知识点梳理
利用导数研究曲线上某点切线：1、利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在{{x}_{0}}处的导数f′(x)；利用方程的点斜式写出切线方程为y-{{y}_{0}} =f′({{x}_{0}})（x-{{x}_{0}}）．2、若函数在x={{x}_{0}}处可导，则图象在({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处一定有切线，但若函数在x={{x}_{0}}处不可导，则图象在（{{x}_{0}}，f({{x}_{0}}））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．3、注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，4、显然f′（{{x}_{0}}）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（{{x}_{0}}）＜o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f({{x}_{0}}) =0，切线与x轴平行；f′({{x}_{0}})不存在，切线与y轴平行．
利用导数求函数的最值步骤： （1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。 用导数的方法求最值特别提醒：①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知函数f（x）=asinx+tanx（0＜x＜\frac{...”，相似的试题还有：
已知f(x)=x-e^{xa}(a＞0)．(1)曲线y=f(x)在x=0处的切线恰与直线x-2y+1=0垂直，求a的值；(2)若x∈[a，2a]求f(x)的最大值；(3)若f(x1)=f(x2)=0(x1＜x2)，求证：\frac{x_{1}}{x_{2}}＜\frac{e}{a}．
已知函数f(x)=ln(1+x)-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行，则实数a的值为_____．
已知函数f(x)=\frac{1}{3}x3+ax2+bx(a，b∈R)．(1)若曲线C：y=f(x)经过点P(1，2)，曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直，求a，b的值；(2)若f(x)在区间(1，2)内存在两个不同的极值点，求证：0＜a+b＜2．已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2,则过点(2,2)能做几条直线与曲线相切。&br/&为什么答案是3个，我算的是4个
已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2,则过点(2,2)能做几条直线与曲线相切。为什么答案是3个，我算的是4个
根据求导3ax^2+b又在已知点切线方程得3a+b=2,a+b=0解得a=1,b=-1,原方程为f（x）=x^3-x,所以切线斜率为3x^2-1所以切点线方程为y=（3x^2-1）x+b=x^3-x切点方程y=（3x^2-1）x-2x^3=x^3-x=x（x+1）（x-1），所以三条线！
设切点为（2,2），解得有一条直线。
设切点为（x0，x0∧3-x0），所以方程为y=（3x0∧2-1）（x-xo）+x0∧3-x0，把（2,2）代入，有（x0-1）(2x0+2-x0∧2）=o,所以有3个解。
综上，共有4个。
请问此法哪错了？
切点（2，2）不符合啊！根本不是切点！
为什么不符合，能说清点么？
带入方程在曲线上吗！既然是切点
提问者 的感言：谢谢，没有注意到 相关知识
其他回答 (1)
兄弟，画图看嘛
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理工学科领域专家已知直线y=-2x-2/3与曲线y=1/3(x^3)-bx相切,求b的值._百度作业帮
已知直线y=-2x-2/3与曲线y=1/3(x^3)-bx相切,求b的值.
已知直线y=-2x-2/3与曲线y=1/3(x^3)-bx相切,求b的值.
设切点横坐标是x0y=(1/3)x³-bx则y'=x²-b∴ 切线斜率 k=x0²-b=-2 ①又因为切点是公共点∴ -2x0-2/3=(1/3)x0³-bx0 ②①*x0,得 x0³-bx0=-2x0∴ -2x0-2/3=(1/3)x0³-2x0-x0³∴ -2/3=-(2/3)x0³∴ x0=1代入① 1-b=-2∴ b=3问题补充&&
f（2））处的切线垂直于y轴;(x -
[求导所得]略微画了一个草图
（左边无限趋近于零）y=kx与y=f(x)图像存在三个交点先求出过两个最值的k的值k1=-3/e^2，0）解答完毕;（2ax-2）=a&#8226，由导数的几何意义得f′（2）=0;(x^2-2x-2)f&#39，∴a=1．∴实数a的值为：1(2)f(x)=e^x•k2所以k的取之范围为（-3/ex•e^2k2=-3ek1&gt(1)f′（x）=（ex）′•（ax2-2x-2）′=ex•a)](x+2)∵曲线y=f（x）在点P（2;(x)=ex•（ax2-2x-2）+ex•[x -
(2/（ax2-2x-2）+ex&#8226
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＞＞＞已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=..
已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）过点（2，2）能作几条直线与曲线y=f（x）相切？说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）f′（x）=3ax2+b，由题知…（1分）f′(1)=2f(1)=2-2=0=>3a+b=2a+b=0=>a=1b=-1∴f（x）=x3-x…（5分）（2）设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），则切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t）即y=（3t2-1）x-2t3…（7分）由切线过点（2，2）得：2=（3t2-1）o2-2t3，过点（2，2）可作曲线y=f（x）的切线条数就是方程t3-3t2+2=0的实根个数…（9分）令g（t）=t3-3t2+2，则g′（t）=3t（t-2）由g′（t）=0得t1=0，t2=2当t变化时，g（t）、g′（t）的变化如下表
（-∞，0）
（2，+∞）
↗由g（0）og（2）=-4＜0知，故g（t）=0有三个不同实根可作三条切线…（13分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=..”主要考查你对&&函数解析式的求解及其常用方法，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数解析式的求解及其常用方法函数的极值与导数的关系
函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
与“已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=..”考查相似的试题有：
520840251536440037450457429156429736}