????????5 分 4 4 4 4 2 4 π 所以 f ( x) ? sin ( x ?1) . ???????????????????6 分 4 π (2) 解法一: 因为 f (?1) ? 0, f (1) ? 1, f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1, 4又 f (1) ? sin( 所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) , ?????????????????7 分MN ? 5, PN ? 20, MP ? 37 ,从而 cos ?MNP ???????????????8 分5 ? 20 ? 37 3 ? ? ??????????????10 分 5 2 5 ? 2024 . ?????12 分 5 π π 解法二: 因为 f (?1) ? sin ( ?1 ?1) ? 0, f (1) ?1, f (5) ? sin (5 ?1) ? ?1 , 4 4由 ?MNP ? ? 0, π ? 得 sin ?MNP ? 1 ? cos ?MNP ? 所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) , ???????????????7 分???? ??? ? ? ???? ? ??? ? NM ? (?2, ?1), NP ? (4, ?2), NM ? NP ? ?6 ??????????8 分???? ? ??? ? NM ? 5, NP ? 20 ? 2 5 ,??????????????9 分???? ??? ? ? NM ? NP 则 cos ?MNP ? ???? ??? ? ? NM ? NP?6 3 ? ? . ?????????10 分 5 5?2 54 . ?????12 分 5由 ?MNP ? ? 0, π ? 得 sin ?MNP ? 1 ? cos 2 ?MNP ?【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质，以及余弦定理，同角三角 函数关系式，平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力． 17． （本小题满分 13 分） 通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表： （1）从这 50 名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为 5 的样本，问样本中看与不看 营养说明的女生各有多少名? (2) 从（1）中的 5 名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明的女生各一名 的概率； （3）根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？性别与看营养说明列联表 单位: 名男 看营养说明 不看营养说明 总计 50 10 60女 30 20 50总计 80 30 110解： （1）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有5 ? 30 ? 3 名，样本中不看营养说明的女生有 505 ? 20 ? 2 名；??????????2 分 50（2）记样本中看营养说明的 3 名女生为 a1 , a2 , a3 ，不看营养说明的 2 名女生为 b1 , b2 ，从这 5 名女生中 随机选取两名，共有 10 个等可能的基本事件为： a1 , a2 ； a1 , a3 ； a1 , b1 ； a1 , b2 ； a2 , a3 ； a2 , b1 ；a2 , b2 ； a3 , b1 ； a3 , b2 ； b1 , b2 .??????5 分 a 其中事件 A “选到看与不看营养说明的女生各一名” 包含了 6 个的基本事件： a1 , b1 ； 1 , b2 ； a2 , b1 ； a2 , b2 ； a3 , b1 ； a3 , b2 .?????????7 分所以所求的概率为 P( A) ?6 3 ? . ???????????????9 分 10 52(3) 假设 H 0 ：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则 K 应该很小.110 ? (50 ? 20 ? 30 ?10) 2 539 根据题中的列联表得 k ? ? ? 7.486 80 ? 30 ? 60 ? 50 72由 P( K ? 6.635) ? 0.010 , P( K ? 7.879) ? 0.005 可知2 2???11 分有 99 %的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关？ ?????????????????????????????????13 分 【说明】本题主要考察读图表、抽样方法、随机事件的概率、独立性检验等基础知识，考查运用概率 统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识．18． （本小题满分 13 分） 如图，直角梯形 ABCD 中， AB ∥CD ， AD ? AB ， CD ? 2 AB ? 4 ， AD ? 中点，将 ?BCE 沿 BE 折起，使得 CO ? DE ，其中点 O 在线段 DE 内. （1）求证： CO ? 平面 ABED ； （2）问 ?CEO (记为 ? )多大时, 三棱锥 C ? AOE 的体积最大? 最大值为多少? C E D C （1）证明: 在直角梯形 ABCD 中， CD ? 2 AB ， E 为 CD 的中点， D 则 AB ? DE ,又 AB ∥ DE ， A B O AD ? AB ,知 BE ? CD .?????1 分A2 ， E 为 CD 的θE在四棱锥 C ? ABEO 中， BE ? DE , BE ? CE ， CE ? DE ? E ，BCE, DE ? 平面 CDE ，则 BE ? 平面 CDE .????????????3 分因为 CO ? 平面 CDE ,所以 BE ? CO. ?????????????4 分 又 CO ? DE , 且 BE , DE 是平面 ABED 内两条相交直线, ????6 分 故 CO ? 平面 ABED .?????????????????????7 分 (2)解：由(1)知 CO ? 平面 ABED ， 知三棱锥 C ? AOE 的体积 V ?1 1 1 S?AOE ? OC ? ? ? OE ? AD ? OC ??9 分 3 3 22 ， CE ? 2 ，由直角梯形 ABCD 中, CD ? 2 AB ? 4 ， AD ? 得三棱锥 C ? AOE 中，OE ? CE cos? ? 2cos? , OC ? CE sin ? ? 2sin ? , ????????10 分V? 2 2 sin 2? ? ， ??????????????????????11 分 3 3 ? ? π? π ? ，即 ? ? 时取等号，?????????12 分 2? 4当且仅当 sin 2? ? 1, ? ? ? 0, （此时 OE ? 故当 ? ?2 ? DE ， O 落在线段 DE 内）.2 π 时, 三棱锥 C ? AOE 的体积最大，最大值为 . ??????13 分 3 4【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积及三角函数等基础知识，考查空间想象能 力、运算能力和推理论证能力． 19． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c (实数 a, b, c 为常数)的图像过原点, 且在 x ? 1 处的切线为直线3 21 y?? . 2（1）求函数 f ( x) 的解析式； （2）若常数 m ? 0 ，求函数 f ( x) 在区间 ? ? m, m ? 上的最大值. 解： （1）由 f (0) ? 0 得 c ? 0 . ??????????????????????1 分3 2 2 由 f ( x) ? x ? ax ? bx , 得 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b , ?????????3 分从而 f ?(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 , f (1) ? 1 ? a ? b ? ?1 , 2解得 a ? ? , b ? 0 . ???????????????????????5 分 故 f ( x) ? x ?33 23 2 x . 23??????????????????????6 分（2）由（1）知 f ( x) ? x ?3 2 3 x ? x 2 ( x ? ), f ?( x) ? 3x 2 ? 3x ? 3x( x ? 1) . 2 2x, f ?( x), f ( x) 的取值变化情况如下：xf ?( x)(??,0)0 0极大值 f (0) ? 0(0,1)?单调 递减10(1, ??)?单调 递增?单调 递增f ( x)1 极小值 f (1) ? ? 2?????????????????????????????????9 分 又 f ( ) ? 0 ,函数 f ( x) 的大致图像如右图：3 2y3 ①当 0 ? m ? 时, f ( x)max ? f (0) ? 0 ；?????11 分 2 3 ② 当 时 , m? 2 3 f ( x)max ? f (m) ? m3 ? m2 . ?????????????13 分 2O 1 213 2 x综上可知 f ( x) max3 ? 0?m? ? 0, ? 2 ?? . ?????????????14 分 ? m3 ? 3 m 2 , m ? 3 ? ? 2 2【说明】本题主要考查函数导数的几何意义、导数在研究函数性质方面的运用、不等式的求解等基础 知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力． 20． （本小题满分 14 分） 已知各项为实数的数列 ?an ? 是等比数列, 且 a1 ? 2, a5 ? a7 ? 8(a2 ? a4 ). 数列 ?bn ? 满足： 对任意正整数n ,有 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 .(1) 求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式； (2) 在数列 ?an ? 的任意相邻两项 ak 与 ak ?1 之间插入 k 个 (?1)k bk (k ? N? ) 后， 得到一个新的数列 {cn } . 求数列 {cn } 的前 2012 项之和. 解： （1）设等比数列 ?an ? 的公比为 q ? R, 由 a5 ? a7 ? 8(a2 ? a4 ), 得 a1q 4 (1 ? q 2 ) ? 8a1q(1 ? q 2 ), 又 a1 ? 2, q ? 0,1 ? q 2 ? 0, 则 q3 ? 8, q ? 2 ， 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n (n ? N? ). ????????????3 分由题意有 a1b1 ? (1 ? 1) ? 22 ? 2 ? 2 ，得 b1 ? 1. ?????????????4 分 当 n ? 2 时， anbn ? (a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ? ? an?1bn?1 )? ?(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? ? ?(n ? 2) ? 2n ? 2 ? ? n ? 2n ，????????????5 分 ? ? ? ?得 bn ? n . 故数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? n (n ? N? ). ??????????????6 分 (2)设数列 ?an ? 的第 k 项是数列 {cn } 的第 mk 项,即 ak ? cmk (k ? N? ) . 当 k ? 2 时， mk ? k ? ?1 ? 2 ? ? ? (k ? 1) ? ?m62 ?62 ? 63 63 ? 64 ? 1953, m63 ? ? 2016. ????????????8 分 2 2k (k ? 1) . ????????7 分 2设 S n 表示数列 {cn } 的前 n 项之和 (n ? N? ) ，则S2016 ? (a1 ? a2 ? ? ? a63 ) ? ?(?1)1 ? b1 ? (?1) 2 ? 2b2 ? ? ? (?1)62 ? 62b62 ? ?9 分 ? ?其中 a1 ? a2 ? ? ? a63 ?2(1 ? 263 ) ? 264 ? 2, ?????????????10 分 1? 2(?1)n ? nbn ? (?1)n ? n2 , (2n)2 ? (2n ? 1)2 ? 4n ? 1(n ? N? ),则 (?1) ? b1 ? (?1) ? 2b2 ? ? ? (?1) ? 62b621 2 62? (?1)1 ?12 ? (?1)2 ? 22 ? ? ? (?1)62 ? 622? ? 22 ? 12 ? ? ? 42 ? 32 ? ? ? ? ?(2n) 2 ? (2n ? 1) 2 ? ? ? ? ? 622 ? 612 ? ? ?? ? 4 ?1 ? 1? ? ? 4 ? 2 ? 1? ? ? ? ? 4n ? 1? ? ? ? (4 ? 31 ? 1)?31(4 ?1 ? 1 ? 4 ? 31 ? 1) ? 1953 . 2?????????????12 分S2016 ? (264 ? 2) ? 1953 ? 264 ? 1951,从而 S2012 ? S2016 ? (c2013 ? a2014 ? c2015 ? c2016 )? 264 ? 1951 ? 3(?1)62 ? b62 ? a63? 264 ? 1951 ? 3 ? 62 ? 263 ??????????????????13 分 ? 263 ? 1765.所以数列 {cn } 的前 2012 项之和为 2 ? 1765.63??????????????14 分【说明】考查了等比数列的通项公式，数列的通项与前 n 项和之间的关系，数列分组求和等知识，考 查化归与转化的思想以及创新意识．21． （本小题满分 14 分） 如图，已知椭圆 C ：x2 y 2 3 ，以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T ： ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N ．（1）求椭圆 C 的方程； （2）求 TM ? TN 的最小值，并求此时圆 T 的方程； （3）设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点，且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R , S ， O 为坐标 原点，求证： OR ? OS 为定值．M y P???? ??? ?解： （1）依题意，得 a ? 2 ， e ?c 3 ? ， R a 2T NSOx? c ? 3 , b ? a 2 ? c 2 ? 1；故椭圆 C 的方程为x2 ? y 2 ? 1 ．??????????????????????3 分 4（2）方法一：点 M 与点 N 关于 x 轴对称，设 M ( x1 , y1 ) ， N ( x1 ,? y1 ) ， 不妨设 y1 ? 0 ．2由于点 M 在椭圆 C 上，所以 y1x ? 1? 1 ． 42（*）???????????4 分由已知 T (?2, 0) ，则 TM ? ( x1 ? 2, y1 ) ， TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ，? TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) 2 ? y12? ( x1 ? 2) 2 ? (1 ?x1 5 2 ) ? x1 ? 4 x1 ? 3 4 425 8 1 1 ? ( x1 ? )2 ? ? ? ．?????????????????????6 分 4 5 5 5???? ??? ? 8 1 ． 5 5 3 8 3 13 由（*）式， y1 ? ，故 M ( ? , ) ，又点 M 在圆 T 上，代入圆的方程得到 r 2 ? ． 5 25 5 5 13 故圆 T 的方程为： ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ． ????????????????8 分 25由于 ? 2 ? x1 ? 2 ，故当 x1 ? ? 时， TM ? TN 取得最小值为 ? 方法二：点 M 与点 N 关于 x 轴对称，故设 M (2cos ? ,sin ? ), N (2cos ? , ? sin ? ) ， 由已知 T (?2, 0) ，则 ?1 ? cos? ? 1 ,TM ?TN ? (2 cos? ? 2, sin ? ) ? (2 cos? ? 2, ? sin ? )? (2 cos? ? 2) 2 ? sin 2 ? ? 5 cos2 ? ? 8 cos? ? 34 1 1 ? 5(cos ? ? )2 ? ? ? ． ????????????????????6 分 5 5 5 ???? ??? ? 4 1 8 3 故当 cos ? ? ? 时， TM ? TN 取得最小值为 ? ，此时 M ( ? , ) ， 5 5 5 5 13 2 又点 M 在圆 T 上，代入圆的方程得到 r ? ． 25 13 2 2 故圆 T 的方程为： ( x ? 2) ? y ? ． ????????????????8 分 25(3) 方法一：设 P( x0 , y 0 ) ，由题意知： x0 ? x1 , y0 ? ? y1 . 则直线 MP 的方程为： y ? y 0 ?y 0 ? y1 ( x ? x0 ) ， x0 ? x1令 y ? 0 ，得 x R ?2 2x1 y 0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 ， 同理： x S ? 1 0 ， ????????10 分 y 0 ? y1 y 0 ? y12 2故 xR ? xS ?x1 y 0 ? x0 y1 y 0 ? y12 2（**）???????????????11 分又点 M 与点 P 在椭圆上，故 x0 ? 4(1 ? y 0 ) ， x1 ? 4(1 ? y1 ) ，???????12 分2 22 2代入（**）式，得：xR ? xS ?4(1 ? y1 ) y 0 ? 4(1 ? y 0 ) y12 2 22y 0 ? y122?4( y 0 ? y1 )2 2y 0 ? y122?4．????????14 分所以 OR ? OS ? x R ? x S ? x R ? x S ? 4 为定值．方法二：设 M (2cos ? ,sin ? ), N (2cos ? , ? sin ? ) ， P(2 cos? , sin ? ) ， 其中 cos ? ? cos ? , sin ? ? ? sin? ．sin ? ? sin ? ( x ? 2 cos? ) ， 2 cos? ? 2 cos? 2(sin ? cos? ? cos? sin ? ) 令 y ? 0 ，得 x R ? ， sin ? ? sin ?则直线 MP 的方程为： y ? sin ? ?同理： x S ? 故 xR ? xS ?2(sin ? cos? ? cos? sin? ) ， sin ? ? sin????????????????12 分4(sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ) 4(sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? ?4． sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ??????????????14 分所以 OR ? OS ? x R ? x S ? x R ? x S ? 4 为定值．【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直 线方程等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、 化归与转化思想．广东省佛山市普通高中 2012 届高三教学质量检测(一) 文科数学本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卷各题目指定区域内； 如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 棱锥的体积公式： V ?1 Sh . 3一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1． 已知全集 U ? R ，集合 A ? {x x ? 1 ? 0} ， B ? {x x ? 3 ? 0} ，则集合 (? A) ? B ? U A． {x ? 1 ? x ? 3} B． {x ? 1 ? x ? 3} C． {x x ? ?1} D． {x x ? 3}2．等差数列 ?a n ?中， d ? 2 ，且 a1 , a3 , a 4 成等比数列，则 a 2 ? A． ? 4 B． ? 6 C． ? 8 D． ? 103．下列函数中既是奇函数，又在区间 ? ?1,1? 上是增函数的为A． y ? xB． y ? sin xC． y ? e ? ex?xD． y ? ? x23? m ? ni ? 4．已知 i 是虚数单位， m 、 n?R ，且 m(1 ? i) ? 1 ? n i ，则 ? ? ? ? m ? ni ? A． i B． ?i C． 1 D． ?15．已知椭圆x2 y2 10 ，则 m 的值为 ? ? 1 的离心率 e ? 5 5 mB．A． 35 15 或 15 3C． 5D．25 或3 36． “关于 x 的不等式 x2 ? 2ax ? a ? 0 的解集为 R ”是“ 0 ? a ? 1” A．充分而不必要条件 C．充要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件7．把函数 y ? sin x ( x ?R) 的图象上所有的点向左平移? 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标 6伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数为 A． y ? sin(2 x ??3), x ? R ), x ? RB． y ? sin(2 x ??3), x ? R ), x ? RC． y ? sin( x ?1 2?6D． y ? sin( x ?1 2?68．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为 ．．．． 3 ①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是 A．①② C．③④ 9. B． ②③ D． ①④ 2 22某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出 100 名司机，已知抽到的司机年龄都在 ? 20, 45? 岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的 频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是 ．．． A． 31.6 岁 B． 32.6 岁 C． 33.6 岁 D． 36.6 岁 10. 已知向量 a ? ( x, 2) ， b ? (1, y ) ，其中 x ? 0, y ? 0 .若 a ? ? 4 ，则 b1 2 ? 的最小值为 x yA．3 2B． 2C．9 4D． 2 2二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分） (一)必做题(11～13 题) 11. 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团） 合唱社 高一 45 粤曲社 30 书法社a高二151020学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人，结果合唱社 被抽出 12 人，则这三个社团人数共有_______________.?y ? x ? 12. 已知不等式组 ? y ? ? x ， 表示的平面区域的面积为 4 ，点 P( x, y ) 在所给平面区域内， ?x ? a ?则 z ? 2 x ? y 的最大值为 13. 对任意实数 a, b ，函数 F (a, b) ? .1 ? a ? b? | a ? b |? ，如果函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3, 2 . g ( x) ? x ? 1，那么函数 G ( x) ? F ? f ( x), g ( x) ? 的最大值等于(二)选做题(14～15 题,考生只能从中选做一题)14． （坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线 l 的方程为 ? cos( ? ? 的距离为__________. 15.（几何证明选讲）如图， P 为圆 O 外一点，由 P 引圆 O 的 切线 PA 与圆 O 切于 A 点，引圆 O 的割线 PB 与圆 O 交于?3)?1 ? ，则点 M (1, ) 到直线 l 2 2BC 点.已知 AB ? AC ， PA ? 2, PC ? 1 .则圆 O 的面积为16． （本题满分 12 分）.CP 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. A在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a、b、c ，若 B ? 60 ，?且 cos(B ? C ) ? ?11 . 14（1）求 cos C 的值； （2）若 a ? 5 ，求△ ABC 的面积.17． （本题满分 12 分） 文科班某同学参加广东省学业水平测试， 物理、 化学、 生物获得等级 A 和获得等级不是 A 的机会相等， 物理、化学、生物获得等级 A 的事件分别记为 W1 、 W2 、 W3 ，物理、化学、生物获得等级不是 A 的事件 分别记为 W1 、 W2 、 W3 . （1）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的所有可能结果（如三科成绩均为 ； A 记为 ?W1 ,W2 ,W3 ? ） （2）求该同学参加这次水平测试获得两个 A 的概率； （3）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大 于 85% ，并说明理由. 18． （本题满分 14 分） 如图，三棱锥 P ? ABC 中， PB ? 底面 ABC ，?BCA ? 90? ， PB ? BC ? CA ? 4 ， E 为 PC 的中点，M 为 AB 的中点，点 F 在 PA 上，且 AF ? 2FP . （1）求证： BE ? 平面 PAC ； （2）求证： CM / / 平面 BEF ； （3）求三棱锥 F ? ABE 的体积.19． （本题满分 14 分） 已知圆 C1 : ( x ? 4) ? y ? 1 ，圆 C2 : x ? ( y ? 2) ? 1 ，圆 C1 , C2 关于直线 l 对称.2 22 2（1）求直线 l 的方程； （2） 直线 l 上是否存在点 Q ， Q 点到 A(?2 2, 0) 点的距离减去 Q 点到 B(2 2, 0) 点的距离的差为 4 ， 使 如果存在求出 Q 点坐标，如果不存在说明理由.20． （本题满分 14 分） 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax . （1）讨论函数 f ( x) 的单调区间和极值; （2）已知 x1 ?e (e ? 2.71828L ) 和 x2 是函数 f ( x) 的两个不同的零点,3求 a 的值并证明: x2 ? e 2 . 21． （本题满分 14 分）* 设 n ? N ，圆 Cn ： x ? y ? Rn ( Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M ，与曲线 y ?2 2 2x 的交点为N ( xn , yn ) ，直线 MN 与 x 轴的交点为 A(an , 0) .（1）用 xn 表示 Rn 和 an ； （2）若数列 ? xn ? 满足： xn?1 ? 4 xn ? 3, x1 ? 3 . ①求常数 p 的值使数列 ?an ?1 ? p ? an ? 成等比数列； ②比较 an 与 2 ? 3 的大小.n2012 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 D 6 A 7 C 8 B 9 C 10 C二、填空题 本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．11． 150 12． 6 13． 3 14．3 ?1 215． ?9 4三、解答题 本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16． （本题满分 12 分） 解： （1）∵ cos(B ? C ) ? ?5 3 11 2 , ∴ sin(B ? C ) ? 1 ? cos ( B ? C ) ? 14 14???????3 分∴ cos C ? cos ?? B ? C ? ? B ? ? cos( B ? C ) cos B ? sin( B ? C ) sin B ? ???11 1 5 3 3 1 ? ? ? ? 4 2 14 2 72???????6 分（2）由（1）可得 sin C ? 1 ? cos C ?4 3 7???????8 分在△ ABC 中，由正弦定理c b a ? ? sin C sin B sin A b sin A ?5 a???????10 分∴c ?a sin C ?8 sin A,b?∴S ?1 1 3 ac sin B ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 . 2 2 2???????12 分17． （本题满分 12 分） 解： （1）该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的可能结果有 8 种，（ （ 分 别 为 W1 ,W2 ,W3） （ 1 , W2 , W3） （W1 , W2 , W3） （W1 , W2 , W3） （ 1 , W2 , W3）、 W1 , W2 , W3）、 、 W 、 、 、 W （W1 ,W2 ,W3） （W1 , W2 , W3） 、 ；???????4 分（ （2）由（1）可知，有两个 A 的情况为 W1 , W2 , W3） （W1 , W2 , W3） （W1 , W2 , W3） 、 、 三个，从而其概率为 P ?3 8???????8 分（3）方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件概率大于 ???????10 分 85% ， 理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件有如下七种情况：（W1 , W2 , W3） （W1 ,W2 ,W3） （W1 ,W2 ,W3） （W1 , W2 , W3） （W1 , W2 , W3） （W1 ,W2 ,W3） （W1 , W2 , W3） 、 、 、 、 、 、 ，概率是 P ?7 ? 0.875 ? 85% . 8???????12 分方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个 A 的事件概率大于 ???????10 分 85% ， 理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件有如下七种情况： 、 、 、 、 、 、 ， （W1 ,W2 ,W3） （W1 , W2 , W3） （W1 ,W2 ,W3） （W1 ,W2 ,W3） （W1 , W2 , W3） （W1 , W2 , W3） （W1 ,W2 ,W3） 概率是 P ?7 ? 0.875 ? 85% . 8????????12 分18． （本题满分 14 分） （1）证明：∵ PB ? 底面 ABC ，且 AC ? 底面 ABC ， ∴ AC ? PB 由 ?BCA ? 90 ，可得 AC ? CB????????1 分 ??????????2 分 ??????????3 分 ??????????4 分 ??????????5 分 ??????????6 分又? PB ? CB ? B ， AC ? 平面 PBC ∴ 注意到 BE ? 平面 PBC ， ∴ AC ? BE ∴ ? PB ? BC , E 为 PC 中点， BE ? PC? PC ? AC ? C ， ∴ BE ? 平面 PAC（2）取 AF 的中点 G ， AB 的中点 M ，连接 CG, CM , GM ， ∵ E 为 PC 中点， FA ? 2FP ，∴ EF / /CG . ∵ CG ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF ， ∴ CG / / 平面 BEF . 同理可证： GM / / 平面 BEF . 又 CG ? GM ? G ， ∴平面 CMG / / 平面 BEF . ∵ CD ? 平面 CDG ， CD / / 平面 BEF . ∴ （3）由（1）可知 BE ? 平面 PAC 又由已知可得 BE ? 2 2 .?????7 分 ?????8 分????9 分 ????10 分1 1 1 8 S ?AEF ? S ?PAC ? ? AC ? PC ? 2 3 3 2 3 1 32 ∴ VF ? ABE ? VB ? AEF ? S ?AEF ? BE ? 3 9 32 所以三棱锥 F ? ABE 的体积为 . 9????12 分????14 分19． （本题满分 14 分） 解： （1）因为圆 C1 , C2 关于直线 l 对称， 圆 C1 的圆心 C1 坐标为 (4, 0) ，圆 C2 的圆心 C2 坐标为 (0, 2) ， 显然直线 l 是线段 C1C2 的中垂线， ????????2 分 ????????3 分线段 C1C2 中点坐标是 ( 2,1 ) ， C1C2 的斜率是 k ? 所以直线 l 的方程是 y ? 1 ? ? （2）假设这样的 Q 点存在，y1 ? y2 0 ? 2 1 ? ?? ， x1 ? x2 4 ? 0 2????????5 分1 ( x ? 2) ，即 y ? 2 x ? 3 . k????????6 分因为 Q 点到 A(?2 2, 0) 点的距离减去 Q 点到 B(2 2, 0) 点的距离的差为 4 ， 所以 Q 点在以 A(?2 2, 0) 和 B(2 2, 0) 为焦点，实轴长为 4 的双曲线的右支上，即 Q 点在曲线x2 y 2 ? ? 1 ( x ? 2 ) 上， 4 4????????10 分? y ? 2x ? 3 ? 又 Q 点在直线 l 上， Q 点的坐标是方程组 ? x 2 y 2 的解， ?1 ? ? ?4 4消元得 3x ? 12 x ? 13 ? 0 ， ? ? 12 ? 4 ? 3 ?13 ? 0 ，方程组无解，2 2????????12 分所以点 P 的轨迹上是不存在满足条件的点 Q . 20． （本题满分 14 分） 解：在区间 ? 0, ?? ? 上, f ?( x) ?????????14 分1 1 ? ax . ?a ? x x????????2 分 ????????4 分①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 是区间 ? 0, ?? ? 上的增函数,无极值； ②若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得: x ?1 . a在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是增函数; 在区间 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是减函数; 在区间 ? 0, ?? ? 上, f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ln1 a1 a1 a1 ? 1 ? ? ln a ? 1 . a????????7 分综上所述，①当 a ? 0 时, f ( x) 的递增区间 ? 0, ?? ? ,无极值； ③当 a ? 0 时， f ( x) 的是递增区间 (0, ) ，递减区间是 ( , ??) ， 函数 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ? ln a ? 1 . (2) f ( e ) ? 0, ∴1 a1 a1 a????????9 分1 1 . ? a e ? 0 ，解得: a ? 2 2 e????????10 分∴ f ( x) ? ln x ?1 2 ex.????????11 分又 Q f (e 2 ) ?35 3 5 3 e 5 e3 ? ? 0 , f (e 2 ) ? ? ? 0 ,? f (e 2 ) ? f (e 2 ) ? 0 2 2 2 2????????13 分由(1)函数 f ( x) 在 (2 e , ??) 递减,故函数 f ( x) 在区间 (e 2 , e 2 ) 有唯一零点, 因此 x2 ? e 2 . 21． （本题满分 14 分） 解：(1) y ?2 2 2 2 2 x 与圆 Cn 交于点 N ,则 Rn ? xn ? yn ? xn ? xn , Rn ? xn ? xn ,353????????14 分????????2 分 ????????3 分由题可知，点 M 的坐标为 ? 0, Rn ? ，从而直线 MN 的方程为x y ? ? 1, an Rn由点 N ( xn , yn ) 在直线 MN 上得: 将 Rn ?xn yn ? ? 1, an Rn????????4 分2 xn ? xn ， yn ? xn 代入化简得: an ? 1 ? xn ? 1 ? xn .????????6 分 ????????7 分 ????????8 分(2)由 xn?1 ? 4 xn ? 3 得： 1 ? xn ?1 ? 4(1 ? xn ) ， 又 1 ? x1 ? 4 ，故 1 ? xn ? 4 ? 4 ① an ?1 ? p ? an ? 4n ?1n ?1? 4n ，? an ? 4n ? 4n ? 4n ? 2n? 2n?1 ? p ? (4n ? 2n ) ? (4 ? p) ? 4n ? (2 ? p) ? 2n ，an ? 2 ? p ? an ?1 ? 4n ? 2 ? 2n ? 2 ? p ? (4n ?1 ? 2n ?1 ) ? (16 ? 4 p) ? 4n ? (4 ? 2 p) ? 2n令 an ? 2 ? p ? an ?1 ? q(an ?1 ? p ? an ) 得：(16 ? 4 p) ? 4n ? (4 ? 2 p) ? 2n ? q(4 ? p) ? 4n ? q(2 ? p) ? 2nn n????????9 分*由等式 (16 ? 4 p) ? 2 ? (4 ? 2 p) ? q(4 ? p) ? 2 ? q(2 ? p) 对任意 n ? N 成立得：?16 ? 4 p ? q (4 ? p ) ? pq ? 8 ?p ? 2 ?p ? 4 ?? ，解得： ? 或? ? ?4 ? 2 p ? q (2 ? p ) ?p?q ? 6 ?q ? 4 ?q ? 2故当 p ? 2 时，数列 ?an ?1 ? p ? an ? 成公比为 4 的等比数列； 当 p ? 4 时，数列 ?an ?1 ? p ? an ? 成公比为 2 的等比数列。 ②由①知： an ? 4 ? 2 ，当 n ? 1 时， a1 ? 4 ? 2 ? 6 ? 3 ? 2 ；n n1 1 1????????11 分当 n ? 2 时， an ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 .n n n????????12 分n ?1事实上,令 f ( x) ? ( x ? 1) ? x ( x ? 0) ,则 f ?( x) ? n ? [( x ? 1)n n? x n?1 ] ? 0 ,故 f ( x) ? ( x ? 1) ? x ( x ? 0) 是增函数,n n? f (3) ? f (2) 即: 4n ? 3n ? 3n ? 2n ,即 an ? 4n ? 2n ? 2 ? 3n .????????14 分2012 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2012.3 本试卷共 4 页，21 小题， 满分 150 分．考试用时 120 分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多 涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式 V ?1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 3一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．函数 y ?1 的定义域为 x ?1A． ? ??, ?1?B． ? ??, ?1?C． ? ?1, ?? ?D． ? ?1, ?? ?2．已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? （其中 a, b ? R ， i 是虚数单位） ，则 a ? b 的值为 A． ?2 B． ?1 C．0 D．23．如果函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? A．1? ??? ? ? ? ? ? 0 ? 的最小正周期为 ，则 ? 的值为 6? 2C．4 D．8B．24．在△ ABC 中， ?ABC ? 60? ， AB ? 2 ， BC ? 3 ，在 BC 上任取一点 D ，使△ ABD 为钝角三角形的 概率为 A．1 6B．1 3C．1 22 2D．2 32 25．如图 1 是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 ．．． 2 A． 2 侧(左)视图4 3 3B． 4 3 D．12正(主)视图C．822? x ? y ? 2≥0, ? 6．在平面直角坐标系中，若不等式组 ? x ? y ? 2≥0, 表示的 ? x≤t ?平面区域的面积为4，则实数 t 的值为 A．1 B．2 7．已知幂函数 y ? m ? 5m ? 7 x2俯视图图1C．3D．4??m2 ? 6在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增，则实数 m 的值为 C．2 或 3 D． ?2 或 ?3A．3B．28． 已知两个非零向量 a 与 b ， 定义 a ? b ? a b sin ? ， 其中 ? 为 a 与 b 的夹角． a = ? ?3, 4 ? ， b = ? 0, 2 ? ， 若 则 a ? b 的值为 A． ?8 B． ?6 C． 6 D． 89．已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ，对于任意正数 a ， x1 ? x2 ? a 是 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? a 成立的 A．充分非必要条件 C．充要条件2 2 2B．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件10．已知圆 O ： x ? y ? r ，点 P ? a，b ? （ ab ? 0 ）是圆 O 内一点，过点 P 的圆 O 的最短弦所在的直 线为 l1 ，直线 l 2 的方程为 ax ? by ? r ? 0 ，那么2A． l1∥l2 ，且 l 2 与圆 O 相离B． l1 ? l2 ，且 l 2 与圆 O 相切C． l1∥l2 ，且 l 2 与圆 O 相交D． l1 ? l2 ，且 l 2 与圆 O 相离二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． （一）必做题（11～13 题） 11．若函数 f ? x ? ? ln x 2 ? ax ? 1 是偶函数，则实数 a 的值为??．12．已知集合 A ? x 1≤x≤3 ， B ? x a≤x≤a ? 3 ，若 A ? B ，则实数 a 的取值范围为????．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小 石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，?， 被称为五角形数，其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ，第2个五角形数记作 a2 ? 5 ，第3个五角形数记作a3 ? 12 ， 第4个五角形数记作 a4 ? 22 ， 若按此规律继续下去， a5 ? ?， 则， an ? 145 ， n ? 若 则．151222 图2 B C A O P D（二）选做题（14～15 题，考生只能从中选做一题） 14． （几何证明选讲选做题）如图3，圆 O 的半径为 5 cm ，点 P 是弦 AB 的中点，OP ? 3 cm ，弦 CD 过点 P ，且CP 1 ? ，则 CD 的长为 CD 3cm ．15． （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线 l 与曲线 C 的 参数方程分别为 l ： ?? x ? t ? 2, ? x ? 1 ? s, （ s 为参数）和 C ： ? （ t 为参数） ， 2 ? y ? 1? s ?y ? t．图3若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，则 AB ?三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16． （本小题满分12分） 已知函数 f ( x) ? tan ? 3 x ?? ??? ?． 4?（2）若a0.025 0.020频率 组距（1）求 f ???? ? 的值； ?9??? ?? f ? ? ? ? 2 ，求 cos 2? 的值． ? 3 4?17． （本小题满分12分）0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100（分数）图4某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的期中考 试数学成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分 成六段： ?40,50 ? ， ?50,60 ? ，?， ?90,100 ? 后得到如图 4 的 频率分布直方图． （1）求图中实数 a 的值； （2）若该校高一年级共有学生 640 人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于 60 分的人数； （3）若从数学成绩在 ? 40,50 ? 与 ?90,100? 两个分数段内的学 生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于 10 的概率． 18． （本小题满分14分） 如图 5 所示，在三棱锥 P ? ABC 中， AB ? BC ?6 ，平面 PAC ? 平面 ABC ，PD ? AC 于点 D ，PAD ? 1 ， CD ? 3 ， PD ? 2 ． （1）求三棱锥 P ? ABC 的体积； （2）证明△ PBC 为直角三角形．AD B图5C19． （本小题满分14分） 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ，它的前 n 项和为 S n ，若 S5 ? 70 ，且 a2 ， a7 ， a22 成等比数列． （1）求数列 ?an ? 的通项公式； （2）设数列 ??1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ，求证： ≤Tn ? ． 6 8 ? Sn ?20． （本小题满分14分） 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b ? a, b ? R ? ．3 2（1）求函数 f ( x) 的单调递增区间； （2）若对任意 a ? ?3, 4? ，函数 f ( x) 在 R 上都有三个零点，求实数 b 的取值范围．21． （本小题满分14分） 已知椭圆 x ?2y2 ? 1 的左、右两个顶点分别为 A 、 B ．曲线 C 是以 A 、 B 两点为顶点，离心率为 5 4的双曲线．设点 P 在第一象限且在曲线 C 上，直线 AP 与椭圆相交于另一点 T ． （1）求曲线 C 的方程； （2）设点 P 、 T 的横坐标分别为 x1 、 x2 ，证明： x1 ? x2 ? 1 ； （3）设 ?TAB 与 ?POB （其中 O 为坐标原点）的面积分别为 S1 与 S 2 ，且 PAgPB≤15 ，求 S12 ? S 2 2 的取值范围．uur uur2012 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应 的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 A二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分．其中 14~15 题是选做题，考生只能选做一题．第 13 题仅填对 1 个，则给 3 分． 11．0 12． ? 0,1? 13．35，10 14． 6 2 15． 2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16． （本小题满分12分） （本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归 与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解： f ???? ?? ?? ? ? tan ? ? ? ?????????????????????????????1 分 ?9? ?3 4?? ? ? tan 3 4 ????????????????????????????3 分 ? ? ? 1 ? tan tan 3 4 tan? 3 ?1 ? ?2 ? 3 ．???????????????????????????4 分 1? 33? ? ? ?? ?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ??????????????????????5 分 4 4? ? 3 4? ?（2）解法 1：因为 f ?? tan ?? ? ? ? ????????????????????????6 分? tan ? ? 2 ．????????????????????????7 分 sin ? 所以 ① ? 2 ，即 sin ? ? 2cos ? ． cos ?因为 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ， ②由①、②解得 cos 2 ? ?1 ．??????????????????????????????9 分 5所以 cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 ??????????????????????????????11 分1 3 ? 2 ? ? 1 ? ? ．???????????????????????????12 分 5 5解法 2：因为 f ?3? ? ? ?? ?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ??????????????????????5 分 4 4? ? 3 4? ?? tan ?? ? ? ? ????????????????????????6 分? tan ? ? 2 ．????????????????????????7 分所以 cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ?????????????????????????????9 分?cos 2 ? ? sin 2 ? ????????????????????????????10 分 cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? ??????????????????????????????11 分 1 ? tan 2 ?1? 4 3 ? ? ．?????????????????????????????12 分 1? 4 5??17． （本小题满分12分） （本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运 算求解能力） （1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于 1， 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 ．??????????????????1 分 解得 a ? 0.03 ．???????????????????????????????????2 分 （2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 ．????3 分 由于该校高一年级共有学生 640 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人． ?????????????????????????5 分 （3）解：成绩在 ? 40,50 ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人，分别记为 A ， B ．????????6 分 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人，分别记为 C ， D ， E ， F ．???????7 分 若从数学成绩在 ? 40,50 ? 与 ?90,100? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件 有： ? A, B ? ， ? A, C ? ， ? A, D ? ， ? A, E ? ， ? A, F ? ， ? B, C ? ， ? B, D ? ， ? B, E ? ， ? B, F ? ， ? C , D ? ，? C , E ? ， ? C , F ? ， ? D, E ? ， ? D, F ? ， ? E, F ?共 15 种．????????????????9 分如果两名学生的数学成绩都在 ? 40,50 ? 分数段内或都在 ?90,100? 分数段内，那么这两名学生的数学成 绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ? 40,50 ? 分数段内， 另一个成绩在 ?90,100? 分数段内， 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M ，则事件 M 包含的基本事件有：? A, B ? ， ? C , D ? ， ? C , E ? ， ? C , F ? ， ? D, E ? ， ? D, F ? ， ? E, F ? 共 7 种．????????11 分所以所求概率为 P ? M ? ?7 ．????????????????????????????12 分 1518． （本小题满分14分） （本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以 及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1） 证明： 因为平面 PAC ? 平面 ABC ， 平面 PAC ? 平面 ABC ? AC ， PD ? 平面 PAC ，PD ? AC ， 所以 PD ? 平面 ABC ．???????????????????????????????2 分 记 AC 边上的中点为 E ，在△ ABC 中，因为 AB ? BC ， 所以 BE ? AC ． 因为 AB ? BC ? 所以 BE ?6 ， AC ? 4 ，BC 2 ? CE 2 ?? 6?2? 22 ? 2 ．?????????????????????4 分所以△ ABC 的面积 S?ABC ? 因为 PD ? 2 ，1 ????????????????????5 分 ? AC ? BE ? 2 2 ． 21 4 2 1 ．????????7 分 ? S?ABC ? PD ? ? 2 2 ? 2 ? 3 3 3所以三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC ?（2）证法 1：因为 PD ? AC ，所以△ PCD 为直角三角形． 因为 PD ? 2 ， CD ? 3 ， 所以 PC ?PPD ? CD ? 2 ? 3 ? 13 ．??????9 分2 2 2 2连接 BD ，在 Rt △ BDE 中， 因为 ?BED ? 90o ， BE ? 所以 BD ?2 ， DE ? 1 ，BE 2 ? DE 2 ?? 2?2AE D B? 12 ? 3 ．????10 分C由（1）知 PD ? 平面 ABC ，又 BD ? 平面 ABC ， 所以 PD ? BD ． 在 Rt △ PBD 中，因为 ?PDB ? 90o ， PD ? 2 ， BD ? 3 ， 所以 PB ?PD 2 ? BD 2 ? 22 ?? 3?2? 7 ．????????????????????12 分在 ?PBC 中，因为 BC ?6 ， PB ? 7 ， PC ? 13 ，所以 BC 2 ? PB2 ? PC 2 ．??????????????????????????????13 分 所以 ?PBC 为直角三角形．?????????????????????????????14 分 证法 2：连接 BD ，在 Rt △ BDE 中，因为 ?BED ? 90o ， BE ? 所以 BD ?2 ， DE ? 1 ，PBE 2 ? DE 2 ?? 2?2? 12 ? 3 ．????8分在△ BCD 中， CD ? 3 ， BC ?6 ， BD ? 3 ，E D B所以 BC 2 ? BD2 ? CD2 ，所以 BC ? BD ．??????10分AC由（1）知 PD ? 平面 ABC ， 因为 BC ? 平面 ABC ， 所以 BC ? PD ． 因为 BD ? PD ? D ， 所以 BC ? 平面 PBD ．???????????????????????????????12分 因为 PB ? 平面 PBD ，所以 BC ? PB ． 所以 ?PBC 为直角三角形．?????????????????????????????14分 19． （本小题满分14分） （本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概 括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列 ?an ? 是等差数列， 所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ， S n ? na1 ?n ? n ? 1? 2d ．????????????????????1 分依题意，有 ??5a1 ? 10d ? 70, ? S5 ? 70, ? ? 即? ???????????????3 分 2 2 ? a7 ? a2 a22 . ?? a1 ? 6d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 21d ? . ? ?解得 a1 ? 6 ， d ? 4 ．????????????????????????????????5 分 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 2 （ n ?N* ） ．???????????????????6 分 （2）证明：由（1）可得 S n ? 2n 2 ? 4n ．??????????????????????????7 分 所以1 1 1 1?1 1 ? ? 2 ? ．???????????????????8 分 ? ? ? S n 2n ? 4n 2n ? n ? 2 ? 4 ? n n ? 2 ? ?1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? S1 S2 S3 Sn ?1 S n所以 Tn ?1? 1? 1? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? 4? 3? 4? 21? 1? 1 ?? ? ? 4? 4? 31 ? ? ?? 5 ?1 ? ? ? n4 ? ?1 ? n? 11? 1 1 1? ? ? ? ? ? ?????9 分 ? 1 2 ? n 4 n? ? ?1? 1 1 1? ? ?1 ? ? ? ? 4? 2 n? 1 n? 2 ? 3 1? 1 1? ? ? ? ? ? ．???????????????????????????10 分 8 4? n ? 1 n ? 2 ?因为 Tn ?3 1? 1 1 ? 3 ?? ? ? ? ? 0 ，所以 Tn ? ．??????????????????11 分 8 4 ? n ?1 n ? 2 ? 8 1? 1 1 ? ? ? ? ? 0 ，所以数列 ?Tn ? 是递增数列．????????????12 分 4 ? n ?1 n ? 3 ?因为 Tn ?1 ? Tn ? 所以 Tn ? T1 ?1 ．?????????????????????????????????13 分 6 1 3 所以 ? Tn ? ． ??????????????????????????????????14 分 6 820． （本小题满分14分） （本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨 论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：因为 f ( x) ? ? x ? ax ? b ，所以 f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax ? ?3x ? x ?3 2? ?2a ? ? ．????????1 分 3 ?当 a ? 0 时， f ?( x) ? 0 ，函数 f ( x) 没有单调递增区间；?????????????????2 分 当 a ? 0 时，令 f ?( x) ? 0 ，得 0 ? x ?2a ． 3故 f ( x) 的单调递增区间为 ? 0, 当 a ? 0 时，令 f ?( x) ? 0 ，得? ?2 ? a ? ；?????????????????????????3 分 3 ?2a ? x ? 0． 3故 f ( x) 的单调递增区间为 ??2 ? a, 0 ? ．?????????????????????????4 分 ?3 ?综上所述，当 a ? 0 时，函数 f ( x) 没有单调递增区间； 当 a ? 0 时，函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? 0,? ?2 ? a?； 3 ?当 a ? 0 时，函数 f ( x) 的单调递增区间为 ??2 ? a, 0 ? ．??????????????5 分 ?3 ?（2） ， （1） a ? ?3, 4? 时，f ( x) 的单调递增区间为 ? 0, 解：由 知，? ?2 ? ?2 ? 单调递减区间为 ? ??, 0 ? 和 ? a, ?? ? ． a?， 3 ? ?3 ??????????????6 分所以函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值 f ? 0 ? ? b ，????????????????????7 分 函数 f ( x) 在 x ?2a 处取得极大值 33 ? 2a ? 4a f ? ?? ? b ．??????????????????8 分 ? 3 ? 27由于对任意 a ? ?3, 4? ，函数 f ( x) 在 R 上都有三个零点，?f ? 所以 ? ?f ?解得 ?? 0 ? ? 0,?b ? 0, ? 即 ? 4a 3 ??????????????????????????10 分 ? 2a ? ? b ? 0. ? ? ? 0. ? ? 27 ? 3 ?4a 3 ? b ? 0 ．????????????????????????????????11 分 27? 4a 3 ? 4 ? 33 4a 3 ? ?4 ．??????13 分 因为对任意 a ? ?3, 4? ， b ? ? 恒成立，所以 b ? ? ? ? ?? 27 27 ? 27 ? max所以实数 b 的取值范围是 ? ?4, 0 ? ．??????????????????????????14 分21． （本小题满分14分） （本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、 化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：依题意可得 A(?1, 0) ， B(1,0) ．?????????????????????????1 分 设双曲线 C 的方程为 x ?2y2 ? 1 ?b ? 0? ， b21 ? b2 ? 5 ，即 b ? 2 ． 因为双曲线的离心率为 5 ，所以 1所以双曲线 C 的方程为 x ?2y2 ? 1 ．??????????????????????????3 分 4（2）证法 1：设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) （ xi ? 0 ， yi ? 0 ， i ? 1, 2 ） ，直线 AP 的斜率为 k （ k ? 0 ） ， 则直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 1) ， ???????????????????????????4 分? y ? k ? x ? 1? , ? 联立方程组 ? ??????????????????????????????5 分 y2 2 ? 1. ?x ? ? 42 2 2 2 整理，得 4 ? k x ? 2k x ? k ? 4 ? 0 ，??解得 x ? ?1 或 x ?4 ? k2 4 ? k2 ．所以 x2 ? ．??????????????????????6 分 4 ? k2 4 ? k24 ? k2 同理可得， x1 ? ．???????????????????????????????7 分 4 ? k2所以 x1 ? x2 ? 1 ．???????????????????????????????????8 分证法 2：设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) （ xi ? 0 ， yi ? 0 ， i ? 1, 2 ） ， 则 k AP ?y1 y2 ， k AT ? ．????????????????????????????4 分 x1 ? 1 x2 ? 1因为 k APy12 y2 2 y1 y2 ? ? k AT ，所以 ，即 ．??????????????5 分 ? 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1? ? x2 ? 1?2因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上，所以 x1 ?y12 y2 ? 1 ， x2 2 ? 2 ? 1 ． 4 42 2 2 2 即 y1 ? 4 x1 ? 1 ， y2 ? 4 1 ? x2 ．?????????????????????????6 分????所以4 ? x12 ? 1?? x1 ? 1?2?4 ?1 ? x2 2 ?? x2 ? 1?2，即x1 ? 1 1 ? x2 ．????????????????????7 分 ? x1 ? 1 x2 ? 1所以 x1 ? x2 ? 1 ．???????????????????????????????????8 分 证法 3：设点 P( x1 , y1 ) ，直线 AP 的方程为 y ?y1 ( x ? 1) ，???????????????4 分 x1 ? 1y1 ? ? y ? x ? 1 ? x ? 1? , ? 1 联立方程组 ? ????????????????????????????5 分 y2 ? x2 ? ? 1. ? ? 4整理，得 ? 4( x1 ? 1) 2 ? y12 ? x 2 ? 2 y12 x ? y12 ? 4( x1 ? 1) 2 ? 0 ， ? ?4( x1 ? 1) 2 ? y12 解得 x ? ?1 或 x ? ．?????????????????????????6 分 4( x1 ? 1) 2 ? y12将 y12 ? 4 x12 ? 4 代入 x ?4( x1 ? 1) 2 ? y12 1 1 ，得 x ? ，即 x2 ? ． 2 2 4( x1 ? 1) ? y1 x1 x1所以 x1 ? x2 ? 1 ．??????????????????????????????????8 分 （3）解：设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) （ xi ? 0 ， yi ? 0 ， i ? 1, 2 ） ， 则 PA ? ? ?1 ? x1 , ? y1 ? ， PB ? ?1 ? x1 , ? y1 ? ． 因为 PA ? PB ? 15 ，所以 ? ?1 ? x1 ??1 ? x1 ? ? y1 ? 15 ，即 x12 ? y12 ? 16 ．??????????9 分2??? ???? ???? ??? ? ?y12 ? 1 ，所以 x12 ? 4 x12 ? 4 ? 16 ，即 x12 ? 4 ． 因为点 P 在双曲线上，则 x ? 42 1因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点，所以 1 ? x1 ? 2 ．????????????????10 分1 1 1 | AB || y2 |?| y2 | ， S2 ? | OB || y1 |? | y1 | ， 2 2 2 1 所以 S12 ? S2 2 ? y2 2 ? y12 ? ? 4 ? 4 x2 2 ? ? ? x12 ? 1? ? 5 ? x12 ? 4 x2 2 ．???????????11 分 4因为 S1 ? 由（2）知， x1 ? x2 ? 1 ，即 x2 ?2 设 t ? x1 ，则 1 ? t ? 4 ，1 ． x1S12 ? S2 2 ? 5 ? t ?设 f ?t ? ? 5 ? t ?4 ． t4 ? 2 ? t ?? 2 ? t ? 4 ，则 f ? ? t ? ? ?1 ? 2 ? ， t t2 t当 1 ? t ? 2 时， f ? ? t ? ? 0 ，当 2 ? t ? 4 时， f ? ? t ? ? 0 ，所以函数 f ? t ? 在 ?1, 2 ? 上单调递增，在 ? 2, 4 ? 上单调递减． 因为 f ? 2 ? ? 1 ， f ?1? ? f ? 4 ? ? 0 ， 所以当 t ? 4 ，即 x1 ? 2 时， S1 ? S 22?2?min? f ? 4 ? ? 0 ．?????????????????12 分当 t ? 2 ，即 x1 ?2 时， ? S12 ? S 2 2 ?max? f ? 2 ? ? 1 ．??????????????????13 分所以 S12 ? S 2 2 的取值范围为 ? 0,1? ．??????????????????????????14 分说明：由 S12 ? S 2 2 ? 5 ? x12 ? 4 x2 2 ? 5 ? 4 x1 x2 ? 1 ，得 S1 ? S 22???2?max? 1 ，给 1 分．惠州市 2012 届高三第一次调研考试数学试题(文科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡 上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案 无效。 参考公式： 锥体的体积公式： V ?1 Sh 3（ S 是锥体的底面积， h 是锥体的高）第Ⅰ卷选择题（共 50 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? ，集合 A ? ?1,3, 4? , B ? ?2,3? ，则图中阴影 部分表示的集合为（ A． {2} 2．复数 B． {3} ） C． i D． ?i C． {1, 4} D． {1, 2,3, 4} ）1? i 的值是（ 1? iB． ?1A．12) 4) 3．已知向量 a ? (1， ， b ? ( x ， ，若向量 a ? b ，则 x ? （A．2 B． ?2 C．8 D． ?8????）4．从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数 据绘制成频率分布直方图（如右图） 。由图中数据可知身高在 [120，130]内的学生人数为（ A．20 B．25 ） 0.020 C．30 D．35 5．设 ? an ? 是等差数列，且 a2 ? a3 ? a4 ? 15 ，则这个数列的前 5 项 和 S5 ? （ A．10 ） B．15 C．20 D．25 0.010 0.005 0.035频率/组距a身高100 110 120 130 140 1506．右图是底面半径为 1，母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体， 则该组合体的侧视图的面积为（ A． 8? B． 6? ） C． 4 ? 3 D． 2 ? 3 ）7．函数 f ( x) ? 2sin(?? x) cos( ? x) ? 1, x ? R 是（ 4 4?A．最小正周期为 2? 的奇函数 C．最小正周期为 2? 的偶函数 8．设平面区域 D 是由双曲线 y ?2B．最小正周期为 ? 的奇函数 D．最小正周期为 ? 的偶函数x2 ? 1 的两条渐近线和抛物线 y 2 ? ?8 x 的准线所围成的 4）三角形（含边界与内部） ．若点 ( x, y) ? D ，则目标函数 z ? x ? y 的最大值为（ A． ?1 B. 02C． 1 ）D． 3 开始9． lg x,lg y,lg z 成等差数列”是“ y ? xz ”成立的（ “ A．充分非必要条件 C．充要条件 B．必要非充分条件k ?1S ?1D．既不充分也不必要条件210．规定记号“ ? ”表示一种运算，即 a ? b ? ab ? a ? b (a, b为正实数) ， 若1 ? k ? 3 ， 则 k =（ A． ?2 ） B．1 C． ?2 或 1 D．2k ? 5?否是k ? k ?1S ? S ?k输出 S 结束第Ⅱ卷非选择题（共 100 分）二、填空题（本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.） （一）必做题（第 11 至 13 题为必做题，每道试题考生都 必须作答。 ） 11．已知函数 f ( x) ? log 2 x ，则 f ( f (4)) ? _______． 12．如果执行右面的程序框图，那么输出的 S ? ______． 13．圆心在 y 轴上，且与直线 y ? x 相切于点 (1,1) 的圆的方程为____________________． （二）选做题（14 ～15 题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分。 ） 14． （坐标系与参数方程选做题）过点 (2,?3) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为________．A P O C15.(几何证明选讲选做题) 已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A ， 直线 PO 交圆 O 于 B, C 两点， AC ? 2 , ?PAB ? 120 ，?则圆 O 的面积为．B三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分 12 分） 设三角形 ABC 的内角 A, B, C , 的对边分别为 a, b, c, a ? 4, c ? 13 , sin A ? 4sin B ． （1）求 b 边的长；（2）求角 C 的大小。 17． （本小题满分 12 分） 甲、乙二名射击运动员参加今年深圳举行的第二十六届世界大学生夏季运动会的预选赛，他们分别射 击了 4 次，成绩如下表（单位：环） ： 甲 乙 5 6 6 7高[考R试;题じ库9 810 9（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率； （2）现要从中选派一人参加决赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由．18．(本小题满分 14 分)如 图 的 几 何 体 中 ， AB ? 平 面 A C D， DE ? 平 面 A C D， △ ACD 为 等 边 三 角 形 ，AD ? DE ? 2 AB ? 2 ， F 为 CD 的中点．（1）求证： AF // 平面 BCE ；BE A（2）求证：平面 BCE ? 平面 CDE 。 C F D19．(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? 1 ，等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 ， b4 ? S3 。 （1）求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式；（2）设 cn ?1 1001 ，数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ，问 Tn & 的最小正整数 n 是多少? bn bn ?1 201220．(本小题满分 14 分) 如图，在 ?ABC 中， | AB |?| AC |? （1）求椭圆的标准方程；7 ,| BC |? 2 ，以 B 、 C 为焦点的椭圆恰好过 AC 的中点 P 。 2（2）过椭圆的右顶点 A1 作直线 l 与圆 E : ( x ? 1) ? y ? 22 2相交于 M 、 N 两点，试探究点 M 、 N能将圆 E 分割成弧长比值为 1: 3 的两段弧吗？若能，求出直线 l 的方程；若不能，请说明理由. y A P x B O C21．(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b 在 x ? 1 处有极小值 2 。3（1）求函数 f (x) 的解析式；（2）若函数 g ( x) ?m f '( x) ? 2 x ? 3 在 [0, 2] 只有一个零点，求 m 的取值范围。 3惠州市 2012 届高三第一次调研考试文科数学参考答案与评分标准一.选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 D 6 C 7 B 8 D 9 A 10 B1． 【解析】由韦恩图知： A ? B ? ?3? ，故选 B2． 【解析】1? i (1 ? i ) 2 ? 2i ? ? ? ?i .故选 D 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 23． 【解析】 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 . 即x ? 8 ? 0,? x ? ?8 ，故选 D. 4． 【解析】由频率分布直方图知; a ? 0.03 ,∴身高在[120，130]内的学生人数为100 ? 0.03?10 ? 30 ,故选 C5.【解析】由下标和性质知 3a3 ? 15, ，∴ a3 ? 5, ∴ S5 ? 5a3 ? 25, 故选 D6． 【解析】该组合体的侧视图是上面边长为 2 的正三角形，下面是边长为 2 的正方形 ∴组合体的侧视图的面积为 S ? 2 ? 2 ? 7． 【解析】 f ( x) ? 2sin( 故选 B .Y?? x) cos( ? x) ? 1 ? 2cos 2 ( ? x) ? 1 ? cos( ? 2 x) ? ? sin 2 x, 4 4 4 2?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ，故选 C 2??8． 【解析】双曲线 y ?22x2 1 ? 1 的两条渐近线为 y ? ? x ， 4 2A(1,2)抛物线 y ? ?8 x 的准线为 x ? 2 ， 当直线 y ? ? x ? z 过点 A(1, 2) 时， zmax ? 3 ，故选 D. 9． 【解析】提示：当 x,z 都取负数时. lg x, lg z 无意义。选 A. 10． 【解析】提示：根据运算有 1 ? kX? 1 ? k 2 ? 3, k ? R* ,? k ? 1 .选 B.二.填空题（本大题每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题后的横线上） 11. 1 ； 12. 720； 13. x ? ( y ? 2) ? 2 ；2 214. ? sin ? ? 3 ；15. 4? 。11． 【解析】? f (4) ? log 2 4 ? 2, ∴ f ( f (4)) ? f (2) ? log 2 2 ? 1 12． 【解析】由程序框图知： S ? 1? 2 ? 3? 4 ? 5 ? 6 ? 720 13． 【解析】设圆的方程为 x ? ( y ? b) ? r ，则圆心为 (0, b),2 2 2?b ?1 ? ?1 ?b ? 2 ? 2 2 依题意有 ? 0 ? 1 ，得 ? 2 ，所以圆的方程为 x ? ( y ? 2) ? 2 。 ?r ? 2 ?r 2 ? (b ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ?14． 【解析】点 (2,?3) 的直角坐标为 (1, 3) ，∴过点 (1, 3) 平行于 x 轴的直线方程为 y ? 3即极坐标方程为 ? sin ? ? 3 15.【解析】由已知条件可求得圆 O 的半径 OA ? 2 ，∴圆 O 的面积为 4? 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16． （本小题满分 12 分） 解： （1）依正弦定理a b 有 b sin A ? a sin B …………………………3 分 ? sin A sin B…………………………6 分又 a ? 4, sin A ? 4sin B ，∴ b ? 1a 2 ? b 2 ? c 2 16 ? 1 ? 13 1 ? ? ……………………9 分 （2）依余弦定理有 cos C ? 2ab 2 ? 4 ?1 2又 0? ＜ C ＜ 180? ，∴ C ? 60? 17． （本小题满分 12 分） …………………………12 分解： （1）记甲被抽到的成绩为 x ，乙被抽到成绩为 y ，用数对 ? x, y ? 表示基本事件 从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，则共有 (5,6),(5,7),(5,8),(5,9), (6, 6), (6, 7),(6,8),(6,9),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9),(10, 6),(10,7),(10,8),(10,9) 。16 种结果…2 分记 A ? {甲的成绩比乙高} 则 A 包含 (9,6),(9,7),(9,8),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9) 有 7 种结果 …………4 分 ∴ P ? A? ?7 16…………………………………………6 分(2) 甲的成绩平均数 x1 ? 乙的成绩平均数 x2 ? 甲的成绩方差 S1 ?25 ? 6 ? 9 ? 10 ? 7.5 46?7?8?9 ? 7.5 4(5 ? 7.5) 2 ? (6 ? 7.5) 2 ? (9 ? 7.5) 2 ? (10 ? 7.5) 2 ? 4.25 4 (6 ? 7.5) 2 ? (7 ? 7.5) 2 ? (8 ? 7.5) 2 ? (9 ? 7.5) 2 ? 1.25 ………10 分 4乙的成绩方差 S2 ?22 ∵ x1 ? x2 ， S12 ? S 2∴选派乙运动员参加决赛比较合适 18．(本小题满分 14 分)…………………………………………12 分（1）证明：取 CE 的中点 G ，连结 FG、BG ． ∵ F 为 CD 的中点，∴ GF // DE 且 GF ? ∵ AB ? 平面 ACD ， DE ? 平面 ACD ， ∴ AB // DE ，∴ GF // AB ． C FBE A1 DE ． 2G1 又 AB ? DE ，∴ GF ? AB ． …………3 分 2∴四边形 GFAB 为平行四边形，则 AF // BG ．……………5 分D∵ AF ? 平面 BCE ， BG ? 平面 BCE ， ∴ AF // 平面 BCE ．…………7 分 （2）证明：∵ ?ACD 为等边三角形， F 为 CD 的中点，∴ AF ? CD …………9 分 ∵ DE ? 平面 ACD ， AF ? 平面ACD ，∴ DE ? AF ．……………10 分 又 CD ? DE ? D ，∴ AF ? 平面 CDE ．……………………………12 分 ∵ BG // AF ，∴ BG ? 平面 CDE ．…………………………………13 分 ∵ BG ? 平面 BCE ， ∴平面 BCE ? 平面 CDE ．………………14 分 19. (本小题满分 14 分) 解： （1）当 n ? 1 时， a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ，∴ a1 ? 1 …………1 分当 n ? 2 时， an ? Sn ? Sn ?1 ? (2an ? 1) ? (2an ?1 ? 1) ? 2an ? 2an ?1 ， 即an ?2 an ?1…………………………………………………………………3 分∴数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项， 2 为公比的等比数列，∴ an ? 2n ?1 , Sn ? 2n ? 1 …5 分 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 ， b4 ? 1 ? 3d ? 7 ，∴ d ? 2 ∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 …………………………………………………8 分 （2） cn ?1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) …………………………10 分 bnbn ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 11 1 1 1 1 1 1 1 n ……12 分 (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
n 由 Tn & ，得 & ，解得 n & 100.1 2012 2n ? 1 2012∴ Tn ? ∴ Tn &1001 的最小正整数 n 是 101 …………………………………………14 分 2012y A P x20. (本小题满分 14 分)7 解： （1）∵ | AB |?| AC |? ,| BC |? 2 ∴ | BO |?| OC |? 1, 2| OA |? | AC |2 ? | OC |2 ?49 3 5 ?1 ? ………2 分 4 2B O3 5 1 3 5 ∴ B(?1, 0), C (1, 0), A(0, ) ∴ P( , ) ……4 分 2 2 4依椭圆的定义有：C1 3 5 1 3 5 9 7 2a ?| PB | ? | PC |? ( ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? ( ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? ? ? 4 2 4 2 4 4 4∴ a ? 2 ，…………………………………………………………………………6 分 又 c ? 1 ，∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ………………………………………………………7 分x2 y2 ? ? 1 ……………………………………………8 分 ∴椭圆的标准方程为 4 3（求出点 p 的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将 P 点的坐标代入即可求出椭圆方程， 也可以给满分。 ） （2） 椭圆的右顶点 A1 (2, 0) ，圆 E 圆心为 E (1,0) ，半径 r ? 2 。 假设点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1: 3 的两段弧， 则 ?MEN ? 90? ，圆心 E (1,0) 到直线 l 的距离 d ?2 r ? 1 ………………10 分 2当直线 l 斜率不存在时， l 的方程为 x ? 2 ， 此时圆心 E (1,0) 到直线 l 的距离 d ? 1 （符合）……………………………11 分 当直线 l 斜率存在时，设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ，即 kx ? y ? 2k ? 0 ， ∴圆心 E (1,0) 到直线 l 的距离 d ?|k| k 2 ?1? 1 ，无解……………………………13 分综上：点 M、N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1: 3 的两段弧，此时 l 方程为 x ? 2 …14 分。 21． （本小题满分 14 分） 解： （1） f '( x) ? 3x ? 3a …………………………………………………………………1 分2依题意有 ?? f '(1) ? 3 ? 3a ? 0 ，………………………………………………3 分 ? f (1) ? 1 ? 3a ? b ? 2解得 ??a ? 1 ，……………………………………………………………………4 分 ?b ? 42此时 f '( x) ? 3x ? 3 ? 3 ? x ? 1?? x ? 1? ，x ? ? ?1,1? , f ' ? x ? ? 0, x ? ?1, ?? ? , f ' ? x ? ? 0, 满足 f ? x ? 在 x ? 1 处取极小值∴ f ( x) ? x ? 3x ? 4 ……………………………………………………………5 分3（2） f '( x) ? 3x ? 32m ' m f ( x) ? 2 x ? 3 ? (3x 2 ? 3) ? 2 x ? 3 ? mx 2 ? 2 x ? m ? 3 …………6 分 3 3 3 当 m ? 0 时， g ( x) ? ?2 x ? 3 ，∴ g ( x) 在 [0, 2] 上有一个零点 x ? （符合） ，……8 分 2∴ g ( x) ? 当 m ? 0 时， ①若方程 g ( x) ? 0 在 [0, 2] 上有 2 个相等实根，即函数 g ? x ? 在 [0, 2] 上有一个零点。?? ? 4 ? 4m(? m ? 3) ? 0 3? 5 ? 则? ，得 m ? ……………………………………10 分 1 2 ?0 ? m ? 2 ?②若 g ( x) 有 2 个零点，1 个在 [0, 2] 内，另 1 个在 [0, 2] 外， 则 g (0) g (2) ? 0 ，即 (?m ? 3)(3m ? 1) ? 0 ，解得 m ? 经检验 m ? 3 有 2 个零点，不满足题意。 综上： m 的取值范围是 m ?1 ，或 m ? 3 …………12 分 33? 5 1 ，或 m ? ，或 m ? 3 ……………………14 分 2 3
惠州市 2012 届高三第二次调研考试数学试题(文科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡 上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求.） 1．设集合 P ? {x x ? 1} ， Q ? {x 2 x ? 1 ? 0 } ，则下列结论正确的是（ A． P ? Q B． P ? Q ? R C． P ? Q ） ） D． Q ? P2．已知 a 为实数，如果 z ? a ? 1 ? ai 为纯虚数，则实数 a 等于（ A．0 B．－1 C．1 D．－1 或 03．已知向量 a, b ，则“ a / / b ”是“ a ? b ? 0 ”的（ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要? ???? ??）条件 D．既不充分也不必要 ）4． 若定义在 R 上的偶函数 f ( x)在(??, 0] 上单调递减， f (?1) ? 0 ， 且 则不等式 f ( x) ? 0 的解集是 （ A． (??,?1) ? (1,??) B． (??,?1) ? (0,1) C． (?1,0) ? (0,1) ）. D． (?1,0) ? (1,??)5．设等比数列 {a n } 的公比 q ? A．31 B．15S 1 , 前 n 项和为 S n ，则 4 =（ a4 2C．16 D．32? x ? 0, ? 6．已知变量 x, y 满足 ? y ? 3, 则 x ? y 的最大值是（ ? x ? y ? 0. ?A. 6 B. 5 C. 4）D. 37．已知某一空间几何体的正视图与侧视图如图 1 所示，则在下列①②③④⑤对应图形中，可以是该几何 体的俯视图的图形有（ ）正视图 ① A．①②③⑤ ② ③ B．②③④⑤ ④ ⑤ C．①②④⑤ 图1 D．①②③④侧视图8．某流程图如图 2 所示，现分别输入选项所述的四个函数，则可以输出的函数是 ()A. f ( x) ? x C. f ( x) ?2B. f ( x) ? x ?1 xe x ? e? x e x ? e? xD. f ( x) ? log 2 x2 29．直线 ax ? y ? 2a ? 0 与圆 x ? y ? 9 的位置关系是（ A.相离 B .相切 C.相交 D.不确定）10．一组数据共有 7 个整数，记得其中有 2，2，2，4，5，10，还有一个数没记清， 但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（ ．．．．． A． ? 11 B．3 C．17 D．9 ）二、填空题（本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.） （一）必做题（第 11 至 13 题为必做题，每道题目考生都必须作答。 ） 11．在 ?ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A、B、C 所对的边， A ? 则 ?ABC 的面积 S= ______． 12．已知椭圆?3, a ? 3, c ? 1 ，x2 y 2 ? ?1 a2 4? a ? 2 ? 的离心率为5 ，则 a ? __________. 513．记等差数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n , 利用倒序求和的方法得：S n ?*n(a1 ? a n ) ；类 2似地，记等比数列 {bn } 的前 n 项的积为 Tn ，且 bn ? 0 (n ? N )，试类比等差数列求 和的方法，可将 Tn 表示成首项 b1 ，末项 bn 与项数 n 的一个关系式，即 Tn =_____________．（二）选做题（14 ～15 题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第 14 题的分。 ） 14． （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系下，圆 ? ? 2 的圆心到直线 ? sin ? ? 2? cos ? ? 1 的距离 是 ．15.(几何证明选讲选做题) 如图 3， 从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ， 已知 AD ? 4 2 ， O 圆的半径 r ? AB ? 4 ，则圆心 O 到 AC 的距离为．三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分 12 分） 已 知 函 数 f ( x) ? s i n ( x ? ? ) ( ? ? ? 最 0 ,? ? ? ? 的 ) 小 正 周 期 为 ? ， 且 函 数 f ( x) 的 图 象 过 点 0?? ? ? , ?1 ? ． ?2 ?（1）求 ? 和 ? 的值； （2）设 g ( x) ? f ( x) ? f (?4? x) ，求函数 g ( x) 的单调递增区间．17． （本小题满分 12 分） 一个盒子中装有 4 张卡片，每张卡片上写有 1 个数字，数字分别是 1、2、3、4，现从盒子中随机抽取 卡片. （1）若一次从中随机抽取 3 张卡片，求 3 张卡片上数字之和大于或等于 7 的概率； （2）若第一次随机抽 1 张卡片，放回后再随机抽取 1 张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字 2 的 ．．． 概率．18． （本小题满分 14 分） 如图 4，在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，侧棱长为 3，且侧棱 AA1 ? 面 ABC ，点 D 是 BC 的中点． （1）求证： AD ? C1 D ； （2）求证： A1 B / / 平面 ADC1 ．19． （本小题满分 14 分） 已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线 y ? 16 x 的焦点 P 为其一个焦点，2x2 y2 ? ? 1 的焦点 Q 为顶点。 以双曲线 16 9（1）求椭圆的标准方程； （2）已知点 A(?1,0), B(1,0) ，且 C, D 分别为椭圆的上顶点和右顶点，点 M 是线段 CD 上的动点，求???? ???? ? ? AM ? BM 的取值范围。20． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx(a ? 0, x ? R) 为奇函数，3 2且f ( x) 在 x ? 1处取得极大值 2.（1）求函数 y ? f ( x) 的解析式； （2）记 g ( x) ? 区间。f ( x) ? (k ? 1) ln x ，求函数 y ? g ( x) 的单 x调21． （本小题满分 14 分）当 p1 , p 2 ,?, p n 均为正数时，称n 为 p1 , p 2 ,?, p n 的“均倒数”．已知数列 ?a n ? 的各 p1 ? p 2 ? ? ? p n项均为正数，且其前 n 项的“均倒数”为 （1）求数列 ?a n ?的通项公式； （2）设 c n ?1 ． 2n ? 1an ? n ? N * ? ，试比较 cn?1 与 cn 的大小； 2n ? 1（3）设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 }