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行测重点之概率问题
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一年级数学知识点第十讲：神奇的概率问题
来源：奥数网 文章作者：学而思培优
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24小时热帖每周热帖第25卷第4期；2007年10月沈阳师范大学学报(自然科学版)J；生活中的概率问题举例；郑长波；(大连水产学院高等职业技术学院,辽宁大连1163；摘要:围绕古典概型,全概率公式,正态分布,数学期；计知识在实际生活中的广泛应用,进一步揭示概率统计；解决实际问题,建立数学模型,奠定了一定的理论基础；关键词:概率统计;古典概型;正态分布;数学期望；中图分类号:O2
第25卷 第4期
2007年10月沈阳师范大学学报(自然科学版)JournalofShenyangNormalUniversity(NaturalScience)Vol125,No.4Oct.2007文章编号:07)04-0531-03
生活中的概率问题举例
(大连水产学院高等职业技术学院,辽宁大连 116300)
要:围绕古典概型,全概率公式,正态分布,数学期望,极限定理等有关知识,探讨概率统
计知识在实际生活中的广泛应用,进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系,为应用概率知识
解决实际问题,建立数学模型,奠定了一定的理论基础#
关 键 词:概率统计;古典概型;正态分布;数学期望
中图分类号:O211
文献标识码:A
概率论通过人类的社会实践和生产活动发展起来并被广泛应用于各个领域,在国民经济的生产和生活中起着重要的作用#正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯(Jevons,)所说:概率论是/生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,我们就寸步难行,无所作为#0
在日常生活中,周围的许多事物都和概率有着千丝万缕的联系,下面从几个方面具体阐述#
1 全概率公式的应用
全概率公式是概率论中一个重要的公式,在实际中有广泛的应用#
在某次世界女排锦标赛中,中、日、美、古巴4个队争夺决赛权,决赛方式是中国对古巴,日本对美国,并且中国队已经战胜古巴队,现根据以往的战绩,假定中国队战胜日本队和美国队的概率分别为019与014,而日本队战胜美国队的概率为015,试问中国队取得冠军的可能性有多大?
根据上述形势,未完成的日美半决赛对中国冠军的影响很大,若日本队胜利,则中国队可有90%的希望夺冠,若美国队胜利,则中国队夺冠的希望只有40%#在日本队和美国队未比赛前,他们谁能取得决赛权,两种情况都必须考虑到#
记/中国队得冠军0为事件B,日本队胜美国队为事件A1,有P(A1)=015=50%#美国队胜日本队为事件A2,P(A2)=50%,显然有,要么日本队胜,要么美国队胜,二者必居其一,所以A1,A2为一个划分,由全概率公式,这里(n=2)
P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)
其中,P(BA1),P(BA2)是2个条件概率#P(BA1)表示在日本队胜美国队的条件下中国队取得冠军的概率,由题意可知,P(BA1)=90%;P(BA2)表示在美国队胜日本队的条件下,中国队取得冠军的概率,由题意可知,P(BA2)=40%#
综上所述,在日、美未决赛前,估计中国队取得冠军的概率为
P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)=
50%@90%+50%@40%=50%(90%+40%)=65%#
利用全概率公式求解的实例有许多,关键是对问题的合理划分,考虑所有可能导致问题发生的情况#[1]2 正态分布的应用
正态分布也称/高斯分布0,是概率论中最重要的一个分布,中心极限定理保证了许多其他分布的极收稿日期:
基金项目:国家自然科学基金资助项目()#
作者简介:郑长波(1954-),男,辽宁大连人,大连水产学院教授#
532沈阳师范大学学报(自然科学版)
第25卷限分布为正态分布#许多实际问题,我们都可以将其转化为正态分布加以解决#
例1:从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车,有两条路可走,第一条路线穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所需时间(单位:min)服从正态分布N(50,100),第二条路线沿环城公路走,路线较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N(60,16)#
1)假如有70min可用,问应走哪条路线?
2)若只有65min可用,又应走哪条路线?
分析:从概率角度先考虑1)的情况,有70min可用时,根据正态分布的性质,分别求两种情况下的概率,由于所有的正态分布都可以通过标准化化成标准正态分布,利用标准正态的性质或查找正态分布表,可以比较两条路线按时到达的概率大小,哪个概率大就走哪条路线#情况2)与情况1)同#具体解法如下:
1)有70min可用,走路线一到达的概率:
走路线二到达的概率:
p(F[70)=5=5(215)=(2)=
所以应走路线二#
2)有65min可用,走路线一到达的概率:
走路线二到达的概率:
p(F[65)=5=5(4=5(115)=
所以应该走路线一#
例2:某企业准备通过招聘考试招收300名职工,其中正式工人280人,临时工人20人;报考的人数是1657人,考试满分是400分,考试后得知,报名者的成绩X近似服从正态分布N(166,R2),360分以上的高分考生31人,某考生B得256分,问:他能否被录取?能否被聘用为正式工人?
分析:问题求解大致分为3个步骤:首先根据问题中所给信息:高于360分的有31人,利用正态分布,求出R;然后根据招收300名职工这个信息及分数服从正态分布,求出最低分数线,将B的成绩与最低分数线比较,从而确定是否被录取;最后,若确定B被录取,将第280人的分数与B的成绩比较,或者根据B的成绩求出高于B成绩的人数,再与280比较,进而确定B是否被录取为正式员工#具体求解如下:
第一步:预测最低分数线,设最低分数为x1,考生成绩为X,则对一次成功的考试来说,X~N(166,932),因为高于360分的考生的频率是,故1657
P{X&360}=P&=1-RR25UR1657
因此5U1-U01981,查表可知U2108,解得RU93,故X~N(166,932)#R1657R
因为最低分数线的确定应使录取考生的频率等于,即1X1-166X1-166P{X&x1}=P&=1-5U
X1-166X1-166=1-U01819,查表得U0191,解得X1U251,也就是说,最低分数线
是251分#所以5
第二步:预测B的考试名次#在x=256分时,由查表可知:
p{x&256}=1-5=1-935(-685
郑长波:生活中的概率问题举例533这表明,考试成绩高于256分的频率是011685,所以名次排在考生B之前的考生人数约有%U280即考生B大约排在281名[2],即B只能作为一名临时工被录用#
3 数学期望的应用
许多数学模型可以从概率角度利用期望求解,为问题的解决提供新的思路#
通过血检对某地区的N个人进行某种疾病普查,有两套方案:方案一是逐一检查,方案二是分组检查#那么哪一种方案好?如果用方案二应怎样分组可以减少工作量?显然方案一需要检查N次#下面我们讨论方案二:假设检验结果阴性为/正常0、阳性为/患者0,把受检查者分为k个人一组,把这k个人的血混和在一起进行检查,如果检验结果为阴性,这说明k个人的血液全为阴性,因而这k个人总共只要检验一次就够了;如果检验结果为阳性,要确定k个人的血液哪些是阳性就需要逐一再检验,因而方案二在实施时有两种可能性,两种方案作比较,需要求出它的平均值(即平均检验次数)#
具体做法如下:假设这一地区患病率(即检验结果为阳性的概率)为p,那么检验结果为阴性的概率为q=1-p,这时k个人一组的混合血液是阴性的概率为qk,是阳性的概率为1-qk,则每一组所需检验次数是一个服从二点分布的随机变量,求得每组所需的平均检验次数为:EF=1@q+(1+k)@(1-qk)=1+k-kqk,由以上计算可以得出:当1+k-kqk&k,即kqk&1,qk&1/k时,k个人的检查次数小于k,方案二就比方案一好,总的检验次数为(1+k-kqk)@N/k#某医疗机构在一次普查中,由于采用了上述分组方法,结果每100个人的平均检验次数为21,减少工作量达70%以上[3]#
上面只是列举了概率在实际问题中的几个简单应用,作为一门独立的学科,概率的足迹可以说已经深入到每一个领域,在实际问题中的应用随处可见#概率的许多其他方面也正在或将要发挥它应有的作用[4]#诸如方差分析、回归分析等内容在医学,军事等领域都正在发挥它的巨大作用[5]#相信人类能够更好的/挖掘概率的潜能0,使之最大限度地为人类服务#
[5]魏宗舒#概率论与数理统计[M]#北京:高等教育出版社,2004#陈文灯,黄开先#概率论与数理统计复习指导思路、方法与技巧[M]#北京:清华大学出版社,2003#菜海涛#概率论与数理统计典型例题与解法[M]#长沙:国防科技大学出版社,2003#杜镇中#全概率公式及其应用[J]#遵义师范学院学报,):76277#王 强,王汝芬,张雪莉#方差分析中Dunnett2t检验与分组比较法的异同[J]#数理医药学杂志,):1282
ExamplesofApplicationofProbabilityinRealLife
ZHENGChang2bo
(HigherProfessionalCollege,DalianAquaticProductCollege,Dalian116300,China)
Abstract:Thispaperdiscussesclassicalmodel,formulaoftotalprobability,normaldistribution,mathematicexpectationandthecentrallimittheorem.Italsodiscussesthewidelyuseofprobabilityandstatisticsandthecloserelationshipwiththereallife.Therefore,itlaystheoreticalfoundationforthepracticalusesofprobabilityandstatisticsandabasisofmathematicmodel.Keywords:probmathematicexpectation
包含各类专业文献、应用写作文书、高等教育、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、各类资格考试、行业资料、72生活中的概率问题举例等内容。　
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数学运算--概率和排列组合问题
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&&&&& 概率问题和排列组合问题在国考中经常出现，几乎每年都会出现该类题目。面对这种问题不仅要求考试熟悉解题技巧和方法，还要了解生活中的一些常识，例如，排座位、下棋、主客场、打靶等情况，这些都是概率问题和排列组合问题出题的背景，不同的情况对应不同的解题思路。下面就由（）特邀专家张致远为大家介绍如何解答数学运算中的概率和排列组合问题。
一、概率问题公式加法原理：乘法原理：&m2&&&&mn
注意：分类用加法，分步用乘法。
二、排列组合公式
&&注意：有顺序用排列，无顺序有组合。
【例1】盒中有4个白球6个红球，无放回地每次抽取1个，则第2次取到白球的概率是多少？ &A 2/15&&&& B 4/15&&&&& C 2/5&&&&&& D 4/5 &【解析】C。 &先分情况，第二次取到白球的情况分为2种。 &（1）第一次取到白球，第二次又取到白球：4/10*3/9=2/15 &（2）第一次取到红球，第二次取到白球：6/10*4/9=4/15 &因此第二次取到白球的概率为4/15+2/15=2/5
【例2】乒乓球比赛的规则是五局三胜制。甲、乙两球员的胜率分别是60%和40%，在一次比赛中，若甲先连胜了前两局，则甲最后获胜的概率：（ ）A. 60% &B. 在81%~85%之间 &C. 在86%~90%之 D. 在91%以上【解析】D。乙如果想要获胜的话，则以后的三场都要获胜。用100%减去乙最后获胜的概率就得到了甲获胜的概率，乙获胜的概率是 40%&40%&40%，甲获胜的概率是1-40%&40%&40%＞91%。故答案为D。
【例3】某射击运动员每次射击命中10环的概率是80%，5次射击有4次命中10环的概率是（） &A 80%&&&& B 63.22%&&&& C 40.96%&&&& D 32.81% 【解析】C。分情况来解题。先从5次射击中选取4次，是命中10环概率的：C54*（80%）^4，还有一次没有命中10环：（1-80%）。因此一共是C54*（80%）^4*（1-80%）=40.96%
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