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直线ax0x＋by0y＋c（x＋x0）＋d（y＋y0）＋e=0关于二次曲线ax^2＋by^2＋2cx＋2dy＋e=0的几何意义
优质期刊推荐如图.曲线Γ由曲线C1:x2a2+y2b2=1和曲线C2:x2a2-y2b2=1组成.其中点F1.F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点.点F3.F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点.(1)若F2(2.0).F3.求曲线Γ的方程,(2)如图.作直线l平行于曲线C2的渐近线.交曲线C1于点A.B.求证:弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上,中的曲线Γ.若直线l1过点F4交曲线C1于点C. 题目和参考答案——精英家教网——
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如图，曲线Γ由曲线C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0，y≤0)和曲线C2：x2a2-y2b2=1(y＞0)组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（-6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由F2（2，0），F3（-6，0），可得a2+b2=36a2-b2=4，解出即可；（2）曲线C2的渐近线为y=±bax，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=ba(x-m)，与椭圆方程联立化为2x2-2mx+（m2-a2）=0，利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明y0=-bax0，即可．（3）由（1）知，曲线C1：x220+y216=1(y≤0)，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．
（1）解：∵F2（2，0），F3（-6，0），∴a2+b2=36a2-b2=4，解得a2=20b2=16，则曲线Γ的方程为x220+y216=1(y≤0)和x220-y216=1(y＞0)．（2）证明：曲线C2的渐近线为y=±bax，如图，设直线l：y=ba(x-m)，则y=ba(x-m)x2a2+y2b2=1，化为2x2-2mx+（m2-a2）=0，△=4m2-8（m2-a2）＞0，解得-2a＜m＜2a．又由数形结合知a≤m＜2a．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=m2-a22，∴x0=x1+x22=m2，y0=ba(x0-m)=-bm2a．∴y0=-bax0，即点M在直线y=-bax上．（3）由（1）知，曲线C1：x220+y216=1(y≤0)，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．x220+y216=1x=ny+6，化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2-4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴y3+y4=-48n5+4n2，y3y4=645+4n2．∴|y3-y4|=(y3+y4)2-4y3y4=165&#+4n2，S△CDF1=12|F1F4|•|y3-y4|=12×8×165n2-15+4n2=645n2-15+4n2，令t=n2-1＞0，∴n2=t2+1，∴SCDF1=645t4t2+9=6454t+9t≤64524t&#53，当且仅当t=32，即n=132时等号成立．∴n=132时，S△CDF1=1653．
点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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离心率为2>1该曲线是双曲线a^2=2 b^2=-m c^2=2-m e=c/a e^2=c^2/a^2(2-m)/2=4m=-6
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