如何证明一个函数对有限集的映射依然是有限集？_数学吧_百度贴吧
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如何证明一个函数对有限集的映射依然是有限集？收藏
设X是有限集，f是以X为定义域的函数，证明f的值域f[X]是有限集，怎么证？直观想法我有，但严格证明我写不出，谁能帮帮我？
刘备：军师，此次伐魏你有何妙计？
试试反证法。。。
回复：2楼我不懂。
假设其映射所得为无限集，则原**必为无限集...
回复：4楼直观上是很好理解。但严格证明我不懂
怎么可能…… tan（X） 在【0，π】上的值域明显是无限集
回复：6楼膜拜大神
函数怎么可能把有限集弄成无限的呢·········像集的元素个数显然不多于函数定义在其上的那个集
根据函数的定义啊，这样值域的基数小于等于定义域，可知有限集。
回复：10楼为什么值域的基数小于等于定义域啊？
函数不是不能一对多的麽.....要么一对一要么多对一...怎么可能变成无限集
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或刚学高等数学，就被弄混了。。。什么叫有限函数 什么叫可列函数 什么叫可数函数。。。这三个有啥区别啊？
丶紫色旋律763
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所有参数的逻辑值为真时，返回TRUE；只要有一个参数的逻辑值为假，即返回 FALSE。
AND函数语法
AND(logical1,logical2, ...)
Logical1, logical2, ... 表示待检测的 1 到 30 个条件值，各条件值可为 TRUE 或 FALSE。
AND函数说明
· 参数必须是逻辑值 TRUE 或 FALSE, 或者包含逻辑值的（ 用于建立可生成多个结果或可对在行和列中排列的一组参数进行运算的单个公式。数组区域共用一个公式；数组常量是用作参数的一组常量）或引用。
· 如果数组或引用参数中包含文本或空白单元格，则这些值将被忽略。
· 如果指定的单元格区域内包括非逻辑值，则 AND 将返回错误值 #VALUE!。
AND函数示例
如果您将示例复制到空白工作表中，可能会更易于理解该示例。
AND函数示例一
说明（结果）
=AND(TRUE,TRUE)
所有参数的逻辑值为真(TRUE)
=AND(TRUE,FALSE)
一个参数的逻辑值为假(FALSE)
=AND(2+2=4,2+3=5)
所有参数的计算结果为真(TRUE)
AND函数示例二
　　=AND(1 因为50介于1到100之间(TRUE)
　　=IF(AND(1 如果上面的第二个数字介于1到100之间，则显示该数字，否则显示信息（数值超出范围）
　　=IF(AND(1 如果上面的第一个数字介于1到100之间，则显示该数字，否则显示信息(50)
AND函数具体事例
假如有人上街，每个人买零食或者买衣服花费了一定的金额，现在要筛选出既买了衣服，又买了零食的人，那么可以用AND函数进行如下操作：
两项都买了的人
D列结果说明
　　=AND(B2&&&&,C2&&&&)
=AND(B3&&&&,C3&&&&)
　　　　=AND(B4&&&&,C4&&&&)
=AND(B5&&&&,C5&&&&)
D列的结果，在E列已经表示，那么再将D列所得结果筛选出TRUE的就是两项都买的人。
企业信用信息周期函数_百度百科
对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期。
周期函数定律定义
设f(x）是定义在M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），
则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
正弦函数图象
周期函数定律性质
周期函数的性质[1]
共分以下几个类型：
（1）若T（≠0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。
（2）若T（≠0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。
（3）若T1与T2都是f(X）的周期，则T1±T2也是f(X）的周期。
（4）若f(X）有T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是，则f(X）不存在最小正周期。
（6）周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的。
周期函数判定定理
周期函数定理，总结一共分一下几个类型。
周期函数定理1
若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。[2]
∵T*是f(X）的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，
∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。
假设T* 不是Kf(X)+C的最小周期，则必存在T’（0&T’&T*）是K f(X)+C的周期，则对T’（0&T’&T*）是K f(X)+C的周期，
有K f(X+T’）+C=K f(X) +C K[f(X+T’）- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’）- f(X)=0，∴f(X+T’）= f(X），
∴T’是f(X）的周期，与T*是f(X）的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。
同理可证1/ f(X）是集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。
周期函数定理2
若f(x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
【先证f(ax+b)的周期】
∵T*是f(X）的周期，∴f(x±T*)=f(x)，有X±T*∈M，以ax+b替换x得，f(ax±T*+b)=f(ax+b)，此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a(x+T*/a)+b]=f(ax+b)∴T*/a是f（ax+b）的周期。
再证是f（ax+b）的最小正周期
假设存在T’/a（0&T’&T*；）是f（ax+b）的周期，
则f（a（x+T’/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替换x，得f（x+T’）=f（x）
∴T’是f(x）的周期，但 T’&T*这与T*是f(x）的最小正周期矛盾。
∴不存在T’/a（0&T’&T*；）是f（ax+b）的周期，即f(ax+b)的最小正周期为T*/ a
周期函数定理3
设f(u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x）∈M，则复合函数f(g(x））是M1上的周期函数。
设T是u=g(x）的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x))
∴=f(g(x)）是M1上的周期函数。
设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。
同理可得：⑴f(X)=Sin(cosx），⑵f(X)=Sin(tgx），⑶f(X)=Sin2x，⑷f(n)=Log2Sinx(sinx&0）也都是周期函数。
f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。
f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。
证：假设cos 是周期函数，则存在T&0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾，
∴cos 不是周期函数。
由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X）是非周期函数，这时f(g(x））可能是，也可能不是周期函数。
周期函数定理4
设f1(X）、f2(X）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。
设 （（p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X）±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X）是以T1和T2的T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X）是以T为周期的周期函数。
设f1(X) 、f2(X）……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。
f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。
讨论f(X)= 的周期性
解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。
5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。
tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。
又 都是有理数
∴f(X）是以T1、T2、T3（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。
同理可证：
⑵f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。
周期函数定理5
设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。
先证充分性：
若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x）与f2(x）的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q
由定理4可得f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数。
再证必要性（仅就f1(x）与f2(x）的差和积加以证明）。
⑴设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T&0，
使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+)sin = -2sin s(a2x+) sin ⑴。
令x= 得2cos（a1x+），则 （K∈Z）。⑵
又在⑴中令 2sin（a2x+）sin =-2sin =0
由上述⑵与⑶，⑷与⑸都分别至少有一个成立。
由⑶、（5得）⑹
∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。
⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。
周期函数判定方法
⑴若f(X）的有界，[2]
例：f(X)=cosx（≤10）不是周期函数。
⑵根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X）中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X）是周期函数，若这样的T不存在则f(X）为非周期函数。
例：f(X)=x 是非周期函数。
⑶一般用反证法证明。（若f(X）是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X）是非周期函数）。
例：证f(X)=ax+b(a≠0）是非周期函数。
证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使true ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X）是非周期函数。
例：证f(X)= 是非周期函数。
证：假设f(X）是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有（x+T)= f(X），当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X）与f(x+T)= f(X）矛盾，∴f(X）是非周期函数。
例：证f(X)=sinx2是非周期函数
证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（&0），使之true ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin(T+T)2=sin（T）2=sin2kπ=0，∴（+1）2
T2=Lπ（L∈Z+），∴
与3+2 是矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。
．知网[引用日期]
一般周期函数的判定方法，任伟林
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函数与极限知识点
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