关于数学上不等式的定理,公理,还有各种推论,证明的还是未证明的都可以,从高中到大学的都要啊,
月爱口关37554
柯西不等式对于2n个任意实数x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,恒有（x1y1+x2y2+…+xnyn)^2≤（x1^2+x2^2+…+xn^2）（y1^2+y2^2+…+yn^2）柯西不等式的几种变形形式1.设xi∈R,yi>0 (i=1,2,…,n)则,当且仅当bi=l*ai (i=1,2,3,…,n)时取等号2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n),则,当且仅当b1=b2=…=bn时取等排序不等式又称排序原理.对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn,y1≤y2≤…≤yn,设yi1,yi2,…,yin是后一组的任意一个排列,记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1,M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin,L=x1y1+x2y2+…+xnyn,那么恒有S≤M≤L.当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时,等号成立.QI琴生不等式设f(x)为凸函数,则f((x1+x2+...+xn)/n)≤[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n(下凸);设f(x)为凹函数,则f((x1+x2+...+xn)/n)≥[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n(上凸);称为琴生不等式.简均值不等式Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数.性绝对值不等式|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值.两个重要性质：1.|ab| = |a||b||a/b| = |a|/|b| （b≠0）2.|a||a|||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|,当且仅当 ab≤0 时左边等号成立,ab≥0 时右边等号成立.另外有：|a-b| ≤ |a|+|-b| = |a|+|-1|*|b| = |a|+|b|| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|概基本不等式公式：(a+b)/2≥√(ab) (a≥0,b≥0)（当且仅当a=b时,等号成立）变形：ab≤[(a+b)/2]² (a≥0,b≥0)（当且仅当a=b时,等号成立）几几何不等式Ptolemy（托勒密）不等式若ABCD为四边形,则AB×CD+AD×BC≥ AC×BD.（等号成立,A,B,C,D四点共圆）Erdos（埃尔多斯）不等式设P是ΔABC内任意一点,P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r,记PA=x,PB=y,PC=z.则：x+y+z≥2*(p+q+r)Weitzenberk（外森比克）不等式若a,b,c为三角形三边长,S是三角形面积,则：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S（等号成立当且仅当ABC为等边三角形）.Euler（欧拉）不等式设△ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r,则R≥2r,当且仅当△ABC为正三角形时取等号.Fermat（费马）问题在△ABC中,使PA+PB+PC为最小的平面上的P点称为费马点.当每个内角均小于120时,则与三边张角为120的P点为费马点.等周不等式①周长一定的所有图形中,圆的面积最大；面积一定的所有图形中,圆的周长最小.②周长一定的所有n边形中,正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中,正n边形的周长最小.基赫尔德不等式设S为测度空间,及,设f在Lp(S)内,g在Lq(S)内.则f g在L1(S)内,即||fg||1=0[1].我们称p和q互为赫尔德共轭.若取S为自然数集附计数测度,便得与上类似的无穷级数不等式.当p = q = 2,便得到柯西-施瓦茨不等式.还有很多,具体证法网上都有.
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不等式的难点不是你知道多少定理，而是你能否在不同的大小之间找到质变，注意，不是量变。比如我们知道a^2+b^2>=2ab如果只是量变，那么显然我们可以假证：(a^2+b^2)>=(t)(a^2+b^2)+(1-t)(2ab)>=2ab其中0<t<1所以这是不对的！因为A>(A+B)/2>B 与A>B是等价的，所以这相当于你没有做这道题。也...
扫描下载二维码数学中有哪些明明是暴力破解还给人美感的证明？
虽然是暴力破解，但偏偏有美感，挖空心思想到的技巧，感觉都不如暴力方法好用。
184 个回答
想起来在单墫老师的一个竞赛书（《数学竞赛研究教程》，不知道有多少竞赛党看过）里面写过的一个题：对于任何整数的有限集合，定义集合,，证明或否定这个问题乍一看摸不着头脑。这个好像还确实有一定的道理，因为随便举几个例子好像都是挺符合的。左边的是和，右边的是差。和里面两项是对称的，而差的两项可以交换。但是一看书后的答案。嗯。。。完全不知道是怎么得出来的。。。但是还是觉得很厉害。嗯。。。完全不知道是怎么得出来的。。。但是还是觉得很厉害。不知道这个算不算题主所说的。---------------------分割线----------------第一个百赞达成。。。
感觉上, 虽然上面的回答涉及的无一例外都是很有趣的数学问题, 但是距离真正的"暴力破解"还是有那么一丁点远......我理解的暴力应该是, 虽然结论看上去很简洁, 但是证明的过程却充满了非常复杂的技巧和非常独到的思想. 如果还要求优美, 则就远远不能单纯是技巧的堆砌.我来写一个我认为真正算得上"暴力破解"的.1954年阿姆斯特丹的国际数学家大会上, E. Calabi 提出了一个命题( 去几何与拓扑那一节可以看到原文):对于任何一个容许Kahler度规的紧复流形, 给定了任意一个上同调于其第一陈类的闭微分形式, 一定存在唯一的一个Kahler度规, 使得的Ricci形式恰好等于.这就是有名的Calabi 猜想. 为了照顾没学过微分几何的人, 稍微解释一下: "容许Kahler度规的紧复流形"可以简称为紧Kahler流形. 紧Kahler流形本身是一类非常特殊的空间. 在这个空间上面可以定义各种各样的"长度", 但是满足Kahler条件的"长度"(Kahler度规)却要受到很严格的限制; 比如说, Kahler度量的Ricci形式必须要代表流形本身的第一陈类(是一个仅和空间本身的拓扑有关的不变量). Calabi猜想以极其不平凡的方式反过来"放松"了对Kahler度规的限制, 即建立了第一陈类的上同调类和Kahler度规之间的一一对应. 它对于微分几何和代数几何有着极其深远的影响.这个猜想到底有多大的分量呢? 丘成桐发表于1978年的文章(给个链接: )证明了Calabi猜想, 这直接导致他获得了1982年的菲尔兹奖. 所以现在这个命题都叫做Calabi-Yau定理. 具体到这个猜想本身的分量, 只需举物理学中的一个例子即可. 从Calabi-Yau定理可以轻松地导出所谓Calabi-Yau流形的存在性, 而这种流形在弦论中扮演了极其重要的角色. 即便只是读过一点科普书, 也应该知道所谓"蜷缩得极小的额外维"; 这些"额外维"指的就是Calabi-Yau流形.回到猜想本身. 看上去, 它是一个纯几何的猜想; 它所说的是在容许的范围内对一个度规进行合理的形变, 使得它变成想要的样子. 然而, 这类形变问题实际上都有着很深刻的分析学背景(最好的例子是Hodge理论, 相当于紧微分流形上的偏微分方程理论同其本身的几何特性之间的联系, 可惜这里不能展开), 很难期望纯"几何"的解决方式. 所以, 要想解决Calabi猜想, 必须要借助非常非常"硬"的暴力手段. 打个比方, 如果这个数学问题是一个核桃, 那么Atiyah等等数学家会选择用合适的工具和精妙的技艺撬开核桃, 而丘成桐等等则选择用坚硬的锤子直接砸开核桃. 这才是真正的暴力破解.注: 所谓"纯几何"指的也不是初等几何学那种添几条辅助线倒一倒角玩玩相似三角形的"直观"的几何. 想要知道含义的, 可以看一看, 比如, 陈省身对Gauss-Bonnet定理的内蕴证明.到底是怎么暴力破解的呢? 借助一些非常几何的简单讨论, 可以把所要求解的形变问题完全转化成下面的偏微分方程问题:,其中是要求解的未知函数, 而其它的量统统代表已知的函数. 问题转化为: 对于任何适合命题条件的已知函数组, 证明解的存在性和唯一性(可以差一个常数加项, 这从方程本身很容易看出来).这个偏微分方程是极其复杂的, 因为它是完全非线性的方程. 要想体会其复杂程度, 不妨只在流形的复维数为2的时候把左右两边的行列式展开, 就可以稍微体会到其艰深.接下来就是显示丘成桐的"暴力破解"功力的时候了. 在这之前, 几何学家往往避免过多地触及微分方程, 即使碰到了, 处理方式也往往带有非常明显的几何学的考虑. 举例来讲, Frobenius定理就可改写为关于一阶偏微分方程组可积性的定理, 而它的证明是几何的, 证明出来之后也是要用来处理诸如叶状结构之类的几何问题.显然, 这些"软"手段在这里都失效了. 如果不写成微分方程的形式, 你该如何处理度规的存在性和唯一性问题? 对于Calabi猜想, 有一句话说"不变的记号都是骗人的", 指的就是必须要选定坐标域进行计算. 但是如果写成了微分方程的形式, 你该怎么证明解的存在性? 哪一条几何学的定理能够处理这样级别的存在性问题?注: 我们知道, 度规为平直的充要条件是相应的Riemann曲率张量等于零. 这等价于"好"坐标系的存在性, 也归结为微分方程的可积性问题, 应用Frobenius定理即可证明. 然而这里所涉及的是坐标这种"身外之物", 不是度规本身这种内在的结构.丘成桐给出了极其硬碰硬的手段: 直接依靠偏微分方程的理论来证明解的存在性和唯一性. 为什么说不全是技巧的堆砌? 因为一则证明中用到的方法其实追本溯源都源自很朴素的思想, 二则这证明本身为以后的几何学指明了方向(几何分析).限于篇幅, 这里不可能给出全部的细节, 只能大致地勾勒一下丘的证明思路.注: 丘成桐在这之前就已经积累起来了一系列的关于流形上偏微分方程的技巧, 在这里可说是集其大成.其实, 仔细分析起来, 这个方程也并非是没有突破点的. 根据条件, 应该是一个Kahler度规, 而形变的结果也是一个Kahler度规. 这表示: 为了让这方程在几何上有意义, 这方程就必须是强椭圆的. 而对于强椭圆的微分方程, 已经有一套比较完善的正则性理论(存在性, 唯一性和正则性). 这正是一个突破点; 如果强椭圆性和方程本身相容, 那么至少解的唯一性就可以保证了(通过极值原理). 至于存在性, 线性偏微分方程的理论中已经有使用连续形变方法证明存在性的例子(例如Schauder理论里面就有这样一个小小的技巧), 即将一个"陌生"的算子, 通过不改变某些特殊性质的形变, 变成一个熟悉的简单的算子, 然后就可以直接照搬简单的算子的结论了. 这里也采用了这种连续形变的方法. 具体说来, 考虑"形变"的方程参数等于1的时候方程回归原来的方程, 而等于零的时候则给出一个极其平凡的方程. 这方程当然存在解(常数), 精确到常数加项的唯一性也不难通过极大值原理证明. 如果设是区间内使得上面这个"形变"方程有解的那些参数的集合, 那么只要能证明又开又闭, 就可以由连通性得出; 从而对于(原来的方程), 解是存在的. 的开性的直观含义是, 只要对于某一个参数t这"形变"的方程存在解, 则对于这方程的右边进行微小扰动之后, 这样的解依旧是存在的. 换句话说, 这些讨论对于微扰是足够稳定的. 为此只需要借助基本的Schauder理论和标准的隐函数定理即可证明这个稳定性. 这是Calabi在提出猜想后不久就解决了的部分.而的闭性的直观含义则是, 解的序列应该在某种意义下收敛到一个解. 这是非常难以证明的; 实际上, 哪怕是对于线性的微分方程, 都很容易构造出来按任何意义都不收敛到解的解序列. 丘成桐的力量就体现在这里: 他没有进行任何的迂回, 而是直接借助复杂的偏微分方程理论给出了解的先验估计(即假定解存在的情况下, 估计解的各种性质; 尽管听上去很复杂, 但是这种例子在初等数学里面都有的是, 比如确定代数方程的解落在哪一个区间里面就属于先验估计). 只要有了先验估计, 后面的收敛问题就可以做为并不复杂的推论而得到了.为了进行估计, 要先想办法把方程转化成贴近线性问题的形式. 可以针对某一个自变量微分而得到:其中表示形变得到的新度规, 上标表示取逆. 这下问题就清楚了: 为了应用标准的线性椭圆微分方程的理论, 就需要对于函数直到第三阶的导数进行估计(实际上对于二阶导数, 只须估计的特征值即可, 因为控制方程椭圆性的其实就是它的特征值). 换句话说, 只要我们能够得到下面的四个不等式: ,,(作为二次型),,就可以通过反复地应用Schauder理论来证明: 任何解序列一定存在收敛到解的子序列. 这下就需要面对一个纯粹的分析学问题了.为了估计第零到第二阶的导数, 需要一个非常关键的式子:,其中的常数只依赖于所有的已知量. 假若能够得到一个对的先验估计, 那么这个关键的不等式便通过本身(零阶导数)限制了. 据此, Schauder理论(不是传统的Schauder内估计, 而是更广泛意义下的; 不用Schauder理论, 转而考虑上的Green函数和Poisson方程似乎也能达到同样的目的)便能够给出一阶导数的估计, 而方程本身外加此不等式立刻给出了对的特征值的估计. 换句话说, 丘把高阶导数的估计转化成了对函数本身的估计. 这是很了不起的.这个式子可以通过选取合适的辅助函数, 并反复应用极大值原理而得到. 具体说来, 丘成桐考虑了这样一个辅助函数:,其中是某个适当大的常数, 不过虽然可以很大但是只依赖于原来的度规. 这个函数的选取是大有讲究的(据说丘为了选这个辅助函数费了不少的力气), 因为它是非负的而又能够在上的某一点达到它的最大值(它是连续函数, 而是紧集). 从而若令, 即有.于是如果能够得到的只依赖于的先验估计, 这个辅助不等式就可以得到证明了.为此, 计算:这里出现了直到四阶的导数, 要想办法消去. 丘成桐应用一系列的不等式将其中高于二阶的导数全都消去了.首先对前三项利用Cauchy-Schwarz-Young不等式可以得到为了方便计算, 可以取定一个特殊的坐标系而让右边的表达式得到适当的简化, 最后还是可以得到不依赖坐标(coordinate free, or covariant)的表达式的. 选好此坐标系的同时, 还可以对方程本身再微分两次, 得到二至四阶导数之间的联系. 应用此方法经过一些细致的计算即可消去四阶导数, 从而得到这样一个不等式:其中是只与原来的度规的Riemann曲率有关的一个常数, 而被取得适当大使得.现在, 考虑使得取最大值的点. 由初等微积分立刻知道在这一点处, , 从而立刻就可以由初等的不等式知道是被一个只于背景常数有关的常量控制的; 又可立刻算出对流形上的任何点,由此即证得重要的辅助不等式.由Green函数方法可以得出和的估计. 又, 通过同一个辅助函数(是一个远远比前面的大的常数, 但是依旧无关于要求解的函数), 计算之后, 按照同之前相仿的步骤, 可以导出一个限制了的Sobolev模的不等式根据Sobolev空间的嵌入定理, 可以得到的积分的估计(只依赖). 接下来, 根据对一阶导数的Schauder估计, 容易通过中值定理知道, 可以适当选取只依赖流形本身的常数,使得在半径的测地球中取值的上界不超过其最小值的一半. 这样就可以估计出在这测地球上的积分的一个下界(决定于). 但的积分估计是已知的, 所以可以解出: 事实上也可以被估计出来.至此, 丘成桐完成了对不高于二阶的导数的先验估计.对于第三阶的导数, 丘成桐考虑的是的估计. 对这一项求Laplacian, 借助极值原理即可得到对三阶导数的估计了. 其实这一部分单独拿出来看也相当地暴力. 截图为证(论文原图):这只是计算中的一小部分.这只是计算中的一小部分.上面的这些概括是很简略的. 实际上具体做起来, 这些内容全都是非常非常复杂的计算, 尽管背后的想法是朴素的. 这确实是当得起"砸核桃"的说法: 为了达到目的, 不进行迂回, 只是将问题一步步地纳入到熟悉的框架之下, 然后进行直接的计算来表明可以在多大程度上应用已知的结果.然而, 总体来讲, 这个证明却也是很美的. 抛开它对于几何和分析的巨大意义, 它也可说是在几条简单的结论之下蕴含了丰富的信息, 并且体现了一种用蛮力对抗复杂的气势. 这在数学中实在是非常少见. 尾注: 我还会随时修改的.-----------------------------分割线--------------------------------点赞的人数在缓慢增长中, 于是我决定再补两笔, 把丘成桐使用的那个辅助函数贴上来...
看到上面那篇介绍丘成桐先生当年证明卡拉比猜想的文章有点感触。这里贴一篇大一工科水平的文章，介绍高斯用暴力法求解AGM问题。下面的积分为第一类椭圆积分。问题就是求极限，方法就是一顿级数展开计算，由此也能看出高斯的计算功力。但看本身，估计没人猜得出它与椭圆积分有关，高斯的工作就是推导出出联系。接下来高斯继续计算，方法类似，得到这个结果与前面提及的积分这个结果与前面提及的积分是等价的。拉丁文部分见《高斯全集》第三卷。我想这个例子应该是暴力与数学之美的结合体吧。
一些最初的证明，其实写得都不是很漂亮，是后人rewrite它们，使它们看起来很“自然”，“优美”，比如Plancherel theorem, Doob martingale inequality，我们学到的证明都很简单，但当时不是这样的，有兴趣的童鞋可以看看原文。 当然即使如此，很多证明看起来依然nasty，一些步骤看起来天马行空，俺最近在ellipitic PDE和minimal surface上花的功夫比较多，所以就举下面这个例子来给出说明。我们来谈谈elliptic PDE of divergent form里 regularity的三种证明：最开始是由De Giorgi给出的，发现很乱，反正我是看不下去，后来直到在Cafarelli的一堂课上学到了两个key points, 一个是area-volumn estimate（用isoperimetric inequality和微积分基本定理结合），加上energy type inequality（也叫Cacippoli inequality, reverse Poincare inequality) 可以给出height bound (所谓 estimate)，然后rescale可以给出oscillation lemma，即Holder regulairty. 才明白了所谓tricky的想法的本质是什么样的。顺便提出，以上两点是解决这类Holder regulairty很不错的办法，无论是PDE还是geometric variational problem. 有兴趣的童鞋可以读下相关专著。 尽管如此，要严格的证明，你会发现要控制很多很多变量和常数，外行看起来很暴力，但是对于有经验的数学工作者，则是充满了美感，忍不住想到了周易，一个“易”字道尽了一切。下一个证明是Nash-Moser迭代，对，就是那个美丽心灵里的约翰.那什。这个证明的关键是构造test function，然后问题就来啦，你是怎么想到那个test function的？俺到现在也是事后诸葛亮的水平，不说啦，即使学过的人大多还是摸不着头脑。这也算是暴力和美感相结合吧？然后，接下来就是regularity发展的一个cornerstone了，Companato's criteria，通过对weak derivative decay的积分估计，来证明holder regularity，大大简化并推广了这类问题的证明，看起来很爽，但这是站在前人肩膀上的。一个相关的概念是Morrey-Campanato space。 说白了，因为elliptic PDE 已经被人们做的差不多了，所以人们不断完善，使证明简化，把它们写进书里，对于其他还不太成熟的领域，人们还没有来得及重写。但无论是最初的证明，还是简化的证明，都是具有美感的——你会发现最初暴力的证明里蕴含美感（前提你能悟到），以及简化的优美的证明中存在着暴力（很多方法都是试出来的！）此外，以上佐证了很多牛的数学其实不是靠逻辑产生的，而是一刹那的灵感，灵感的诞生所导致的结论往往是没有道理的，硬要追根溯源，反而不美。所以这解释了为什么很多经典教材写得那么烂。。。以前从没写过对数学的理解，是看到zero同学写黎曼几何的专栏，觉得特别赞，就手痒找了个以前的问题答下。对混杂英文的排版和混乱的逻辑表示道歉，太忙，没时间整理了。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－注：一些方法用黑体来加注，表示极为重要，对做research有巨大的帮助，忍不住标上，可能着相了。一些感悟也用黑体来加注，是为了节省大家阅读时间。
想起来一个，000000
想到一道伊朗的不等式竞赛题，据说是为了说明：有的不等式证明题必须要通过通分暴算才能证明出来。下面贴图。-----------------------------------------------------------------手机党_(:з」∠)_手机党_(:з」∠)_伊朗96。很经典的一道题。（但是细想一下，这些不等式作为竞赛题，除了考验毅力，锻炼思维，其实也没有太多实用价值。）———————————————————————之前一直没有注意版权问题，此处声明pdf来自网络下载，作者为 @吴育昕—————————————————答主觉得，计算功底是一个做理工方面工作的人所必须具备的基本能力。一个人走的远不远，行的稳不稳，很大程度上与他的基本功是否扎实有关。所以，看到人工的暴算，我觉得更多的，是要发自内心的对演算者工作的肯定。高斯也曾觉得自己十分热爱计算，在那种没有计算机辅助的年代，他所做出的那一个个工作都显示出他过人的计算能力。现在的人们总是倾向于用计算机去模拟，辅助计算。或许，当我们来一次返璞归真，进行手动计算时，说不定对问题的理解能更加深刻。答主浅薄，略记此语，望大伙批评指正。
各位答了很多精妙的证明，很多人提到的暴力证明是用复杂的计算来证明定理。下面我来说一个“核弹打蚊子”式的证明，用非常powerful的定理解决简单问题，另外一种暴力，却又很优雅。证：是无理数假设 是有理数，和是互素正整数那么移项得与费马大定理(Fermat's last therorem)矛盾, Q.E.D.P.S.1. 注意因为费马大定理不够强，不能用它证是无理数。核弹也有打不到的蚊子哦~2. 如果你有幸穿越时空，请勿在1995年以前使用此证明。/*谢@ 留言指出费马大定理：时，没有正整数解证明过程：1770年，证明 n=3 时定理成立1823年，证明 n=5 时定理成立。1839年，证明 n=7 时定理成立。1850年，证明 n&100 时定理成立。1955年，以电脑计算证明 n&4002 时定理成立。1976年，以电脑计算证明了 n&12500 时定理成立。1985年，以电脑计算证明了 n& 时定理成立。1987年，以电脑计算证明了 n&10^1800000 时定理成立。1995年，证明 n&2 时定理成立。证明费马大定理的过程也很暴力啊~*/
这篇答案不是我原创作者是Matrix67特此声明！------------------------这个是正经回答-------------------------------------------------------------------------------1.最经典的“无字证明”1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。严格地说，这个本来不算数学证明的。但它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。因此，这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》（Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection）一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中，类似的流氓证明数不胜数，不过上面这个可能算是最经典的了。2.旋轮线的面积车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。3.欧拉的流氓证明法在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。出处：作者:Matrix67-------------------------再补上physixfan的果壳某篇文章-------------------------------------------------------先上链接：、再 那篇文章列举了十种麻烦大家自己去看啊我只搬运我觉得好玩的~在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁o加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。--------------------------------我觉得我可能跑题了但是我就是想回答--------------------------------------我去这个问题是怎样就这么愉快的火了逼着我回来修改这是我崇拜的大牛Matrix 67的文章，在果壳的超怀念熬夜看他博文的日子呢瞬间勾起了我学数学的兴趣：）以及 我所理解的暴力的证明就是 不需要用语言来解释的证明我只是个搬运工希望大家不会嫌弃：）仅此再次为我喜欢的两位大牛献上我的膝盖楠晗
历史上一些著名数学家做抛硬币试验的数据：一想到伟大的数学家们为了证明概率论而每天抛硬币，我就忧伤不已。
证明:“不存在60阶以下的非abel单群”60阶群那复杂的结构对于当时刚接触抽代的我来说简直就像照头一闷棍，然后我还是找了篇论文慢慢看。最后证明方法:1到59阶讨论一遍。写出来就只有两页纸，当时心中那个一万头草泥马奔腾而过。
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