已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、_答案_百度高考
数学 用坐标表示向量的数量积、直线与圆的位置关系、椭圆的标准方程及图象...
已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（1）求m的值与椭圆E的方程；（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．
第-1小题正确答案及相关解析
解：（1）点A代入圆C方程，得（3﹣m）2+1=5．∵m＜3，∴m=1．设直线PF1的斜率为k，则PF1：y=k（x﹣4）+4，即kx﹣y﹣4k+4=0．∵直线PF1与圆C相切，圆C：（x﹣1）2+y2=5，∴，解得．当k=时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．当k=时，直线PF1与x轴的交点横坐标为﹣4，∴c=4．∴F1（﹣4，0），F2（4，0）．故2a=AF1+AF2=，，a2=18，b2=2．椭圆E的方程为：．（2），设Q（x，y），，．∵，即x2+（3y）2=18，而x2+（3y）2≥2|x||3y|，∴﹣18≤6xy≤18．则（x+3y）2=x2+（3y）2+6xy=18+6xy的取值范围是[0，36]．∴x+3y的取值范围是[﹣6，6]∴x+3y﹣6的范围是：[﹣12，0]．即的取值范围是[﹣12，0]．当前位置：
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已知点P（4，4），圆C：（x-m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：（a＞b＞0）有一个公共点A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，直线PF1与圆C相切。
（1）求m的值与椭圆E的方程；（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围。
题型：解答题难度：偏难来源：0127
解：（1）点A代入圆C方程得∵m＜3∴m=1圆C：设直线PF1的斜率为k则PF1：即∵直线PF1与圆C相切∴解得或当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为-4∴c=4，F1（-4，0），F2（4，0），2a=AF1+AF2=，，a2=18，b2=2椭圆E的方程为：。（2），设Q（x，y），，∵，即，而，∴-18≤6xy≤18则的取值范围是[0，36]的取值范围是[-6，6]∴的取值范围是[-12，0]。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知点P（4，4），圆C：（x-m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：（a＞b＞0）有一个公共..”主要考查你对&&椭圆的标准方程及图象，基本不等式及其应用，用坐标表示向量的数量积，圆的切线方程&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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椭圆的标准方程及图象基本不等式及其应用用坐标表示向量的数量积圆的切线方程
椭圆的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在x轴上：；（2）中心在原点，焦点在y轴上：。椭圆的图像：
（1）焦点在x轴：；（2）焦点在y轴：。巧记椭圆标准方程的形式：
①椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；②椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上；③椭圆的标准方程中，三个参数a，b，c满足a2= b2+ c2；④由椭圆的标准方程可以求出三个参数a，b，c的值．
待定系数法求椭圆的标准方程：
求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种方法来解决问题：一是分类讨论，全面考虑问题；二是可把椭圆的方程设为n)用待定系数法求出m，n的值，从而求出标准方程，基本不等式：
（当且仅当a＝b时取“=”号）； 变式：①，（当且仅当a＝b时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 ②；③；④； 对基本不等式的理解：
(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件．均值不等式中：①当a=b时取等号，即 对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值：如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，； （2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，； （3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
应用基本的不等式解题时：
注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。
利用基本不等式比较实数大小：
(1)注意均值不等式的前提条件．(2)通过加减项的方法配凑成使用均值定理的形式．(3)注意“1”的代换．(4)灵活变换基本不等式的形式，并注重其变形形式的运用．重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是等，不仅要掌握原来的形式，还要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用．(5)合理配组，反复应用均值不等式。&
基本不等式的几种变形公式：
两个向量的数量积的坐标运算:
非零向量，那么，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积。 向量的数量积的推广1：
设a=(x,y)，则|a|=x2+y2 ，或|a|=
向量的数量积的推广2：
向量的数量积的坐标表示的证明：
&圆的切线方程：
1、已知圆， （1）若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是； （2）当圆外时，表示过两个切点的切点弦方程。 （3）过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线。 （4）斜率为k的切线方程可设为y=kx+b，再利用相切条件求b，必有两条切线。 2、已知圆， （1）过圆上的点的切线方程为； （2）斜率为k的圆的切线方程为。 圆的切线方程的求法：
①代数法：设出切线方程，利用切线与圆仅有一个交点，将直线方程代入圆的方程，从而△=0，可求解；②几何法利用几何特征：圆心到切线的距离等于圆的半径，可求解．
过定点的圆的切线方程：
①过圆上一点的切线方程：与圆的切线方程是与圆的切线方程是 与圆的切线方程是 与圆的切线方程是
②过圆外一点的切线方程：设外一点，求过P0点的圆的切线．方法l：设切点是，解方程组
求出切点P1的坐标，即可写出切线方程。方法2：设切线方程是 ，再由 求出待定系数k，就可写出切线方程.特别提醒:一般说来，方法2比较简便，但应注意，可能遗漏k不存在的切线．因此，当解出的k值唯一时，应观察图形，看是否有垂直于x轴的切线．
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与“已知点P（4，4），圆C：（x-m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：（a＞b＞0）有一个公共..”考查相似的试题有：
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数学 椭圆的标准方程及图象、基本不等式及其应用、用坐标表示向量的数量积、圆的切线方程...
已知点P（4，4），圆C：（x-m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：（a＞b＞0）有一个公共点A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，直线PF1与圆C相切。（1）求m的值与椭圆E的方程；（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围。
第-1小题正确答案及相关解析
解：（1）点A代入圆C方程得∵m＜3∴m=1圆C：设直线PF1的斜率为k则PF1：即∵直线PF1与圆C相切∴解得或当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为-4∴c=4，F1（-4，0），F2（4，0），2a=AF1+AF2=，，a2=18，b2=2椭圆E的方程为：。（2），设Q（x，y），，∵，即，而，∴-18≤6xy≤18则的取值范围是[0，36]的取值范围是[-6，6]∴的取值范围是[-12，0]。已知点P（4，4），圆C：（x-m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：2a2+y2b2＝1&(a＞b＞0)有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（1）求直线PF1的方程；（2）求椭圆E的方程；（3）设Q为椭圆E上的一个动点，求证：以QF1为直径的圆与圆x2+y2=18相切．
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（1）因为A（3，1）在⊙C上，所以，2＝4m＜3，m=1．所以，⊙C：（x-1）2+y2=5．（2分）易知直线PF1的斜率存在，设直线PF1方程：y-4=k（x-4），即：kx-y+（4-4k）=0题设有：2+1＝5，或（4分）时，直线PF1方程，令y=0，则，不合题意（舍去）时，直线PF1方程：x-2y+4=0．令y=0，则x=-4＜0满足题设．所以，直线PF1方程为：x-2y+4=0．（6分）（2）由（1）知F1（-4，0），所以，F2（4，0），a2-b2=16①（7分）又1+AF2＝50+<td style="padding:0;padding-left: 2 border-top: black 1lin
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（1）因为A（3，1）在⊙C上，所以2＝4m＜3，m=1．所以⊙C：（x-1）2+y2=5．设直线PF1方程：y-4=k（x-4），由题设知：2+1＝5，或．由此能求出直线PF1方程．（2）由F1（-4，0），知F2（4，0），a2-b2=16．由1+AF2＝50+2＝62，知，b2=2，由此能求出椭圆E的方程．（3）设QF1的中点为M，连QF2．2＝12(62-QF1)=1，由此能证明以QF1为直径的圆与圆x2+y2=18相切．
本题考点：
圆与圆锥曲线的综合；直线的一般式方程；直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程．
考点点评：
本题考查直线方程和椭圆方程的求法，证明以QF1为直径的圆与圆x2+y2=18相切．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用圆锥曲线的性质，合理地进行等价转化．
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