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行业资料数学专业毕业论文题目
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数学专业毕业论文选题
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二、常微分方程
1.一阶常微分方程的奇解的求法 或判定
微分方程中的补助函数
3.关于奇解的运用
4.曲线的包络与微分方程的奇解
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17.可积组合法与低阶方程 方程组
三、数学分析
1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系
费尔马最后定理初探
3.求极值的若干方法
4.关于极值与最大值问题
5.求函数极值应注意的几个问题
6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法
7.导数的运用
8.泰勒公式的几种证明法及其应用
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11.函数列的各种收敛性及其相互关系
12.复合函数的连续性初探
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14.谈某些递推数列通项公式的求法
15.用特征方程求线性分式递推数列的通项
16．谈用生成函数法求递
正在加载中，请稍后...三角形是共极的；既共极又共轴的三角形，称为同调三角形；同调三角形定理是法国数学家、工程师G?笛沙格（1；笛沙格定理在射影几何中具有极其重要的意义，因而，；先来把它的一些最重要的概念及最简要的定理，尤其是；那些将要在下面几节中遇到的内容，提供一个简短的说；在一直线上的诸点（设想为是相互紧密相连的）的全体；当两个基本图形的元素之间以如下的这种方式明确地互；（一条
三角形是共极的。
既共极又共轴的三角形，称为同调三角形。
同调三角形定理是法国数学家、工程师G?笛沙格（1593 C 1662年）在1636年前后发现的，故称为笛沙格定理。然而，据希腊数学家帕普斯所述，该定理早已收集在已经失传的欧几里德专题论文中。
笛沙格定理在射影几何中具有极其重要的意义，因而，我们将用射影方法予以证实，尽管可能有其它更简短的证法。
先来把它的一些最重要的概念及最简要的定理，尤其是为不熟悉射影几何的读者着想，
那些将要在下面几节中遇到的内容，提供一个简短的说明是必要的。
在一直线上的诸点（设想为是相互紧密相连的）的全体称为点列，该直线称为该点列的底。通过一点的诸线（设想为是相互紧密相连的）的全体为线束，该点称为线束中线。同样一个圆，或更一般地讲，一个圆锥曲线上的诸点的全体称为圆的点列或圆锥曲线上的点列，或称为点场；一个圆锥曲线的诸切线的全体称为该圆锥曲线的切线的场。点列、线束及切线族都是平面射影几何的基础结构，而点，射线及切线是相应结构的元素。
当两个基本图形的元素之间以如下的这种方式明确地互相关联着，从而一个图形的每四个元素和另一个图形的四个对应的元素具有相同的交比值时，这两个基本图形称为“射影的”（符号：）。存在于这两个图形之间的这种关系称为射影对应。
（一条直线上四点A，B，C，D的交比(ABCD)是：
ACAB， :BCBD
一个线束里四条射线a，b，c，d的交比(abcd)是：
sinacsinad。 :sinbcsinbd
一个圆上四点的交比就是用这个圆上的第五点与这四点连接成的四条射线交比（根据圆周角定理）；这里第五点可以任意选择。同样，一个圆锥曲线上的四点的交比，也就是圆锥曲线上一个任意选取的第五点与这四点连接而成的四条射线的交比（参见第61题），最后，圆锥曲线上四条切线的交比就是它们的切点的交比。）
若某一结构的三个元素和另一结构的对应元素都为已知的，射影对应便可完全确定。 当两个射影结构的底（或中心）相重合时，这两个结构便称为重叠结构。
射影对应中特别重要的情况是透视性。而点列每一元素落在线束相应元素上时，该点列
。每一射线称为对应点的投射线，整个线束称为点列的投射线束。社射线束称为透视的（）
当两个非重叠点列的对应点连接而成的直线通过一点――透视中心时，这两个非重叠点列称。如果两个线束的每对对应射线相交于一直线――透视轴时，这两个线为透视的（符号）
束便称为透视的。
两个透视图形的射线性是根据下述定理推知的。
帕普斯定理：一个线束里的四条射线的交比与这些射线被任意一条直线所截得的四个点交比相等。
（见公元四世纪古希腊后期的帕普斯的著作①。）
证：设A、B、C、D的一直线与线束的四条射线OA = a，OB = b，OC = c，OD = d的四个交点。把两条射线，例如a与c所夹之角的正弦记作sin ac。因为从A与B至c的垂线长分别为a sin ac与b sin bc，并且与AC对BC之比相等，故得下列的比例式：
a sin ac : b sin bc = AC : BC。
a sin ad : b sin bd = AD : BD。
两式相除得：
sinacsinadACAD。 :=:sinbcsinbdBCBD
两个射影点列后线束总能转换到一个透视位置。
当一个点列（线束）的一个元素落到另一个点列（线束）的对应元素上时，尽管其底（或中心）不重合，这两个射影点列（线束）便构成透视。据此，便得到下列两个重要的定理：
I．如果在两个点列的射影对应中，两底的交点自身对应，则这两个点列是透视的。 II．如果在两个线束的射影对应中，连接两中心的直线自身对应，则这两个线束是透视的。
I的证明：设两点列的底边为L与L′，它们的交点自身对应O ≡ O′，在L上选择两个固定元素A，B及任意一点P。再标定L′ 上的对应元素为A′，B′ 及P′。找出直线AA′ 与BB′的交点S，并将已指定的元素与S的连接线以相同的小写字母s表示（见图60）。然后，根据帕普斯定理， (oabp) = (OABP)及(o′a′b′p′ ) = (O′A′B′P′ )。 但由于这些方程的右边是同样大的，假设，可得： (o′a′b′p′ ) = (oabp)。 又，如果在前三双元素分别重合（o′ ≡ o，a′ ≡ a
b′ ≡ b）时两个交比相等，合。因而p′ 落在p上，于是PP′ 过S列是透视的。 II的证明：设两射影线束E与E′ 别为Z与Z′，它们自对应连线o′ ≡ o再标定E′ 的对应元素为a′，b′ 及p′。找出aa′ 的大写字母表示。然后根据帕普斯定理， (oabp) = (OABP)和(o′a′b′p′ ) = (O′A′B′P′ )。
但由于这些方程的左边部分相等，根据原
来的假设，可得： (O′A′B′P′ ) = (OABP)。 但是如果在前三对元素分别重合（O′ ≡ O，A′ ≡ A，B′ ≡ B）时两个交比相等，那么第四对元素也重合。所以P′ 落在P上，因而p和p′ 交于g，射影线束E和E′ 是透视的（见图61 图61）。
现在，证明笛沙格定理就容易了（见图62）。在图中，我们将一个三角形的顶点称为A，B，C，它们的对边为a，b，c；另一个三角形的对应顶点分别为A′，B′，C′，它们的对边为a′，b′，c′。
设对应边a与a′，b与b′，c与c′ 的交点分别为X，Y，Z，设直线CC′ 与两直线AB及AB′ 的交点为H及H′。
证明分两步。
I．假设连线AA′，BB′ 与CC′ 过一点O，从O将点列AB投影到A′B′，便得到两个透视点列。在这两个透视点列中，第一个的元素A，B，H，Z和第二个元素A′，B′，H′，Z′ ≡ Z对应。然后，将这些点列的各点与C及C′ 连接起来，因而便得到两个射影束。在这两个射影束中，元素CA，CB，CH ≡ CC′，CZ与元素C′A′，C′B′，C′H′ ≡ C′C，C′Z′ 相对应。因为在该射影对应
个透视轴就是射线A′C与AC′的交点以及射线A′B与图63 AB′ 的交点连接而成的直线g。所以，S与S′ 的对应射
线总相交于g。因此，为了求得与R的任意一点P相对应的R′ 的一点P′，我们只要把g与A′P的154
交点同A连接起来，这条连线与?相交于P′。如果要对于圆与透视轴的交点H和K来进行这样的作图，那么所要的点H′ 就落在H上，K′ 就落在K上。由此可见，在圆上的射影对应二重点，就是与上述透视轴的交点。
II．两个线束的二重元素。通过两个射影线束的公共中心作一圆?，并根据I，作出两束的射线截圆?所得的两个点列的二重点（见图63）。通过二重点的线束射线便是我们所要寻求的二重射线。
III．两个点列的二重元素。在点列的底外任取一点Z，把它与两个重叠射影点列的点连成直线，就得到以Z为公共中心的两个线束。根据II，作出这两条线束的二重射线。这样一来，射线点列的底与两条二重射线的交点就是所求的二重点。
① Die geometrischen Konstruktionen. Berlin, 1883
第61题 帕斯卡六边形定理
求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上。
一个内接于圆锥曲线的六边形，总含有圆锥曲线的六个点1，2，3，4，5，6作为六边形的“顶点”。边12与45，，以及六条连线12，23，34，45，56，61作为六边形的“边”
边23与56及34与61，称为“对边”。三双对边交点所在的那条直线，称为帕斯卡线，该六边形称为帕斯卡六边形。所求证的这条定理可以更简略地表达为：
帕斯卡六边形的三对边的交点位于一条直线上。
圆锥曲线理论的这一基本定理，在1640年由B?帕斯卡（Blaise Pascal，1623 C 1662年）在长达六页的论文①中发表，发表时他年仅17岁。
帕斯卡定理的证明方法很多。下述的射影法证明是根据两条斯坦纳定理：
I．圆锥曲线的点是利用射影线束对它们中各点对进行投影而形成的。
II．在两点列间的投影对应中，如果它们的底的交点自身对应，则该两点列是透视的。 I的证明：这个定理对于圆最为适用（在圆中，4 4' 1所指明的线束甚至就是全等的）。我们知道，因为2'圆锥曲线是圆的中心射影，又因为在这个射影中，
我们所论及的线束总是作为圆内的射影线束的投6'5'影而出现的，所以只需要证明在平面上一个线束25的中心射影是关于该线束为射影（对应）的。这Z 5''正是帕普斯定理所述的情况。具体地讲，如a，b，
4''c，d是位于E上的四条射线，a′，b′，c′，d′ 是它们在平面E′ 上的四个中心射影，并且如果A，B，C，36 6'' D是射线对(a, a′ )，(b, b′ )，(c, c′ )及(d, d′ )相交于p
这两个平面的交线上的四点，那么根据帕普斯定
图64 理，有
(a′b′c′d′ ) = (ABCD)与(abcd) = (ABCD)，
(a′b′c′d′ ) = (abcd)，
也就是，线束和线束的射影都是射影（对应）的。
II的证明：见第59题。
现在来证明帕斯卡定理。
设六边形的顶点为1，2，3，4，5，6。根据定理I，从中心1与3到圆锥曲线上的点2，
4，5，6的射线构成射影线束；从而这些射线与直线54与56的交点2′，4′，5′，6′ 和2″，4″，5″，6″ 便形成射影点列。因为在它们的底的交点5处，点列的对应元素是相重合的（5′ ≡ 5″），所以根据定理II，这些点列就是透视的；因此，直线2′2″、4′4″ 及6′6″ 的交点Z，也就是直线34与61的交点。换言之，对边的交点2′（直线12与45的交点）、2″（直线23与56的交点）及Z（直线34与61的交点）位于一直线上（见图64）。这直线就是帕斯卡直线p ≡ 2′Z2″。证毕。
帕斯卡定理的逆定理：如果一个六边形（其中没有三个顶点在一直线上）的对边相交在一直线上，则他们的六个顶点位于一个圆锥曲线上。
间接证明：设由5个顶点1，2，3，4，5所确定的圆锥曲线与六边形的第五边56相交于6*。根据帕斯卡定理，要得到6*，我们就来作帕斯卡直线（而连接对边12与45的交点及23与56 ≡ 56*的交点的直线），得出它与直线34的交点Z，并确定1Z与56* ≡ 56的交点（6*）。但是根据假定，该点就是6，所以6* ≡ 6。
如果帕斯卡六边形两个顶点重合一次、二次或三次，那么便得出帕斯卡定理的一些推论，我们
将把其中最重要的几条介绍于下。
这样，我们便得到下列推论：
推论2（见图66）：在每个内接于圆锥曲线的四边形中，所有各双对边与各双相对顶点的切线相交在一直线上。
III．顶点1和2重合；同样，顶点3和4重合，顶点5和6重合；这样，六边形就变成了一个三角形，从而我们得到：
推论3（见图67）：在每个内接于圆锥曲线的三角形中，它们各边与切于所对顶点的切156
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