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三角形中位线定理的证明及其应用
优质期刊推荐《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》
学习要求：
1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和 高。
2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。
3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。 4．了解三角形的稳定性。 知识要点：
一、三角形中的边角关系
1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。 注意：三角形的中线平分三角形的面积。
2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法
是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。
3．三角形各角之间的关系：
①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。
②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）；
③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4．三角形的分类
①三角形按边的关系可以如下分类：
?不等边三角形?
三角形??底和腰不相等的等腰三角形
?等腰三角形?等边三角形
②三角形按角的关系可以如下分类：
?直角三角形Rt?(有一个角为直角的三角形)
三角形??锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)
?斜三角形?钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)
5．三角形具有稳定性。
知识结构：
二、命题与证明
1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。
2．命题都可以写成：“如果??，那么??。”的形式。为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。 3．命题由题设、结论两部分组成。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。 4．命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。 5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题可真可假。 6．公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。
7．定理的逆命题如是真命题就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命题。
8．命题的证明方法和步骤。证明需要掌握的判定与性质： （1）两直线平行同位角相等。同位角相等两直线平行。
（2）两直线平行内错角相等、同旁内角互补。内错角相等两直线平行。同旁内角互补两直线平行。 （3）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（4）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 （5）三角形内角和定理和推论。三角形中位线定理。
（6）三角形全等：“SSS”、“SAS”、“ASA”。全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （7）等腰三角形的判定与性质。 （8）直角三角形的判定与性质。 9．反证法
①假设，②推理，③矛盾，④结论。
《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》练习题
一、填空题： 1．三角形的一边是8，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是_______
____，这个三角形是_______
____ 三角形。
2．已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为_______
____。 3．三角形的三边长分别为a?1，a，a?1，则a的取值范围是_______
____。 4．三角形的三边为1，1?a，9，则a的取值范围是_______
5．已知a，b，c为ΔABC(a+b-c) －|b－a－c|＝_______
6．在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm， 求AD的长。 7．如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28 cm，则DB＝_______
8. 已知等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边的长为_______
____。 9. 等腰三角形的周长为20cm，
（1）若其中一边长为6cm，则腰长为_______
____； （2）若其中一边长为5cm，则腰长为_______
10．等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，则△ABC的周长的取值范围是_______
11．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和6厘米两部分，则此三角形的底边长为
12．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为
13．写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题_______________________________。
14．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_______
____。 15．三角形的最小角不大于_______
____度，最大角不小于_______
16．三角形的三个内角中至少有_______
____个锐角，三个外角中最多有_______
____个锐角。 17．在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝_______
____度。 18．在△ABC中，∠A ＝
∠B＝∠C，则∠B＝_______
19．如果△ABC的一个外角等于150°，且∠B＝∠C，则∠A＝_______
20．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝50°，则∠BDC的度数是_______
21．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，那么∠BDC＝_______
____。 22．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝
20°，则∠2的度数为_______
（第20题图）
（第21题图）
（第22题图）
23．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外（如图），若∠2＝20°，则
∠1的度数为_______
25．如图，已知∠A＝80°，
（1）若点O为两角平分线的交点，则∠BOC＝_______
____； （2）若点O为两条高的交点，∠BOC＝_______
26. 如图，△ABC的面积等于12cm2
，D为AB的中点，E是AC边上一点，且AE＝2EC，O为DC与BE交点，若△DBO的面积为acm2
，△CEO的面积为bcm2
，则a?b?。
27．如图，△ABC的∠B的外角的平分线与∠C的外角的平分线交于点P，连接AP。若∠BPC＝50°，则
∠PAC＝_______
（第25题图）
（第26题图）
（第27题图）
28．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝_______
二、选择题：
1．在下列长度的四根木棒中，能与3cm，7cm两根木棒围成一个三角形的（
2．若ΔABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的最大边长为（
D.4 3．若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（
D．9个 4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（
A.－6＜a＜－3
B.－5＜a＜－2
D.a＜－5或a＞－2
5. 一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为4和2011，则满足条件的三角形的个数是（
D. 6 6．四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（
7．等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（
D．不能确定三条中线相等的话想到个有意思的证明。 任何三角形T可以看成是一个空间中正三角形R在一个平面上的投影。 那么这个三角形T的中线也恰好是R的中线的投影。
注意到R的三条中线长度相等且所在直线互不相同。 因为投影长度也相同，所以这三条直线与T所在平面夹角相同。 如果T所在平面和R所在平面不平行，则最多两条R所在平面中不同直线与T所在平面夹角相同。 所以T所在平面和R所在平面平行。 那么T全等于R，所以是等边三角形。
都可以。&br&考虑面积，高线是显然的。&br&对于中线，只要注意到等腰梯形的判定即可。&br&对于角平分线，情况困难一些。&br&但我们有斯坦纳定理：&br&两条角平分线长相等的三角形是等腰三角形。&br&由此，立即得到结论。
都可以。 考虑面积，高线是显然的。 对于中线，只要注意到等腰梯形的判定即可。 对于角平分线，情况困难一些。 但我们有斯坦纳定理： 两条角平分线长相等的三角形是等腰三角形。 由此，立即得到结论。
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