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怎样求函数的值域
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【高中数学讲义】函数求值域的十种方法,函数值域,复合函数求值域,怎样求函数的值域,函数定义域值域习题,对数函数值域,函数值域的求法,三角函数的值域,函数的值域,求函数的值域
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【高中数学讲义】函数求值域的十种方法
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观察法求函数值域
　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
　　例1求函数y=3+&(2-3x)的值域。
　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出&(2-3x)的值域。
　　解：由算术平方根的性质，知&(2-3x)&0，
　　故3+&(2-3x)&3。
　　∴函数的知域为.
　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
　　练习：求函数y=[x](0&x&5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)
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高一数学求函数值域的方法,习题
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　　一.观察法
　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
　　例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。
　　点拨：
　　根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。
　　由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，
　　故3+√(2-3x)≥3。
　　∴函数的知域为.
　　点评：
　　算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
　　练习：
　　求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
　　(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)
　　二.反函数法
　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
　　例2：求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
　　点拨：
　　先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
　　显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{yOy≠1,y∈R｝。
　　点评：
　　利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
　　练习：
　　求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
　　(答案：函数的值域为{yOy&-1或y&1｝)
　　三.配方法
　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
　　例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
　　点拨：
　　将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。
　　由-x2+x+2≥0
　　可知函数的定义域为x∈[-1，2]。
　　此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]
　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2
　　函数的值域是[0,3/2]
　　点评：
　　求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
　　练习：
　　求函数y=2x-5+√15-4x的值域.
　　(答案:值域为{yOy≤3})
　　四.判别式法
　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
　　例4：求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
　　点拨：
　　将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
　　将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)
　　当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0
　　解得：2
　　当y=2时,方程(*)无解。
　　∴函数的值域为2
　　点评：
　　把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b&√(cx2+dx+e)的函数。
　　练习：
　　求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y≤-8或y&0)。
　　五.值法
　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的较值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的值,可得到函数y的值域。
　　已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
　　点拨：
　　根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
　　∵3x2+x+1&0，
　　上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解
　　解之得-1≤x≤3/2
　　又x+y=1
　　将y=1-x代入z=xy+3x中
　　得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2)
　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2]
　　函数z在区间[-1,3/2]上连续
　　故只需比较边界的大小
　　当x=-1时，z=-5
　　当x=3/2时，z=15/4
　　∴函数z的值域为{zO-5≤z≤15/4｝
　　点评：
　　本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求出值而获得函数的值域。
　　练习：
　　若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为()
　　A.(-∞，+∞)
　　B.[-7，+∞]
　　C.[0，+∞)
　　D.[-5，+∞)
　　(答案：D)。
　　六.图象法
　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
　　例6：求函数y=Ox+1O+√(x-2)2的值域。
　　点拨：
　　根据值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
　　原函数化为-2x+1(x≤1)
　　y=3(-1
　　2x-1(x&2)
　　它的图象如图所示。
　　显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，+∞]。
　　点评：
　　分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
　　求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
　　七.单调法
　　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
　　例7：求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
　　点拨：
　　由已知的函数是复合函数，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
　　设f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3)
　　易知它们在定义域内为增函数
　　从而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x
　　在定义域为x≤1/3上也为增函数
　　而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3
　　因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3｝
　　点评：
　　利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
　　练习：
　　求函数y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)
　　八.换元法
　　以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
　　例8：求函数y=x-3+√2x+1的值域。
　　点拨：
　　通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的值，确定原函数的值域。
　　设t=√2x+1(t≥0),则
　　x=1/2(t2-1)。
　　于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
　　所以，原函数的值域为{y|y≥-7/2｝。
　　点评：
　　将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
　　练习：
　　求函数y=√x-1Cx的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝
　　九.构造法
　　根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
　　例:9：求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
　　点拨：
　　将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
　　原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
　　作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。
　　设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,
　　KC=√(x+2)2+1。
　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。
　　∴原函数的知域为{y|y≥5｝。
　　点评：
　　对于形如函数y=√x2+a&√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
　　练习：
　　求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)
　　十.比例法
　　对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
　　例10：已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
　　点拨：
　　将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
　　由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
　　∴x=3+4k,y=1+3k,
　　∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
　　当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。
　　函数的值域为{z|z≥1｝.
　　点评：
　　本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
　　练习：
　　已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)
　　十一.利用多项式的除法
　　例11：求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
　　点拨：
　　将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
　　y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。
　　∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
　　∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
　　点评：
　　对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
　　练习：
　　求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)
　　十二.不等式法
　　例12：求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
　　点拨：
　　先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
　　易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
　　由对数函数的定义知x/(1-x)&0
　　1-x≠0
　　解得，0
　　∴函数的值域(0，1)。
　　点评：
　　考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
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中国高校校报协会副会长......
北京教育音像报刊总社评论部评论员.....
中国青少年研究中心首席专家
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中国人民大学政治学教授}