最难试题——江苏数学卷&& 考友点评：内牛满面
·高考江苏数学卷——8成考生说太难：&&&参与调查的考生中，有76.6%表示，试卷太难，根本做不完；认为难度中等，基本上做完的考生有8.%；有15.1%的考生认为不难。看试题&参与调查
　　第一是试卷的总体难度大于去年。第二个特点就是试卷内容源于课本，高于课本。第三是综合题背景的新颖，涉及的知识点多，考查学生继续学习的能力。第四是重点知识重点考查。如第12、14、17、19、20题均与函数、不等式知识有关，这些试题均是试卷中的能力题，多次用到基本不等式知识，这一点和前两年的试题特点一致。·
　　江苏高考数学卷有多难？来自江苏的一网友给本网留言称“一出考场，女生基本上都在哭。”果然，在本网公布江苏数学卷之后，留言板、教育论坛的网友纷纷跟帖，考生们用“考出内伤”“内牛满面”来形容自己走出考场的心情。还有网友要求出题者现身给出说法，因为“这题跟奥数有一拼”。
最讲政治试题——北京语文卷& 考友点评：考党报头版标题
·高考北京语文卷——6成考生说不难：&&&参与调查的考生中，绝大多数表示语文不难，基本上能做完。看试题&参与调查
　　今年高考语文命题思路整体与往年保持一致，一个比较明显的变化就是增加了“阅读延伸题”。课改主张考生研究性学习，增加延伸题就是为了强调学生的感悟力、发现能力和见解能力，这样的题其实是向优等生倾斜。考生反映，感觉这道延伸题没有评判标准，不知道什么样的答案才是标准答案。·考生：作文题很主流&&&考过北京语文卷，才知道什么叫讲政治。作文试题是5月5日人民日报头版的一篇新闻的标题！还有今年新课改第一年，一直讲平稳，看到语文试卷才知道什么将平稳，跟去年的变化不大，就多了一道延伸阅读，分数不多，而且只要言之有理就给分！知道考题来源于报纸，不知有多少“两耳不闻窗外事”的好学生后悔没多看点报纸和电视。
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最潮试题——河南语文卷&& 考友点评：猫吃鱼比兔子赛跑难写
　　今年的高考语文卷，题型稳定，难度有所增加，紧扣时代脉搏，注重能力考查。全卷共21题，题型基本没变，这与最后一年老教材考试相适应。但今年的试题稳中有变，比如作文一改前两年的新材料作文为漫画作文，增加了审题立意的难度。第18题和第19题，内容分别涉及上海世博会和低碳经济，紧扣时代脉搏。增强了时代性。·考生：时间紧&不顺手　　“我觉得，语文时间很紧张。”一位考生说，她只有20多分钟的时间写作文。尽管看上去，语文试题的题型与去年差不多，但做起来却没去年顺手。考生觉得，题做起来不顺手一方面也体现在作文上，简单的一幅漫画，四只猫，四条鱼，一只老鼠，一句话“都什么年代了，有鱼吃还捉老鼠”。有些考生不适应，尽管心里清楚，很难用语言准确概括出来。
·高考河南语文卷——4成考生认为难：&&&参与调查的考生中，有42%表示，试卷太难，根本做不完；认为难度中等，基本上做完的考生有28.3%；有29.7%的考生认为不难。看试题&参与调查
最开心试题——重庆数学（文） 考友点评：比想象的容易
　　2010年高考数学试题难度与2009比较，中等生认为比去年简单，优等生认为同去年相仿，我认为没有大的变化。可以说，今年这套试题最大的优点是稳住了中等生，不像去年，许多学生考了出来很沮丧。预计今年数学科的重点线在105至110之间。·
　　数学考试后，几乎让每个学生露出笑脸。“比想象的要简单一些。”面对记者采访，不少文科生大呼数学考得比预想的要理想。
·高考重庆数学卷——5成考生都做完：&&&参与调查的考生中，有46.2%表示不难；认为难度中等，基本上做完的考生有11.5%；有42.3%的考生认为难。看试题&参与调查
独家：各地名师点评试题
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人民网独家点评各地试卷
点评人：北京市陈经纶特级教师&崔秀琴　　新高考说明，课程标准是一个高标，如一面旗帜，它必须有引领性，呐喊性，今年的北京高考作文仰望星空与脚踏实地就很好地起到了这个作用。它招&&引着考生，招引着教育工作者，招引着国人——我们在生活中社会上，既要有理想有目标有追求，又要有努力行动有落实。不要好高骛远，不切实际；不要低头赶路，没有方向。题目不但对考生并且对整个教育与社会都有正向引导的作用。·
点评人：北京市陈经纶特级教师&丁益祥　　2010年北京卷在题型、题量上与前几年大纲版试卷的传统保持一致的前提下，继续坚持了创新型试题的命制。例如文理科第（8）题，都是以正方体为背景，在运动变化的状态下，要求考生研究三棱锥体积与哪些量有关，与哪些量无关的问题，动中求静，动静结合；文理科第（14）题，都是以沿&轴滚动的正方形的一个顶点所形成的图形为着眼点，考查函数的性质以及平面图形的面积问题，视角独特，设计新颖，不失为优秀的试题；·
点评人：北京四中高级教师&苗金利　　今年高考数学题（北京卷）是近几年来，对各类学生都有区分度的一套题。因为涉及的知识点多（原有的传统重要考点，以及新课标加入的内容分别在文、理卷中都有考查，如三视图、极坐标、平面几何与算法等），考察都是主干知识，入口比较宽，对于高中阶段所讲的所有知识点及数学思想方法都有渗透，这对于知识体系有漏洞的的学生不利。
点评人：海南中学英语教师&&刘向辉　“听力稍微有点难度，难就难在直来直去的问题比较少，但如果学生在不紧张的情况下答题还是可以的。”&刘向辉说，因为英语听力中设置了不少“陷阱”，拐弯抹角的问题比较多，这给考生答题带来了一定的困难，但这些在平常的训练中也都经历过。在词汇量方面，刘向辉说，生词量不大，都是在平时的训练范围内，也在考纲的范围内，完形填空只要考生先把文章看完，做起来应该也是比较顺手的。·
点评人：海南华侨中学高三语文组组长&高居贤&&&高老师表示，今年的作文类型依旧是“新材料作文”，给考生提供了多则材料，包含有多个主题，审题难度不高。但高老师认为，今年的题目在考察学生分辨辨别能力的难度上有所增加，尤其是对每个材料主题的把握是否准确，是今年高考题目的主要难点。·
点评人：海南中学数学老师黄耀清&&&&黄老师说，今年数学科目的题目比较传统、平稳，没有大起大落。只要考生平时多做练习、课上认真听老师所补充的知识点，就有充足的时间完成此次考试。除了第19题“统计概率”是课改时所教的新内容，可能平时老师教学生复习时提到新内容不大可能会考到，考生看到19题时会一下子懵了，会感觉有些陌生、不会做，但其实这道题目很简单，只要用课本上所教的公式代入即可得到答案。
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特邀点评专家简历
北京陈经纶中学特级教师丁益祥：全国著名数学特级教师，北京市陈经纶中学首席教师，数学教研组组长。是北京市优秀教师，中国科协教育专家委员会学术委员，中国管理科学研究院特约研究员，首都师范大学特级教师工作中心兼职硕士生导师，北京市高考评价组成员，北京市高中课改学科专家指导组成员，北京教科院中学数学兼职教研员。
北京陈经纶中学特级教师崔秀琴：1998年12月被评为河南省特级教师。1992年被评为开封市优秀教师，1999年获九五国家级重点课题——整体构建学校德育体系优秀成果一等奖。2000年被为开封市专业技术拔尖人才。2002年6月由人才引进调来北京陈经纶中学。
北京陈经纶中学特级教师王大绩：现任北京市教育学会语文教学研究会常务理事，北京市教育科学研究院兼职教研员，北京市朝阳区教育学院特聘顾问，中国科协教育学术委员会委员，《同学月刊》、《考试》杂志编委，《中国高校招生》、《中学语文》特聘专家。长期从事高三教学、教研工作。
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全国卷1(晋、豫、冀、赣、鄂、湘、粤、皖、闽)
数学（文）
数学（理）
全国卷2（贵、甘、青、藏、吉、宁、蒙、黑、疆、云、辽）
数学（文）
数学（理）
全国卷3（渝、桂、陕）
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2006年各地高考试题及答案(word版)
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China Schoolmaster&2009发现双基因拆分法时，发现一直以来不会的遗传第二问被解开了！当发现洛必达时导数被秒了！ 高中知识虽然回头看简单，那些曾经顿悟时跨过的坑你还记得吗，还有那些秒杀大法，大学知识解高中题，自行总结的公式规律！ —————————————————————————————————
日填坑：先上这次全省一模考试的成绩给自己背书装个B2333：本来是想装完B就跑的， 没想到评论区这么多人翘首以盼，而且随随便便回答一下成了我赞数最多的答案。本着讲解一下这些也有利于自己的理解，加上不愿辜负大家，开始填坑。（我真的很懒啊，尤其这种坑，数学公式简直日了我的克尔苏加德……）我将从简单的、我掌握牢靠的、高考能经常用到的开始讲起。最后几个我自己可能也有些漏洞和问题，希望大家尽管提问，大神看到了请迅速、轻柔的打脸。谢谢。还有请问TeX公式怎么搞出分数形式？我是全国卷1的考生，所以以下对一些试题分析都是针对全国卷。1.平面方程：平面方程我用的很少，立体几何方面，我个人发现，文数一般是问点到线 点到平面距离等，而理科多半是问平面夹角，线线夹角。大家知道点线距离公式：点P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0的距离可表示为：这是把直线化为了标准方程。同样，对于一个平面也有他的方程形式，分为：截距式、点法式和法线式。对于平面的截距式方程，有：设平面与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)则平面方程的截距式为:可以将它转化为平面标准方程：那么，点到平面的距离公式为：怎么样，是不是跟点线距离公式很像。还有一个点法式，这方面题做的比较少，也很少用到这个，我直接引用百度百科了（词条：平面方程）：n·MM'=0, n=(A,B,C),MM'=(x-x0,y-y0,z-z0)A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0三点求平面可以取向量积为法线任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2) 注：abs()为求绝对值，sqrt()为平方根。附一个百度百科证明（词条：点到平面距离）：对于法线式，我认为高中完全不需要掌握。另外，正规高中教的解法应该为：（1） 作垂线等辅助线，后解得，或进一步构造三角形，解三角形。（2）将点到面的距离问题与立体体积联系起来，用等体积法。（3） 用法向量，然后求射影。2. 隐函数求导。主要用途：针对问圆锥曲线求切线问题。百度百科隐函数词条：如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。F(x,y)=0即隐函数是相对于来说的。注意这里有两点：1.隐函数是针对方程来说的，所以不涉及函数的定义：如果对于任意一个X都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称y是x的函数。也就是说，隐函数一个x可以有多个y与其对应。2.隐函数简单的说，是把y看做是x的一个函数。那么这样做有什么意义呢？先说比如针对y=2x ，求导后 y'=2所以斜率处处是2.y=x^2,求导后y'=2x，所以对于(x0,y0)一点，斜率为2x0.。那么对于
这样的圆形标准方程呢？我们可以把y看成关于x的一个函数，即就是y=f(x) , y'=f'(x)变形一下上面圆形方程：对这个圆方程的x求导（这貌似设计到偏导数还是啥的一些概念，我不太清晰）也就是
（这里使用了复合函数求导（教科书中内容），链式法则）结合y=f(x) ，y'=f'(x)圆形方程两边对x求导，也就是:得：那么对于圆： 上一点（x0,y0)，的切线斜率k即为： k= 同样，对于圆锥曲线同样适用。如：整理得：方程两边对x求导，得：整理得：3.洛必达法则：洛必达法则(L'H?pital's rule）是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。注： 只适用于对 0/0 和 无穷/无穷 情况，对于： 这样的，需要转化为上述形式，否则不试用。 这样的，需要转化为上述形式，否则不试用。针对用，非常简单：对于x趋近于a的极限上下两边都是0或者无穷的话，直接求导之后带极限进去就可以了（如果是y=f(x) ，可以自行构造出f(x) / g(x) 这样的函数形式再求极限。如针对：（2011年全国新课标理）已知函数，曲线y=f(x)在点(1,(1))f处的切线方程为x+2y -3 = 0（Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当x&0，且x ≠ 1时，，求k的取值范围.洛必达法则的使用简单粗暴，易用高效。不过高考中不能直接使用（强行使用需要证明，证明常见的一种方法是拉格朗日中值定理，不过这个我一直不知道怎么用到高考中，只知道大概几何形式咋回事，不了解）。但是我们可以使用洛必达法则强行求出极值点，然后再进行讨论。这类题，一般高考中常规解法是针对极值点左右区间进行讨论，证明那个点是极值点。另外高考最后压轴导数题，常见还有多次求导（构造函数也可以），来研究增减性，极值问题。对于洛必达法则，可能很多人不好理解，我在这里简单给一种帮助理解的方法。注：不是证明！不是证明！不是证明！对于：有：字写的太烂，所以一直尽量不手写。这个不是证明，而且这里其实有很多的问题，我以前一直不太能理解洛必达法则，后来在数学百度贴吧看到了这个理解方法，就稍微理解了一些。附完整的洛必达法则（以前老听说，但是看这个看不懂）：4. 仿射不变性若一个图形具有某种性质或者某个量，在平行射影下，如果不变，称这个性质为仿射不变性质，这个量称为仿射不变量。经过仿射对应它们也是不变的。同素性、结合性都是仿射不变性质（也就是说，仿射对应把共点的线变成共点的线，把共线的点变成共线的点）。平行四边形在仿射对应下的象还是平行四边形。仿射不变性是指，将一个椭圆通过放缩成一个圆，有以下关系变化（图片来自 猿辅导，蔡德锦老师的《【学霸系列2】高等数学在高考中的常见应用》 如有侵权，请私信我，将于48小时之内删除 ）： 这个特性能够非常简单的处理 对于圆锥曲线中问某面积是否为定值，何时最大值，某两直线斜率乘积是否为定值问题。如：对于此，我推荐百度贴吧的一篇帖子：对于此，我推荐百度贴吧的一篇帖子：以及猿辅导蔡德锦老师的课。在这里我说的不是很清楚，另外关于这个也不太建议使用，因为上面那些哪些变了哪些没变，说不清楚，以及没法用高中知识轻易证明。这个可以用来简化计算量。——————————————————好了好了就说这么多吧，我还是太弱了，剩下两个“特征根方程” “一阶常微分” 我说不动了……讲不下去辣！我就这么太监辣！我已经日了克尔苏加德辣，不要再让我日拉格纳罗斯了……我还是太懒辣。附参考资料：百度百科 《平面方程》百度百科 《点面距离公式》百度贴吧 《椭圆仿射变换(简易版)》猿辅导 蔡德锦老师《【学霸系列】高等数学在高考中的常见应用》…………等。。。建议可以去看看猿辅导的 蔡德锦老师《【学霸系列】高等数学在高考中的常见应用》 ，我很多东西都是从那里来的。 他在评论区出现了，他的回答也非常棒！——————————————————最后说说一些我的私货：我从上高中以来，关于数学方面的书，认真学习过的和随便翻翻的，大概有如下这些（不是每一本都认真学过，但是基本每一本都翻过）：
我在高中经常钻研这些奇奇怪怪的奇技淫巧，但是又不求甚解，总是知道个大概为什么，可以应用在什么地方之后就作罢，所以在高中人称谢屌，人称装B狗。
是啊，这些知识也就是装个B博君一乐罢了。高考中我依然是老老实实的常规方法答题。
我之所以说了这么多，一是大家太热情，二也是希望借此机会巩固一下自己的知识。
我希望大家，了解一下这些就可以了，不要太过深钻，或者强行使用这些技巧，高中会吃亏的。这些都是屠龙之技，然而世界上没有龙，屠龙之技再精湛，屠给谁看呢？ 高考，我觉得就是一种机械性的考试。学了再多高等数学也没什么作用，不如多做两张数学题——因为考的也就是那两样。高考更多的是需要秀，装B给阅卷老师看：“你看我会这种方法哦。（英语尤甚，下面再说）” 我上高三第一次数学考试70/150，做了15年全国12卷，14年全国12卷，4套并且认真分析之后，我第二次考试就110+了。所以我觉得高考还是熟练掌握方法就好了。圆锥曲线无非就是联立一下，随便搞搞。导数无非就是求导一下随便搞搞。考的都是有套路的。说说英语，英语作文我觉得就明显是装B给老师看的。自从我英语常用从句套从句、无灵主语、悬垂结构、倒装等等稍微高级点的语法句式，再把 As we know 之类的换成 It is universally acknowledged that 把 在我们XXX中最重要的，用 What counts tremendously in XXX is nothing but ……这样的万能句子一用，作文很少下20分（以前都是15 16分）。 所以我对英语作文理解就是作秀给老师看：”老师你看我多牛B，我会倒装哦！我知道啥叫悬垂结构哦！我知道pulchritudinous的意思哦~ “这样下来分就不低了2333.其他答主的回答比我高到不知道哪里去了，我实在也不是谦虚，我一个普通中学的高中生怎么就被你们认为是数学大神了呢？但是评论区里讲：”我们大家已经研究决定辣，就决定是你来给我们讲讲。“ 我也就说：”苟利考生生死以，岂因自己避趋之？“于是做了这些微小的工作。谢谢大家。最后，有什么请继续评论跟进，打脸也好建议也罢亦或是有什么问题，统统招呼过来，这样也是帮助我自己。————————————————————————以下是原回答：1.洛必达法则。2.一阶常微分。3.特征根方程。4.仿射不变性。
----没想到评论区这么热闹。看来挺多人看的。 我再补充两个。 5. 隐函数求导。6.平面方程（这个貌似文科用的比较多 理科用到的比较少。）我最早31号晚上开始填坑 最晚5号之前 记得提醒我！
7看到各路大神写得这么爽，我也来写一点奇技淫巧吧。。。虽然现在看来都是那么的显而易见不值一提&br&&br&立体几何&br&建系求平面夹角余弦值时，算好了法向量用夹角公式求到了一个数，却不知道是正是负？自己空间想象能力堪忧不说，做了那么久的题想看那恶心复杂的要死的图来判断脑子不烧了？&br&&br&只要让两个法向量竖坐标符号相反，即保证一个法向量从上往下插入平面，另一个法向量从下往上插入平面，噫，做完啦&br&============我是分割线=============&br&1月28日7:33PM的更正，感谢@&a href=&/people/jiaheng-shang& class=&internal&&qwerty&/a&&br&&br&回复 qwerty ：不是。。其实我之前表述得有些问题，让两个法向量竖坐标异号其实只在夹角大于π/2才成立，对于小于π/2，两个法向量竖坐标还居然是同号。。（有些日子没做了画了个图确认了一下发现前面写得不太对 等会我改一下答案），不过后面那句“一个法向量从底面插上去和另一个从上面插进底面”是屡试不爽的。。 &br&&img src=&/98fec0c08bdefaf3a8d1_b.png& data-rawheight=&606& data-rawwidth=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&/98fec0c08bdefaf3a8d1_r.png&&&br&&br&（手机党别怪我伤害脖子。。）&br&============分割线完毕============&br&&br&还是立体几何&br&求证某点在某空间直线上？求证某点把某一空间直线成比例分？尼玛这是要我求空间直线方程的节奏？难不成还要我掉过头用传统法证？&br&&br&某次周测里灵机一动，把某点所在的向量拆成两个已知的向量，再用一下向量共线充要条件，噫，这不共线了嘛&br&后来发现这简直是通法，参考答案里那些用传统法绕半边天的简直弱爆了！&br&算成比例有一个烦人的方程组？&br&某次做完学校发下的模考高考立体几何专题，发现带入2，3 ，根号2，根号3，根号5 检验，算完&br&&br&&br&多项式类数列放缩&br&把分母拆了n次，算出来的数字还是比要证的数字大啊！&br&&br&某次模考讲评课上老师讲了一个方法：通过构造一个能裂项相消的分式（通分后其实就是原来分式的分母减去一个常数A），再通过待定系数法（分母分别是Bn-C和Bn+D），强制裂项后比较一下系数 常数 目标数字，确定那些字母，卧槽，简直神了，答案那些神来的减去1/16啊1/64是这么来的！&br&=====================1月29日更新=====================================&br&应知友@&a href=&/people/tan-si-ying-23& class=&internal&&谈思颖&/a& 要求我就写一些具体方法吧。。。这里我顺便写一下我当年是怎么学做这类题的思考历程吧。。不喜欢的可以跳过直接看后面。&br&我们就先来看几个栗子。。。&br&1、求证&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%7D++%3C2& alt=&\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^2}}
&2& eeimg=&1&&&br&（一轮复习刚好复习到数列，在做题目回味一下没动了一两个月的题型）&br&&br&这还不容易吗，就是要证明&img src=&///equation?tex=%5CSigma+%5Cfrac%7B1%7D%7B4n%5E2%7D%3C+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+& alt=&\Sigma \frac{1}{4n^2}& \frac{1}{2} & eeimg=&1&&嘛，直接&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B4k%5E2%7D%3C+%5Cfrac%7B1%7D%7B4k%5E2-1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2k-1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%2B1%7D+%29& alt=&\frac{1}{4k^2}& \frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{2}( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} )& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%5CRightarrow+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2k-1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%2B1%7D++%7D+%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%2B1%7D%3C1& alt=&\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}
} =1-\frac{1}{2n+1}&1& eeimg=&1&&，后面我都懒得写&br&&br&&br&------------------------------------------------(1月31日修改）-------------------------------------------------------------------&br&感谢@&a href=&/people/tan-si-ying-23& class=&internal&&谈思颖&/a& 、@&a href=&/people/gou-fu-77& class=&internal&&苟富&/a&，原例2是个错题。。。。（╯o口o）╯╧╧对例2做出了改动，增加了3.5.。。&br&&br&2、求证&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%7D++%3C%5Cfrac%7B33%7D%7B20%7D+& alt=&\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^2}}
&\frac{33}{20} & eeimg=&1&&&br&（某次周测中）&br&&br&咦，这好像还真有点难度喔，难道是拆成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bk-1%7D+-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D& alt=&\frac{1}{k-1} -\frac{1}{k}& eeimg=&1&&？尼玛k=1的时候岂不&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B0%7D+%E4%BA%86%E5%90%97& alt=&\frac{1}{0} 了吗& eeimg=&1&&了吗&br&（苦思冥想……）&br&哦！第三项开始再放缩不就好啦&br&k=1,2时，显然成立；&br&k&=3时，&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B4k%5E2%7D%3C+%5Cfrac%7B1%7D%7B4k%5E2-1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2k-1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%2B1%7D+%29& alt=&\frac{1}{4k^2}& \frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{2}( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} )& eeimg=&1&&,&br&因此&br&&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B4n%5E2%7D+%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Ctimes+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E2%7D%29%2B%5Csum_%7Bk%3D3%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B4n%5E2%7D+%7D%3C+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Ctimes+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E2%7D%29%2B+%5Csum_%7Bk%3D3%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D++%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2k-1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%2B1%7D%29++%7D+%3D%5Cfrac%7B33%7D%7B80%7D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%2B1%7D%3C%5Cfrac%7B33%7D%7B80%7D+& alt=&\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{4n^2} } =\frac{1}{4}\times ( \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2})+\sum_{k=3}^{n}{\frac{1}{4n^2} }& \frac{1}{4}\times ( \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2})+ \sum_{k=3}^{n}{\frac{1}{2}
(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})
} =\frac{33}{80} -\frac{1}{2n+1}&\frac{33}{80} & eeimg=&1&&&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5CRightarrow+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%7D++%3C%5Cfrac%7B33%7D%7B20%7D+& alt=&\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^2}}
&\frac{33}{20} & eeimg=&1&&&br&卧槽我太tm机智了！&br&&br&&br&&br&3、求证&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bk%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%282k%2B1%29%7D%7D++%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+& alt=&\sum_{k=1}^{k}{\frac{1}{2k(2k+1)}}
&\frac{1}{3} & eeimg=&1&&&br&（去年的妖都恶魔还是佛山恶魔来着）&br&&br&嗯。。。很明显嘛，变成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2k-1%7D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%2B1%7D& alt=&\frac{1}{2k-1} -\frac{1}{2k+1}& eeimg=&1&&，写写写……&br&（30s后）&br&咦，纳尼，&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+& alt=&\frac{4}{3} & eeimg=&1&&？一定是我算错了，检查一下……&br&噫，我没写错啊，看来放得不对，再试试。。。2k+1的1去掉试试。。&br&噫，纳尼，&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B4k%5E2%7D+& alt=&\frac{1}{4k^2} & eeimg=&1&&又要放？（馆长脸）&br&%*%@！#&}（^&br&（最后忘了怎么做的，印象里好像把上面错误的东西强行改成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+& alt=&\frac{1}{3} & eeimg=&1&&，最后发卷的时候好像居然当我全对了……估计改卷的并不怎么认真）&br&（1月31日更新。。当时我是第二项还是第三开始放的。。好下岗是放成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2k-1%7D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%2B1%7D& alt=&\frac{1}{2k-1} -\frac{1}{2k+1}& eeimg=&1&&总之不是做错的~）&br&于是乎看一看发下的标准答案：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%282k%2B1%29%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4k%5E2%2B2k%7D%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B4k%5E2%2B2k-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D+%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2k-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D++-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D+%29& alt=&\frac{1}{2k(2k+1)}=\frac{1}{4k^2+2k}&\frac{1}{4k^2+2k-\frac{3}{4} }=\frac{1}{2}( \frac{1}{2k-\frac{1}{2} }
-\frac{1}{2k+\frac{3}{2} } )& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5CRightarrow+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%282k%2B1%29%7D%7D++%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4n%2B3%7D++%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+& alt=&\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}{ \frac{1}{2k(2k+1)}}
&\frac{1}{3}-\frac{1}{4n+3}
&\frac{1}{3} & eeimg=&1&&&br&卧槽这是什么鬼什么妖术，分母减去了3/4这种稀奇古怪的数字！！！卧槽我做了这么多题我还没见过不是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7BAn-B%7D+-%5Cfrac%7B1%7D%7BAn%2BB%7D+& alt=&\frac{1}{An-B} -\frac{1}{An+B} & eeimg=&1&&这种前后加减相同数字的裂项啊！！！是我太naive了吗卧槽我没见过这种裂法我得记下来……&br&&br&&br&&br&3.5、求证&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%282k-1%29%7D%7D++%3C%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D+& alt=&\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k(2k-1)}}
&\frac{8}{3} & eeimg=&1&&&br&&br&（默默看了看答案）&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%282k%2B1%29%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dn+%7D+%3C%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+n-%5Cfrac%7B3%7D%7B16%7D+%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%7D+-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D+%7D& alt=&\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{k(2k+1)}=\frac{1}{n^2+\frac{1}{2}n } &\frac{1}{n^2+\frac{1}{2} n-\frac{3}{16} }= \frac{1}{n-\frac{1}{4} } -\frac{1}{n+\frac{3}{4} }& eeimg=&1&&&br&裂项后&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%7D+-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D+%7D%7D++%3C%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D& alt=&\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{n-\frac{1}{4} } -\frac{1}{n+\frac{3}{4} }}
&\frac{4}{3}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5CRightarrow+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%282k-1%29%7D%7D++%3C%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D+& alt=&\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k(2k-1)}}
&\frac{8}{3} & eeimg=&1&&&br&（啊啊啊啊啊啊啊啊啊）&br&&br&&br&&br&4、求证&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%282k-1%29%7D+%7D+%3C%5Cfrac%7B2%7D%7B7%7D+& alt=&\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{2k(2k-1)} } &\frac{2}{7} & eeimg=&1&&&br&&br&&br&卧槽2k+1就算了还想2k-1？难不成我还要把2k变成2k+1不成？还是2k-3？尼玛这部变成负数了啊啊啊啊（抓狂中）&br&看看答案，&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%282k-1%29%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4k%5E2-2k%7D%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B4k%5E2-2k-%5Cfrac%7B7%7D%7B16%7D+%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2k-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%7D++-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%2B%5Cfrac%7B7%7D%7B4%7D+%7D+%29& alt=&\frac{1}{2k(2k-1)}=\frac{1}{4k^2-2k}&\frac{1}{4k^2-2k-\frac{7}{16} }=\frac{1}{2}( \frac{1}{2k-\frac{1}{4} }
-\frac{1}{2k+\frac{7}{4} } )& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5CRightarrow+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%282k-1%29%7D%7D++%3C%5Cfrac%7B2%7D%7B7%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4n%2B7%7D++%3C%5Cfrac%7B2%7D%7B7%7D+& alt=&\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}{ \frac{1}{2k(2k-1)}}
&\frac{2}{7}-\frac{1}{4n+7}
&\frac{2}{7} & eeimg=&1&&&br&卧槽&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B7%7D%7B16%7D& alt=&\frac{7}{16}& eeimg=&1&&你敢更小点么出题人你说你是不是故意的你说你说你说！（没错这个例和后面的都是我自己出的破题，至于前面那些，其实我只记得题目类型和放缩类型不记得答案，要说答案我还得自己做一遍推出来……如果别处的习题恰好有，那就真是巧合咯）&br&&br&&br&5、求证&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B4k%285k%2B4%29%7D+%7D+%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B18%7D+& alt=&\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{4k(5k+4)} } &\frac{1}{18} & eeimg=&1&&&br&（感谢@&a href=&/people/dan-shui-13-77& class=&internal&&淡水&/a& 我这是肿么了放个假计算能力退化这么多了 (╯° 口 °‵)╯︵ ┴─┴ ）&br&啊！虽然我知道这些数字都不是随随便便来的但是尼玛这些鬼东西是什么鬼啊让人怎么裂啊！！！！（喷水表情）&br&&br&&br&6、求证&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B20n%5E2%2B16n-1%7D+%7D+%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B18%7D+& alt=&\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{20n^2+16n-1} } &\frac{1}{18} & eeimg=&1&&&br&尼玛这虽然和上面长得很像然而这是什么鬼啊别人给的分式起码是乘起来的尼玛给一个没法十字相乘的鬼东西是什么鬼！！！！&br&&br&&br&7、求证：&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Calpha+n%5E2%2B%5Cbeta+n%2B%5Cgamma+%7D+%7D+%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Calpha+%7D+%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Calpha+%7D-C+%7D+& alt=&\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\alpha n^2+\beta n+\gamma } } &\frac{1}{\sqrt{\alpha } } \cdot \frac{1}{\sqrt{\alpha }-C } & eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&&为某个特定常数&br&你妈的骨灰！&br&&br&&br&&br&----------------------------------------又是分割线......想跳过前面废话的看这里--------------------------------------&br&好了。。。7这个东西其实是一个终极方法，这个方法其实适用于前面6个东西，这也是做某次二模做例3那题时老师讲的东西。&br&&br&先说一下适用范围：分母为二次多项式数列放大&br&当发现一般的裂项技巧（即拆成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bd%7D%28%5Cfrac%7B1%7D%7Ban-b%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Ban%2Bb%7D%29+++& alt=&\frac{1}{d}(\frac{1}{an-b}-\frac{1}{an+b})
& eeimg=&1&&这种形式）没法达到目的，就要用到这个终极方法。&br&开始咯？&br&对于分母为一个二次多项式的数列&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Calpha+n%5E2%2B%5Cbeta+n+%2B%5Cgamma+%7D+& alt=&\frac{1}{\alpha n^2+\beta n +\gamma } & eeimg=&1&&，要对其进行放大，实质是把分母变小，即减去一个正数&img src=&///equation?tex=A_%7B1%7D+& alt=&A_{1} & eeimg=&1&&.，构造一个能求和的新数列，即&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Calpha+n%5E2%2B%5Cbeta+n+%2B%5Cgamma+-A_%7B1%7D+%7D+& alt=&\frac{1}{\alpha n^2+\beta n +\gamma -A_{1} } & eeimg=&1&&。为方便起见，这里我们记&img src=&///equation?tex=A%3D%5Cgamma+-A_%7B1%7D+++%28A_%7B1%7D%3E0%29+& alt=&A=\gamma -A_{1}
(A_{1}&0) & eeimg=&1&&，即&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Calpha+n%5E2%2B%5Cbeta+n+-A+%7D+& alt=&\frac{1}{\alpha n^2+\beta n -A } & eeimg=&1&&
（1）。&br&我们想要得到一个能裂项相消的求和数列，其形式必须为：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7BBn-C%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7BBn%2BD%7D++& alt=&\frac{1}{Bn-C}-\frac{1}{Bn+D}
& eeimg=&1&&
（2）&br&其中&img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&、&img src=&///equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&&为待定系数，均&0（谁tm搞个数列放缩题的求和通项是负数的……不过负的可以先当成正的做再添负号）&br&这个东西姑且称为“标准形式”&br&先强行按“标准形式”把求和式写一下：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7BB-C%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7BB%2BD%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2B-C%7D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2B%2BD%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3B-C%7D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B3B%2BD%7D%2B......& alt=&\frac{1}{B-C}-\frac{1}{B+D}+\frac{1}{2B-C} -\frac{1}{2B+D}+\frac{1}{3B-C} -\frac{1}{3B+D}+......& eeimg=&1&&&br&想要能达到相邻能相消的目的，无非只需要：&br&&img src=&///equation?tex=-%5Cfrac%7B1%7D%7BB%28i-1%29%2BD%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BBi-C%7D+%3D0& alt=&-\frac{1}{B(i-1)+D}+\frac{1}{Bi-C} =0& eeimg=&1&&&br&即相邻的正负项相加为0，即&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7BB%28i-1%29%2BD%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BBi-C%7D+& alt=&\frac{1}{B(i-1)+D}=\frac{1}{Bi-C} & eeimg=&1&&&br&即相邻的两项相等。这里，不妨去让i=2，即&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7BB%2BD%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2B-C%7D& alt=&\frac{1}{B+D}=\frac{1}{2B-C}& eeimg=&1&&；&br&多项式相等，即同次项对应系数相等，即：&br&&br&&img src=&///equation?tex=B%3DC%2BD& alt=&B=C+D& eeimg=&1&&&br&&br&再考虑一下（2）式子，强行先让分母乘起来，结果为&br&&br&&img src=&///equation?tex=B%5E2n%5E2%2BB%28D-C%29n-CD& alt=&B^2n^2+B(D-C)n-CD& eeimg=&1&&&br&&br&将之与（1）式分母&img src=&///equation?tex=%5Calpha+n%5E2%2B%5Cbeta+n+-+A& alt=&\alpha n^2+\beta n - A& eeimg=&1&&比较，不难发现：&br&&br&&img src=&///equation?tex=B%3D%5Csqrt%7B%5Calpha+%7D+& alt=&B=\sqrt{\alpha } & eeimg=&1&&;&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbeta+%3DB%28D-C%29%3D%5Csqrt%7B%5Calpha+%7D+%28D-C%29& alt=&\beta =B(D-C)=\sqrt{\alpha } (D-C)& eeimg=&1&&;&br&&img src=&///equation?tex=A%3DCD& alt=&A=CD& eeimg=&1&&;&br&&br&然而这有什么卵用呢？&br&&br&有了以上结论，我们就能构造了：&br&构造的结果就是：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7BC%2BD%7D%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Calpha+%7Dk-C+%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Calpha+%7D+k%2BD%7D+%29+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Calpha+%7D+%7D%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Calpha+%7Dk-C+%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Calpha+%7D+k%2BD%7D+%29& alt=&\frac{1}{C+D}(\frac{1}{\sqrt{\alpha }k-C }-\frac{1}{\sqrt{\alpha } k+D} ) =\frac{1}{\sqrt{\alpha } }(\frac{1}{\sqrt{\alpha }k-C }-\frac{1}{\sqrt{\alpha } k+D} )& eeimg=&1&&&br&&br&其中，&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B%5Calpha+%7D%3D+B%3DC%2BD& alt=&\sqrt{\alpha }= B=C+D& eeimg=&1&&;&br&&img src=&///equation?tex=CD%3DA%3D%5Cgamma+-A_%7B1%7D+%3C%5Cgamma+& alt=&CD=A=\gamma -A_{1} &\gamma & eeimg=&1&&&br&&br&&br&（1月31日补充：这一点也是构造的另一个方法。。上面和下面其实都是可行的不过下面的方法在运用的时候可能更直观？）&br&（或者……）&img src=&///equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&&就根据题目需要，调整一下，保证他们的和等于&img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&、他们的积等于&img src=&///equation?tex=A%3Cc& alt=&A&c& eeimg=&1&&，多次尝试，直到能使&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Calpha+%7D+%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Calpha+%7D-C+%7D+& alt=&\frac{1}{\sqrt{\alpha } } \cdot \frac{1}{\sqrt{\alpha }-C } & eeimg=&1&&恰好等于题目要证的后面的数字。&br&&br&至于间隔一项，间隔两项相消的，即让&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7BB%2BD%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3B-C%7D& alt=&\frac{1}{B+D}=\frac{1}{3B-C}& eeimg=&1&&、&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7BB%2BD%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4B-C%7D& alt=&\frac{1}{B+D}=\frac{1}{4B-C}& eeimg=&1&&的情况我没多做研究……也许还有新的发现和结论，不过上面这些要应付各种考试乃至睾烤绰绰有余了&br&------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&br&&br&有了上面的方法，例如例5,先把题目不等式乘以5，左边变成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B4n%5E2%2B%5Cfrac%7B16%7D%7B5%7D+n%7D+& alt=&\frac{1}{4n^2+\frac{16}{5} n} & eeimg=&1&&，&br&让B=2，C=&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D+& alt=&\frac{1}{5} & eeimg=&1&&,D=&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B9%7D%7B5%7D+& alt=&\frac{9}{5} & eeimg=&1&&,结果就是：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B4n%5E2%2B%5Cfrac%7B16%7D%7B5%7Dn+%7D%3C+%5Cfrac%7B1%7D%7B4n%5E2%2B%5Cfrac%7B16%7D%7B5%7Dn-%5Cfrac%7B9%7D%7B25%7D++%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%7D%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2k-%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D+%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%2B%5Cfrac%7B9%7D%7B5%7D+%7D++%29& alt=&\frac{1}{4n^2+\frac{16}{5}n }& \frac{1}{4n^2+\frac{16}{5}n-\frac{9}{25}
}=\frac{1}{2 }( \frac{1}{2k-\frac{1}{5} }-\frac{1}{2k+\frac{9}{5} }
)& eeimg=&1&&，&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%7D%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2k-%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D+%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%2B%5Cfrac%7B9%7D%7B5%7D+%7D++%29& alt=&\frac{1}{2 }( \frac{1}{2k-\frac{1}{5} }-\frac{1}{2k+\frac{9}{5} }
)& eeimg=&1&&求和后把不等式两边再除以5就得证了。&br&&br&至于例6，和例5其实是一样的，只不过把原题目不等式乘以5后，分母只是减去了一个比&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B9%7D%7B25%7D+& alt=&\frac{9}{25} & eeimg=&1&&小的数字而已……再减，减到&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B9%7D%7B25%7D+& alt=&\frac{9}{25} & eeimg=&1&&，后面照写……（出题人是什么心态）&br&码了好久……也就这样吧 该睡觉了。。。&br&======================================================================&br&&br&&br&&br&&br&&br&函数平方求导？&br&把平方之前的的函数的导数乘以原函数再乘以2就是了嘛&br&（感谢@&a href=&/people/magian-moon& class=&internal&&magian moon&/a&指出纰缪，这阵子我是怎么啦啊啊啊啊啊啊）&br&&br&&br&暂时就想到这么多。。。。
7看到各路大神写得这么爽，我也来写一点奇技淫巧吧。。。虽然现在看来都是那么的显而易见不值一提 立体几何 建系求平面夹角余弦值时，算好了法向量用夹角公式求到了一个数，却不知道是正是负？自己空间想象能力堪忧不说，做了那么久的题想看那恶心复杂的要…
拉格朗日乘数法，这是一位大神在班上普及的。&br&学会后，秒杀填空题中一切多元函数求最值问题。&br&ps：本人为江苏人&br&&b&======日更新========&/b&&br&鉴于很多人看不懂，我就以今年某市一模卷为例，进行说明吧。&br&&p&&b&2016年苏锡常镇一模：&/b&&/p&&p&14.若实数x，y满足&img src=&///equation?tex=x%5E2-4xy%2B4y%5E2%2B4x%5E2+y%5E2%3D4& alt=&x^2-4xy+4y^2+4x^2 y^2=4& eeimg=&1&&，则当&img src=&///equation?tex=x%2B2y& alt=&x+2y& eeimg=&1&&取得最大值时，&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D+& alt=&\frac{x}{y} & eeimg=&1&&的最大值为_________&/p&&p&【解析】首先我们设一个乘数λ，设函数&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29%3Dx%2B2y%2B%5Clambda%28x%5E2-4xy%2B4y%5E2%2B4x%5E2+y%5E2-4%29& alt=&f(x,y)=x+2y+\lambda(x^2-4xy+4y^2+4x^2 y^2-4)& eeimg=&1&&.&/p&&p&这是一个二元函数，但如果我们可以&b&&u&把y看作常数，x看作自变量&/u&&/b&，求导，并令导数等于0：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=f%27%28x%29%3D1%2B%5Clambda+%282x-4y%2B8y%5E2x%29%3D0& alt=&f'(x)=1+\lambda (2x-4y+8y^2x)=0& eeimg=&1&&……①&br&&/p&&p&同理，我们&b&&u&把x看作常数，y看作自变量，求导：&/u&&/b&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=f%27%28y%29%3D2%2B%5Clambda+%28-4x%2B8y%2B8x%5E2y%29%3D0& alt=&f'(y)=2+\lambda (-4x+8y+8x^2y)=0& eeimg=&1&&……②&/p&&p&观察这两个式子，让我们把乘数λ消掉：&/p&&p&①&img src=&///equation?tex=%5Ctimes+2+-& alt=&\times 2 -& eeimg=&1&&②得&img src=&///equation?tex=%28x-2y%29%28xy-1%29%3D0& alt=&(x-2y)(xy-1)=0& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&如果我们把&img src=&///equation?tex=xy%3D1& alt=&xy=1& eeimg=&1&&带入&img src=&///equation?tex=x%5E2-4xy%2B4y%5E2%2B4x%5E2+y%5E2%3D4& alt=&x^2-4xy+4y^2+4x^2 y^2=4& eeimg=&1&&，同样能得到&img src=&///equation?tex=x%3D2y& alt=&x=2y& eeimg=&1&&；&/p&&p&因此，&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D+%3D2& alt=&\frac{x}{y} =2& eeimg=&1&&.&/p&&p&（偷偷看了一下答案，嗯，没算错）&/p&&p&理论上是要检验存在性，但是&u&高考填空题答案显然不可能不存在。&/u&（如果不存在，那是老师出错题目了）&/p&
拉格朗日乘数法，这是一位大神在班上普及的。 学会后，秒杀填空题中一切多元函数求最值问题。 ps：本人为江苏人 ======日更新======== 鉴于很多人看不懂，我就以今年某市一模卷为例，进行说明吧。 2016年苏锡常镇一模：14.若实数x，y满足x^2-4xy…
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