求定积分dx/(e^x+1+e^3-x) 上限正无穷,下限0
泽田泽田丶丒
定积分dx/(e^x+1+e^3-x) 上限正无穷,下限0=∫(0,+∞)e^x/(e^2x+e^x+e^3)dx=∫(0,+∞)e^x/((e^x+1/2)^2+e^3-1/4)dx=1/√(e^3-1/4)*arctan(e^x+1/2)/√(e^3-1/4)|(0,+∞)=π/2√(e^3-1/4)-1/√(e^3-1/4)*arctan(3/2)/√(e^3-1/4)
-1/4怎么来的？？？
(e^x+1/2)^2=e^2x+e^x+1/4
诶，我把题目打错误了，e^(x+1)
定积分dx/(e^x+1+e^3-x) 上限正无穷，下限0
=∫(0,+∞)e^x/(e*e^2x+e^3)dx
=1/e*∫(0,+∞)e^x/(e^2x+e^2)dx
=1/e*∫(0,+∞)de^x/(e^2x+e^2)
=1/e*1/e*arctane^x/e|(0,+∞)
=π/2e^2-1/e^2*arctan1/e
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可以不转化成有理函数积分(cosx)^3/(sinx+cosx)=[(cosx)^2(cosx+sinx)]/(sinx+cosx)-(cosx)^2sinx/(sinx+cosx)=(cosx)^2-cosxsinx(cosx+sinx)/(sinx+cosx)+cosx(sinx)^2/(sinx+cosx)=(cosx)^2-sin2x/2+cosx[1-(cosx)^2]/(sinx+cosx)=(cosx)^2-sin2x/2+cosx/(sinx+cosx)-(cosx)^3/(sinx+cosx)所以2(cosx)^3/(sinx+cosx)=(cosx)^2-sin2x/2+cosx/(sinx+cosx)难点只在于cosx/(sinx+cosx)的积分∫cosx/(sinx+cosx)dx=∫(cosx-sinx)/(sinx+cosx)dx+∫sinx/(sinx+cosx)dx=∫d(cosx+sinx)/(cosx+sinx)+∫(sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx-∫cosx/(sinx+cosx)dx=ln|cosx+sinx|+x-∫cosx/(sinx+cosx)dx所以∫cosx/(sinx+cosx)dx=(ln|cosx+sinx|+x)/2所以总的积分2∫(cosx)^3/(sinx+cosx)dx=∫(cosx)^2dx-1/2*∫sin2xdx+∫cosx/(sinx+cosx)dx=x/2+1/4*sin4x+1/4*cos4x+1/2*ln|cosx+sinx|+x/2+C∫(cosx)^3/(sinx+cosx)dx=x/2+1/4*sin4x+1/4*ln|cosx+sinx|+C(0,2π)[x/2+1/4*sin4x+1/4*ln|cosx+sinx|]=π
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