已知函数f(x)=(a^x+1)/(a^x-1),(a＞0，且a≠1）求函数奇偶性_百度知道
已知函数f(x)=(a^x+1)/(a^x-1),(a＞0，且a≠1）求函数奇偶性
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这是判断函数奇偶性的题目，下面开始解答已知函数f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)(a&0,且a≠1,).&(1)求f(x)的值域&(2)判断f(x)的奇偶性&(3)讨论f(x)的单调性解 (1)求f(x)的值域.因为0&a^x&+∞,所以f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)&1-2/(0+1)=-1,f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)&1,因此,f(x)的值域为(-1,1).(2)判断f(x)的奇偶性.因为函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)+1)=(1-a^x)/(1+a^x)=-(a^x-1)/(a^x+1)=-f(x),所以,f(x)是奇函数.(3)讨论f(x)的单调性.(i)当a&1时设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1&x2,则a^x1&a^x2,于是f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)=[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]=2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]&0,所以,f(x)在(0,+∞)内单调递减.由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减.因此,当a&1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.(ii)当0&a&1时设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1&x2,则a^x1&a^x2,于是f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)=[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]=2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]&0,所以,f(x)在(0,+∞)内单调递增.由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增.因此,当0&a&1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.综上所述,当0&a&1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,当a&1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.我看你对函数奇偶性不懂，我们复习下1函数奇偶性：奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。2定义：一般地，对于函数f(x)⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f（x）=x³【-∞，-2】或【0，+∞】（定义域不关于原点对称）⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数3特征概述：偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称点（x，y）→（-x，-y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。奇函数定理&奇函数的图象关于原点成中心对称图形f(x）为奇函数&=&f(x）的图象关于原点对称，如图：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。点（x,y）→（-x,-y）奇函数图像关于原点对称偶函数定理&偶函数的图象关于y轴成轴对称图形f(x）为偶函数&=&f(x）的图象关于Y轴对称，如图点（x,y）→（-x,y）偶函数在某一区间上单调递减，则在它的对称区间上单调递增。偶函数关于Y轴对称4证明方法：⑴定义法：函数定义域是否关于原点对称，对应法则是否相同⑵图像法：f(x）为奇函数&=&f(x）的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y） f(x）为偶函数&=&f(x）的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y）⑶特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性。⑷性质法：利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和（差）是奇函数；两个偶函数的和（差）是偶函数；奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积（商）为偶函数；两个偶函数的积（商）为偶函数；奇函数与珐尝粹妒诔德达泉惮沪偶函数的积（商）是奇函数。性质：1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数），一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。3、奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数.若g(x）奇函数且f(x）是奇函数，则F（x）是奇函数.若g(x）奇函数且f(x）是偶函数，则F（x）是偶函数.5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称.5要点诠释：[1]奇偶性是整体性质；[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：f(x)-f(-x)=0，（f（x）≠0）f(-x)=-f(x)的等价形式为：f(x)+f(-x)=0；（f（x）≠0）[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；[5]若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.5
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