平几习题集解答；第一章习题；练习1（面积法）；1．已知：点E、F分别在平行四边形ABCD的边D；A证明：连DF、BE，那么；S?ABES?ADF；?AB?ADsin?DAB,21；?AD?ABsin?DAB,2；所以S?ABE?S?ADF；但S?ABE?；11；AE?BH,S?ADF?AF?DG,AF=AE，；2.设AD为ΔABC的中线，F为AD的中点，连结
平几习题集解答
第一章习题
练习1（面积法）
1． 已知：点E、F分别在平行四边形ABCD的边DC和BC上，且AE=AF，DG⊥AF，BH⊥AE，G、H是垂足。求证：DG=BH。
A证明：连DF、BE，那么
S?ABES?ADF
?AB?ADsin?DAB,2 1
?AD?ABsin?DAB,2
所以 S?ABE?S?ADF。
AE?BH,S?ADF?AF?DG,AF=AE，于是BH=DG。 22
2. 设AD为ΔABC的中线，F为AD的中点，连结BF并延长交AC
求证：EC=2AE。 证明：因为BD=DC，AF=FD，故
AES?ABE1SAF1
??ABE??。 CES?CBE2S?BDE2FD2
3．已知平行四边形ABCD中，E、F分别在CD、AD上，AE和CF相交于G，且AE=CF。
求证：GB平分∠AGC。
证明：连BE、BF，则
?BC?ABsin?ABC?S?AEB。 2
?CF?BGsin?BGC,2 1
??AE?BGsin?AGB,2
另一方面，
S?BFC?S?AEB
所以 sin∠BGC=sin∠AGB，即∠BGC=∠AGB。所以BG平分∠AGC。
4．P是ΔABC中∠A的平分线上任意一点。过C引CE//PB，交AB的延长线于E，过B引BF//PC，交AC的延长线于F。求证：BE=CF。
证明：如图，
AHBDCGACBDBE
?????HBDCGACFDCAB
BEBDACBE????,CFDCABCF
所以BE=CF。
5．E、F是任意四边形ABCD的对边AD、BC的中点，M为对角线BD延长线上任一点。若直线ME、MF分别与AB、CD相交于P、Q两点。求证：EF平分PQ。
证明：由P、E、M共线，得
AEDMBPBPMB
。 ???1，故?
EDMBPAAPDM
由F、Q、M共线，得所以
CQMBBFCQDM
。 ???1，故?
FCQDMBQDDM
因为AE=ED，BF=FC，所以PN=NQ。
6．AD是ΔABC的中线，过B点的直线交AD于E，交AC于F。求证：证明：因为CD=DB，所以
SBES?BDEAC
???DEC?。 EFS?FDES?DEFAF
7．P是平行四边形ABCD对角线BD上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F。求证：PE ：PF = BC ：AB。
证明：因为ABCD是平行四边形，故 S?APBBP?ABsin?ABP
??1。 S?BPCBP?DCsin?BDC
另一方面，由PE⊥AB，PF⊥BC，知 S?APBPE?ABPEBC
。 ?S?BPCBC?PFPFAB
8．ΔABC中，∠ACB=900，AC=BC，D为BC中点。作CE⊥AD，分别交AB、AD
于E、F。求证：AE=2BE。
证明：因 为CD=BD，故
SSAES?ACEAF
???ACE???AFC。 EBS?CEB2S?CDE2DF2S?CFD
另一方面，AC⊥CD，CF⊥AD，故ΔAFC∽ΔCFD。所以
????4。 S?CFD?CD?
故AE=2EB。
9．已知：在ΔABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
BF是AC边上的高。求证：PD+PE=BF。
证明：连AP，那么由
S?ABC?S?ABP?S?ACP，
AC?BF=AB?PD+AC?PE。
又因为AB=AC，所以PD+PE=BF。
10．设O是ΔABC内任一点，AO、BO、CO的延长线分别交对边于D、E、F。求证：
证明：如图，
AOBOCOS?ABC?S?BOCS?ABC?S?COAS?ABC?S?AOB
?????ADBECFS?ABCS?ABCS?ABC
S?S?COA?S?AOB
?3??BOC?2。
11．设线段OA的中点为M，过A的任意直线与过O的任意（位于OA的两侧）的两直线分别相交于P、Q，Q在线段AP上，PM与OQ交于R，QM与OP交于S。求证：OPOQ
??3。 PSQR
证明：因为M是OA的中点，故根据平行四边形PNRQ的调和性知NQ//OA。同理，PT//OA。于是
OQOR?RQOROA
??1??1?RQRQRQNQ
OAOSOP?PS?2??2??2?
PTPSPSOP?3?
??3。 RQPS
12．在ΔABC的边AB、AC上分别取点D、E，使DE//BC，在AB上取点F，使
S?ADE?S?BFC。求证：AD=AB?BF。
证明：因为
SΔADE=SΔBFC，2SΔADE=AD?DEsin∠ADE，
2SΔBFC=BF?BCsin∠B，
AD?DEsin∠ADE=BF?BCsin∠B。 由因为 DE//BC，所以∠ADE=∠B，
AD2=AB?BF。 ??
13．AD是RtΔABC的斜边BC上的高，E是CB的延长线上一点，且∠EAB=∠BAD。
??求证：?。 DC?EC?
证明：AB⊥AC，AB平分∠DAE，所以
另一方面，ΔAEB∽ΔCEA。所以
???。 S?ACE?CE?
?。 DC?CE?
??。 DCCES?ACE
14．过平行四边形ABCD的顶点A引直线交BD于P，交DC于Q，交BC的延长线于
R。求证：?。 ??
证明：因为AD//BC, AB//CD，所以ΔPQD∽ΔPAB。
S?PQDS?PQDS?PQD?PD?2PQS?PQD
???????。 PRS?PRDS?PAD?S?ADRS?PAD?S?ADBS?PAB?PB?
15．已知：AT与ΔABC的外接圆相切于A，与CB的延长线交于T。求证：。 ???
证明：因为TA是切线，所以ΔTAB∽ΔTCA，所以
ABS?TAB?AB?
????。 TCS?TAC?AC?
练习2（代数法）
在锐角ΔABC中，AD、CE是两条高，交点为H，且AD=BC，M是BC边的中点。求证：MH+DH是BC的一半。
证明：设AD=BC=2x，MD=y。易知ΔCDH∽ΔADB，从而有
CD?DB(x?y)(x?y)x2?y2
（1） 。 ??
AD2x2xx2?y22x2?y22
又由勾股定理得
MH?MD?DH?y?()?()，即
（2）。 MH?
（1）+（2）得
x2?y2x2?y2
MH?DH?。 ?
MH?DH?BC。
ΔABC为等边三角形，点D、E、F分别在BC、AC、AB上。求证：ΔDEF的周长≥ΔABC的周长之半。
证明：如图，设ΔABC的边长为a，AF=x,，BD=y,，CE=z，EF在BC边上的投影为MN，那么
EF?MN?BC?BN?CM
(a?x)??(a?z?x)。222
同理，DF?a?x?y),DE?(a?y?z)。。
?(AB?BC?CA)。所以ΔDEF的周长≥ΔABC的周长之半。
已知a、b、c和a′, b′, c′分别为ΔABC和ΔA′B′C′的三边，且 ax2?bx?c
a?x2?b?x?c?
对于任意实数x都为定值。求证：ΔABC∽ΔA′B′C′。
证明：设定值为m（≠0），那么
a?x2?b?x?c?
(a?ma?)x2?(b?mb?)x?(c?mc?)?0。 因为此式对任意实数都成立，所以
a?ma??b?mb??c?mc??0。
??，从而 ΔABC∽ΔA′B′C′。 a?b?c?
4．AB是⊙O的直径，过A、B引圆的切线AD、BC，又过弧AB上任一点E的切线与AD、BC相交于D、C。求证：2OE≤CD。
证明：过O作OM//BC交CD于M，则M是CD的中点。
因为OE⊥CD，所以OE≤OM。
由梯形的性质得
AB?BCDE?ECDC
5．ABCD是圆内接四边形，对角线AC⊥BD。求证：2SABCD = BC?AD+AD?BC。
证明：根据托勒密定理知 AD?BC+AB?DC=AC?BD。 因为
AC⊥BD， 所以
2SΔABCD= AC?BD。
AD?BC+AB?DC=2SΔABCD。
6．一个给定的凸五边形ABCDE有下列性质：ΔABC、ΔBCD、ΔCDE、ΔDEA、ΔEAB的面积都等于1。证明：每一个具有上述性质的不全同的五边形都有相等的面积。
证明：因为SΔABE = SΔADE，所以BD//AE，从而SΔABF = SΔDEF。 同理，AC//DE，AD//BC。
设AD与BE交于点F，则四边形BCDF是平行四边形，故
SΔBDF =1。设SΔABF = x，那么由
S?ABFBFS?BDF
?? S?AEFFES?DEF
。 ?。由此解得 x?
SABCDE?SBCDE?S?ABE?S?ABF?2?1?
7．已知：PA、PB分别切⊙O于A、B两点，E、F分别为PA、PB的中点，连结EF
交PO于Q点，QH切⊙O于H点。求证：PQ=QH。
证明：因为E、F分别为PA、PB的中点，故 2PQ=PR。 22 22
所以 QH=OQC r=OQC OR?OP
=(QR+OR)2 C OR?OP=QR2+2QR ?OR+OR2C OR?OP
= QR2+OR(2QR+OR C OP)=QR2
所以 QH=QR=PQ。
8．AB是⊙O的直径，P是⊙O上任意一点，且PC⊥AB于C。以P为圆心，PC为半径的圆与⊙O相交于D、E，DE与PC交于M。求证：M是PC的中点。
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已知：⊙O的半径OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中点，点P是射线AO上一点（与点A不重合），直线PC与射线BO交于点D.（1）当点P在⊙O上，求OD的长.（2）若点P在AO的延长线上，设OP=x，，求y与x的函数关系式并写出自变量x 的取值范围。（3）连接CO，若△PCO与△PCA相似，求此时BD的长。
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已知：⊙O的半径OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中点，点P是射线AO上一点（与点A不重合），直线PC与射线BO交于点D．（1）当点P在⊙O上，求OD的长．（2）若点P在AO的延长线上，设OP=x，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．（3）连接CO，若△PCO与△PCA相似，求此时BD的长．
已知：如图，M是⊙O的直径AB上任意一点，过点M作AB的垂线MP，D是MP的延长线上一点，连接AD交⊙O于点C，且PD=PC．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tanD=，OA=3，过点A作PC的平行线AN交⊙O于点N．求弦AN的长．
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