知识点梳理
函数&y=f\left({x}\right)，x∈A&中函数值的集合&\left\{{f\left({x}\right)\left|{x∈A}\right}\right\}&称为函数的值域（range）．
的性质：1.二次函数是，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c)6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。当 时，函数在 处取得最小值 ；在 上是减函数，在 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 。当 时，函数在 处取得最大值 ；在 上是增函数，在 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 。当 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。7.定义域：R值域：当a&0时，值域是 ；当a&0时，值域是 ①一般式： ⑴a≠0⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；⑶顶点： ；⑷若Δ&0，则图象与x轴交于两点：和；若Δ=0，则图象与x轴切于一点：若Δ&0，图象与x轴无公共点；②顶点式： 此时，对应顶点为，其中, ；③交点式： 图象与x轴交于 和 两点。
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举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+3是偶函数，且过点（-1...”，相似的试题还有：
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，满足：①图象过原点；②f(1-x)=f(1+x)；③g(x)=f(x)-x2是奇函数．解答下列各题：(1)求c； (2)证明：b=-2a；
(3)求f(x)的解析式．
已知二次函数f(x)=ax2+bx+3是偶函数，且过点(-1，4)，g(x)=x+4．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数F(x)=f(2x)+g(2x+1) 的值域；(Ⅲ)若f(x)≥g(mx+m)对x∈[2，6]恒成立，求实数m 的取值范围．
已知f(x)=3x，并且f(a+2)=18，g(x)=3ax-4x(a∈R)．(1)求函数g(x)的解析式；(2)求函数g(x)在[-1，1]上的值域．已知二次函数f（x）有两个零点0和-2，且f（x）最小值是-1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）-λg（x）在区间[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
（1）∵二次函数f（x）有两个零点0和-2，∴设f（x）=ax（x+2）=ax2+2ax（a＞0）．f（x）图象的对称轴是x=-1，∴f（-1）=-1，即a-2a=-1，∴a=1，∴f（x）=x2+2x．∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-x2+2x．（2）由（1）得h（x）=x2+2x-λ（-x2+2x）=（λ+1）x2+2（1-λ）x．①当λ=-1时，h（x）=4x满足在区间[-1，1]上是增函数；②当λ＜-1时，h（x）图象对称轴是x=则≥1，又λ＜-1，解得λ＜-1；③当λ＞-1时，同理需≤-1，又λ＞-1，解得-1＜λ≤0．综上，满足条件的实数λ的取值范围是（-∞，0]．
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（1）根据二次函数的零点，利用待定系数法即可求f（x）和g（x）的解析式；（2）根据h（x）=f（x）-λg（x）在区间[-1，1]上是增函数，确定对称轴和对应区间之间的关系，即可求实数λ的取值范围．
本题考点：
函数的零点；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．
考点点评：
本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决本题的关键．
扫描下载二维码已知二次函数f﹙x﹚满足f﹙x＋1﹚＋f﹙x－1﹚＝2x²－4x,①求函数f﹙x﹚的解析式②若f﹙x﹚＞a在x∈[﹣1,2﹚上恒成立,求实数a的取值范围③求当x∈[0,a]﹙a＞0﹚时f﹙x﹚的最大值g﹙a﹚
设f(x)=ax²+bx+c,则f﹙x＋1﹚＋f﹙x－1﹚=a(x+1)²+b(x+1)+c+a(x-1)²+b(x-1)+c=2ax²+2bx+2(a+c)=2x²－4x故,a=1；b= -2；c= -1；即：f﹙x﹚=x²-2x-1
第②，③题呢？
②f﹙x﹚＞a，在x∈[－1,2﹚上恒成立，
注意到：f﹙x﹚＝x²－2x－1＝（x－1）²－2
对称轴为：x＝1，开口向上，在x＝1处取得最小值－2；
在[－1,2﹚上，f﹙x﹚在x＝－1处取得最大值2；
因此，要使f﹙x﹚＞a，在x∈[－1,2﹚上恒成立，
充要条件为：a＜－2；
③求当x∈[0，a]﹙a＞0﹚时f﹙x﹚的最大值g﹙a﹚
由于f﹙x﹚开口向上，对称轴为：x＝1，
在x∈（－∞，1】上单调递减；在x∈【1，﹢∞）上单调递增；
当a≤1时，f﹙x﹚的最大值为f﹙0﹚＝－1；
当a＞1时，f﹙x﹚的最大值为f﹙a﹚＝a²－2a－1；
g﹙a﹚＝－1，当a∈（0，1】时
g﹙a﹚＝a²－2a－1，当a∈（1，﹢∞）时。
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扫描下载二维码已知二次函数y=f（x）的图象经过原点,且f（x-1）=f（x）+x-1,求f（x）的...已知二次函数y=f（x）的图象经过原点,且f（x-1）=f（x）+x-1,求f（x）的表达士 求详解
已知二次函数y=f（x）的图象经过原点,所以可得：f(0)=0 即：c=0 所以可设此函数表达式为：f(x)=ax^2+bx又：f(x-1)=f(x)+x-1 　可得：f(0-1)=f(0)+0-1 即：f(-1)=-1则有：a-b=-1······························1f(1-1)=f(1)+1-1 即：f(1)=f(0)=0则有：a+b=0·····························2联立1、2两式可得：a=-1/2,b=1/2所以有：f(x)=-x^2/2+1/2
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因为二次函数y=f（x）的图象经过原点 所以不妨设 y=f(x)=ax^2+bx f（x-1）=f（x）+x-1
中令x=1得 f(0)=f(1)
又f(0)=0 所以f(1)=0 所以 a+b=0
(1)f（x-1）=f（x）+x-1
中令x=0得 f(-1)=f(0)-1=-1
所以 a-b=-1
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