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京ICP备号-1 京公网安备02号函数解析式的七种求法；一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待；例1设f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x；解：设f(x)?ax?b(a?0)，则；f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?；?a?2?a2?4?a??2????或?b?1b；?f(x)?2x?1或f(x)??2x?3；二、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，；解：
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
设f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3，求f(x)
解：设f(x)?ax?b
f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a2x?ab?b
?a?2?a2?4?a??2
?? ??　或　　?b?1b?3??ab?b?3?
?f(x)?2x?1　　或　　f(x)??2x?3
二、 配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
已知f(x?11)?x2?2 (x?0) ，求 f(x)的解析式 xx
解：?f(x?111)?(x?)2?2， x??2 xxx
?f(x)?x2?2
三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
已知f(x?1)?x?2x，求f(x?1)
解：令t?x?1，则t?1，x?(t?1)2
f(x?1)?x?2x
?f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1,
?f(x)?x2?1 (x?1)
?f(x?1)?(x?1)2?1?x2?2x (x?0)
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数y?x?x与y?g(x)的图象关于点(?2,3)对称，求g(x)的解析式 2
解：设M(x,y)为y?g(x)上任一点，且M?(x?,y?)为M(x,y)关于点(?2,3)的对称点
?x??x?2??2?x???x?4
则?，解得：? ， y??y?y?6?y???3?2
?点M?(x?,y?)在y?g(x)上
?y??x?2?x?
把??x???x?4代入得： ??y?6?y
6?y?(?x?4)2?(?x?4)
整理得y??x?7x?6
?g(x)??x2?7x?6
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
设f(x)满足f(x)?2f()?x,求f(x) 1
解 ?f(x)?2f()?x
显然x?0,将x换成1，得： x
11f()?2f(x)?
解① ②联立的方程组，得：
f(x)??x2? 33x
1,试求f(x)和g(x)的解析式 x?1例6
设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)?g(x)?
解 ?f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
?f(?x)?f(x),g(?x)??g(x)
又f(x)?g(x)?1 ① ， x?1
用?x替换x得：f(?x)?g(?x)??1
即f(x)?g(x)??1②
解① ②联立的方程组，得
f(x)?11g(x)?，
利用判别式求值域时应注意的问题
用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。
一、判别式法求值域的理论依据
x2?x例1、 求函数y?2的值域 x?x?1
象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。 x2?x解：由y?2得： x?x?1
（y-1）x2+(1-y)x+y=0
上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程
??(1?y)2?4y(y?1)
1令??0，解得??y?1,又y?1 3
x2?x?1??y?2的值域为??，1?3x?x?1??
用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：
一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验 x2?x?1例：求函数y?的值域。 22x?2x?3
错解：原式变形为(2y?1)x?(2y?1)x?(3y?1)?0
∵x?R，∴??(2y?1)?4(2y?1)(3y?1)?0，解得2231?y?。 102
故所求函数的值域是[31,] 102
错因：把y?111代入方程（＊）显然无解，因此y?不在函数的值域内。事实上，y?时，方程（＊）222
的二次项系数为0，显然不能用“?”来判定其根的存在情况。
正解：原式变形为(2y?1)x2?(2y?1)x?(3y?1)?0
（1）当y?1时，方程（＊）无解； 2
（2）当y?131?y?。 时，∵x?R，∴??(2y?1)2?4(2y?1)(3y?1)?0，解得2102
31,) 102综合（1）、（2）知此函数的值域为[
二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
x2?4x?3例2：求函数y?2的值域。 x?x?6
错解：将函数式化为(y?1)x?(y?4)x?(6y?3)?0
（1）当y?1时，代入上式得?3x?9?0，∴x??3，故y?1属于值域；
2（2）当y?1时， ??(5y?2)?0， 2
综合（1）、（2）可得函数的值域为y?R。
错因：解中函数式化为方程时产生了增根（x??3与x?2虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉x??3与x?2时方程中相应的y值。所以正确答案为{y|y?1，且y?
三、注意变形后函数值域的变化
例3：求函数y?x??x2的值域。 错解：由已知得y?x??x2
①，两边平方得(y?x)?1?x
整理得2x?2yx?y?1?0，由??(?2y)?8(y?1)?0，解得?2?y?
故函数得值域为[?2,2]。
错因：从①式变形为②式是不可逆的，扩大了y的取值范围。由函数得定义域为[?1,1]易知y?x??1，因此函数得最小值不可能为?2222222。 52。 2。∵x??1时，y??1，∴ymin??1，故函数的值域应为[?1,2]。
四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性
x2?4例4：求函数y?2的值域。 x?5
错解：令t?x2?4，则y?t，∴yt2?t?y?0，由??1?4y2?0及y?0得值域为2t?1
1y?(0,]。 2
错因：解法中忽视了新变元t满足条件t?2。∴设f(t)?yt2?t?y，y?0，t?[2,??)， ???0,y?0??22?（0]。 ?0?y?。故函数得值域为f(2)?0或f(2)?0?55?1??2?2y?
综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。
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