第十五讲 几何复习
定理1 梅涅劳斯定理
设A?、B?、C?分别是?ABC的三边BC、CA、AB所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A?、B?、
BA?CB?AC?C?共线的充要条件是???1． A?CB?AC?B
梅涅劳斯定理的角元形式
设A?、B?、C?分别是?ABC三边BC、CA、AB所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A?、B?、
sin?BAA?sin?ACC?sin?CBB?C?三点共线的充要条件是???1． ???sin?AACsin?CCBsin?BBA
定理2 塞瓦定理
设A?、B?、C?分别是?ABC的三边BC、CA、AB所在直线上的点（即三点中全部或只有一点在边
BA?CB?AC?上），则三直线AA?、BB?、CC?共点或平行的充要条件是???1． A?CB?AC?B
塞瓦定理的角元形式
设A?、B?、C?分别是?ABC的三边BC、CA、AB所在直线上的点（即三点中全部或只有一点在边
sin?BAA?sin?ACC?sin?CBB?上），则三直线AA?、BB?、CC?共点或平行的充要条件是???1． sin?A?ACsin?C?CBsin?B?BA
?、CA?、?AB上点，AA1、BB1、CC1共点的充要条推论 设A1,B1,C1分别是?ABC的外接圆三段弧BC
BACBAC1?1． 件是1?1?A1CB1AC1B
2. 与三角形一顶点引出的射线上的点有关的两个定理
定理3 张角定理
设点P为从△ABC的顶点A引出的一条射线AP上的点，线段BP、PC对点A的张角分别为?、?，
sin(???)sin?sin?且????180?，则B、P、C共线的充要条件是． ??APACABA
证明 如图，有
B、P、C三点共线?S△ABC?S△ABP?S△APC 111?AB?AC?sin(???)?AB?AP?sin??AP?AC?sin? 222
sin(???)sin?sin?BPC ???APACAB
斯特瓦尔特定理
设点P外从?ABC的顶点A引出的一条射线AP上的点，则B、P、C共线的充要条件是
PCBPAP2?AB2??AC2??BP?PC． BCBC
3. 高一·联赛班·秋季第15讲·学生版
定理5 托勒密定理
从?ABC形外一点D与三顶点连线，则点D在?ABC外接圆上的充要条件是AB?DC?AC?BD?BC?AD．
定理6 西姆松定理
从?ABC形外一点引三边BC、AB、AC所在直线垂线，垂足是L、M、N，则点D在?ABC的外接圆上的充要条件是L、M、N共线，即LN?LM?MN．
4. 定理7 正弦定理
在?ABC中，若角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，其面积记为S?ABC，则 abcabc?d?2R（d,R分别是?ABC外接圆的直径和半径）???． sinAsinBsinC2S?ABC
定理8 余弦定理
在?ABC中，若?A,?B,?C所对的边长分别为a,b,c，则 c2?a2?b2?2abcosC，b2?c2?a2?2cacosB，a2?b2?c2?2bccosA．
5. 定理9 圆中张角定理
?CAD??．则ABsin??ADsin??ACsin(???)． 若AB、AC、AD是圆O的三条弦?BAC??，
证明 如图，设圆O的半径为R，联结BC、BD、CD，
CD?2Rsin?，BD?2Rsin(???) 则由正弦定理，BC?2Rsin?，A
又由托勒密定理得 αDBC?AD?CD?AB?AC?BD O即AD?2Rsin??AB?2Rsin??AC?2Rsin(???) α即ABsin??ADsin??ADsin(???)
BC⑴ 若联结BC、CD，作?DCE??BCA，CE与AD的延长线交于点E，
CEDE则由?CDE??CBA，知△CDE∽△CBA，故?E??，且． ?ACAB
在△ACE中应用正弦定理，并注意到sin?ACE?sin(???) ACAEAD?DEDECEsin???即可推得及 ??sin?sin(???)sin(???)ABACsin?
从而ACsin(???)?ADsin??DEsin??ADsina?ABsin? ⑵ 圆中张角定理的逆定理也成立．
?CAD??，?BAD?????180? 由点A发出的三条射线上各有点B、C、D，记?BAC??，
若ABsin??ADsin??ACsin(???)，则A、B、C、D四点共圆． 事实上，可过A、B、D三点作圆，交射线AC于点C?，则由圆中张角定理，有 AC?sin(???)?ABsin??ADsin?
由题设有ACsin(???)?ABsin??ADsin?
得AC??AC，由此即得知点C?与点C重合．故A、B、C、D四点共圆．
由上述定理可得如下推论． E
2 高一·联赛班·秋季第15讲·学生版
推论1 当???，即AC平分?BAD时，则AB?AD?2ACcos?
推论2 当??180???，即AC平分?BAD的外角时，则AB?AD?2ACcos?
事实上，如图，设直线AC与BD的延长线交于点E，联结BC．若EA?BAC??，知 AB?AD，则由?DAC??，
?BAD?????180??2?
D从而有AB?AD?2ACcos?
若AC?AD，则由
?BAC??，?DAC??
B若?BAD?????180??2??2??180?
亦有AB?AD?2ACcos?
此定理建立了圆中具有公共端点的三条弦及其夹角之间的数量关系，也称之为三弦夹角定理，巧妙地运用它解有关的平几题目，思路清晰、新颖，过程简捷、明快，颇具特色．
定理10 圆幂定理
过⊙O所在平面上一点A作直线BC，与圆分别交与点B、C，记⊙O的半径为r，AO的距离为d，????????则AB?AC?d2?r2，一般把这个值叫做点A到⊙O的圆幂．
当A在圆外时，圆幂定理即切割线定理；
当A在圆内时，圆幂定理即相交弦定理．
下面简单介绍一下根轴：
到两个圆心不重合的圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，这条直线称为这两个圆的根轴．
当这两个圆相交时，根轴为两个圆的公共弦所在的直线；
当这两个圆相切时，根轴为两个圆的共切线；
其他情形时只有代数规律起作用，根轴没有确切的几何意义．
【例1】 四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行．证明：另一条对角
线的延长线平分对边交点连成的线段．
【例2】 设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H．证明：
11SABCD≤EG?HF≤(AB?CD)?(AD?BC)． 22
高一·联赛班·秋季第15讲·学生版
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第Ⅰ卷选择题　共60分
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1．若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是
x-32+ 2=1 B．
x-22+y-12=1
C．
x-12+y-32=1 D．
2+y-12=1
【答案】B
2．圆心在直线x=y上且与x轴相切于点（1,0）的圆的方程为
A．x-1 +y =1
B．x-1 +y-1 =1
C．x+1 +y-1 =1 D．x+1 +y+1 =1
【答案】B
3．已知两条直线 和 互相平行，则 等于
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