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2014年西华大学自考电气工程与自动化（独立本科）考试计划
　　专业代码：B080612
　　专业层次：专升本
　　主考学校：西华大学
课码类别　
课程名称　
公共基础课　
中国近现代史纲要　
马克思主义基本原理概论　
工程数学（线性代数、复变函数）　
专业核心课程　
计算机软件技术　
电力电子技术　
电力电子技术（实践）　
单片机原理及应用　
单片机原理及应用（实践）　
自动控制原理（一）　
自动控制原理（一）（实践）　
工业过程与过程控制　
工业过程与过程控制（实践）　
计算机控制系统　
计算机控制系统（实践）　
现代控制工程　
计算机仿真　
专业拓展课　
人工智能导论　
选修课程不低于22学分　
系统辨识基础　
英语（二）　
中国文化概论　
管理学原理　
多媒体技术　
毕业考核（或论文\综合实践\实验\实习等）　
毕业学分　
不得低于85学分　
博客推荐　
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CERNET Corporation&>&&>&线性代数第三章习题与答案(东大绝版)
线性代数第三章习题与答案(东大绝版) 7258字 投稿：张膲膳
解读茶文化 茶叶，原产于中国。中华民族最早发现和利用了茶，最先发明了茶的栽培和各种茶的制法，形成了丰富多彩的雅俗共赏的茶的品饮艺术，形成了中国茶文化。茶文化是以茶为载体，并通过这个载体来传播各种文化，是茶与文化的有机融合 ，也是茶艺与精神的结合，并通…
习题6.1 ?11??13?0?21?????1?3?201???2?1??10? (2) A = ?001． 解 (1) A = ?10??3?0?2??10??00?? ?0??5??126???1?5??1?47???2???(3) A = …
1. (1)设a1+ba2+bK1，且a2,b2不全为零，则a2b1-a1b2a1a2-3b1b2K，因为，不一定1a22-3b12a22-3b12为整数，所以K1不是数域.2.(2)设a1+b1i,a2+b2i∈F2，则a1+b1i,a2+b2i的…
习题与答案
1.求向量α1?(4,1,?3,?2),αT?(1,2,?3,2),α,?3)的线性组合3α1?5α2?α3. 23?(16,9,1
?4??1??16??12??5??16??1?
?????????????????????. 解 3α1?5α2?α3?3???5??????????
??3???3??1???9???15??1???25???????????????22?3?610?37??????????????
2.从以下方程中求向量?
3(α1?α)?2(α2?α)?5(α3?α)，
其中α1?(2,5,1,3),αT,5,10),αT,?1,1). 2?(10,13?(4,1
解 由方程得3α1?3α?2α2?2α?5α3?5α?0，
?2??10??4??6?
????????51112
6α?3α1?2α2?5α3?3???2???5?????
?1??5???1??18??????????3??10??1??24??1???2
故α???,即αT?(1,2,3,4).
3.求证:向量组α1,α2,?,αi,?αs中的任一向量αi可以由这个向量组线性表出. 证 αi?0α1?0α2???1αi???0αs(i?1,2,?,s) 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.
证 设向量组为α1,α2,?,αi?1,0,αi?1,?,αs,则有
0α1?0α2???αi?1?k0?0αi?1???0αs?0,k?0
而0,0,?,0,k,0,?,0不全为0,故向量组线性相关.
5.设有m个向量α1,α2,?,αm,证明: 若αi?αj(i?j),则向量组α1,α2,?,αm线性相关. 证 显然有0α1?0α2???kαi?0αi?1???(?k)αj???0αm?0,k?0, 而0,?,0,k,0,?,0,?k,0,?,0不全为0.故向量组线性相关. 6.判断下列向量组的线性相关性
(1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2)
(2,0),(0,-1);
(-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);
(1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).
解 (1)设有三个数k1,k2,k3,使k1(1,1,0)?k2(0,1,1,)?k3 (3,0,0,)=(0,0,0)
?k1?3k3?0?
则有方程组?k1?k2?0,
因为系数行列式D1
10?3?0.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. 010
(2)设有两个数k1,k2使k1(2,0)?k2(0,-1)=(0,0)
则有方程组?
,由此解得k1?k2?0,所以两个向量线性无关.
另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数k1,k2,k3,k4,使
k1(-4,-5,2,6)?k2(2,-2,1,3)?k3(6,-3,3,9)?k4(4,-1,5,6)=(0,0,0,0),
?4k1?2k2?6k3?4k4?0??5k?2k?3k?k?0?1234
则有方程组?,
2k?k?3k?5k?034?12??6k1?3k2?9k3?6k4?0
其系数行列式D??0,所以方程组有非零解,
向量组线性相关.
(4) 设有四个数k1,k2,k3,k4,使
k1(1,0,0,2,5)?k2(0,1,0,3,4)?k3(0,0,1,4,7)?k4(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)
?k1?2k4?0?
k2?3k4?0??
则有方程组?k3?4k4?0
?2k?3k?4k?11k?0
?1??5k1?4k2?7k3?12k4?0
由前三个方程得k1??2k4,k2?3k4,k3??4k4,代入第五个方程得?14k4?0, 即k4?0,从而k1?k2?k3?0,所以向量组线性无关.
7.设α1,α2,α3线性无关,证明:α1?α2,α2?α3,α3?α1也线性无关. 证 设有三个数k1,k2,k3,使k1?α1?α2??k2?α2?α3??k3?α3?α1??0, 则?k1?k3?α1??k1?k2?α2??k2?k3?α3?0,因α1,α2,α3线性无关,
101?k1?k3?0
故?k1?k2?0,因系数行列式D?110?2?0,所以只有k1?k2?k3?0, ?k?k?0011?23
由此知α1?α2,α2?α3,α3?α1线性无关.
8.设α1,α2,?,αn线性无关,问向量组α1?α2,α2?α3,?,αn?1?αn,αn?α1是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解 设有n个数k1,k2,?,kn,使
k1?α1?α2??k2?α2?α3????kn?1?αn?1?αn??kn?αn?α1??0,
则得方程组
?k?k?012??
?k2?k3?0 ??????kn?1?kn?0
其系数行列式
?1?(?1)n?1,
可见,当n为奇数时,Dn?2?0,方程组仅有零解,向量组线性无关, 当n为偶数时,Dn?0,方程组有非零解,向量组线性相关.
9.设αi?(ai1,ai2,?,ain)(i?1,2,?,n),证明:向量组α1,α2,?,αn线性相关的充分必要条件是det(aij)?0.
证 必要性:设α1,α2,?,αn线性相关,则存在不全为0的n个数k1,k2,?,kn,使
k1α1?k2α2???knαn?0,即有方程组
?a11k1?a21k2???an1kn?0?ak?ak???ak?n
??????a1nk1?a2nk2???annkn?0
该方程组有非零解,故系数行列式Dn?0,即det(aij)?0,
充分性: 对于方程组(*)当det(aij)?0时,系数行列式Dn?0,所以有非零解,即存在不全为0的k1,k2,?,kn,使k1α1?k2α2???knαn?0成立,故α1,α2,?,αn线性相关.
10.设α1,α2,?,αn是一组n维向量.已知n维标准单位向量组e1,e2,?,en能由它们线性表出,证明: α1,α2,?,αn线性无关.
证 设αi?(ai1,ai2,?,ain)(i?1,2,?,n),则有
αi?ai1e1?ai2e2???ainen,
可见α1,α2,?,αn也能由e1,e2,?,en线性表出,从而两个向量组等价. 因为e1,e2,?,en线性无关,所以α1,α2,?,αn也线性无关.
11.设α1,α2,?,αn是一组n维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表出.
证 必要性:设α1,α2,?,αn线性无关,β为任一n维向量,则α1,α2,?,αn,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由α1,α2,?,αn线性表出.
充分性:设任一n维向量β都可由α1,α2,?,αn线性表出.因此α1,α2,?,αn与e1,e2,?,en等
价,从而α1,α2,?,αn线性无关.
12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.
TT(1)α1?(1,2,?1,4),αT2?(9,100,10,4),α3?(?2,?4,2,?8); TT(2) α1?(1,1,0),αT2?(0,2,0),α3?(0,0,3);
T(3) α1?(1,2,1,3),αT,?5,?6),αT,?3,?4,?7),αT,?1,0); 2?(4,?13?(14?(2,1
???2100?4? ??082解 (1)A??
?????44?8???0?32?2??1
??0??09?2??10?2?
???10??010?
???00000???00??000?
向量组的秩为2, α1,α2为一个极大线性无关组.
?100??100?????
(2) A??120???020?
?003??003?????
向量组的秩为3, α1,α2,α3为一个极大线性无关组.
12????14??????2?1?310?9?5?30?9?5?3??????? (3) A??
?1?5?4?1??0?9?5?3??0000????????3?6?70??0?18?10?6??0000?
向量组的秩为2, α1,α2为一个极大线性无关组.
13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(?1,?1,0,0,0). 解 所求方阵可写成
?1???1A??0
??0?0?300??
显然R(A)?4.
14.已知α1,α2,?,αs的秩为r,证明: α1,α2,?,αs中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.
证 设αi1,αi2,?,αir,为α1,α2,?,αs中任意r个线性无关的向量,因为向量组的秩为r,故
αi1,αi2,?,αir,αi,(i?i1,i2,ir)线性相关.可见α1,α2,?,αs中的每个向量都可由
αi1,αi2,?,αir,线性表出.因此, αi1,αi2,?,αir,是α1,α2,?,αs的一个极大线性无关组.
15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.
?001??12?34??02?31??
53???????010?(1)??; (2)??;(3)??;(4)?54
?100??1?1?
?001?r?r?100???13??
解 (1) ?010???010?,秩为3.
?100??001?????
?12?34?r?r?1234?r?r?1234???21??32??
(2) ??1102???0336???0336?,秩为2.
?6??0000???????
?02?31?r?r?0?11?2?r?3r?0?11?2?r?3r?0?11?2?
?21??32????12?
03?43?03?43?00?1?3?00?1?3??r3?4r1????, ??
?04?7?1??00?3?9???1?????????
9r1??2013?
?r3?r2?r1?5
?r2?2r1??r2?r3??r1?r3?5319???????,秩为3. ??
??17r1?1?1?????????????
16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即
R(A?B)?R(A)?R(B).
证 设A?(α1,?,αn),R(A)?r,α1,?,αr为一个极大线性无关组,
B?(β1,?,βn),R(B)?s,β1,?,βs为一个极大线性无关组, A?B?(r1,?,rn).
因为r1,?,rn可由α1,?,αn,β1,?,βn线性表出,从而也可由α1,?,αr,β1,?,βs线性表出.故
R?A?B??R(r1,?,rn)?R?α1,?,αr,β1,?,βs??r?s?R(A)?R(B).
17.设A与B可乘,且AB?0,证明: R(A)?R(B)?A的列数. 证法一
设A为m?n矩阵,B为n?l矩阵 由AB?0,有
?a11?a1n??b11?b1l??0?0??????????????????????? ?a??????m1?amn?m?n?bn1?bnl?n?l?0?0?m?l
比较等式两边对应元素,有
?a11b11???a1nbn1?0?a11b12???a1nbn2?0?a11b1l???a1nbnl?0???
,?,????,????. ????
?ab???ab?0?ab???ab?0?ab???ab?0
mnn1mnn2mnnl?m111?m112?m11l
可见B的列向量组为上述l个齐次线性方程组的解向量,因此有
R(B)?n?R(A), 移项得R(A)?R(B)?n(A的列数).
设A为m?n矩阵,B为n?l矩阵, R(A)?r1,R(B)?r2,
A的标准形可写成?因为R(A)?r1,则
?,即存在可逆阵P,Q使得 0?
?Br1?m?0??1
?, ?.又设QB???B?n?r??m?0?1??
则0?R(AB)?R(PAB)?R(PAQQB),
0??Br1?m??Br1?m??1
??QB?????, ??B0???n?r1??m??0?
可见R(Br1?m)?R(PAQQB)?0,
又因为R(Q?1B)?R(B)?r2,所以R(B?n?r??m)?r2,
而B?n?r??m共n?r1行,因此n?r1?r2,即r1?r2?n或R(A)?R(B)?n.
1.证明: α1,α2,?,αs(其中α1?0)线性相关的充要条件是至少有一个αi(1?i?s)可被
α1,α2,?,αi?1线性表出.
证 必要性:设α1,α2,?,αs线性相关(α1?0),则存在不全为0的s个数k1,k2,?,ks使
k1α1?k2α2???ksαs?0,设ki是k1,k2,?,ks中最后一个不为零的数,即ki?0,而ki?1???ks?0,则k1α1?k2α2???kiαi?0,因为α1?0,所以i?1,即1?i?s,(否则k1?0,k2???ks?0则k1α?0不能成立),于是αi??α1,α2,?,αi?1线性表出.
充分性:如果αi?k1α1???ki?1αi?1,则k1α1???ki?1αi?1?αi?0αi?1???αs?0,而
α1???i?1αi?1,即αi可由kiki
k1,?,ki?1,?1,0,?,0不全为0,所以α1,α2,?,αs线性相关.
2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组. 证 设有向量组α1,α2,?,αn秩为s,αi1,αi2,?,αir是它的任意一个线性无关组,
如果r?s,则它就是α1,α2,?,αn的一个极大线性无关组.如果r?s,则α1,α2,?,αn的其余向量中一定可以选出向量αir?1,使αi1,αi2,?,αir,αir?1线性无关(否则与α1,α2,?,αn秩s?r矛盾),只要r?1?s,重复上述过程,直到r?i?s时为止.这样αi1,αi2,?,αir,αir?1,?,αis就是由αi1,αi2,?,αir扩充成的一个极大线性无关组.
3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价. 证 设A:α1,α2,?,αs;B:β1,β2,?,βt为两个秩为r的向量组, α1,α2,?,αr;β1,β2,?,βr分别为A,B极大线性无关组,设B可由A线性表出,则有
?β1,β2,?,βr??K?α1,α2,?,αr?
其中K为组合系数构成的r阶方阵,因为α1,α2,?,αr;β1,β2,?,βr线性无关,所以K可逆,
?α1,α2,?,αr??K?1?β1,β2,?,βr?,从而α1,α2,?,αr可由β1,β2,?,βr线性表出,从而可由
β1,β2,?,βt线性表出,又α1,α2,?,αs可由α1,α2,?,αr线性表出,所以α1,α2,?,αs可由β1,β2,?,βt线性表出,即A可由B线性表出,因此向量组A,B等价.
4.设向量组α1,α2,?,αs的秩为r,在其中任取m个向量αi1,αi2,?,αim,证明:
Rαi1,αi2,?,αim?r?m?s.
证 设αi1,αi2,?,αim的秩为t,从它的一个极大线性无关组(含t个向量)可扩充为
α1,α2,?,αs的一个极大线性无关组(含r个向量),所扩充向量的个数为r?t个.但α1,α2,?,αs中除了αi1,αi2,?,αim外,还有s?m个向量,故r?t?s?m,即t?r?m?s.
5.设n?m阶矩阵A的秩为r,证明:存在秩为r的n?r阶矩阵P及秩为r的r?m阶矩阵Q,使A?PQ.
证 因R(A)?r,故可经有限次初等行变换和初等列变换化为标准形,即存在m阶可逆阵F和n阶可逆阵G,使得
?Er?00??1?Er
,即A?G??0??00??1
?G11G12??1?F11F12?
记G???,F???,其中G11,F11均为r阶方阵,则
?00??1?G11G12??Er
0??21G22??00??F11F12?
??FF? 0??2122?
?G110??F11F12??G11F11G11F12??G11?????=?GFGF???G??F11F21?, G0FF??
?,则P为n?r矩阵且R(P)?r(因G可逆,故其前r列线性无关), ?G21?
Q??FF21?,则Q为r?m矩阵且R(Q)?r(因F?1可逆,故其前r列线性无关),而11
第三章 习题与答案 习题 ATT1.求向量α1?(4,1,?3,?2),αT?(1,2,?3,2),α,?3)的线性组合3α1?5α2?α3. 23?(16,9,1?4??1??16??12??5??16??1???????????????12931…
第一章 行列式21 证明: 设f(x)?c0?c1x???cn?2xn?2?cn?1xn?1 ?f(ai)?bi(1?i?n)?c0?c1a1???cn?2a1n?2?cn?1a1n?1?b1?n?2n?1?c0?c1a2???cn?2a2?cn?1…
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