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三角形的面积和周长是什么关系?如果是用海伦公式，
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证明（1）　　与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 　　S=1/2*ab*sinC 　　=1/2*ab*√(1-cos^2 C) 　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] 　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] 　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] 　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] 　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 　　设p=(a+b+c)/2 　　则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] 　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）　　我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”.它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事.所以他们想到了三角形的三条边.如果这样做求三角形的面积也就方便多了.但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”.　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.“术”即方法.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个.相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积.　　所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”.以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以 　　q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 　　当P=1时,△ 2=q,　　△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 　　因式分解得 　　△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] 　　=1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] 　　=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) 　　=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) 　　=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] 　　=p(p-a)(p-b)(p-c) 　　由此可得：　　S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　其中p=1/2(a+b+c) 　　这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”.　　S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.　　根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算.如下题：　　已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积 　　这里用海伦公式的推广 　　S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边） 　　代入解得s=8√ 3证明（3）　　在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c 　　O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长 　　有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 　　r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r 　　∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 　　∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) 　　=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 　　=ptanA/2tanB/2tanC/2 　　=r 　　∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 　　∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) 　　=p(p-a)(p-b)(p-c) 　　∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 　　证明(4) 　　通过正弦定理:和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)编辑本段推广　　关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：　　设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c)/2,则 　　S△ABC 　　=1/2 aha 　　=1/2 ab×sinC 　　= r p 　　= 2R^2sinAsinBsinC 　　= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
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已知三角形的内切圆半径为3 cm，三角形的周长为18 cm，则该三角形的面积为________ cm2．
主讲：李宇歌
【思路分析】
连接三角形的内心和各个顶点，可得三角形的内切圆的半径等于面积的2倍除以周长，即面积==27．
【解析过程】
解：∵切圆半径为3cm，△ABC的周长为18cm，∴△ABC的面积==27．
此题注意：任意三角形内切圆的半径等于面积的2倍除以周长．
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三角形ABC，对应边abc。面积为S，周长为L，角A知道，要求对边a。由余弦定理a²＝b²＋c²－2bccosA由三角形面积公式S＝½bcsinA可求出bc由a＋b＋c＝L即(b＋c)²＝(L－a)²得b²＋c²＝L²－2La＋a²－2bc将它带入第一个余弦定理中，得到一个只含a的二元一次方程，就可解出a
手机打字辛苦啊！还带那么多字母符号。楼主不用谢了。天气热，请我吃根雪糕就行了，哦，对了，我只吃随便甜筒
正弦余弦定理
楼猪楼猪在哪里？
你认为这个是Rt△吗？
当我没说，看懂了，麻烦过程写完整，余弦公式还要变形，字不太影起注意的。
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或PHP实现的简单三角形、矩形周长面积计算器分享
投稿：junjie
字体：[ ] 类型：转载 时间：
这篇文章主要介绍了PHP实现的简单三角形、矩形周长面积计算器分享,本文的实现相对较简单,同时提供了代码文件下载,需要的朋友可以参考下
运用PHP面向对象的知识设计一个图形计算器，同时也运用到了抽象类知识，这个计算器可以计算三角形的周长和面积以及矩形的周长和面积。本图形计算器有4个页面：1.PHP图形计算器主页index.&&& 2.形状的抽象类shape.class.&&& 3三角形计算类triangle.class.&&& 4.矩形计算类rect.class.php。
PHP图形计算器代码点击下载:&&
代码分别如下：
PHP图形计算器主页：
&&&&&head&
&&&&&&&&&title&简单的图形计算器&/title&
&&&&&&&&&meta http-equiv="Content-Type" content="text/charset=utf-8" /&
&&&&&/head&
&&&&&body&
&&&&&&&&&center&
&&&&&&&&&&&&&h1&简单的图形计算器&/h1&
&&&&&&&&&&&&&a href="index.php?action=rect"&矩形&/a& ||
&&&&&&&&&&&&&a href="index.php?action=triangle"&三角形&/a&
&&&&&&&&&/center&
&&&&&&&&&hr&&br&
&&&&&?php
&&&&&&&&&&&&error_reporting(E_ALL & ~E_NOTICE);
&&&&&&&&&&&&//设置自动加载这个程序需要的类文件
&&&&&&&&&&&&function __autoload($classname){
&&&&&&&&&&&&&&&&include strtolower($classname).".class.php";
&&&&&&&&&&&&}
&&&&&&&&&&&&//判断用户是否有选择单击一个形状链接
&&&&&&&&&&&&if(!empty($_GET['action'])) {
&&&&&&&&&&&&&&&&//第一步：创建形状的对象
&&&&&&&&&&&&&&&&$classname = ucfirst($_GET['action']);
&&&&&&&&&&&&&&&&$shape=new $classname($_POST);
&&&&&&&&&&&&&&&&//第二步：调用形状的对象中的界面view()
&&&&&&&&&&&&&&&&$shape -& view();
&&&&&&&&&&&&&&&&//第三步：用户是否提交了对应图形界面的表单
&&&&&&&&&&&&&&&&if(isset($_POST['dosubmit'])) {
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&//第四步：查看用户输出的数据是否正确, 失败则提示
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&if($shape-&yan($_POST)) {
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&//计算图形的周长和面积
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&echo $shape-&name."的周长为：".$shape-&zhou()."&br&";
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&echo $shape-&name."的面积为：".$shape-&area()."&br&";
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&}
&&&&&&&&&&&&&&&&}
&&&&&&&&&&&&//如果用户没有单击链接， 则是默认访问这个主程序
&&&&&&&&&&&&}else {
&&&&&&&&&&&&&&&&echo "请选择一个要计算的图形!&br&";
&&&&&&&&&&&&}
&&&&&&&&?&
&&&&&/body&
形状的抽象类：
abstract class& Shape{
&&&&//形状的名称
&&&&public $
&&&&//形状的计算面积方法
&&&&abstract function area();
&&&&//形状的计算周长的方法
&&&&abstract function zhou();
&&&&//形状的图形表单界面
&&&&abstract function view();
&&&&//形状的验证方法
&&&&abstract function yan($arr);
三角形计算类文件：
class Triangle extends Shape {
&&&&private $bian1;
&&&&private $bian2;
&&&&private $bian3;
&&&&function __construct($arr = array()) {
&&&&&&&&if(!empty($arr)) {
&&&&&&&&&&&&$this-&bian1 = $arr['bian1'];
&&&&&&&&&&&&$this-&bian2 = $arr['bian2'];
&&&&&&&&&&&&$this-&bian3 = $arr['bian3'];
&&&&&&&&$this-&name = "三角形";
&&&&function area() {
&&&&&&&&$p =&&& ($this-&bian1 + $this-&bian2 + $this-&bian3)/2;
&&&&&&&&return sqrt($p*($p-$this-&bian1)*($p-$this-&bian2)*($p-$this-&bian3));
&&&&function zhou() {
&&&&&&&&return $this-&bian1 + $this-&bian2 + $this-&bian3;
&&&&function view() {
&&&&&&&&$form = '&form action="index.php?action=triangle" method="post"&';
&&&&&&&&$form .= $this-&name.'第一个边:&input type="text" name="bian1" value="'.$_POST['bian1'].'" /&&br&';
&&&&&&&&$form .= $this-&name.'第二个边:&input type="text" name="bian2" value="'.$_POST['bian2'].'" /&&br&';
&&&&&&&&$form .= $this-&name.'第三个边:&input type="text" name="bian3" value="'.$_POST['bian3'].'" /&&br&';
&&&&&&&&$form .= '&input type="submit" name="dosubmit" value="计算"&&br&';
&&&&&&&&$form .='&form&';
&&&&&&&&echo $
&&&&function yan($arr) {
&&&&&&&&$bj =
&&&&&&&&if($arr['bian1'] & 0) {
&&&&&&&&&&&&echo "第一个边不能小于0!&br&";
&&&&&&&&&&&&$bj =
&&&&&&&&if($arr['bian2'] & 0) {
&&&&&&&&&&&&echo "第二个边不能小于0!&br&";
&&&&&&&&&&&&$bj =
&&&&&&&&if($arr['bian3'] & 0) {
&&&&&&&&&&&&echo "第三个边不能小于0!&br&";
&&&&&&&&&&&&$bj =
&&&&&&&&if(($arr['bian1']+$arr['bian2'] & $arr['bian3']) || ($arr['bian1'] + $arr['bian3'] & $arr['bian2']) || ($arr['bian2']+$arr['bian3'] & $arr['bian1'])) {
&&&&&&&&&&&&echo "两边之和必须大于第三个边";
&&&&&&&&&&&&$bj =
&&&&&&&&return $
矩形计算类文件：
class Rect extends Shape {
&&&&private $
&&&&private $
&&&&function __construct($arr=array()) {
&&&&&&&&if(!empty($arr)) {
&&&&&&&&&&&&$this-&width = $arr['width'];
&&&&&&&&&&&&$this-&height = $arr['height'];
&&&&&&&&$this-&name = "矩形";
&&&&function area() {
&&&&&&&&return $this-&width * $this-&
&&&&function zhou() {
&&&&&&&&return 2*($this-&width + $this-&height);
&&&&function view() {
&&&&&&&&$form = '&form action="index.php?action=rect" method="post"&';
&&&&&&&&$form .= $this-&name.'的宽:&input type="text" name="width" value="'.$_POST['width'].'" /&&br&';
&&&&&&&&$form .= $this-&name.'的高:&input type="text" name="height" value="'.$_POST['height'].'" /&&br&';
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&&&&&&&&$form .='&form&';
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&&&&function yan($arr) {
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&&&&&&&&if($arr['width'] & 0) {
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&&&&&&&&&&&&echo $this-&name."的高度不能小于0!&br&";
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