历史上的三次数学危机--连江启明学校
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历史上的三次数学危机
从去年开始大家经常听到一个名词“经济危机”，它是指一个或多个国家乃至全世界的经济在较长时间内不断地收缩。历史上发生了多次的经济危机，严重地影响了社会的发展。同样在数学发展史上也有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的理论体系受到质疑，受到挑战。当然，也恰恰是这三次危机引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。
第一次数学危机：
第一次数学危机是由 & &不能写成两个整数之比引发的。两千多年前，古希腊的毕达哥拉斯学派有一个观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数或分数（即有理数）表示。后来，学派中的一个成员发现边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或分数表示，即 & &不是有理数时，他们感到惊恐不安。由此，引发了第一次数学危机。 随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认了 不是有理数，并给出了证明：假设 & 是有理数，那么存在两个互质的正整数p、q，使得 & &=p/q。于是p= & &q，两边平方得p2=2q2,由于2q2是偶数，可得p2是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。因此可设p=2S。代入上式得：4S2=2q2，于是q2=2S2。说明q也是偶数，则p、q不互质。这与假设p、q互质相矛盾，这说明 & &不能写成分数形式，因而 & 不是有理数。于是就引入一个新的名称“无理数”。第一次数学危机的实质是“ & 不是有理数，而是无理数”。
第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。
第二次数学危机
第二次数学危机则与伟大的科学家牛顿有关。在牛顿之前，人们只能求一段时间内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度，牛顿提出微积分方法并成功地运用它解决求运动的物体在某一时刻的瞬时速度。牛顿的思路是：让时间从t0到t1这段时间记作△t，而这段时间里，物体走过距离记作△S，比值是△S/△t便是t0到t1这段时间内物体的平均速度。牛顿设想：△t越小，这个平均速度就越接近物体在时刻t0的瞬间速度。当△t越来越小（当然△S越来越小）。最后成为无穷小，将要变成0而还不是0的时候，△S/△t就是所要求的瞬时速度。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上是不严格的，遭到指责。当时，英国大主教贝克莱质疑牛顿在计算时做的“无穷小”与0的关系：“无穷小”作为一个量究竟是不是0？如果是0，当△S和△t变成无穷小后，△S/△t分母为0，就没有意义了；如果不是0，牛顿的这一套运算方法，就如同从5×0=3×0出发，两端同除以0，得出5=3那样 的荒谬。贝克莱还讽刺挖苦说：既然△S和△t都变成“无穷小”了，而“无穷小”作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定“量的鬼魂”。这就是著名的“贝克莱悖论”。应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏理论基础。不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。
由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上式缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分的基础。但它使用起来却方便有效，并且得出的答案总是对的。18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性等等。直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从阿贝尔、柯西、康托等人开始工作，经过数学家们的两百多年的探究，终于找到了问题的关键，就是“极限理论”。“无限”与“有限”相比可视为0，可是在“无限”的世界中，“无穷小”之间又有阶数上的差异，不能以“有限”世界中的那种思维来认为它们都等于0。这一次的危机使人们的认识从“有限”的领域扩展到了“无限”的层次。
第三次数学危机
经过前两次的危机，数学家们意识到急需建立完善的数学理论基础，为此他们提出了算术的集合论。法国数学家弗雷格在他的《算术基础》一书中把所有的非负整数都用集合论的观点和语言重新定义。首先从0记起。0是什么？为此，先定义空集。空集是“不含元素的集合”，例如“方程X2+1=0在实数范围内解的集合”就是一个空集。再例如：“由最大的正整数组成的集合”也是空集。所有的空集放在一起，作成一个集合的集合，称之为类，这个类就可以给它一个符号：0。空集是空的，但由所有空集组成的类，它本身却是元素了，即0是一个元素了。当它再作成一个集合{0}，则不是空集了。接着就可以定义“1”了。把与集合{0}等价的所有集合放在一起，作为一个集合的集合。这个类，就可以给它一个符号：1。再定义2。把与集合{0，1}等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合，这个类，就叫：2。……以此类推，弗雷格从空集出发，仅仅用到集合及集合等价的概念，把全部非负整数定义出来，进而把全部的数学建立在集合论的基础上。
&但是英国数学家罗素却发现按弗雷格的理论存在以下的事实：一个集合或者是它本身的元素，或者不是他本身的元素。于是提出通俗的理发师悖论：“某村的一个理发师宣称，他为且只为村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问理发师是否给自己刮脸？如果给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师应该给自己刮脸，这又与假设矛盾。”这个“理发师悖论”引起了第三次数学危机。这次危机的本质在于：由集合自身和元素子集定义，导出结果却是非集合本身。正如：所有人的集合不是人一样，集合论中存在着逻辑上的矛盾，这个问题给了当时数学家们很大困扰。由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次、第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而是实数理论又是以集合为基础的。现在集合论又出现了“罗素悖论”，因而形成数学史上更大的危机。
罗素虽然提出了问题，成为危机的制造者，但同时也是危机的解决者。罗素（）是英国著名的哲学家和数学家，曾获得诺贝尔文学奖金。他想把算术系统全归结于逻辑，所以他与人合作写的一本巨著《数学原理》。罗素在他的著作之中提出了层次的理论以解决这个矛盾，使得“自己既要属于自己又同时不属于自己”不可能出现。提出了“自我指谓”（一个待定义的概念用了包含自身的概念来定义），罗素悖论在定义上得以解决，但不是令人满意的。
我们应该怎样看待这三次数学危机呢？三次数学危机引发了三次人们关于数学深化的认识。在这三次的数学危机中，我们可以看到数学的发展跟面对问题和正视困难是离不开的，透过克服一次又一次的困难而得到“成长”和完善，越是不怕艰辛，收获便越大。第一次数学危机使人类突破有理数的局限，人们对数的认识从有理数拓展到无理数；第二次数学危机提出了数学的严紧性，诞生了新的数学分支，让人们从习惯于有穷情况下思维到无穷情况的思维；第三次数学危机警醒人们除了发展各式各样不同的分支以外，还得回看数学的根基本身，使数学迈向更完备，让人们从形象认识到抽象逻辑的认识。然而，成功并非一朝一夕，必须经历无数的挫折和失败，伤心和失望满布成功的路上，但只要不放弃，成功依然是可以达到的。另一方面是要从危机中的学习，学习如何应付之余，还要学习如何避免再次陷入危机之中。危机的解决给数学带来新的内容、新的进展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟了。
不管数学以后向何处发展，数学的成就都是人类思想的杰出成就，作为人类进步的台阶，它给予人类勇气和信心，去解决那些一度看上去不可测知的宇宙秘密，去制服那些人类易于感染的致命疾病，去质疑、去改善那些人们生活中的经济问题，因此我们说数学在这个大自然中是无处不在的，数学在人类发展中的作用也是不可估量的。
可以说，数学不是枯燥乏味的，也不是无实际用途的，而是有趣的、实用的、美的。每个要成为有较高文明素养的现代人，当然包括我们当代中学生在内，都应该具备一定的数学素质。抛开对数学的成见吧！我相信，认识到数学的趣味，体会到数学的实用性，领悟到数学的美以后，未来的数学学习之路上，你们一定会拥有前进的动力，一定会走得更加快乐充实！
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【数学大讲堂】解读历史上的三次数学危机
时间：日 作者：xgb 信息来源：学工办 点击：次
12月3日下午，我院数学大讲堂第16讲于学院一楼报告厅顺利举行。讲座邀请到了上海财经大学数学学院院长周勇教授担任主讲，我院学工办姜玉峰老师出席并主持了本次讲座。&（姜玉峰老师主持讲座）&& &周勇教授就“历史上的三次数学危机及其影响”这一主题引出了七点内容。首先，周勇教授为同学们解说了什么是数学危机：“数学危机是数学在发展中的种种矛盾，而危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。”从哲学上来看，矛盾是无处不在、不可避免的，即便是以严谨著称的数学也不例外。紧接着，周勇教授着重讲解了“毕达哥拉斯学派”亦称“南意大利学派”。这是一个集政治、学术、宗教三大方面于一体的组织，是西方美学史上最早探讨美的本质的学派。通过此例，周勇教授告诉了同学们这样一个道理：“在日常生活中，我们不仅要把数学当做我们实用的生活工具来学，还要学会探索数学界的美以及数学这门学科的内在本质。”&（周勇教授在认真讲解）&最后，周勇教授对集合论及第三次数学危机进行了详细阐述。他表示，数学中的矛盾既然是固有的，那么它们的激烈冲突即危机就不可避免，而危机的解决过程也给数学带来了许多新认识、新内容，甚至是革命性的变化。讲座结束后，不少数学专业的同学表示受益匪浅：“这次数学大讲堂不仅拓展了我们的课外知识，还开阔了眼界，让我们对数学学习有了更大的自信。”祖力皮亚/文吴锴/图姚嘉/编辑
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　　1． 什么是数学危机
　　为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
　　数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
　　矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
　　人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算&&除法，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。
　　方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是&不实的&。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
　　几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。
　　这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说，代数学从此以后向抽象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。
　　这种矛盾、危机引起的发展，改变面貌，甚至引起革命，在数学发展历史上是屡见不鲜的。第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的，它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来算符演算及&函数也重复了这个过程，开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。
　　对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。
　　2．　第一次数学危机
　　从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为&四艺&，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为&万物皆数&，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。
　　毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
　　不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
　　同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由&自明的&公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。
　　回顾以前的各种数学，无非都是&算&，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在&算学&阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。
　　3． 第一次数学危机的产物&古典逻辑与欧氏几何学
　　亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的，他指出了正确的定义原理。亚里士多德继承自己老师柏拉图的观念，把定义与存在区分，由某些属性来定义的东西可能未必存在（如正九面体）。另外，定义必须用已存在的定义过的东西来定义，所以必定有些最原始的定义，如点、直线等。而证明存在的方法需要规定和限制。
　　亚里士多德还指出公理的必要性，因为这是演绎推理的出发点。他区别了公理和公设，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。他把逻辑规律（矛盾律、排中律等）也列为公理。
　　亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究，得出三段论法，并把它表达成一个公理系统，这是最早的公理系统。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科，而且对数学证明的发展也有良好的影响。
　　亚里士多德对于离散与连续的矛盾有一定阐述。对于潜在的无穷（大）和实在的无穷（大）加以区别。他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓&无穷集合&是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在无穷的，在细分上也是潜在无穷的。
　　欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。
　　欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定义，五个公理和五个公设。他规定了存在的证明依赖于构造。
　　《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准著作。但是它还存在许多缺点并不断受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格的：&点是没有部分的对象&，&线是没有宽度的长度（线指曲线）&，&面是只有长度和宽度的对象&。显然，这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的（&直线是同其中各点看齐的线&）。
　　另外，他的公理五是&整体大于部分&，没有涉及无穷量的问题。在他的证明中，原来的公理也不够用，须加上新的公理。特别是平行公设是否可由其他公理、公设推出更是人所瞩目的问题。尽管如此，近代数学的体系特点在其中已经基本上形成了。
　　4． 非欧几何学的诞生
　　欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。尽管它有种种缺点和毛病，毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。尤其是许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。
　　既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。其他的公理和公设都满足了上面的这个条件，唯独平行公设不够简明，象是一条定理。
　　欧几里得的平行公设是：每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧做成的两个同侧内角的和小于两直角时，这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。
　　在《几何原本》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们考虑：这条啰哩啰嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出，也就是说，平行公设可能是多余的。
　　之后的二千多年，许许多多人曾试图证明这点，有些人开始以为成功了，但是经过仔细检查发现：所有的证明都使用了一些其他的假设，而这些假设又可以从平行公设推出来，所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。
　　到了十八世纪，有人开始想用反证法来证明，即假设平行公设不成立，企图由此得出矛盾。他们得出了一些推论，比如&有两条线在无穷远点处相交，而在交点处这两条线有公垂线&等等。在他们看来，这些结论不合情理，因此不可能真实。但是这些推论的含义不清楚，也很难说是导出矛盾，所以不能说由此证明了平行公设。
　　从旧的欧几里得几何观念到新几何观念的确立，需要在某种程度上解放思想。
　　首先，要能从二千年来证明平行公设的失败过程中看出这个证明是办不到的事，并且这种不可能性是可以加以证实的；其次，要选取与平行公设相矛盾的其他公设，也能建立逻辑上没有矛盾的几何。这主要是罗巴切夫斯基的开创性工作。
　　要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学，欧几里得几何学只是许多可能的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成一门纯粹数学，也就是说，它的存在性只由无矛盾性来决定。虽说象兰伯特等人已有这些思想苗头，但是真正把几何学变成这样一门纯粹数学的是希尔伯特。
　　这个过程是漫长的，其中最主要的一步是罗巴切夫斯基和波耶分别独立地创立非欧几何学，尤其是它们所考虑的无矛盾性是历史上的独创。后人把罗氏几何的无矛盾性隐含地变成欧氏几何无矛盾性的问题。这种利用&模型&和证明&相对无矛盾性&的思想一直贯穿到以后的数学基础的研究中。而且这种把非欧几何归结到大家一贯相信的欧氏几何，也使得大家在接受非欧几何方面起到重要作用。
　　应该指出，非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。首先要证明第五公设的否定并不会导致矛盾，只有这样才能说新几何学成立，才能说明第五公设独立于别的公理公设，这是一个起码的要求。
　　当时证明的方法是证明&相对无矛盾性&。因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西，公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释叫做非欧几何学的欧氏模型。
　　对于罗巴切夫斯基几何学，最著名的欧氏模型有意大利数学家贝特拉米于1869年提出的常负曲率曲面模型；德国数学家克莱因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证实了非欧几何的相对无矛盾性，而且有的可以推广到更一般非欧几何，即黎曼创立的椭圆几何学，另外还可以推广到高维空间上。
　　因此，从十九世纪六十年代末到八十年代初，大部分数学家接受了非欧几何学。尽管有的人还坚持欧几里得几何学的独特性，但是许多人明确指出非欧几何学和欧氏几何学平起平坐的时代已经到来。当然也有少数顽固派，如数理逻辑的缔造者弗雷格，至死不肯承认非欧几何学，不过这已无关大局了。
　　非欧几何学的创建对数学的震动很大。数学家开始关心几何学的基础问题，从十九世纪八十年代起，几何学的公理化成为大家关注的目标，并由此产生了希尔伯特的新公理化运动。
　　5． 第二次数学危机
　　早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。这造成数与量的长期脱离。古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：
　　第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路&&如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。
　　第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。
　　而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个悖论是说&飞矢不动&，因为在某一时问间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。这说明希腊人已经看到无穷小与&很小很小&的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。
　　希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓&穷竭法&。它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。
　　到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了许多新问题，如求速度、求切线，以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力，终于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算&&微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。
　　牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：1，把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2，有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和积分法互为逆运算。
　　由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是&Ds/&Dt当&Dt趋向于零时的值。&Dt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。
　　十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题，因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说，现在是&把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固&。更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。
　　但也因此，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。
　　十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号使用的不严格性；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。
　　一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。
　　波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。
　　在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的& － &的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。
　　十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。
　　同时，威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础&&实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。
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