高等数学常微分方程的问题二阶常系数非齐次线性微方程用待定系数法来求解 &&设原方程的一个特解为 y*=(x^k)Qm(x)e^(λx) & 由于刚学这部分所以对此理解不全 &如果方程为：y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x 问：此题中特征根r1=r2=-2 &λ=1 &k=1 &那么设特解的形式是根据λ来确定的还是根据k来确定的?我之前做了几题 发现k提交问题=1 就设特解为Ax(e^λx) &k=2就设特解为x（ax+b）(e^λx) ...和λ是多少没关系啊 那么λ是用来干什么的?总之书上好像是根据λ是否等于特征根来决定特解形式的 &郁闷...求解y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x 的特解 &尤其是怎么将特解带入原方程的计算过程 请不要跳步 &我算了半天都和树上的答案不一样 & 它的结果我都不知道是怎么来的...
穷比组丶旇ly
k的取值由λ决定.如果λ不是齐次方程的特征方程的根,k=0；如果λ是齐次方程的特征方程的单根,k=1；如果λ是齐次方程的特征方程的重根,k=2.当k的值确定了之后,特解的形式自然确定了.对于y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x,特解可设为x^k(ax^2+bx+c),因为λ=1不是齐次方程的特征方程r^2+4r+4=0的根,所以k=0,所以特解设为(ax^2+bx+c)e^x.把特解代入的过程一般可省略,有个可直接得最终结果的式子,教材上的推导过程会有：对于y''+py'+qy=P(x)e^(λx),特解设为Q(x)e^(λx),代入后会得到Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ^2+pλ+q)Q(x)=P(x).熟记这个式子对于简化计算很有帮助.对于本题,P(x)=2x^2,Q(x)=ax^2+bx+c,所以2a+6(2ax+b)+9(ax^2+bx+c)=2x^2,所以a=2/9,b=-8/27,c=4/27.
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常微分方程待定系数法不用太纠结，以后要解这种方程是不会用这种待定系数法来解的，全都用拉普拉斯变换来解，如果理解不了，记住就好，应付考试足够了，以后只要会用拉氏变换解才是实用的。
设特解为y*=(Ax^2+Bx+C)e^x则y*'=(Ax^2+(2A+B)x+(B+C))e^xy*''=(Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B+C))e^x所以Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B+C)+4Ax^2+(8A+4B)x+(4B+4C)+4Ax^2+4Bx+4C=2x^2所以9A=2,12A+9B=0,2A+6B+9C=0所以A...
扫描下载二维码常微分方程 求各位大哥帮一些忙,还有美女4.求解一阶线性微分方程 ：dy/dx-4y/x=x^35.利用降阶法,求解二阶微分方程：（y-2）d^2y/dx^2+(dy/dx)^2=0
第一个直接套公式第二个设dy/dx=p,然后两阶导数为pdy/dx,
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偏微分方程和常微分方程的区别是什么？
09-08-12 &
呵呵，常微分方程是求带有导数的方程，比如说y'+4y-2=0这样子的，偏微分方程是解决带有偏导数的方程。常微分方程比较简单，只是研究带有导数的方程、方程组之类的通解、特解，现实生活中的很多问题与常微分方程有关系，所以研究起来很有必要。但是对于很多高尖端的问题都是偏微分方程，比如很多著名的物理方程：热传导方程、拉普拉斯方程等等，这就是的偏微分方程很难，它不仅仅是研究方程解的一门学科，因为有些方程很难，根本就求不出解，或者常规方法求解十分困难，所以偏微分方程还着重研究解的分布、状态等等。你要是写作业的话，可以去图书馆找找《常微分方程》《偏微分方程》的书籍，然后抄一下前言就行了。
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常微分方程是指所求函数只有一个变量的方程。偏微分则是多个变量，所以出现偏导。
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常微分方程考研讲义
第一章绪论教学目标1．理解常微分方程及其解的概念，能判别方程的阶数、线性与非线性。2．掌握将实际问题建立成常微分方程模型的一般步骤。3．理解积分曲线和方向场的概念。教学重难点重点微分方程的基本概念，难点是积分曲线和方向场。教学方法讲授，实践。教学时间4学时教学内容常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的阶，隐式方程，显式方程，线性（非线性）常微分方程常微分方程的通解，特解，隐式解，初值问题，定解问题，积分曲线和方向场建立常微分方程模型的具体方法。考核目标常微分方程及其解的概念，会建立常微分方程模型。§1微分方程模型1、微分方程的产生和发展常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具。该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用。300多年前，Newton与Leibniz奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念.17世纪末到18世纪，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式.19世纪末到20世纪处,主要研究解的定性理论与稳定性问题.20世纪进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法.解析方法是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数.几何方法或定性方法把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族.数值方法求微分方程满足一定初始条件或边界条件的解的近似值的各种方法.微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。2、微分方程模型微分方程是数学联系实际问题的重要渠道之一,将实际问题建立成微分方程模型最初并不是数学家做的,而是由化学家、生物学家和社会学家完成的。例1物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻0t?时，测得它的温度为0150u?℃，10分钟后测得温度为1100u?℃.确定物体的温度与时间的关系,并计算20分钟后物体的温度.假定空气的温度保持为24au?℃.解设物体在时刻t的温度为uut?,由牛顿Neweon冷却定律可得0,aadukuukuudt?????1.1这是关于未知函数u的一阶微分方程,利用微积分的知识将1.1改为adukdtuu???1.2两边积分,得到lnauuktcc????为任意常数令cec?,进而ktauuce???1.3根据初始条件,当0t?时,0uu?,得常数0acuu??于是0ktaauuuue????1.4再根据条件10t?分钟时,1uu?,得到1010kaauuuue????011ln10aauukuu???将auuu???代入上式,得到1150241lnln1.660.k?????从而,0.tue???1.5由方程1.5得知,当20t?分钟时,物体的温度270u?℃,而且当t???时,24u?℃.温度与时间的关系也可通过图形表示出来.如图1.1.可解释为经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了.事实上，经过2小时后，物体的温度已变为24℃，与空气的温度已相当接近.法律破案判断尸体的死亡时间就是用这一冷却过程的函数关系来判断的.实际问题的信息数学模型抽象、简化数学模型解答答求解实际问题验证解释例2动力学问题物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,空气的阻力可看作与速度的平方成正比,试确定物体下落过程所满足的关系式.解设物体质量为m，空气阻力系数为k，又设在时刻t物体的下落速度为v,于是在时刻t物体所受的合外力为2Fmgkv??,建立坐标系,取向下方向为正方向,根据牛顿第二定律得到关系式2dvmmgkvdt??1.6而且,满足初始条件0t?时,0v?1.7例3电力学问题在如图1.2所示的RLC??电路,它包括电感L、电阻R和电容C.设R、L、C均为常数,电源et是时间t的已知函数,建立当开关K合上后,电流I应满足的微分方程.解经过电感L、电阻R和电容C的电压降分别为dILdt、RI和QC，其中Q为电量，由基尔霍夫第二定律得到dIQetLRIdtC???（1.8）因为dQIdt?，于是有221dIRdIIdetdtLdtLCLdt???（1.9）这就是电流I应满足的微分方程.如果et常熟，得到220dIRdIIdtLdtLC???（1.10）如果又有0R?，则得到220dIIdtLC??（1.11）例4人口模型英国人口统计学家马尔萨斯（Malthus）在1798年提出了闻名于世的Malthus人口模型的基本假设是在人口自然增长的过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记此常数为r（生命系数）.在t到tt??这段时间内人口数量NNt?的增长量为NttNtrNtt?????（1,NttNttrNt??????）于是Nt满足微分方程dNrNdt?（1.12）将上式改写为dNrdtN?于是变量N和t被分离，两边积分得lnNrtc??rtNce?（1.13）其中cce?为任意常数.（因为0N?也是方程（1.17）的解.如果设初始条件为0tt?时,0NtN?（1.14）代入上式可得00rtcNe??，.即方程（1.17）满足初值条件（1.19）的解为00rttNtNe??（1.15）如果0r?，上式说明人口总数Nt将按指数规律无限增长.将时间t以1年或10年离散化，那么可以说，人口数是以re为公比的等比数列增加的.当人口总数不大时，生存空间、资源等极充裕，人口总数指数的增长是可能的.但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生活，所以Malthus模型在Nt很大时是不合理的.荷兰生物学家Verhulst引入常数mN（环境最大容纳量）表示自然资源和环境条件所容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为1mNtrN???????，即净相对增长率随Nt的增加而减少，当mNtN?时，净增长率0?.按此假定，人口增长的方程应改为1mdNNrNdtN????????（1.16）这就是Logistic模型.当mN与N相比很大时，2mrNN与rN相比可以忽略，则模型变为Malthus模型但mN与N相比不是很大时，2mrNN这一项就不能忽略，人口增长的速度要缓慢下来.我们用Logistic模型.来预测地球未来人数，某些人口学家估计人口自然增长率为0.029,r?而统计得世界人口在1960年为29.8亿，增长率为1.85，由Logistic模型.（1.21），有829..0291mN??????????，可得82.310mN??，即世界人口容量82.3亿，以（1.21）式右端为二项多项式，以2mNN?为顶点，当2mNN?时人口增长率增加当2mNN?时人口增长率减少，即人口增长到841.15102mN??时增长率将逐渐减少.这与人口在20世纪70年代为40亿左右时增长率最大的统计结果相符.小结从以上的讨论可以看出，将实际问题转化为数学模型这一事实，这正是许多应用数学工作者和工程应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据.以上我们只举出了常微分方程的一些简单的实例,其实在自然科学和技术科学的其它领域中，都提出了大量的微分方程问题.所以说，社会的生产实践是微分方程理论取之不尽的基本源泉.此外，常微分方程与数学的其它分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系、互相促进.例如，几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具.考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学基础课程，我们自然应该注意它的实际背景与应用.而作为一门数学基础课程，我们又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上.因此，在学习中，不应该忽视课程中所列举的实际例子以及有关的习题，并从中注意培养解决实际问题的初步能力.但是，按照课程的要求，我们要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理论和掌握各种类型方程的求解方法这两方面来，这是本课程的重点，也是我们解决实际问题的必要工具.而解决的过程为（1）建立方程（2）求解方程（3）分析问题.关键的是第一步，即对所研究问题，根据已知定律公式以及某些等量关系列出微分方程和相应的初始条件.如果指出了由微分方程所确定的未知函数的求法，那么未知量间的关系便找到了.寻求微分方程所确定的未知函数是微分方程理论的基本问题.§2基本概念1、常微分方程和偏微分方程微分方程将自变量、未知函数以及它的导数联系起来的关系式.常微分方程只含一个自变量的微分方程.偏微分方程自变量的个数为两个或两个以上的微分方程.方程22dydybcyftdtdt???（1.17）20dydytydtdt?????????（1.18）22sin0dygydtl??（1.19）是常微分方程的例子，y是未知函数，仅含一个自变量t.方程2222220TTTxyz?????????（1.20）224TTxt???（1.21）是偏微分方程的例子，T是未知函数，,,,xyzt是自变量.微分方程的阶数微分方程中出现的最高阶导数的阶数.例如，方程（1.17）、（1.19）是二阶的常微分方程，而方程（1.20）、（1.21）是二阶的偏微分方程.一般的n阶微分方程具有形式,,,,0nndydyFxydxdx?（1.22）这里,,,,nndydyFxydxdx是x、y、dydx、,,、nndydx的已知函数，而且一定含有nndydxy是未知函数，x是自变量.2、线性和非线性如果微分方程对于未知函数及它的各阶导数的有理整式的整体而言是一次的，称为线性微分方程，否则是非线性微分方程.如22dydyytdtdt??（1.23）是非线性微分方程，而（1.17）是一个二阶的线性微分方程.一般的n阶线性微分方程具有形式1111nnnndydydyaxaxaxyfxdxdxdx????????（1.24）这里12,,,,naxaxaxfx是x的已知函数.3、解和隐式解微分方程的解满足微分方程的函数称为微分方程的解.即若函数yx??代入式（1.22）中，使其成为恒等式，称yx??为方程（1.22）的解.例如容易验证cosyx??是方程2220dyydx???的解如果关系式,0xy??决定的隐函数yx??为方程（1.22）的解，称,0xy??是方程（1.22）的隐式解.例如，一阶微分方程dyxdxy??有解21yx??和21yx???而关系式221xy??是方程的隐式解.4、通解和特解通解具有n个独立的任意常数12,,,nccc的解12,,,,nyxccc??称为方程（1.22）的通解.注所谓函数12,,,,nyxccc??含有n个独立常数，是指存在12,,,,nxccc的某一邻域，使得行列式nnnnnnccccccccc??????????????????????????????????其中kkkx?????.特解方程满足特定条件的解.定解问题求方程满足定解条件的求解问题.定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题.一般地，初值问题为,,,,0,,,nnnFxyyyyxyyxyyxy?????????????特解可以通过初始条件限制，从通解中确定任意常数而得到,如例1中，含有一个任意常数c的解ktauuce???就是一阶方程（1.1）的通解而0ktaauuuue????就是满足初始条件00,tuu??的特解.5、积分曲线和方向场一阶微分方程,dyfxydx?（1.25）的解yx??是xy平面上的一条曲线，将它称为微分方程的积分曲线而方程（1.20）的通解,yxc??对应于xy平面上的一族曲线，称为方程的积分曲线族满足初始条件00yxy?的特解就是通过点00,xy的一条积分曲线.方程（1.25）的积分曲线上每一点,xy的切线斜率dydx刚好等于函数,fxy在这点的值，也就是说，积分曲线的每一点,xy及这点上的切线斜率dydx恒满足方程（1.25）反之，如果一条曲线上每点的切线斜率刚好等于函数,fxy在这点的值，则这一条曲线就是方程（1.25）的积分曲线.设函数,fxy的定义域为D，在D内每一点,xy处，画上一小线段，使其斜率恰好为,fxy，将这种带有小线段的区域D称为由方程（1.25）所规定的方向场.在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.微分方程（1.25）的等斜线方程为,fxyk?（1.26）例52dyxdx?解积分曲线族是2yxc??，20yx???，即0x?是极值线，20,1,yxkk?????是等斜线.例6（习题7）微分方程22234xyyxy??，证明其积分曲线关于坐标原点0,0成中心对称的曲线，也是微分方程的积分曲线.证设,,Lyfxxab??是微分方程的一条积分曲线，则满足22234,,xfxfxxfxxab???1.27而L关于0,0成中心对称曲线,,,,LyfxFxxbaxab?????????，所以有Fxfx??,,xba???当,xba???,,xab??,由1.27式可知22234xfxfxxfx???????即22234xFxFxxFx??所以Fx满足微分方程，故Fx为微分方程的积分曲线.并且相对于L关于原点0,0成中心对称曲线.第二章、一阶微分方程的初等解法教学目标1.理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。2.理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。3.理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。4.理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。教学重难点重点是一阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。教学方法讲授，实践。教学时间14学时教学内容变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。考核目标1.一阶微分方程的初等解法变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。2.会建立一阶微分方程并能求解。§1变量分离方程与变量变换1、变量分离方程1变量分离方程形如dyfxgydx?或11220MxNydxMxNydy??（2.1）的方程，称为变量分离方程，其中函数fx和gy分别是,xy的连续函数.2求解方法如果0gy?，方程2.1可化为，dyfxdxgy?这样变量就分离开了,两边积分,得到dyfxdxcgy????（2.2）把,dyfxdxgy??分别理解为1,fxy?的某一个原函数.容易验证由（2.2）所确定的隐函数,yxc??满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在0y使00gy?，可知0yy?也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.3例题例1求解方程dyxdxy??解将变量分离，得到ydyxdx??两边积分，即得22222yxc???因而，通解为22xyc??这里的c是任意的正常数.或解出显式形式2ycx???例2解方程2cosdyyxdx?并求满足初始条件当0x?时.1y?的特解.解将变量分离，得到2cosdyxdxy?两边积分，即得1sinxcy???因而，通解为1sinyxc???这里的c是任意的常数.此外，方程还有解0y?.为确定所求的特解，以0x?.1y?代入通解中确定常数c，得到1c??因而，所求的特解为11sinyx??例3求方程dyPxydx?（2.3）的通解，其中Px是x的连续函数.解将变量分离，得到dyPxdxy?两边积分，即得lnyPxdxc???这里的c是任意常数.由对数的定义，即有Pxdxcye???即Pxdxcyee???令cec??，得到Pxdxyce??（2.4）此外，0y?也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许0c?，则0y?也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解为（2.4），其中c是任意常数.注1.常数c的选取保证2.2式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解,即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00yxy?的一个解，表示的是一条过点00,xy的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）.形如dyygdxx???????（2.5）的方程，称为齐次方程，这里的gu是u的连续函数.另外,ⅰ对于方程,,dyMxydxNxy?其中函数,Mxy和,Nxy都是x和y的m次齐次函数，即对0t?有,,mMtxtytMxy?,,mNtxtytNxy?事实上，取1tx?，则方程可改写成形如2.5的方程.1,1,1,1,mmyyxMMdyxxyydxxNNxx??ⅱ对方程,dyfxydx?其中右端函数,fxy是x和y的零次齐次函数，即对0t?有,,ftxtyfxy?则方程也可改写成形如2.5的方程1,dyyfdxx?对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令yux?（2.6）即yux?，于是dyduxudxdx??（2.7）将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为duxugudx??整理后，得到duguudxx??（2.8）方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4求解方程dyyytgdxxx??解这是齐次方程，以,ydyduuxuxdxdx???代入，则原方程变为duxuutgudx???即dutgudxx?（2.9）分离变量，即有dxctgudux?两边积分，得到lnsinlnuxc??这里的c是任意的常数，整理后，得到sinucx?（2.10）此外，方程（2.9）还有解0tgu?,即sin0u?.如果（2.10）中允许0c?，则sin0u?就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方程的通解为sinycxx?例5求解方程20.dyxxyyxdx???解将方程改写为20dyyyxdxxx???这是齐次方程，以,ydyduuxuxdxdx???代入，则原方程变为2duxudx?（2.11）分离变量，得到2dudxxu?两边积分，得到（2.11）的通解lnuxc???即2lnln0uxcxc??????2.12这里的c是任意常数.此外，（2.11）还有解0u?注意，此解不包括在通解（2.12）中.代回原来的变量，即得原方程的通解2lnln0yxxcxc??????及解0y?.原方程的通解还可表为2ln,ln0,0,xxcxcy?????????它定义于整个负半轴上.注1.对于齐次方程dyygdxx???????的求解方法关键的一步是令yux?后，解出yux?，再对两边求关于x的导数得dyduuxdxdx??，再将其代入齐次方程使方程变为关于,ux的可分离方程.2.齐次方程也可以通过变换xvy?而化为变量分离方程.这时xvy?，再对两边求关于y的导数得dxdvvydydy??，将其代入齐次方程dxxfdyy???????使方程变为,vy的可分离方程小结这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dyygdxx???????形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法.2）形如111222axbycdydxaxbyc???（2.13）的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,aabbcc均为常数.分三种情况来讨论（1）120cc??情形.这时方程（2.13）属齐次方程，有1122axbydyygdxaxbyx??????????此时，令yux?，即可化为变量可分离方程.（2）11220abab?，即1122ab?的情形.设1122abk??，则方程可写成kaxbycdyfaxbydxaxbyc?????令22axbyu??，则方程化为22duabfudx??这是一变量分离方程.（3）1112220,abccab?及不全为零的情形.这时方程（2.13）右端的分子、分母都是,xy的一次式，因此axbycaxbyc?????????（2.14）代表xy平面上两条相交的直线，设交点为,??.显然，0??或0??，否则必有120cc??，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点0,0移至,??就行了，若令XxYy?????????（2.15）则（2.14）化为112200aXbYaXby???????从而（2.13）变为1122aXbYdYYgdXaXbYX??????????（2.16）因此，得到这种情形求解的一般步骤如下1解联立代数方程（2.14），设其解为,xy????2作变换（2.15）将方程化为齐次方程（2.16）3再经变换YuX?将（2.16）化为变量分离方程4求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解.上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型111222axbycdyfdxaxbyc???????????此外，诸如dyfaxbycdx??0yxydxxgxydy??2dyxfxydx?2dyyxfdxx???????以及,,0MxyxdxydyNxyxdyydx????（其中,MN为,xy的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.例6求解方程13dyxydxxy?????（2.17）解解方程组1030xyxy?????????得1,2.xy??令12xXyY???????代入方程（2.17），则有dYXYdXXY???（2.18）再令YuX?即YuX?则（2.18）化为2112dXuduXuu????两边积分，得22lnln21Xuuc?????因此2221cXuue????记1,cec??并代回原变量，就得2212YXYXc???122121yxyxc???????此外，易验证2210uu???即2220YXYX???也就是（2.18）的解.因此方程（2.17）的通解为22262yxyxyxc?????其中c为任意的常数.3、应用举例例7电容器的充电和放电如图（2.1）所示的RC?电路，开始时电容C上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K合上1后，电池E就对电容C充电，电容C两端的电压Cu逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K合上2，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C两端的电压Cu随时间t的变化规律.解对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理，cuRIE??（2.19）对于电容C充电时，电容上的电量Q逐渐增多，根据CQCu?，得到CCdudQdICuCdtdtdt???（2.20）将（2.20）代入（2.19），得到cu满足的微分方程ccduRCuEdt??（2.21）这里R、C、E都是常数.方程（2.21）属于变量分离方程.将（2.21）分离变量，得到CCdudtuERC???两边积分，得到11lnCuEtcRC????即1112ttcRCRCCuEeece??????这里12cce??为任意常数.将初始条件0t?时，0Cu?代入，得到2cE??.所以11tRCCuEe???（2.22）这就是RC?电路充电过程中电容C两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压Cu从零开始逐渐增大，且当t???时，CuE?，在电工学中，通常称RC??为时间常数，当3t??时，0.95CuE?，就是说，经过3?的时间后，电容C上的电压已达到外加电压的95.实用上，通常认为这时电容C的充电过程已基本结束.易见充电结果CuE?.对于放电过程的讨论，可以类似地进行.例8探照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.解取光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线0yfxz?????（2.23）绕x轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求xy平面上的曲线yfx?的问题,仅考虑0y?的部分,过曲线yfx?上任一点,Mxy作切线NT，则由光的反射定律入射角等于反射角，容易推知12???从而OMON?注意到2dyMPtgdxNP???及22,,OPxMPyOMxy????就得到函数yfx?所应满足的微分方程式22dyydxxxy???（2.24）这是齐次方程.由2.12知引入新变量xuy?可将它化为变量分离方程.再经直接积分即可求得方程的解.对于方齐次方程（2.24）也可以通过变换xvy?而化为变量分离方程也可由xyv?得dxdvvydydy??代入（2.24）得到2sgn1dvvyvyvdy?????于是2sgn1dydvyyv???（2.25）积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得22yccx??（2.26）其中c为任意常数.（2.26）就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物面222yzccx???（2.27）小结本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.§2线性方程与常数变易法1、一阶线性微分方程0dyaxbxycxdx???在0ax?的区间上可以写成dyPxyQxdx??（2.28）对于ax有零点的情形分别在0ax?的相应区间上讨论.这里假设,PxQx在考虑的区间上是x的连续函数.若0Qx?，（2.28）变为dyPxydx?（2.3）称为一阶齐线性方程.若0Qx?，（2.28）称为一阶非齐线性方程.2、常数变易法（2.3）是变量分离方程，已在例3中求得它的通解为Pxdxyce??（2.4）这里c是任意的常数.下面讨论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法.方程2.3与方程2.28两者既有联系又有区别,设想它们的解也有一定的联系,在2.4中c恒为常数时,它不可能是2.28的解,要使2.28具有形如2.4的解,c不再是常数,将是x的待定函数cx,为此令Pxdxycxe??（2.29）两边微分，得到PxdxPxdxdydcxecxPxedxdx????（2.30）将（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到PxdxPxdxPxdxdcxecxPxePxcxeQxdx??????即PxdxdcxQxedx???积分后得到PxdxcxQxedxc?????（2.31）这里c是任意的常数..将（2.31）代入（2.29），得到PxdxPxdxPxdxPxdxPxdxyeQxedxcceeQxedx??????????????????（2.32）这就是方程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的方法.通过变换（2.29）可将方程（2.28）化为变量分离方程.注非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和.例1求方程111xndyxnyexdx?????的通解，这里的n为常数.解将方程改写为11xndynyexdxx????（2.33）先求对应的齐次方程01dynydxx???的通解，得1nycx??令1nycxx??（2.34）微分之，得到11ndydcxxnxcxdxdx????（2.35）以（2.34）、（2.35）代入（2.33），再积分，得xcxec??将其代入公式（2.34），即得原方程的通解1nxyxec???这里c是任意的常数.例2求方程22dyydxxy??的通解.解原方程改写为2dxxydyy??（2.36）把x看作未知函数，y看作自变量，这样，对于x及dxdy来说，方程（2.36）就是一个线性方程了.先求齐线性方程2dxxdyy?的通解为2xcy?（2.37）令2xcyy?,于是22dxdcyycyydydy??代入（2.36），得到lncyyc???从而，原方程的通解为2lnxycy??这里c是任意的常数,另外0y?也是方程的解.特别的，初值问题00dyPxyQxdxyxy????????的解为0000xxsxxxPdPdPdxxyceeQseds????????????例3试证（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解（2）若yyx?是（2.3）的非零解，而yyx?是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为ycyxyx??，其中c为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证（1）设12,yy是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使112212dypyQxdxdypyQxdx????（1）（2）有1212dyypyydx???说明非齐线性方程任意两个解的差12yy?是对应的齐次线性方程的解.（2）因为dcyxyxdyxdyxcpcypyQxpcyyQxdxdxdx?????????故结论成立.（3）因为,,dyydyydcypcypyypyydxdxdx???????故结论成立.3、Bernoulli方程形如ndyPxyQxydx??（0,1?）（2.38）的方程，称为伯努利（Bernoulli）方程，这里,PxQx为x连续函数.利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程来求解.事实上，对于0y?，用ny?乘（2.38）两边，得到1nndyyyPxQxdx????（2.39）引入变量变换1nzy??（2.40）从而1ndzdynydxdx???（2.41）将（2.40）、2.41）代入（2.39），得到11dznPxznQxdx????（2.42）这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（2.38）的通解.此外，当0n?时，方程还有解0y?.例4求方程26dyyxydxx??的通解解这是2n?时的伯努利方程，令1zy??,得2dzdyydxdx???代入原方程得到6dzzxdxx???这是线性方程，求得它的通解为268cxzx??代回原来的变量y，得到2618cxyx??或者688xxcy??这是原方程的通解.此外，方程还有解0y?.例5求方程331dydxxyxy??的解解将方程改写为33dxyxyxdy??这是一个自变量为y，因变量为x的伯努利方程.解法同上.例6求方程23ydyexdxx??的通解这个方程只要做一个变换，令,yydudyueedxdx??，原方程改写为22231duxuudxxx??便是伯努利方程.小结这次主要讨论了一阶线性微分方程的解法.其核心思想是常数变易法.即将非齐线性方程对应的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数cx，求出非齐次方程的解.我们还讨论了伯努利方程，求解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性方程，再求解.§3恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义将一阶微分方程,dyfxydx?写成微分的形式,0fxydxdy??把,xy平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为,,0MxydxNxydy??（2.43）假设,,,MxyNxy在某区域G内是,xy的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数.如果存在可微函数,uxy,使得,,duMxydxNxydy??2.44即,,,uuMxyNxyxy????2.45则称方程2.43为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程2.43可写成,0duxy?,于是,uxyC?就是方程2.43的隐式通解,这里C是任意常数应使函数有意义.2、恰当方程的判定准则定理1设,,,MxyNxy在某区域G内连续可微,则方程2.43是恰当方程的充要条件是,,MNxyGyx????2.46而且当2.46成立时,相应的原函数可取为000,,,xyuxyMsydsNxtdt????2.47或者也可取为000,,,yxuxyNxtdtMsyds????2.48其中00,xyG?是任意取定的一点.证明先证必要性.因为2.43是恰当方程,则有可微函数,uxy满足2.45,又知,,,MxyNxy是连续可微的,从而有22MuuNyyxxyx?????????????下面证明定理的充分性,即由条件2.46,寻找函数,uxy,使其适合方程2.45.从2.47可知,uNxyy???000000,,,,,,,yyyxyyyyuMxyNxtdtxxMxyNxtdtMxyMxtdtMxy??????????即2.45成立,同理也可从2.48推出2.45.例1.解方程2102xxydxdyy???2.49解这里21,2xMxyNy??,则yxMxN??,所以2.49是恰当方程.因为N于0y?处无意义,所以应分别在0y?和0y?区域上应用定理2.3,可按任意一条途径去求相应的原函数,uxy.先选取00,0,1xy?,代入公式2.47有22011lnxyxxuxdxdyyyy???????再选取00,0,1xy??,代入公式2.47有22011lnxyxxuxdxdyyyy??????????可见不论0y?和0y?,都有2ln||2xuyy??故方程的通解为2ln||2xyyC??.3、恰当方程的解法上述定理已给出恰当方程的解法,下面给出恰当方程的另两种常用解法.解法1.已经验证方程为恰当方程,从,xuMxy?出发,有2,,2xuxyMxydxyyy???????2.50其中y?为待定函数,再利用,yuNxy?,有221xxyy?????从而1yy???于是有ln||yy??只需要求出一个,uxy,因而省略了积分常数.把它代入2.50便得方程的通解为2ln||2xuyyC???解法2.分项组合的方法对2.49式重新组合变为2102xxydxdydyy???于是2ln||02xdydy??从而得到方程的通解为2ln||2xyyC??4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程,,0MxydxNxydy??（2.43）如果方程（2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数,0xy????，使得,,0MxydxNxydy????2.51为一恰当方程，即存在函数,vxy，使,,MxydxNxydydv????则称,xy?是方程（2.43）的积分因子.此时,vxyC?是2.51的通解，因而也就是（2.43）的通解.如果函数,,,MxyNxy和,xy?都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道,,xy?为2.43积分因子的充要条件是MNyx?????即MNNMxyyx??????????????2.525、积分因子的求法方程2.52的非零解总是存在的，但这是一个以?为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子.定理2设,,,MMxyNNxy??和,xy???在某区域内都是连续可微的，则方程（2.43）有形如,xy????的积分因子的充要条件是函数,,,,,,yxxyMxyNxyNxyxyMxyxy????（2.53）仅是,xy?的函数，此外，如果（2.53）仅是,xy?的函数,ffxy??，而Gufudu??，则函数,Gxye???（2.54）就是方程（2.43）的积分因子.证明因为如果方程（2.43）有积分因子????，则由（2.52）进一步知dMNNMdxyyx????????????????即yxxyMNddNM????????由????可知左端是?的函数，可见右端yxxyMNNM????也是?的函数，即yxxyMNfNM??????，于是，有dfd?????，从而fdGee???????反之，如果（2.53）仅是?的函数，即yxxyMNfNM??????，则函数（2.54）是方程（2.52）的解.事实上，因为GxyyxNMNMfeMNxy??????????????因此函数（2.54）的确是方程（2.43）的积分因子.为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下例2.解22310yxydxxyxdy?????解这里2231,MyxyNxyx?????,注意yxMNyx???所以方程不是恰当的,但是1yxMNNx??它仅是依赖与x，因此有积分因子1dxxex????给方程两边乘以因子x??得到222330xyxyxdxxyxdy?????从而可得到隐式通解uxyxyxC????例3.解方程210xyydxxyydy?????解这里2,1MxyyNxyy?????方程不是恰当的.但是类型条件积分因子x?yxMNfxN??fxdxe?y?yxMNfyM???fydye?xy???111yxMNfxyxNyMxy????????????|fuduuxye????,xy??,yxxyMNfxyNM??????,|fuduuxye???1yxMNMy????它有仅依赖于y的积分因子11dyyey?????方程两边乘以积分因子1y??得到110xydxxdyy?????从而可得到隐式通解21ln||2uxxyyyC?????另外，还有特解0y?.它是用积分因子乘方程时丢失的解.例4.解方程22320yxydxxyxdy????解这里2232,MyxyNxyx????，不是恰当方程.设想方程有积分因子xy?????，其中?，?是待定实数.于是yxMNyxxNyMxyyxxyxy????????????????????????只须取3,2????.由上述简表知原方程有积分因子32xy??从而容易求得其通解为446313uxyxyC???六、积分因子的其他求法以例4为例，方程的积分因子也可以这样来求把原方程改写为如下两组和的形式22320ydxxydxxydxxdy????前一组有积分因子11y??，并且21ydxxydydxyy??后一组有积分因子21x??，并且23212xydxxdydxyx??设想原方程有积分因子211xyxyyx?????其中?，?是待定实数.容易看出只须3,2????，上述函数确实是积分因子，其实就是上面找到一个.例5.解方程12120MxMydxNxNydy??其中1M，2M，1N，2N均为连续函数.解这里12MMxMy?，12NNxNy?.写成微商形式就形式上方程是变量可分离方程，若有0y使得200My?，则0yy?是此方程的解若有0x使得100Nx?，则0xx?是此方程的解若210MyNx?，则有积分因子211MyNx??并且通解为12MxNyudxdyNxMy????例6、试用积分因子法解线性方程（2.28）.解将（2.28）改写为微分方程0PxyQxdxdy???（2.55）这里,1MPxyQxN????，而MNyxPxN???????则线性方程只有与x有关的积分因子Pxdxe????方程（2.55）两边乘以Pxdxe????，得0PxdxPxdxPxdxxPxeydxedyQxedx?????????（2.56）（2.56）为恰当方程，又分项分组法0PxdxPxdxdyeQxedx??????因此方程的通解为PxdxPxdxyeQxedxc???????即PxdxPxdxyeQxedxc??????与前面所求得的结果一样.注积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行分项分组法求得积分因子.§4一阶隐方程与参数表示1、一阶隐方程一阶隐式微分方程的一般形式可表示为,,0Fxyy??如果能解出,yfxy??,则可化为显式形式,根据前面的知识求解.例如方程20yxyyxy??????,可化为yx??或yy??但难以从方程中解出y?,或即使解出y?,而其形式比较复杂,则宜采用引进参数的方法求解.一般隐式方程分为以下四种类型1,yfxy??2,xfyy??3,0Fxy??4,0Fyy??2、求解方法Ⅰ）可以解出y（或）x的方程1讨论形如,yfxy??（2.57）的方程的解法，假设函数,fxy?有连续的偏导数,引进参数yp??,则方程2.57变为,yfxp?2.58将2.58的两边对x求导数,得到ffdppxydx????2.59方程2.59是关于,xp的一阶微分方程,而且属于显式形式.若求得2.59的通解形式为,pxc??,将其代入2.58,于是得到2.57通解为,,yfxxc??若求得2.59的通解形式为,xpc??,于是得到2.57的参数形式的通解为,,,xpcyfpcp???????其中p为参数,c是任意常数.若求得2.59的通解形式为,,0xpc??,于是得到2.57的参数形式的通解为,,0,xpcyfxp??????其中p为参数,c是任意常数.例1求方程320dydyxydxdx???的解解令dypdx?,于是有32ypxp??2.60两边对x求导数,得到2322dpdpppxpdxdx???即2320pdpxdppdx???当0p?时,上式有积分因子p??,从而32320pdpxpdppdx???由此可知4234pxpc??得到cpcxppp????将其代入2.60,即得43342cpypp???故参数形式的通解为cxpppcypp????????????当0p?时,由2.60可知0y?也是方程的解.例2求方程222dydyxyxdxdx???的解.解令dypdx?,得到222xypxp???2.61两边对x求导数,得到2dpdpppxpxdxdx????或210dppxdx???由10dpdx??,解得pxc??,于是得到方程的通解为222xycxc???2.62由20px??,解得2xp?,于是得到方程的一个解为24xy?2.63特解2.63与通解2.62中的每一条积分曲线均相切,因此称为方程的奇解.2讨论形如,dyxfydx?2.64的方程的求解方法,方程2.64与方程2.57的求解方法完全类似,假定函数,fyy?有连续偏导数.引进参数dypdx?,则2.64变为,xfyp?2.65将2.65的两边对y求导数,得到1ffdppyxdy????2.66方程2.66是关于,yp的一阶微分方程,而且属于显式形式.设其通解为,,0ypc??则2.64的通解为,,0,ypcxfyp??????Ⅱ）不显含y（或）x的方程3讨论形如,0Fxy??2.67的方程的解法.记dypydx???,此时,0Fxp?表示的是xp平面上的一条曲线,设曲线用参数形式表示为xt??,pt??2.68由于dypdx?,进而dyttdt????两边积分,得到yttdtc??????于是得到方程2.67参数形式的解为xtyttdtc?????????????c是任意常数.例3求解方程3330xyxy?????解令yptx???,则由方程得331txt??,2331tpt??于是ttdydtt???积分得到4121tttydtcctt?????????故原方程参数形式的通解为txttyct?????????????4讨论形如,0Fyy??2.69的方程,其解法与方程2.67的求解方法类似.记dypydx???,此时,0Fyp?表示的是yp平面上的一条曲线,设曲线用参数形式表示为yt??,pt??由关系式dypdx?可知tdttdx????,于是0p?时,有tdxdtt????,txdtct??????故方程2.69的参数形式的通解txdtctyt?????????????c是任意常数.此外,不难验证,若,00Fy?有实根yk?,则yk?也是方程的解.例4求解方程2212yyy?????.解令2yyt???,则有2221yyyt??由此可以得21yt??，1ytt??代入1dxdyp?，得到dxdtdtttt??????积分,得到1xct??故原方程参数形式的通解为11xctytt???????????其中c是任意常数.此外,当0y??时原方程变为24y?,于是2y??也是方程的解.例5求解方程21xyy????解令yp??,则有21xpp??,取,,22ptgtt?????,则2sinsec1ptgtxttp????由dypdx?得到cossindytgttdttdt??所以cosytc???故原方程参数形式的通解为sincosxtytc???????其中c是任意常数.第三章一阶微分方程解的存在定理教学目标1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。2.了解解的延拓定理及延拓条件。3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。教学重难点解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。教学方法讲授，实践。教学时间12学时教学内容解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。考核目标1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。§1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。例如方程2dyydx?过点0,0的解就是不唯一，易知0y?是方程过0,0的解，此外，容易验证，2yx?或更一般地，函数200c1xcyxcx????????都是方程过点0,0而且定义在区间01x??上的解，其中c是满足01c??的任一数。解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。1．存在性与唯一性定理（1）显式一阶微分方程,yxfdxdy?（3.1）这里,yxf是在矩形域00||,||Rxxayyb????（3.2）上连续。定理1如果函数,yxf满足以下条件1）在R上连续2）在R上关于变量y满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数0L?，使对于R上任何一对点1,xy，2,xy均有不等式1212,,fxyfxyLyy???成立，则方程（3.1）存在唯一的解yx??，在区间0||xxh??上连续，而且满足初始条件00xy??（3.3）其中,min,,max,xyRbhaMfxyM???,L称为Lipschitz常数.思路1）求解初值问题3.1的解等价于积分方程00,xxyyfxydx???的连续解。2）构造近似解函数列{}nx?任取一个连续函数0x?，使得00||xyb???，替代上述积分方程右端的y，得到0100,xxxyfxxdx?????如果10xx???，那么0x?是积分方程的解，否则，又用1x?替代积分方程右端的y，得到0201,xxxyfxxdx?????如果21xx???，那么1x?是积分方程的解，否则，继续进行，得到001,xnnxxyfxxdx??????（3.4）于是得到函数序列{}nx?.3）函数序列{}nx?在区间00,xhxh??上一致收敛于x?，即limnnxx?????存在，对3.4取极限,得到00010limlim,,xnnxnnxxxyfxxdxyfxxdx?????????????即00,xxxyfxxdx?????.4x?是积分方程00,xxyyfxydx???在00,xhxh??上的连续解.这种一步一步求出方程解的方法逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理.为了讨论方便,只考虑区间00xxxh???,对于区间00xhxx???的讨论完全类似.命题1设yx??是方程3.1定义于区间00xxxh???上,满足初始条件00xy??（3.3）的解,则yx??是积分方程00,xxyyfxydx???00xxxh???3.5的定义于00xxxh???上的连续解.反之亦然.证明因为yx??是方程3.1满足00xy??的解,于是有,dxfxxdx???两边取0x到x的积分得到00,xxxxfxxdx??????00xxxh???即有00,xxxyfxxdx?????00xxxh???所以yx??是积分方程00,xxyyfxydx???定义在区间00xxxh???上的连续解.反之,如果yx??是积分方程3.5上的连续解,则00,xxxyfxxdx?????00xxxh???（3.6）由于,yxf在R上连续,从而,fxx?连续,两边对x求导,可得,dxfxxdx???而且00xy??,故yx??是方程3.1定义在区间00xxxh???上,且满足初始条件00xy??的解.构造Picard的逐次逼近函数序列{}nx?.0000100,xnnxxyxyfdxxxh???????????????????1,2,n?（3.7）命题2对于所有的n，（3.6）中的函数nx?在00xxxh???上有定义，连续且满足不等式0||nxyb???（3.8）证明用数学归纳法证明当1n?时，0100,xxxyfyd??????，显然1x?在00xxxh???上有定义、连续且有0010000|||,||,|xxxyfydfydMxxMhb??????????????即命题成立.假设nk?命题2成立，也就是在00xxxh???上有定义、连续且满足不等式0||kxyb???当1nk??时，010,xkkxxyfdx????????由于,yxf在R上连续,从而,kfxx?在00xxxh???上连续，于是得知1kx??在00xxxh???上有定义、连续,而且有0100|||,|xkkxxyfdMxxMhb?????????????即命题2对1nk??时也成立.由数学归纳法知对所有的n均成立.命题3函数序列{}nx?在00xxxh???上是一致收敛的.记limnnxx?????,00xxxh???证明构造函数项级数011kkkxxx?????????00xxxh???3.9它的部分和为011nnkknkSxxxxx???????????于是{}nx?的一致收敛性与级数3.9的一致收敛性等价.为此，对级数3.9的通项进行估计.01000|||,|xxxxfdMxx???????????3.1002110|||,,|xxxxffd?????????????由Lipschitz条件得知||||ξ2xxxxxxLdLMxdMLxx?????????????????设对于正整数n,有不等式110||nnnnMLxxxxn???????成立,则由Lipschitz条件得知,当00xxxh???时,有|||,,|||ξ1xnnnnxxnnxnxnxnnxxffdLdMLxdnMLxxn???????????????????????????????于是由数学归纳法可知,对所有正整数k,有1110||kkkkkkMLMLxxxxh?????????00xxxh???3.11由正项级数11kKkhMLk????的收敛性,利用Weierstrass判别法,级数3.9在00xxxh???上一致收敛.因而序列{}nx?在00xxxh???上一致收敛.设limnnxx?????,则x?也在00xxxh???上连续,且0||xyb???命题4x?是积分方程3.5的定义在00xxxh???上的连续解.证明由Lipschitz条件|,,|||nnfxxfxxLxx???????以及{}nx?在00xxxh???上一致收敛于x?,可知,nfxx?在00xxxh???上一致收敛于,fxx?.因此0001limlim,lim,xnnxnnxnxnxyfdyfd??????????????????????即00,xnxxyfd????????故x?是积分方程3.5的定义在00xxxh???上的连续解.命题5设x?是积分方程3.5的定义在00xxxh???上的一个连续解,则xx???,00xxxh???.证明设||gxxx????,则gx是定义在00xxxh???的非负连续函数,由于00,xxxyfd????????00,xxxyfd????????而且,fxy满足Lipschitz条件,可得0000|||,,||,,|||xxxxxxgxxxffdffdLdLgd????????????????????????????????????令0xxuxLgd????,则ux是00xxxh???的连续可微函数,且00ux?,0gxux??,uxLgx??,uxLux??,0LxuxLuxe????,即0Lxuxe???,于是在00xxxh???上,000LxLxuxeuxe????故0gxux??,即0gx?,00xxxh???,命题得证.对定理说明几点1存在唯一性定理中min,bhaM?的几何意义.在矩形域R中,fxyM?,故方程过00,xy的积分曲线yx??的斜率必介于M?与M之间,过点00,xy分别作斜率为M?与M的直线.当bMa?时，即baM?,（如图a所示），解yx??在00xaxxa????上有定义当bMa?时,即baM?,（如图b所示），不能保证解在00xaxxa????上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形R外去，只有当00bbxxxMM????才能保证解yx??在R内，故要求解的存在范围是0||xxh??.2、由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数,yxf在矩形域R上关于y的偏导数,yxfy存在并有界，即,yfxyL?，则李普希兹条件条件成立.事实上,|,,|||||||fxyyyfxyfxyyyyLyy??????????这里12,,,,01xyxyR????.如果,yxfy在R上连续，它在R上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数,yxf不一定有偏导数存在.例如函数,||fxyy?在任何区域都满足李普希兹条件,但它在0y?处没有导数.3、设方程3.1是线性的,即方程为dyPxyQxdx??易知,当,PxQx在区间,??上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值000,,,xyx???所确定的解在整个区间,??上有定义、连续.实际上,对于一般方程3.1,由初值所确定的解只能定义在0||xxh??上,是因为在构造逐步逼近函数序列{}nx?时,要求它不越出矩形域R,此时,右端函数对y没有任何限制,只要取0,max||xMPxyQx?????.4、Lipschitz条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件.例如试证方程00ln||0ydyyydxy?????经过xoy平面上任一点的解都是唯一的.证明0y?时,,ln||fxyyy?,在0y?上连续,,1ln||yfxyy???也在0y?上连续,因此对x轴外的任一点00,xy,方程满足00yxy?的解都是唯一存在的.又由ln||dyyydx?可得方程的通解为xceye??,其中xceye?为上半平面的通解,xceye??为下半平面的通解,它们不可能与0y?相交.注意到0y?是方程的解,因此对x轴上的任一点0,0x,只有0y?通过,从而保证xoy平面上任一点的解都是唯一的.但是|,,0||ln||||ln|||||fxyfxyyyy???因为0lim|ln|||yy????,故不可能存在0L?,使得|,,0|||fxyfxLy??所以方程右端函数在0y?的任何邻域并不满足Lipschitz条件.此题说明Lipschitz条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件.2考虑一阶隐方程,,0Fxyy??3.12由隐函数存在定理,若在000,,xyy?的某一邻域内F连续且000,,0Fxyy??,而0Fy????,则必可把y唯一地表为,xy的函数,yfxy??3.13并且,fxy于00,xy的某一邻域连续,且满足000,yfxy??如果F关于所有变元存在连续的偏导数,则,fxy对,xy也存在连续的偏导数,并且/fFFyyy?????????3.14显然它是有界的,由定理1可知,方程3.13满足初始条件的00yx?解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2如果在点000,,xyy?的某一邻域中ⅰ,,Fxyy?关于所有变元,,xyy?连续,且存在连续的偏导数ⅱ）000,,0Fxyy??ⅲ）000,,0Fxyyy?????则方程（3.12）存在唯一的解0||yyxxxh???（h为足够小的正数）满足初始条件0000,yxyyxy????（3.15）1、近似计算和误差估计求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法0000100,xnnxxyxyfdxxxh???????????????????对方程的第n次近似解nx?和真正解x?在0||xxh??内的误差估计式1||1nnnMLxxhn??????（3.16）此式可用数学归纳法证明.000|||,|xxxxfdMxxMh????????????设有不等式1110||nnnnnMLMLxxxxh?????????成立,则|||,,|||ξ11xnnxxnxnxnxnnnnxxffdLdMLxdnMLMLxxhnn????????????????????????????????例1讨论初值问题22dyxydx??,00y?解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,11,11Rxy??????.解,1max|,|2,1,1,min{,}2xyRbMfxyabhaM???????,由于|||2|2fyLy?????,根据误差估计式3.1nnnMLxxhnn?????????可知3n?.于是00x??3221003xxxxxdx??????xxxxxxdx???????xxxxxxxxdx?????????3x?就是所求的近似解,在区间1122x???上,这个解与真正解得误差不超过0.05.§2解的延拓上节我们学习了解的存在唯一性定理，当,yxfdxdy?的右端函数,yxf在R上满足解的存在性唯一性条件时，初值问题???????,00xyyyxfdxdy的解在0||xxh??上存在且唯一.但是，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的.可能随着,yxf的存在区域的增大，而能肯定的解得存在区间反而缩小。例如，上一节的例1，当定义区域变为22,22Rxy??????时，218,min{2,}84Mh???，解的范围缩小为01||4xx??.在实际引用中，我们也希望解的存在区间能尽量扩大，下面讨论解的延展概念，尽量扩大解的存在区间，把解的存在唯一性定理的结果由局部的变成大范围的.1、饱和解及饱和区间定义1对定义在平面区域G上的微分方程,yxfdxdy?3.1设yx??是方程3.1定义在区间1IR?上的一个解,如果方程3.1还有一个定义在区间2IR?上的另一解yx??,且满足112II?但是12II?（2）当1xI?时，xx???则称1,yxxI???是可延拓的，并称yx??是yx??在2I上的延拓.否则如果不存在满足上述条件的解yx??,则称1,yxxI???是方程3.1的不可延拓解或饱和解,此时把不可延拓解的区间1I称为一个饱和区间.2、局部李普希兹条件定义2若函数,yxf在区域G内连续，且对G内每一点P，都存在以P点为中心，完全含在G内的闭矩形域pR，使得在pR上,yxf关于y满足李普希兹条件（对于不同的点，闭矩形域pR的大小和李普希兹常数L可能不同），则称,yxf在G上关于y满足局部李普希兹条件.定理3（延拓定理）如果方程,yxfdxdy?的右端函数,yxf在（有界或无界）区域2GR?上连续，且在关于y满足局部李普希兹条件，则对任意一点00,xyG?，方程,yxfdxdy?以,00yx为初值的解x?均可以向左右延展，直到点,xx?任意接近区域G的边界.以向x增大的一方来说，如果yx??只能延拓到区间上，则当xm?时，,xx?趋于区域G的边界。证明00,xyG??，由解的存在唯一性定理，初值问题???????,00xyyyxfdxdy（1）存在唯一的解yx??，解的存在唯一区间为00||xxh??.取100xxh??,11yx??,以11,xy为中心作一小矩形1RG?,则初值问题11,dyfxydxyyx???????2存在唯一的解yx??，解的存在唯一区间为11||xxh??.因为11xx???,有唯一性定理,在两区间的重叠部分应有xx???,即当111xhxx???时xx???.定义函数,,xxhxxhxxxhxxhh?????????????????则yx???是方程3.1满足1或2的,在0011,xhxh??上有定义的唯一的解.这样,把方程3.1满足1的解yx??在定义区间上向右延伸了一段.即把解yx???看作方程3.1的解yx??在定义区间00||xxh??的向右延拓,延拓到更大区间00001xhxxhh?????.同样的方法,也可把解yx??向左延拓.这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去,最后将得到一个解yx??,不能再向左右延拓了.这个解称为方程3.1的饱和解.推论1对定义在平面区域G上的初值问题???????,00xyyyxfdxdy其中00,xyG?若,yxf在区域G内连续且关于y满足局部Lipschtiz条件,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.推论2设yx??是初值问题???????,00xyyyxfdxdy其中00,xyG?的一个饱和解，则该饱和解的饱和区间I一定是开区间.证明若饱和区间I不是开区间,不妨设,I???,则,G????,这样解yx??还可以向右延拓,从而yx??是非饱和解,矛盾.对,I???时,同样讨论,即x???或x???时,,xxG???.推论3如果G是无界区域,在上面解的延拓定理的条件下,方程3.1通过00,xy点的解yx??可以延拓,以向x增大减小一方的延拓来说,有以下两种情况1解yx??可以延拓到区间0,x??或0,x??2解yx??只可延拓到区间0,xm或0,mx，其中为有限数，则当xm?时，或者yx??无界,或者点,xxG???.例1讨论方程212dyydx??分别通过点0,0和点ln2,3?的解的存在区间.解此方程右端函数21,2yfxy??在整个xy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.易知方程的通解为11xxceyce???故通过点0,0的解为1/1xxyee???,这个解的存在区间为x??????通过点ln2,3?的解为1/1xxyee???,这个解的存在区间为0x????如图所示.注意,过点ln2,3?的解为1/1xxyee???向右方可以延拓到??,但向左方只能延拓到0,因为当0x??时,y???.例2讨论方程1lndyxdx??过1,0点的解的存在区间.解方程右端函数,1lnfxyx??在右半平面0x?上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.区域G右半平面是无界开域，y轴是它的边界.易知问题的解为lnyxx?,它于区间0x????上有定义、连续且当0x?时,0y?,即所求问题的解向右方可以延拓到??,但向左方只能延拓到0,且当0x?时积分曲线上的点,xy趋向于区域G的边界上的点.例3考虑方程,22yxfaydxdy??,假设,fxy和,yxfy在xoy平面上连续，试证明对于任意0x及ay?0，方程满足00yxy?的解都在,????上存在.证明根据题设,易知方程右端函数在整个xoy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.又ya??为方程在,????上的解,由延拓定理可知,对00,||xya??,满足00yxy?的解yyx?应当无限远离原点,但是,由解的唯一性,yyx?又不能穿过直线ya??,故只能向两侧延拓,而无限远离原点,从而解应在,????存在.注如果函数,fxy于整个xoy平面上定义、连续和有界,同时存在关于y的一阶连续偏导数,则方程3.1的任一解均可以延拓到区间x??????.练习试证对任意0x，0y，方程1222???yxxdxdy满足初始条件00yxy?的解都在,????上存在.§3解对初值的连续性和可微性定理在初值问题???????,00xyyyxfdxdy中我们都是把初值,00yx看成是固定的数值，然后再去讨论方程,yxfdxdy?经过点,00yx的解.但是假如00,xy变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量x,还依赖于初值00,xy.例如yyxf?,时,方程yy?的解是xcey?,将初始条件00yxy?带入,可得00xxeyy??.很显然它是自变量x和初始条件00,xy的函数.因此将对初值问题???????,00xyyyxfdxdy的解记为,,00yxxy??,它满足0000,,yxxy??.当初值发生变化时，对应的解是如何变化的当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢为此就要讨论解对初值的一些性质.1、解关于初值的对称性设方程3.1满足初始条件00yxy?的解是唯一的,记为,,00yxxy??,则在此关系式中,,xy与00,xy可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式00,,yxxy??证明在方程3.1满足初始条件00yxy?的解的存在区间内任取一点1x,显然1100,,yxxy??,则由解的唯一性知,过点11,xy的解与过点00,xy的解是同一条积分曲线,即此解也可写为11,,yxxy??并且,有0011,,yxxy??.又由11,xy是积分曲线上的任一点,因此关系式00,,yxxy??对该积分曲线上的任意点均成立.2、解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差.有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当00,xy变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理引理如果函数,fxy于某域D内连续，且关于y满足Lipschtiz条件（Lipschtiz常数为L），则对方程（3.1）的任意两个解x?及x?，在它们公共存在的区间内成立着不等式0||00||||Lxxxxxxe????????（3.17）其中0x为所考虑区域内的某一值.证明设x?,x?于区间axb??上均有定义,令2,Vxxxaxb??????则2,,Vxxxfxfx????????于是||2|||,,|2VxVxxxfxfxLVx???????????2220LxLxVxeLVxe?????从而20LxdVxedx??所以,对0,xab??,有0200,LxxVxVxexxb????对于区间0axx??,令xt??,并记00xt??,则方程3.1变为,dyftydx???而且已知它有解yt???和yt???.类似可得0200,LxxVxVxeaxx????因此,02||00,,LxxVxVxeaxbaxb??????两边开平方即得3.17.利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性解对初值的连续依赖定理假设,yxf在区域G内连续，且关于y满足局部李普希兹条件，如果00,xyG?，初值问题???????,00xyyyxfdxdy有解00,,yxxy??，它于区间bxa??上有定义0axb??,则对任意0??，,,0ab??????，使得当2220000xxyy?????时,方程3.1满足条件00yxy?的解00,,yxxy??在区间bxa??上也有定义，并且有0000,,,,,xxyxxyaxb???????.证明记积分曲线段00,,,Syxxyxaxb??????是xy平面上一个有界闭集.第一步找区域D,使SD?,而且,fxy在D上关于y满足Lipschitz条件.由已知条件,对,xyS??,存在以它为中心的开圆,CCG?,使,fxy在其内关于y满足Lipschitz条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆1,2,,iCiN?不同的iC,其半径ir和Lipschitz常数iL的大小可能不同,它们的全体覆盖了整个积分曲线段S,令1NiiGC??,则SGG??,对0???,记1,,min,2,max,NdGSLLL????????,则以S上的点为中心,以?为半径的圆的全体及其边界构成包含S的有界闭域DGG??,且,fxy在D上关于y满足Lipschitz条件,Lipschitz常数为L.第二步证明,,0ab?????????，使得当2220000xxyy?????时,解00,,yxxxy????在区间axb??上也有定义.由于D是一个有界闭域,且,fxy在其内关于y满足Lipschitz条件,由解的延拓定理可知,解00,,yxxxy????必能延拓到区域D的边界上.设它在D的边界上的点为,cc?和,dd?,cd?,这时必有,cadb??.否则设,cadb??,由引理有0||00||||,Lxxxxxxecxd??????????利用x?的连续性,对112Lbae?????,必有20??存在,使当02||xx???时有01||xx?????,取12min,????,则当2220000xxyy?????时就有||||||2||||2||||2|LxxLxxLxxxxxxexxxxexxxxey??????????????????????????????LbaLbayeecxd????????3.18于是对一切,,||xcdxx??????成立,特别地有||cc?????,||dd?????即点,cc?和,dd?均落在域D的内部,这与假设矛盾,故解yx??在区间,ab上有定义.第三步证明||,xxaxb???????.在不等式（3.18）中将区间,cd换成,ab，可知当2220000xxyy?????时，就有0000,,,,,xxyxxyaxb?????????.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若函数,yxf在区域G内连续，且关于y满足局部李普希兹条件,则方程3.1的解00,,yxxy??作为00,,xxy的函数在它的存在范围内是连续的.证明对00,xyG??,方程3.1过00,xy的饱和解00,,yxxy??定义于0000,,xyxxy????上,令{,,|,,,,}VxxyxyxxyxyG??????下证00,,yxxy??在V上连续.对00,,xxyV??,,ab?,使解00,,yxxy??在,ab上有定义,其中0,,xxab?.对10,0??????,使得当xxyy?????时,0000,,,,,2xxyxxyaxb???????又00,,yxxy??在,xab?上对x连续,故20???,使得当2||xx???时有0000,,,,,,,2xxyxxyxxab??????取12min,????,则只要xxxxyy???????就有,,,,|,,,,||,,,,|22xxyxxyxxyxxyxxyxxy?????????????????从而得知00,,yxxy??在V上连续.4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数?的微分方程,,dyfxydx?,,GxyG???????3.19如果对,,xyG????，都存在以,,xy?为中心的球CG??，使得对任何12,,,,,xyxyC???，成立不等式1212|,,,,|||fxyfxyLyy?????
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