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广义逆矩阵 广义逆矩阵是E.H.Moore于1920年首次提出来的，1955年R.Penrose利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。为此，我们从线性方程组Am?nxn?bm的解开始讨论(m?n称为超定方程；m?n称为亚定方程)。 若存在向量x，使Ax?b成立，则称线性方程组为相容方程组，否则称为不相容方程或矛盾方程。对于相容方程组，若A是列满秩的，则有唯一解；否则有无穷多解A??1?A?。我们要找到唯一?的极小范数解A?。对于矛盾方程我们要找到它的近似解1,4??Am――最小二乘解A?1,3??Al?；如果最小二乘解不唯一，我们要找到唯一的最小二乘解，称为最佳的最小二乘解（或极小范数最小二乘解，或最佳逼近解），A?1,2,3,4??A?。
矩阵的左逆与右逆 设A是n阶矩阵，A可逆当且仅当存在n阶矩阵B，使得 AB?BA?I 当A可逆时，其逆唯一，记为A?1. 下面，我们把方阵的逆矩阵概念推广到m?n矩阵上，定义一种单侧逆. 一、满秩矩阵与单侧逆 定义1 设A?Rm?n，若存在矩阵B?Rn?m，使得 BA?In ?1则称A是左可逆的，称B为A的一个左逆矩阵，记为AL. 若存在矩阵C?Rn?m，使得 AC?Im ?1则称A是右可逆的，称C为A的一个右逆矩阵，记为AR. 下面给出矩阵左逆与右逆的几个等价条件. 定理1 设A?Rm?n，则下列条件是等价的：
(1)A是左可逆的；
(2)A的零空间N(A)??0?； (3)m?n,R(A)?n,即A是列满秩的；(4)ATA是可逆的. 证明
(1)?(2)，设A是左可逆的，则存在B?Rn?m，使得BA?In，?x?N(A), Ax?0，于是x?Inx?BAx?B0?0，即证A的解空间N(A)??0?. (2)?(3)，由N(A)??0?，再根据线性方程组解的理论知，R(A)?n?dimN(A)?n，从而A是列满秩的，当然有m?n. (3)?(4)，设R(A)?n,由dim[?(ATA)]?dim?(A)?R(A)?n,知ATA是可逆的. (4)?(1)，由ATA可逆，得(ATA)?1ATA?In知(ATA)?1AT是?1A的一个左逆矩阵，即AL?(ATA)?1AT。 注：左逆的一般表达式为： ?1AL?(ATUA)?1ATU 其中U是使关系式rank(ATUA)?rank(A)成立的任意m阶方阵。 定理2 设A?Rm?n，则下列条件是等价的： (1)A是右可逆的；
(2)A的列空间?(A)?Rm； (3)m?n,R(A)?m,即A是行满秩的；(4)AAT是可逆的。 其证明留给读者. (1)?(3)，由m?rank(Im)?rank(AB)?rank(A)?m得m?n，R(A)?m，A是行满秩的；由AAT(AAT)?1?Im，知AT(AAT)?1?1是A的一个右逆矩阵，即AR?AT(AAT)?1。 注：右逆的一般表达式为： ?1AR?VAT(AVAT)?1 其中V满足rank(AVAT)?rank(A)。 ?400?例1 矩阵A???050??是右可逆的，不是左可逆的。由于 ???1/40???10?400????A??01/5????050???01?? ???R????31R32?注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩阵。 一般地,一个矩阵左可逆未必右可逆,而且右逆矩阵和左逆矩阵都不是唯一的。若同时左可逆和右可逆，则此矩阵存在正则逆。
二、单侧逆与解线性方程组 定理3
设A?Rm?n是左可逆的，B?Rn?m是A的一个左逆矩阵，则线性方程组AX?b有形如X?Bb解的充要条件是 (Im?AB)b?0 若上式成立，则方程组有唯一解 X?(ATA)?1ATb 证明
设方程组AX?b有解X0，则b?AX0?A(BA)X0?ABb，从而(Im?AB)b?0.反过来，若(Im?AB)b?0，则ABb?b，从而X0?Bb是方程组的解. 当方程组有解时，因为A左逆，所以R(A)?n，从而方程组AX?b有唯一解.由(ATA)?1AT是A的一个左逆矩阵，所以X?(ATA)?1ATAX?(ATA)?1ATb，即X?(ATA)?1ATb为AX?b的唯一解。 注：虽然左逆矩阵不唯一，但方程的解唯一。 定理4
设A?Rm?n是右可逆的，则线性方程组AX?b对任何?1?1 且对A的任意一个右逆矩阵AR，X?ARb?Rm都有解。b是其解。 特别地，X?AT(AAT)?1b是方程组AX?b的一个解。 证明
?1因A右可逆，则AAR?Im，对任何b?Rm，都有 ?1AARb?Imb?b, ?1即X?ARb是方程组AX?b的解。 事实上，矩阵的左逆（或右逆）矩阵还是矩阵的减号逆，自反减号逆，最小范数广义逆，最小二乘广义逆和加号逆。 三亿文库包含各类专业文献、中学教育、文学作品欣赏、生活休闲娱乐、各类资格考试、应用写作文书、幼儿教育、小学教育、182-1 矩阵的左逆与右逆等内容。　
　即“右逆”AB = E 或“左逆”CA = E 由于矩阵乘法不可易,按理“右逆”与“左逆”可能不同。但是《线 性代数》中,满秩方阵 A 的逆阵 B 的定义就是... 　1 . [1] 定义 2 . 矩阵 A ∈ R m×n ,如果存在矩阵 B ∈ R n×m...矩阵的左逆和右逆统称为矩阵的单侧逆. [1] 定义 3 . 矩阵 A ∈ R m×... 　2-1 矩阵的左逆与右逆_数学_自然科学_专业资料。第二专题 广义逆矩阵 广义逆矩阵是 E.H.Moore 于 1920 年首次提出来的,1955 年 R.Penrose 利用矩阵方程组... 　n 矩阵 A 作一初等行变换就相当于在 A 的左边乘上相应的 对 A 作一初等...n 初等矩阵. s ? s 初等矩阵; (证明参见[1]) 2.矩阵的求逆 2.1 利用... 　他在《矩阵论的研 究报告中》[1]研究了矩阵的运算、矩阵的逆以及转置和特征.... ?A B? (2)用分块初等矩阵左(右)乘 ? ? (要可乘,可加)相当于对其... 　逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去...用A 1 右乘上式两端,得: (2) p1 p 2 p s I= A 1 比较(1)(2)两... 　其中逆矩阵 又是矩阵理论中一个非常重要的概念, 逆矩阵的可逆性 及其求法自然...特别 注意的是,在做分块的乘法时,应使左 矩阵上列的分块方式与右矩阵上的... 　[键入公司名称] 线性代数论文矩阵可逆性的判定及逆矩阵的求法 关键字:可逆矩阵的定义、|A|≠0、n阶方阵、AB=E、r(A)=n、|A|=λ1λ2…λi≠0、齐次...扫二维码下载作业帮
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如果可逆矩阵A的每行元素之和均为a,证明A^-1的每行元素之和为a^-1.
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A*(1,1,...,1)'=(a,a,...,a)'两边左乘A^-1(1,1,...,1)'=A^(-1)*(a,a,...,a)'两边除以数量a(1/a,1/a,...1/a)=A^(-1)*(1,1,...,1)
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