我的求真：高斯到底有没有完成尺规作正十七边形？ | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
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似乎我们从小都听到一个传说：高斯在19岁时花了一晚上完成作正十七边形，从此身陷数学巨坑不能自拔……但是几天前在果壳网看到一篇文章，提到一点：高斯1796年19岁时证明，正十七边形可以用尺规作出来，但是高斯本人并不会作正十七边形，正十七边形尺规作图法最早由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）于1825年给出。[1]昨天，有朋友QQ空间转发的一条说说上又涉及高斯作出正十七边形这件事，经讨论，我决定查找一下相关资料。首先可以抓住的是两条线索：“高斯”和“约翰尼斯·厄钦格”。根据“高斯 正十七边形”搜得结果都表明高斯神奇地作出了正十七边形，而根据“约翰尼斯·厄钦格 正十七边形”搜得结果都表明由约翰尼斯·厄钦格最早给出作法。两者的不同在于，前者都没有给出相关证据，而后者几乎都强调高斯只是证明了 正十七边形可以用尺规作出来，但其本人没有作出正十七边形。有果壳网友认为高斯没有作出正十七边形，并给出了一个链接[2]，是一篇论文，但由于是鹰文网页，我看不懂。维基中文“卡尔·弗里德里希·高斯”词条写有“在他19岁时，第一个成功的用尺规构造出了规则的17边形。”[3]，但没有给出信息来源。维基中文查“约翰尼斯·厄钦格”无果。另外“高斯”词条提到高斯就正十七边形写有论文《正十七边形尺规作图之理论与方法》[3]，如可找到此文，就知道他到底有没有作出正十七边形，但搜索《正十七边形尺规作图之理论与方法》无果。而约翰尼斯·厄钦格实在人气太低，在网上根本找不到生平资料，如果找到他的生平和他的成就，那将可能成为决定性证据。在中文内容搜索无果的情况下，我只能转战维基英文。在“Carl Friedrich Gauss ” 词条下写有：高斯取得突破性成果，证明了怎样的正多边形可以由尺规完成[4]。而维基英文查“Johannes Erchinger”同样没有相关词条（这人的存在感真这么低……），但在“heptadecagon（正十七边形）”词条下提到了Johannes Erchinger，写有：第一个作图由约翰尼斯·厄钦格于1825年完成。[5]相对应的维基中文条目“十七边形”只写有：1796年高斯证明了可以用尺规作图作出正十七边形 [6]，没有写明谁最早给出作法。今天我再上英文维基，在“Carl Friedrich Gauss ” 词条中发现了一句话“He discovered a construction of the heptadecagon on 30 March.”（他于3月30日发现了正十七边形的作法。）[4]似乎说高斯给出了作法。“3月30日”成为又一线索，搜索“高斯 3月30日”发现了一个惊人的结果！“日，高斯开始在笔记中记录他的科学发现。1898年在高斯的孙子保留的遗物中偶然发现了这本笔记，高斯称之为‘日志录’，后来称之为“科学日记” 。在3月30日的日记中高斯写道：‘圆的分割定律，如何以几何方法将圆分成十七等份’。”[7]整理以上内容，我认为结论是这样的：（1）“导师不小心给了高斯学术难题，结果被不明就里的高斯一晚上刷掉……”这个故事是假的。（2）高斯于1796年19岁时证明怎样的正多边形可以用尺规作出来，并发表研究成果，轰动学术界。日，他在笔记中写下正十七边形作法，但没有发表（的确，相较证明怎样的正多边形可以用尺规作出来，这一成果微不足道）。1825年约翰尼斯·厄钦格第一次公开发表正十七边形作法。1898年整理高斯遗物时发现笔记中高斯的正十七边形作法。（3）所以说，高斯会尺规作正十七边形，而约翰尼斯·厄钦格最早给出（即发表）正十七边形作法。 以上内容完全代表个人看法，求果友讨论。 [1][2][3][4][5][6][7]
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相较证明怎样的正多边形可以用尺规作出来，这一成果微不足道这个就很说明问题了啊。人家高斯大侠根本顾不上这种过家家的
相较证明怎样的正多边形可以用尺规作出来，这一成果微不足道这个就很说明问题了啊。人家高斯大侠根本顾不上这种过家家的
我看像老子都证明这东西能做出来了,自己练练手不是很平常的事么,这也能当论文发出嘛?于是这个东西就一直在草稿上了
大家做没做过“根号2”的尺规作图啊。很简单，做一个等腰直角三角形就可以了。 有了根号2，就可以做根号3，根号4。。。。。。。。。根号的任意加减乘除甚至再开根号。 高斯给的那个公式，已经是只有2次根号的整数式了，做出来跟玩一样。花时间就行了。 楼主这么求证了半天，其实操作一下就行了。别只动口不动手。（其实我也是只动口了，不过我在用嘴画了，哈哈）
引用 的话：大家做没做过“根号2”的尺规作图啊。很简单，做一个等腰直角三角形就可以了。 有了根号2，就可以做根号3，根号4。。。。。。。。。根号的任意加减乘除甚至再开根号。 高斯给的那个公式，已经是只有2次根号的...我还是觉得延长画圆的方便点。
这个问题就和“锯子是不是鲁班发明的”如出一辙
但由于是鹰文网页，我看不懂。英文啦
第一份反应是，纸都被圆规戳烂了吧。。。。怎么作？
引用 的话：第一份反应是，纸都被圆规戳烂了吧。。。。怎么作？autocad来自
引用 的话：autocad高斯那年头有电脑么?
引用 的话：高斯那年头有电脑么?你可以把关键的点扎针透到另外一个点上继续画。。
引用 的话：大家做没做过“根号2”的尺规作图啊。很简单，做一个等腰直角三角形就可以了。 有了根号2，就可以做根号3，根号4。。。。。。。。。根号的任意加减乘除甚至再开根号。 高斯给的那个公式，已经是只有2次根号的...根号4是什么鬼= =
引用 的话：根号4是什么鬼= =笨，是2啊，哈哈哈来自Lumia骚黄的山寨果壳~
第一台计算机也不是图灵造出来的
引用 的话：你可以把关键的点扎针透到另外一个点上继续画。。呃，为什么不拿大一点的纸呢
引用 的话：呃，为什么不拿大一点的纸呢圆规取点里面要扎同一个位置，很容易扎坏的而且我不相信高斯那个年代的纸质量能跟现在差不多来自
引用 的话：圆规取点里面要扎同一个位置，很容易扎坏的而且我不相信高斯那个年代的纸质量能跟现在差不多用木板
引用 的话：圆规取点里面要扎同一个位置，很容易扎坏的而且我不相信高斯那个年代的纸质量能跟现在差不多羊皮纸呗
引用 的话：大家做没做过“根号2”的尺规作图啊。很简单，做一个等腰直角三角形就可以了。 有了根号2，就可以做根号3，根号4。。。。。。。。。根号的任意加减乘除甚至再开根号。 高斯给的那个公式，已经是只有2次根号的...尺规作图的尺子根本没有刻度，你给我做个根号2看看。难题有你这么BB两下就解决怎么可能？
引用 的话：尺规作图的尺子根本没有刻度，你给我做个根号2看看。难题有你这么BB两下就解决怎么可能？引用 的话：大家做没做过“根号2”的尺规作图啊。很简单，做一个等腰直角三角形就可以了。 有了根号2，就可以做根号3，根号4。。。。。。。。。根号的任意加减乘除甚至再开根号。 高斯给的那个公式，已经是只有2次根号的...意思应该是做两条比例为1：根号2的线段吧
引用 的话：尺规作图的尺子根本没有刻度，你给我做个根号2看看。难题有你这么BB两下就解决怎么可能？事实是证明作图的正多边形可行性是难题，作法不是难题。没有刻度你不会定义单位长度吗？补给单位，作根2没有意义。来自 煮熟的壳
引用 的话：事实是证明作图的正多边形可行性是难题，作法不是难题。没有刻度你不会定义单位长度吗？补给单位，作根2没有意义。要是不给单位长度，我随便画一根线段，说它是根号2就是根号2，说它是根号3就是根号3
引用 的话：这个就很说明问题了啊。人家高斯大侠根本顾不上这种过家家的不能这么说，证明了两个素数之间的距离是有限的（还是叫有界的？）很牛逼，但能找到这个距离的上界是多少也很牛逼，能把这个上界缩小到2，那就更牛逼了。
引用 的话：要是不给单位长度，我随便画一根线段，说它是根号2就是根号2，说它是根号3就是根号3引用 的话：要是不给单位长度，我随便画一根线段，说它是根号2就是根号2，说它是根号3就是根号3单位本身就是人规定的，是为了方便人类生活中统一长度。尺规作图当然可以实现等比例作图，仔细想想地图，难道人们还要根据真实距离去作图吗？如果你规定了某一长度做为根2，那么你的1也要等比例变化，就是说以根2长度为斜边，做等腰直角三角形，该直角三角形的直角边就为1来自
高中时一天在玩计算机（不知为毛那么无聊）然后输入tan^-1(2)输出个6/17π于是画出了正十七边形
引用 的话：尺规作图的尺子根本没有刻度，你给我做个根号2看看。难题有你这么BB两下就解决怎么可能？ 然而根号2确实就是BB一下就能解决。要谈长度必然会给定单位1的线段，要不然别说尺规作图，就算给出用全世界最高端工具也做不出。
引用 的话：高中时一天在玩计算机（不知为毛那么无聊）然后输入tan^-1(2)输出个6/17π于是画出了正十七边形对你这个数字表示质疑。我曾经看过正十七边形作图方法，其实也就是证明某些角的正余弦可以以二次根式表示。如果你这么简单就搞定的话，几百年后的今天的书上至少也得提一下后人发现的更简便的方法。
引用 的话：对你这个数字表示质疑。我曾经看过正十七边形作图方法，其实也就是证明某些角的正余弦可以以二次根式表示。如果你这么简单就搞定的话，几百年后的今天的书上至少也得提一下后人发现的更简便的方法。那是因为运气好+计算器强大（可以取一个最接近的分数）+那天灵泛看到一个17马上想出来了只是那时觉得没什么
引用 的话：那是因为运气好+计算器强大（可以取一个最接近的分数）+那天灵泛看到一个17马上想出来了只是那时觉得没什么高斯提供的是理论及对应的精确做法，你这个近似做法，和五边形的“九五顶五九、二八两边分”差不多意思。
引用 的话：高斯提供的是理论及对应的精确做法，你这个近似做法，和五边形的“九五顶五九、二八两边分”差不多意思。……………………你太认真了
引用 的话：高斯提供的是理论及对应的精确做法，你这个近似做法，和五边形的“九五顶五九、二八两边分”差不多意思。我只是讲了高中时的一件事，没有表明任何和十七边形相关的个人观点我没有自夸成分，也没有否认高斯是个天才，更没有贬低想出做正十七边形方法的难度你先是质疑，再是说“做法欠严谨”有必要和高中的我过不去吗
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尺规作图与正多边形
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尺规作图是指用无的和作图。尺规作图是起源于的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个连在一起，不可以在上画刻度；2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。义务教育阶段学生首次的尺规作图是“一条等于已知线段”。
尺规作图定义
仅以“有限次使用无刻度的直尺和圆规作图”这样的措辞作为定义显然是不够严密的，因为不限定每“次”以内的操作复杂度的话，“有限次”就成无意义的了。
因此，一般采用的定义是基于“作图公法”的定义，即：
1. 每次的操作只能是公认允许的五项基本操作（称为五项作图公法）之一。
2. 每次操作之前，操作者为决定是否操作和进行哪种操作可以进行的逻辑判断，也只能是几何学中公认允许的几种。
基于“作图公法”的定义如下：
尺规作图定义
承认以下五项前提，有限次运用以下五项公法而完成的作图方法，就是合法的尺规作图：
五项前提是：
(1) 允许在平面上、直线上、圆弧线上已确定的范围内任意选定一点（所谓“确定范围”，依下面四条的规则）。
(2) 可以判断同一直线上不同点的位置次序。
(3) 可以判断同一圆弧线上不同点的位置次序。
(4) 可以判断平面上一点在直线的哪一侧。
(5) 可以判断平面上一点在圆的内部还是外部。
五项公法是：
(1) 根据两个已经确定的点作出经过这两个点的直线。
(2) 以一个已经确定的点为圆心，以两个已经确定的点之间的距离为半径作圆。
(3) 确定两个已经做出的相交直线的交点。
(4) 确定已经做出的相交的圆和直线的交点。
(5) 确定已经做出的相交的两个圆的交点。
也有些资料上给出的五项公法的后两条中的“交点”改为“公共点”。这两种叙述差别在于后者多包括了“切点”。但是，因为确定切点即使不算基本操作，也是可以用其它基本操作组合实现的。所以，两种叙述的定义并无本质不同。
尺规作图八种基本作图
1、作一条等于已知线段
2、作一个等于已知角
3、作已知线段的
4、作已知角的
5、过一作已知的
6、已知一角、一边作
7、已知两角、一边作三角形
8、已知一角、两边作三角形
尺规作图基本方法
以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：
1、通过两个已知点可作一直线。
2、已知圆心和半径可作一个圆。
3、若两已知直线相交，可求其交点。
4、若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。
5、若两已知圆相交，可求其交点。
尺规作图作图实例
过三点作圆【已知】不共线的A、B、C三点。
【求作】过该三点之圆。
【作法】① 连接AB，连接AC；② 分别作出线段AB、AC的中点D、E；③ 过D作AB的垂线，过E作AC的垂线，两垂线相交于O；④ 以O为圆心OA长为半径作圆，即为求作之圆。
过三点作圆
作顶点分别在三平行线上的正三角形【已知】平行直线L1、L2、L3。
【求作】正△ABC，使三个顶点分别落在三条平行线上。
【作法一】① L1上任取一点D为顶点，作正三角形△DBE，使B、E落在L2上（图中虚线为正三角形简易作法）；② 作过D、E直线交L3于C；③ 以B为圆心BC为半径作弧交L1于A，连接A、B、C成△ABC。
三顶点在三平行线的正三角形作法一
【作法二】① L2上任取一点B作三平行线公垂线交L1于E，L3于D；② 作线段EB的垂直平分线L4；③ 过D作直线DG使∠EDG = 30°，并交L4于G；④过B、G作直线交L1于A；⑤ 以B为圆心BA为半径作弧交L3于C，连接A、B、C成△ABC。
注：可将第⑤步改为，过G作AB的垂线交L3于点C.这样G,B,D,C四点显然共圆．于是可证得∠BCG=∠EDG = 30°.这样可以很快证得△ABC为等边三角形．
三顶点在三平行线的正三角形作法二
尺规作图著名问题
就是不可能用尺规作图完成的作图问题。其中最著名的是被称为的古典难题：
■：作一个，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
■：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
■三等分角：作一个角，将其分为三个相等的部分。
以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题，但在的限制下，以上三个问题都不可能解决的。直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“”和“倍立方”为尺规作图不能问题。而后在1882年德国数学家证明π是后，“”也被证明为
尺规作图作品
尺规作图不能问题。
还有另外两个著名问题：
只使用直尺和，作。
只使用直尺和圆规，作。
只使用直尺和圆规，作——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的。
只使用直尺和圆规，作，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。
问题的解决：，大学二年级时得出的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题。
只准许使用，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是出的，向全法国数学家的挑战。
尺规作图简史
尺规作图中国古代
“规”就是，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字。“矩”就像木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股。
矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.
《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.
春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性。
尺规作图古希腊
古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和进行作图.
的安那萨哥首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是的《》。
《几何原本》徐光启译本中的尺规作图问题
由于《》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来。
尺规作图近代西方
由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是超越数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.
尺规作图判定准则
从坐标系观点看，所有的点和线都可以用坐标、方程的参量来代替，尺规作图能够完成两根线段的和差积商，因此可做图的数成为一个域。
直线和圆都是二次方程，稍微细致的讨论可知，尺规作图能够完成开平方，也就是域的二次扩张。
因此，如果已知量与有理数生成的数域为
可以尺规作图的充要条件是，存在域塔:
其中相邻的域扩张都是二次的。
换句话说，除了四则运算之外，只用到开平方的，可以尺规作图。
但如果是开立方之类的情况，除了完全立方之类的特殊情况，一般不能尺规作图。
当然，开四次方八次方，可以连续开平方，所以也是可以尺规作图的。
尺规作图影响
几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.
．东华三院主页[引用日期]Gauss-Wantzei 定理考虑了所有与费马素数有关系的边数正多边形尺规作图条件,但不包括边数为2^n的正多边形,请问边数为2^n的正多边形可以尺规作图是谁证明的,它与Gauss-Wantzei 定理完全没有关系吗?它是不是也是Gauss提出的,为什么在Wiki等百科全书中查不到?
末路军团ZZ8
　　边数为2^n的正多边形可以尺规作图也是高斯给出证明的,Gauss-Wantzei 定理在平常并不常涉及,因此在网页很很难搜索到,百科全书中也很难录入,实际上Gauss-Wantzei 定理是确定了正多边形尺规作图条件,而不是考虑了所有与费马素数有关系的边数正多边形尺规作图条件,其中自然也就包括了边数为2^n的正多边形的尺规问题　　希望我的回答能帮到您
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