急~已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=9...
发表于： 22:55:29
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已知Rt三角形ABC中，AC＝BC，角C＝90度，D为AB边的中点，角EDF＝90度，角EDF绕D点旋转，它的两边分别如图，已知Rt三角形ABC中，AC＝BC，角C＝90度，D为AB边的中点，角EDF＝90度，角EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F，一..当角EDF绕D点旋转到DE垂直AC于E时，易证S三角形DEF＋S三角形CEF＝1/2S三角形ABC，二..当角EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S三角形DEF、S三角形CEF、S三角形ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，需证明。问题补充：要详细的几何步骤！~~每道题的 【最佳答案】在图2中S△DEF＋S△CEF＝S△ABC/2仍然成立证明：连接CD∵Rt△ABC中，AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形又∵D为AB边的中点∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，∠CDB=90°又∵∠EDF＝90°∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF，即∠CDE=∠BDF∴△CDE≌△BDF∴S△CDE=S△BDF∴S△DEF＋S△CEF=S△CDE＋S△CDF=S△BDF＋S△CDF=S△BCD=S△ABC/2得证在图3中S△DEF＋S△CEF＝S△ABC/2不成立猜想S△DEF-S△CEF＝S△ABC/2证明：连接CD同理易得△CDE≌△BDF∴S△CDE=S△BDF∴S△DEF=S多边形CEFBD∴S△DEF-S△CEF=S△BCD=S△ABC/2得证 【其他答案】在图2中S△DEF＋S△CEF＝S△ABC/2仍然成立证明：连接CD∵Rt△ABC中，AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形又∵D为AB边的中点∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，∠CDB=90°又∵∠EDF＝90°∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF，即∠CDE=∠BDF∴△CDE≌△BDF∴S△CDE=S△BDF∴S△DEF＋S△CEF=S△CDE＋S△CDF=S△BDF＋S△CDF=S△BCD=S△ABC/2得证在图3中S△DEF＋S△CEF＝S△ABC/2不成立猜想S△DEF-S△CEF＝S△ABC/2证明：连接CD同理易得△CDE≌△BDF∴S△CDE=S△BDF∴S△DEF=S多边形CEFBD∴S△DEF-S△CEF=S△BCD=S△ABC/2得证热心网友 在图2中S△DEF＋S△CEF＝S△ABC/2仍然成立证明：连接CD∵Rt△ABC中，AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形又∵D为AB边的中点∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，∠CDB=90°又∵∠EDF＝90°∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF，即∠CDE=∠BDF∴△CDE≌△BDF∴S△CDE=S△BDF∴S△DEF＋S△CEF=S△CDE＋S△CDF=S△BDF＋S△CDF=S△BCD=S△ABC/2得证在图3中S△DEF＋S△CEF＝S△ABC/2不成立猜想S△DEF-S△CEF＝S△ABC/2证明：连接CD同理易得△CDE≌△BDF∴S△CDE=S△BDF∴S△DEF=S多边形CEFBD∴S△DEF-S△CEF=S△BCD=S△ABC/2得证热心网友 在图2中S△DEF＋S△CEF＝S△ABC/2仍然成立证明：连接CD∵Rt△ABC中，AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形又∵D为AB边的中点∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，∠CDB=90°又∵∠EDF＝90°∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF，即∠CDE=∠BDF∴△CDE≌△BDF∴S△CDE=S△BDF∴S△DEF＋S△CEF=S△CDE＋S△CDF=S△BDF＋S△CDF=S△BCD=S△ABC/2得证在图3中S△DEF＋S△CEF＝S△ABC/2不成立猜想S△DEF-S△CEF＝S△ABC/2证明：连接CD同理易得△CDE≌△BDF∴S△CDE=S△BDF∴S△DEF=S多边形CEFBD∴S△DEF-S△CEF=S△BCD=S△ABC/2得证热心网友 谢谢我看到解答过程【满意答案】参考资料：【满意答案】
已知RT三角形ABC中，AC=BC,∠C=90°，D，为AB边的中点，∠EDF=90°，三角形EDF绕D旋转它的两边分别交ACCB【或它们的延长线】于EF当∠EDF绕D点旋转到DE垂直AC于E证明；S△DEF+S△CEF=2分之一S△ABC。当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直，请直接写出S△DEF,S△CEF,S△ABC之间的数量关系 【最佳答案】①连接CD，交EF于M，很容易得到同色的地方全等所以S△DEF+S△CEF=2分之一S△ABC②同理一样的你看能懂吗
关于数学题，已知Rt三角形ABC中，AC＝BC，角C＝90度，D为AB边的中点，角EDF＝90度，角EDF绕D点旋转……请问第三问是怎么证明的呢？请帮帮忙哦，谢谢您了！问题补充：已知Rt三角形ABC中，AC＝BC，角C＝90度，D为AB边的中点，角EDF＝90度，角EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F，当角EDF绕D点旋转到DE垂直AC于E时，易证S三角形DEF＋S三角形CEF＝1/2S三角形ABC，当角EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S三角形DEF、S三角形CEF、S三角形ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，需证明。关键是第三问证明！！！！！！！ 【最佳答案】当三角形DEF在三角形ABC内时，结论成立；当三角形DEF在三角形ABC外时，S三角形DEF-S三角形CEF＝1/2S三角形ABC。若理解为三角形CEF三角形ABC外时，面积为负，则结论成立。证明：1.当E在AC上时过D做AC、BC的垂线交AC、BC于E'、F'因为AC垂直BC所以E'D垂直F'D，F'D平行AC，E'D平行BC因为D为AB边的中点，所以E'为AC边的中点，F'为BC边的中点因为AC=BC所以CE'=CF'=1/2AC=1/2BC所以四边形E'CF'D为正方形，S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC角EDF'=角EDF+角FDF'=角E'DF'+角EDE'角EDF=角E'DF'90度所以角FDF'=角EDE'因为E'CF'D为正方形所以DE'=DF'所以三角形EDE'与三角形FDF'为全等三角形S三角形DEF+S三角形CEF＝S正方形E'CF'D+S三角形EDE'-S三角形FDF'=S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC2.当E在AC延长线上时过D做AC、BC的垂线交AC、BC于E'、F'四边形E'CF'D为正方形，S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC（证明同上）角EDF'=角EDF+角FDF'=角E'DF'+角EDE'角EDF=角E'DF'90度所以角FDF'=角EDE'因为E'CF'D为正方形所以DE'=DF'所以三角形EDE'与三角形FDF'为全等三角形设DF与AC的交点为G，过A做AC的垂线交DE于H因为E'为AC中点，且CE'=CF'所以AE'=CE'=CF'因为AH垂直AC所以AH平行E'D因为CG平行DF'所以三角形FCG全等于三角形EAH，梯形CGDF'全等于梯形AHDE'S三角形DEF-S三角形CEF+S三角形FCG=S三角形EDG所以S三角形DEF-S三角形CEF=S三角形EDG-S三角形FCG=S三角形EDG-S三角形EAH=S梯形AHDE'+S三角形DE'G=S梯形CGDF'+S三角形DE'G=S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC大概是这样，定理我忘光了，那把那几个全等整出来就行了 荐edf:配线架|edf:旋转|edf:文件|edf:意思【其他答案】上述结论成立做出和原图一样的正方形，证明三角形EE'D和三角形FF'D全等就行了。证明过程不难，你自己写吧。 三种情况1.E在AC上，则F在BC上。（求出AED+DFB的面积为ABC的一半，就可得到求证）∠EDC+∠CDF=90=∠CDF+∠FDB,则∠EDC=∠FDB,另外DC=DB,∠ECD=45=FBD，可推出三角形DEC全等于三角形DFB，可得EC=FBS三角形ADE+S三角形DBF=1/2*Sin∠A*AD*AE+1/2*Sin∠B*BD*BF∠A=∠B=45,sin45*AD=1/2*AC=sin45*BD=1/2*BC,AE+BF=AE+EC=AC=BCS三角形ADE+S三角行DBF=1/2*1/2*AC*AE+1/2*1/2*AC*BF=1/4*AC*AC=1/4*AC*BCS三角形ABC=1/2*AC*BC两式相减就是S三角形DEF＋S三角形CEF=1/4*AC*BC=1/2S三角形ABC2.E在AC的延长线上，则F在CB的延长线上显然DEDC,DFDB，SDEFSCDB=1/2S三角形ABC可知道S三角形DEF＋S三角形CEF明显大于1/2S三角形ABC3.E在CA的延长线上，则F在BC的延长线上显然DEDA,DFDC，SDEFSADC=1/2S三角形ABC可知道S三角形DEF＋S三角形CEF明显大于1/2S三角形ABC结论就是当E、F在AC、BC线上时，不管垂直与否，求证都成立当E、F在AC、BC延长线上时，求证都不成立（在延长线上时DEF的面积是接近无穷大的ED可无限接近平行AC，DF无限接近平行BC，DE、DF都是无限长，量上是无法比较的）
在Rt三角形ABC中，AC=BC,∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°,∠EDF绕D旋转，两边交AC、CB（或延长线）于在Rt三角形ABC中，AC=BC,∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°,∠EDF绕D旋转，两边交AC、CB（或延长线）于E、F,证S△DEFS△CEFS△ABC的数量关系 【推荐答案】①,易证：⊿DCE≌⊿DBF（A,S,A）.S⊿DEF+S⊿CEF＝S⊿DCE+S⊿DCF＝＝S⊿DCF+S⊿DBF＝S⊿DBC＝S⊿ABC/2.②.易证：⊿DEC≌⊿DBF（A,S,A.∠DCE＝∠DBF＝135°）S⊿DEF＝S⊿DBF+S[四边形DBFE]＝S⊿DEC+S[四边形DBFE]＝S[五边形DBFEC]＝＝S⊿CFE+S⊿DBC＝S⊿CFE+S⊿ABC/2.∴S⊿DEF-S⊿CFE＝S⊿ABC/2 【其他答案】解：图2成立；图3不成立证明图2：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°再证∠MDE=∠NDF，DM=DN有△DME≌△DNF∴S△DME=S△DNF∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF由信息可知S四边形DMCN=21S△ABC∴S△DEF+S△CEF=21S△ABC图3不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF−S△CEF=21S△ABC 3-1420:51
如图，RT△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点D，E是BC中点，连接DE、OE1如图，RT△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点D，E是BC中点，连接DE、OE1判断DE与圆O的位置关系2求证BC²=2CD×OE3若TANC=根号五/2DE=2求AD，明天早上5：30结束真的非常需要你的帮助谢谢问题补充： 最佳【推荐答案】⑴DE与圆O相切。理由：连接OD，BD，∵AB是直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵E为BC的中点，∴DE=BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∵OD=OB，OE=OE，∴ΔOED≌ΔOEB，∴∠ODE=∠B=90°，∴DE与圆O相切。⑵证明：∵O、E分别为AB、BC的中点，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠CDB=∠CBA=90°，∴ΔCDB∽ΔCBA，∴CD/BC=BC/AC，∴BC^2=CD*AC=2CD*OE。⑶解：∵BC=2DE=4，在RTΔCDB中，BD/CD=tanC=√5/2，设BD=√5K，则CD=2K，∴5K^2+4K^2=16，K=4/3(取正)，∴BD=4√5/3，在RTΔABC中，tanC=AB/BC=√5/2，∴AB=2√5，∴AD^2=AB^2-BD^2=20-80/9=100/9，∴AD=10/3。 【其他答案】连接BD，OD（1）∵AB为直径（已知）∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）∵E是BC中点（已知）∴BE=DE（直角三角形的斜边中点到三顶点的距离相等。）∴∠EBD=∠EDB（三角形中，等边对应的角也相等。）∵OB=OD（同圆半径相等）∴∠OBD=∠ODB（三角形中，等边对应的角也相等。）∵∠ABC=90°（已知）∴∠ODE=∠ABC=90°∴DE为圆O的切线。（切线定义：过圆周上一点，且垂直于过该点半径的直线时圆的切线。）（2）证明：∵O为AB的中点，E为BC的中点∴AC=2OE（三角形中位线等于底边的一半）在⊿CDB和⊿CAB中∵∠CDB=CBA=90°，且∠C为公用角∴Rt⊿CDB∽Rt⊿CBA∴BC/AC=CD/BCBC²=AC·CD=2·OE·CD=2·CD·OE（3）设TAN∠C=√5/2，DE=2，求AD。解，∵DE=2∴BC=BE+CE=2DE=2x2=4∵TAN∠C=√5/2∴AB=BC·TAN∠C=4x(√5/2)=2√5AC=√(AB²+BC²)=√〔(2√5)²+4²)〕=6同理可证：AB²=AD·AC（证法略。）AD=AB²/AC=(2√5)²/6=10/3 ⑴DE与圆O相切。理由：连接OD，BD，∵AB是直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵E为BC的中点，∴DE=BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∵OD=OB，OE=OE，∴ΔOED≌ΔOEB，∴∠ODE=∠B=90°，∴DE与圆O相切。⑵证明：∵O、E分别为AB、BC的中点，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠CDB=∠CBA=90°，∴ΔCDB∽ΔCBA，∴CD/BC=BC/AC，∴BC^2=CD*AC=2CD*OE。⑶解：∵BC=2DE=4，在RTΔCDB中，BD/CD=tanC=√5/2，设BD=√5K，则CD=2K，∴5K^2+4K^2=16，K=4/3(取正)，∴BD=4√5/3，在RTΔABC中，tanC=AB/BC=√5/2，∴AB=2√5，∴AD^2=AB^2-BD^2=20-80/9=100/9，∴AD=10/3。 4-0922:40
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平行四边形ABCD中，E为AD中点，已知△DEF的面积为S，则△DCF的面积为（ ） A.S B.2S C.3S D.4S
提问者采纳
F为BD与CE的交点
B，2s，sed与scb相似，fc=2fe。
为什么FC=2FE?还有什么叫SED与SCD相似?
不好意思，是FED与FCB，是三角形，三角号不会打，FC=2FE是由相似得出的，你不会还没学相似吧？
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其他4条回答
2S因为相似,所以EF=1/2FC所以面积也是1/2则为2S
F在什么位置？
F为BD与CE的交点
what's F?
F为BD与CE的交点
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备战2012精华版3年中考+2年模拟）全国各地500套中考数学（真题+模拟）试题分类汇编第22章 全等三角形
3年中考真题+2年模拟预测
全国500套数学试题分类汇编
全等三角形
一、选择题
1. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（
2. （2011山东威海，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（
　　A． EF∥AB
C．∠A=∠DFE
D．∠B=∠DFE
3. （2011浙江衢州，1,3分）如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（
）[来源:学,科,网Z,X,X,K]
4. （2011江西，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（
　A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC
　C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
D.∠B=∠C，BD=DC第7题图【答案】D
5. （2011江苏宿迁,7,3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（▲）
C．∠B＝∠C
D．∠ BDA＝∠CDA
6. （2011江西南昌，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（
　A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC
　C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
D.∠B=∠C，BD=DC第7题图【答案】D
7. （2011上海，5，4分）下列命题中，真命题是（
　　(A)周长相等的锐角三角形都全等；
(B) 周长相等的直角三角形都全等；
　　(C)周长相等的钝角三角形都全等；
(D) 周长相等的等腰直角三角形都全等．
8. （2011安徽芜湖，6,4分）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（
【答案】B9.10．
二、填空题
1. （2011江西，16，3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点； ④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是
.（错填得0分，少填酌情给分）
【答案】①②③[来源:Z+]
2. （2011广东湛江19,4分）如图，点在同一直线上, ,,
（填&是&或&不是&） 的对顶角，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是
（只需写出一个）．
【答案】3.4.5.三、解答题
1. （2011广东东莞，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
　∴∠A=∠C
　又∵AD=CB，∠D=∠B
　∴△ADF≌△CBE
　∴AF+EF=CE+EF即AE=CF2. （2011山东菏泽，15（2），6分）已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC
　　　　　证明：在△ABC与△DCB中
（∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC）
　　　　　∴△ABC≌△DCB∴AB=DC3. （2011浙江省，19，8分）如图，点D，E分别在AC，AB上．
(1) 已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC；
(2) 分别将&BD=CE&记为①，&CD=BE& 记为②，&AB=AC&记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的
命题，命题2是
命题．（选择&真&或&假&填入空格）．
　　【答案】(1) 连结BC，∵ BD=CE，CD=BE，BC=CB．
　　∴ △DBC≌△ECB （SSS）
　　∴ ∠DBC =∠ECB
　　∴ AB=AC　　(2) 逆， 假；
4. （2011浙江台州，19,8分）如图，在□ABCD中，分别延长BA，DC到点E，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD，BC于点F,G。求证：△AEF≌△CHG.
【答案】证明：
　　　　　　　　∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD
　　　　　　　　∴ ∠EAF=∠HCG
　　　　　　　　∵
AE=AB，CH=CD
　　　　　　　　∴
∴ △AEF≌△CHG.
5. （2011四川重庆，19，6分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．[来源:]
　　【证明】∵AF＝DC，∴AC＝DF，又∠A＝∠D ，
　　AB＝DE，∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF．
6. （2011江苏连云港，20，6分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
【答案】解：全等 .理由如下：∵两三角形纸板完全相同，∴BC=BF，AB=BD，∠A=∠D，∴AB－BF=BD－BC，即AF=DC.在△AOF和△DOC中，∵AF=DC，∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，∴△AOF≌△DOC（AAS）.
7. （2011广东汕头，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
　∴∠A=∠C
　又∵AD=CB，∠D=∠B
　∴△ADF≌△CBE
　∴AF+EF=CE+EF即AE=CF8. （ 2011重庆江津， 22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
　　 (1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
　　(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度数.
【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AE=CF, AB=BC,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
(2)∵AB=BC, ∠ABC=90°,
∠CAB=∠ACB=45°.
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
9. （2011福建福州，17（1），8分）如图6,于点,于点,交于点,且.求证.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
【答案】(1)证明:∵,∴在和中[来源:]∴≌∴[来源:学*科*网]
10．（2011四川内江，18，9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
【答案】BE=EC，BE⊥EC
　　　　∵AC=2AB，点D是AC的中点
　　　　∴AB=AD=CD
　　　　∵∠EAD=∠EDA=45°
　　　　∴∠EAB=∠EDC=135°
　　　　∵EA=ED
　　　　∴△EAB≌△EDC
　　　　∴∠AEB=∠DEC，EB=EC
　　　　∴∠BEC=∠AED=90°
∴BE=EC，BE⊥EC
11. （2011广东省，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
　∴∠A=∠C
　又∵AD=CB，∠D=∠B
　∴△ADF≌△CBE
　∴AF+EF=CE+EF[来源:]即AE=CF12. （2011湖北武汉市，19，6分）（本题满分6分）如图，D，E，分 别 是 AB，AC 上 的 点 ，且AB=AC，AD=AE．求证∠B=∠C．
【答案】证明：在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD
13. （2011湖南衡阳，21，6分）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．
　　【证明】∵在△ABC中，AD是中线，[来源:ZXXK]
∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90° ，在△BED与△CFD中，∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF．
14. (20011江苏镇江,22,5分)已知:如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.
[来源:学+科+网]
[来源:ZXXK]
求证:AB=AC
【答案】证明∵AD平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC,又DE=DC,AD=AD,
∴△ADE≌△ADC, ∴∠E=∠C,
又∠E=∠B, ∴∠B =∠C, ∴AB=AC.
15. （2011湖北宜昌，18，7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E为BC 中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.
(1)证明：∠DFA = ∠FAB；
(2)证明: △ABE≌△FCE.
[来源:学_科_网]
（第18题图）
【答案】证明：（1）∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边，∴AB∥CD，（1分）∴∠F=∠FAB．（3分）（2）在△ABE和△FCE中， ∠FAB=∠F （4分）∵ ∠AEB=∠FEC （5分）BE=CE （6分）∴ △ABE≌△FCE．（7分）
一、选择题
1．（2010四川凉山）如图所示，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　　D．4个
　　2．（2010四川 巴中）如图2 所示，AB = AC ，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件
A．∠B ＝∠C
B. AD = AE
C．∠ADC＝∠AEB
D. DC = BE
3.（2010广西南宁）如图2所示，在中，,平分，
交于点,且,则点到的距离是：
　　（A）3
4．（2010广西柳州）如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是
5．（2010贵州铜仁）如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（
二、填空题
1．（2010 天津）如图，已知，，点A、D、B、F在一
　　　条直线上，要使△≌△，还需添加一个条件，
　　　这个条件可以是
【答案】（答案不惟一，也可以是或）2．（2010 广西钦州市）如图，在△ABC和△BAD中，BC = AD，请你再补充一个条件，
使△ABC≌△BAD．你补充的条件是_ ▲ _（只填一个）．
【答案】AC =BD或∠CBA＝∠DAB
三、解答题
1．(2010江苏苏州) (本题满分6分)如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．
　　(1)求证：△ACD≌△BCE；
　　(2)若∠D=50°，求∠B的度数．
2．（2010江苏南通）（本小题满分8分）
如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．
能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．
　　供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
　　①AB=ED；
　　②BC=EF；
　　③∠ACB=∠DFE．
　　【答案】解：由上面两条件不能证明AB//ED.有两种添加方法.
　　第一种：FB=CE，AC=DF添加 ①AB=ED
　　证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又AC=EF，AB=ED，所以ABCDEF
　　所以∠ABC=∠DEF
所以AB//ED
　　第二种：FB=CE，AC=DF添加 ③∠ACB=∠DFE
　　证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又∠ACB=∠DFE
AC=EF，所以ABCDEF
所以∠ABC=∠DEF
所以AB//ED
3．（2010浙江金华）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．
（1）你添加的条件是： ▲
（2）证明：
【答案】 解：（1）(或点D是线段BC的中点)，，中
　　　　　　任选一个即可﹒
（2）以为例进行证明：
　　　　　　∵CF∥BE，
　　　　　　∴∠FCD﹦∠EBD．
又∵，∠FDC﹦∠EDB，
∴△BDE≌△CDF．
　4．（2010福建福州）(每小题7分，共14分)
（1）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．
求证：△ABC≌△DEF．
(第17(1)题)
　　【答案】证明：∵ AB∥DE． ∴ ∠B＝∠DEF．
在△ABC和△DEF中，
　　∴ △ABC≌△DEF．
5．（2010四川宜宾，13(3)，5分）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分
别为E、F．求证：BF=CE．
【答案】∵CE⊥AF，FB⊥AF，∴∠DEC ＝∠DFB＝90°
又∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD， 且∠EDC ＝∠FDB（对顶角相等）
∴所以△BFD≌△CDE（AAS），∴BF=CE．
6．（2010福建宁德）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明.
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【答案】解法一：添加条件：AE＝AF，
　　证明：在△AED与△AFD中，
　　　　　∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
　　　　　∴△AED≌△AFD（SAS）.
　　解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
证明：在△AED与△AFD中，
∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA
∴△AED≌△AFD（ASA）.
7．（2010湖北武汉）如图，B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．求证：AC=DF
【答案】证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF
　　　∵AC∥DF，
∴∠ABC=∠DEF
　　　∵BF=CE，∴BC=EF
∴△ABC≌△DEF∴AC=DF8．（2010江苏淮安）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,
求证：AE=BD．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　题20图
【答案】证明：
　　∵点C是线段AB的中点，
　　∴AC=BC，
　　∵∠ACD=∠BCE,
　　∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
　　即∠ACE=∠BCD,
　　在△ACE和△BCD中，，
　　∴△ACE≌△BCD（SAS），
　　∴AE=BD.
9．（2010北京）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．
求证：∠ACE=∠DBF．
【答案】证明：∵AB=DC∴AC=DB∵EA⊥AD，FD⊥AD
∴∠A=∠D=90°
在△EAC与△FDB中
∴△EAC≌△FDB
∴∠ACE=∠DBF．
10．（2010云南楚雄）如图，点A、E、B、D在同一条直线上，AE＝DB，AC＝DF，AC∥DF.
请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】解：BC∥EF．理由如下：∵AE＝DB ，∴AE＋BE＝DB＋BE，∴AD＝DE.∵AC∥DF， ∴∠A＝∠D，∵AC＝DF， ∴△ACB≌△DFE，∴∠FED＝∠CBA，∴BC∥EF．
11．（2010云南昆明）如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC = FD，AB = EF.
（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC≌△EFD，你添加的条件是
（2）添加了条件后，证明△ABC≌△EFD.
【答案】（1）∠B = ∠F　或　AB∥EF　或　AC = ED.
（2）证明：当∠B = ∠F时
在△ABC和△EFD中
∴△ABC≌△EFD
12．（2010四川 泸州）如图4，已知AC∥DF，且BE=CF.
（1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是
（2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF.
　　【答案】（１）添加的条件是AC＝DF（或AB∥DE、∠B＝∠DEF、∠A＝∠D）（有一个即可）
（２）证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE=CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，　，∴△ABC≌△DEF.
13．（2010 甘肃）（8分）如图，.
（1）要使，可以添加的条件为：
；（写出2个符合题意的条件即可）
　（2）请选择(1)中你所添加的一个条件，证明.
【答案】解：（1）答案不唯一. 如
，或，或，或. ......4分
说明：2空全填对者，给4分；只填1空且对者，给2分.
（2）答案不唯一. 如选证明OC=OD.
　　证明: ∵ ，
　　∴ OA=OB.
........................6分
　　∴ AC-OA=BD-OB，或AO+OC=BO+OD.
........................8分
14．（2010 重庆江津）已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
求证：⑴　△ABC≌△DEF；
　　　⑵　BE＝CF．　　　　　　　　　　　　
【答案】证明：(1)∵AC∥DF
∴∠ACB＝∠F..............................................................................2分
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF..............................................................................6分
(2) ∵△ABC≌△DEF∴BC=EF∴BC-EC=EF-EC
即BE=CF.......................................................................................10分
15．（2010 福建泉州南安）如图，已知点在线段上，，请在下列四个等式中，
①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出．并予以证明．（写出一种即可）
　　已知：　
　　 　，　 　　
　　求证：．
　　证明：
【答案】解：已知：①④（或②③、或②④）...............3分
　证明：若选①④∵　∴．................................................5分
　在△ABC和△DEF中
　AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．.................................8分
∴．..........................................9分
16．（2010青海西宁）八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.
【答案】解：（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少证明三角形全等的条件. .................................2分
（2）方案（Ⅱ）可行. .................................3分
证明：在△OPM和△OPN中
∴△OPM≌△OPN(SSS)
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等) .................................5分
（3）当∠AOB是直角时，此方案可行. .................................6分
∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°
∵若PM⊥OA,PN⊥OB,且PM=PN∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)
当∠AOB不为直角时，此方案不可行. ............8分
17．（2010广西梧州）如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC。
求证：BD=BC　　　　
全品中考网　　　　【答案】证明：∵AB是∠DAC的平分线
　　∴∠DAB=∠BAC
　　在△DAB=∠CAB中　　　　∴△DAB≌△CAB
　　∴BD=BC
18．（2010广西南宁）如图10，已知，,
与相交于点，连接．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：．
【答案】（1）,
（2）证法一：连接
证法二：∵∴,∴
证法三：连接
3分∵　　　　　∴
　　　　　又∵
　　　　　∴
　　　　　又∵
　　　　　∴
19．（2010辽宁大连）如图7，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=DC，AE//DF，AE=DF，求证：EC=FB
　　20．（2010广西柳州）如图9，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．
　　（1）填空:∠ABC=___________，BC=___________；
　　（2）请你在图中找出一点D，再连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．　　【答案】
21．（2010吉林）如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且AD平分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。
　　22．（2010湖南娄底）如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
　　求证：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD　　　　【答案】解：（1）因为E是CD的中点，所以DE=CE.因为AB//CD，所以∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE.所以△ADE≌△FCE.所以FC=AD.（2）因为△ADE≌△FCE，所以AE=FE.又因为BE⊥AE，所以BE是线段AF的垂直平分线，所以AB=FB.因为FB=BC+FC=BC+AD.所以AB==BC+AD.
23．（2010内蒙呼和浩特）如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF，求证：BE=DF.
【答案】18．证明：∵AD∥BC
　　∴∠A＝∠C
.......................................................................................1分
　　∵AE＝FC
　　∴AF＝CE
..........................................................................................2分
　　在△ADF和△CBE中　　　　∴△ADF≌△CBE
.................................................................................5分
　　∴BE＝DF
..........................................................................................6分（1）∠ABC=135°，BC=2， ...............................................................2分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）（说明：D的位置有四处，分别是图中的D1、D2、D3、D4．此处画出D在D1处的位置及证明，D在其余位置的画法及证明参照此法给分）
　　解：△EFD的位置如图所示． .....................3分
证明：∵ FD=BC=............4分
∠EFD=∠ABC=90°+45°=135°
∴ △EFD≌△ABC
.....................6分
2009年中考试题专题之16-三角形与全等三角形试题及答案
一、选择题
1．（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．
其中，能使的条件共有（
2.（2009年浙江省绍兴市）如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（
3. (2009年义乌)如图，在中，，EF//AB,,则的度数为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【关键词】三角形内角度数
4.（2009年济宁市）如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于
　　A. 100°
D. 150°　　　　　　5、（2009年衡阳市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）[来源:Z_]
D．∠C的平分线与AB的交点
6、（2009年海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠度数是（
7、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是
　　A．5米
D．20米【8、（2009年崇左）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（
9、（2009年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形的外角和等于360°
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
10、（09湖南怀化）如图，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（
11、（2009年清远）如图，，于交于，已知，则（
12、（2009年广西钦州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（
D．5对【形13、(2009年甘肃定西)如图4，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（　　）
14、（2009年广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
15、（2009肇庆）如图，中，，DE 过点C，且，若，则∠B的度数是（
16、（2009年邵阳市）如图，将Rt△ABC(其中∠B＝34，∠C＝90）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点C、A、B1　在同一条直线上，那么旋转角最小等于（　　）
　　　A.56
17、（2009年湘西自治州）一个角是80°，它的余角是（　　）
　　A．10°
18、（2009河池）如图，在Rt△ABC中，，AB=AC＝，点E
　为AC的中点，点F在底边BC上，且，则△
　的面积是（
　　A． 16
19、（2009柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（
20、（2009年牡丹江）如图， 中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（
①②③④⑤　　A．1　
D．4【21、（2009桂林百色）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，
　将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，
　得 ，则点的坐标为（
　A．（3，1）
B．（3，2）C．（2，3）
D．（1，3）
22、（2009年长沙）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（
23、（2009年湖南长沙）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（
24、（2009陕西省太原市）如图，，=30°，则的度数为（
B．30° C．35°
25、 （2009陕西省太原市）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（
26、（2009年牡丹江）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（
C．AAS　　D．SSS　　27、（2009年新疆）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数等于（
28、(2009年牡丹江市)尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（
C．AAS　　D．SSS【29、（2009年包头）已知在中，，则的值为（
D．【30、（2009年齐齐哈尔市）如图，为估计池塘岸边的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，=10米，间的距离不可能是（
A．20米 B．15米 C．10米 D．5米
31、（2009年台湾）图(三)、图(四)、图(五)分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图。已知
甲的路线为：A?C?B。[来源:ZXXK]
乙的路线为：A?D?E?F?B，其中E为的中点。
丙的路线为：A?I?J?K?B，其中J在上，且&。
若符号「?」表示「直线前进」，则根据图(三)、图(四)、图(五)的数据，判断三人行进路线
长度的大小关系为何？
(A) 甲=乙=丙 (B) 甲&乙&丙 (C) 乙&丙&甲 (D )丙&乙&甲 。
32、（2009年娄底）如图1，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是
33、（2009烟台市）如图，等边的边长为3，为上一点，且，为上一点，若，则的长为（
D．　　　　34、(2009武汉)在直角梯形中，，为边上一点，，且．连接交对角线于，连接．下列结论：
②为等边三角形； ③；
　　其中结论正确的是（
　　A．只有①②
B．只有①②④
C．只有③④
D．①②③④　　35、（2009年台湾）
若(ABC中，?B为钝角，且=8，=6，则下列何者可能为之长度？
(A) 5 (B) 8 (C) 11 (D) 14 。
36、（2009年重庆）观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（
37、（2009年重庆）如图，在等腰中，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（
D．③④⑤【38、（2009江西）如图，已知那么添加下列一个条件后，
仍无法判定的是（
A．　　　　　　　 B．
39、(2009年温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是(
9cmC．5cm，8cm，
15cm D．6cm，8cm，
40、如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（
D．垂直平分
二、填空题
1、（2009年遂宁）如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为
2、（2009年遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出
　　3.（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有
4. (2009年四川省内江市)如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80O，则∠B=_____________。
5、（2009年厦门市）如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。
6、（2009恩施市）如图1，已知，，，则的度数为________．
7、（2009年吉林省）将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，为圆心，则=
8、（2009年包头）如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点在同一条直线上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转到图（2）的位置，点在边上，交于点，则线段的长为
cm（保留根号）．
9、（2009年长沙）如图，是的直径，是上一点，，则的度数为
10、（2009年甘肃白银）如图5，Rt△ACB中，∠ACB=90°，DE∥AB，若∠BCE=30°，则∠A=　　　　．[来源:学_科_网]
[来源:学|科|网]
11、（2009河池）如图2，的顶点坐标分别为．若将绕点顺时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为
12、（2009河池）某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为，
面积为，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，
则需要栅栏的长度为　　　
13、（2009白银市）．如图5，Rt△ACB中，∠ACB=90°，DE∥AB，若∠BCE=30°，则∠A=　　　　．（缺图）
14、 (2009宁夏)如图，的周长为32，且于，的周长为24，那么的长为　　　　　　．
15、（2009年郴州市）如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，与的和总是保持不变，那么与的和是_______度．三角形【
16、（2009年常德市）已知△ABC中，BC=6cm，E、F分别是AB、AC的中点，那么EF长是
17、（2009年广西梧州）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，延长CB到D ，则∠ABD＝ ★度．
18、（2009年清远）如图，若，且，则=
19、（09湖南邵阳）如图（四），点是菱形的对角线上的任意一点，连结 ．请找出图中一对全等三角形为___________．
20、（09湖南怀化）如图，已知，，要使
≌，可补充的条件是
（写出一个即可）．
21、(2009年咸宁市)如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于．下列四个结论：；②以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆外切；
④不能成为的中位线．
其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）【22、(2009年达州)如图5，△ABC中，AB＝AC，与∠BAC相邻的外角为80°，则∠B＝____________.
23、(2009年达州)长度为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是______________.
【关键词】三角形三边关系,概率
三、解答题
1、（2009年浙江省绍兴市）如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．
（1）求的度数；
（2）求证：．
2、（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．
（1）四边形OABC的形状是
当时，的值是
（2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；
②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】综．3、（2009年福州）如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD
4、（2009年宜宾）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD。
求证：∠C=∠A.
[来源:ZXXK]
5、(2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。
（1） 求证：BD=CD；
（2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
　　　　　　　【形．
6、(2009年南充)如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．
7、(2009年湖州)如图：已知在中，
，为边的中点，过点作，
垂足分别为.
（1） 求证：；
（2）若，求证：四边形是正方形.
，为正方形．
8、(2009年湖州)若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点.
（1）若点为锐角的费马点，且，则的值为________；
（2）如图，在锐角外侧作等边′连结′.[来源:]
求证：′过的费马点，且′=.
9、（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
　　经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
　　在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把&点E是边BC的中点&改为&点E是边BC上（除B，C外）的任意一点&，其它条件不变，那么结论&AE=EF&仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论&AE=EF&仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
10、（2009年娄底）如图10，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.
（1）求证：△ABE≌△ACE
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是
菱形？并说明理由.
11、（2009丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.
12、（2009烟台市）如图，直角梯形ABCD中，，，且，过点D作，交的平分线于点E，连接BE．
（1）求证：；[来源:]
（2）将绕点C，顺时针旋转得到，连接EG.．求证：CD垂直平分EG.
（3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．即．（2
13、（2009恩施市）两个完全相同的矩形纸片、如图7放置，，求证：四边形为菱形．
　　　　　　　
　　14、(2009年上海市)已知线段与相交于点，联结，为的中点，为的中点，联结（如图所示）．　　　　（1）添加条件∠A=∠D，，求证：AB=DC．
　　（2）分别将&&记为①，&&记为②，&&记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是
命题，命题2是
命题（选择&真&或&假&填入空格）．　　　　15、(2009武汉)如图，已知点在线段上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．
　　求证：．　　　　16、(2009年陕西省)如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．
　　求证：FA＝AB．　　17、（2009年泸州）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，
　　AD与BE相交于点F．
(1)求证：≌△CAD； [来源:]
(2)求∠BFD的度数．
18、 (2009年四川省内江市)如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.[来源:]
AE得∠ADE=∠AED
∴∠ADB=∠AEC
∴△ABD≌△ACE∴BD=CE19、 (2009年四川省内江市)如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC
求证：（1）CD⊥DF；
（2）BC=2CD∴CD⊥DF20、（2009年重庆市江津区）如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.
　　　求证：(1) △ABC≌△AED；
(2) OB＝OE .
21、（2009年北京市）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=，于点D,点E 在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F .求证：AB=FC
22、（2009年吉林省）如图，，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．
23．（2009年深圳市）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G。
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠ABE=50o，求∠EGC的大小。
25、（2009年长沙）如图，是平行四边形对角线上两点，，求证：．
26、（2009年莆田）已知：如图在中，过对角线的中点作直线分别交的延长线、的延长线于点
（1）观察图形并找出一对全等三角形：____________________，请加以证明；
（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？
27、（2009年莆田）（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母:（直接在图１中画图）
①以已知线段（图1）为直径画半圆；
②在半圆上取不同于点的一点，连接；
③过点画交半圆于点
（2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）
已知：（图2）．
求作：的平分线．作射线28、（2009年漳州）如图，在等腰梯形中，为底的中点，连结、．求证：．【．29、（2009年哈尔滨）如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．
点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．
求证：CD＝CE．
30、（2009年牡丹江）已知中，为边的中点，
绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、
当绕点旋转到于时（如图1），易证
当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
32、（2009年甘肃白银）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）；（2）．　　　33、（2009桂林百色）如图：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O．
　 （1）图中共有
对全等三角形；
（2）写出你认为全等的一对三角形，并证明．
34、（2009白银市）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）；（2）．
35、(2009宁夏) 如图：在中，，是边上的中线，将沿边所在的直线折叠，使点落在点处，得四边形．
36、（2009东营）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
　　（1）求证：EG=CG；
　　（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
　　（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）．37、（眉山）在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF。。
⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；
⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号&≌&表示，并证明。
⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积。
38、（2009年山西省）在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；
[来源:Z§xx§k.Com]
（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求的长．
39、（2009年黄石市）如图，在上，．
40、（2009年郴州市）如图6，在下面的方格图中，将ABC先向右平移四个单位得到AB1C1，再将AB1C1绕点A1逆时针旋转得到AB2C2，请依次作出AB1C1和AB2C2。
【答案】正确作出图形即可，图略．平移（4分）旋转（2分）
41、（2009年常德市）如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）
（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）
42、（2009年广西钦州）（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；
　　43、（2009年广西梧州）如图（7），△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于
点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．
（1）求证：AD＝CE；
（2）填空：四边形ADCE的形状是
．　　44、(2009年甘肃定西)如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）；（2）．
45、（2009年清远）如图，已知正方形，点是上的一点，连结，以为一边，在的上方作正方形，连结．求证：46、（2009年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．
47、（2009年舟山）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．　　48、（2009河池）如图7，在△中，∠ACB=．
（1）根据要求作图：
　　① 作的平分线交AB于D；
　　② 过D点作DE⊥BC，垂足为E．
（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形
　　和一对相似比不为1的相似三角形：
　请选择其中一对加以证明．
（2）△BDE≌△CDE ；
49、（09湖南怀化）如图9，P是∠BAC内的一点，，垂足分别为点．求证：（1）；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．【50、（09湖北宜昌）已知：如图2，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．
(1) 求证：AE=BE；
(2) 若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．图251、（09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．
　　(1)求证：AB=CD；
　　(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD
　　　的数量关系，并说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[来源:ZXXK]
　　52、(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
54、（2009年山东青岛市）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（）空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛．解：结论：
　　结论．
55、（2009年山东青岛市）已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．
（1）求证：；
（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．，57、（2009年湖北荆州）如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
58、（2009湖北荆州年）把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成能相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图。【【答案】
59、（2009年茂名市）如图，方格中有一个请你在方格内，画出满足条件
的并判断与是否一定全等？
60、(2009年肇庆市)如图 8，在中，，线段 AB 的垂直平分线交 AB于 D，交 AC
于 E，连接BE．
（1）求证：∠CBE=36°；
（2）求证：．
61、（2009年崇左）如图，在等腰梯形中，已知，，延长到，使．
（1）证明：；
（2）如果，求等腰梯形的高的值．
62、（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.
63、（2009年赤峰市）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。
64、(2009年云南省)如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB ；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
三角形全等
[来源:ZXXK]
一、 选择题
1. （2011深圳市全真中考模拟一）如图，将两根钢条、的中点O连在一起，使、可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB△的理由是
(A)边角边 (B)角边角 (C)边边边 (D)角角边答案;A二、填空题
1、（2011北京四中模拟8）如图，∠ACB=∠ADB，要使△ACB≌△BDA，请写出一个符合要求的条件
∠CAB=∠DBA或∠CBA=DAB
2、（2011年北京四中模拟28）
如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带编号为
的碎片去．
3．（2011年海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是　　　　　　　．
三、解答题A组1、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE． 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
【根据习题改编】
（1）你添加的条件是：
（2）证明：
答案： 解：（1）(或点D是线段BC的中点)，，中任选一个即可﹒
（2）以为例进行证明：
∵ CF∥BE，
∴ ∠FCD﹦∠EBD．
又∵，∠FDC﹦∠EDB，
　　　　　∴ △BDE≌△CDF．
2、（2011年北京四中三模）
如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并证明你的结论。
答案：和BE相等的线段是：AF
通过证明△ABF≌△BCE得证BE=AF
3、（2011年如皋市九年级期末考）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：
，并给予证明．
答案：答案不惟一．添加条件为AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD．
以添加条件AE＝AF为例证明．
　　证明：在△AED与△AFD中，
　　　　　∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD（SAS）．
4、（北京四中模拟）
　　已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线
　　交DC于点E．
　　求证：（1）△BFC≌△DFC；
　　　　　（2）AD=DE．
2、（2011杭州模拟26） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10cm，OC=6cm。P是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上。已知A、Q两点间的距离是O、P两点间距离的a倍。若用（a，t）表示经过时间t(s)时，△OCP、△PAQ 、△CBQ中有两个三角形全等。请写出（a，t）的所有可能情况
答案：（0，10），（1，4），（，5）
3、（北京四中模拟）如图，已知．求证：．证明：　　　　　．
　　　　　．
　　　　　又，．4、（2011年北京四中模拟26）已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2。
（1）图中哪个三角形与△FAD全等？证明你的结论；
　　答案：解：（1）△。证明：。　　又5、（2011年北京四中模拟28）
如图，点F是CD 的中点，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC．[来源:ZXXK]
（1）求证：AB=AE；
（2）连接BE，请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系？
（只需写出结论，不必证明）．答案：（1） 证明：联结AC、AD----------------------------------------------------------------1分
∵点F是CD 的中点，且AF⊥CD，∴AC=AD---------------1分
∴∠ACD=∠ADC------------------------------------------------------1分
∵∠BCD＝∠EDC,
∴∠ACB＝∠ADE-------------------------1分
∵BC=DE，AC=AD
∴△ABC≌△AED, -------------------------------------------------------1分
∴AB=AE-------------------------------------------------------------------1分
（2） BE⊥AF,BE//CD,AF平分BE--------------------------------------1分，1分，2分
（注：写出一个得1分，写出两个得2分，写出三个得4分）
6、（2011年北京四中中考模拟20）(本题8分)如图，AB∥CD
(1)用直尺和圆规作的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF。要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。
解：(1)作图略；
　　(2)取点F和画AF正确(如图)；
添加的条件可以是：F是CE的中点；
AF⊥CE；∠CAF=∠EAF等。(选一个即可)
7. （2011年黄冈市浠水县中考调研试题）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD.
求证：(1)△BAD≌△CAE；
(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明.
答案：（1）AB＝AC，易证∠BAD＝∠CAE ，AD＝AE，所以△BAD≌△CAE（SAS）
（2）BD⊥CE，证明略.
8. （2011年北京四中中考全真模拟17）已知：如图，已知：D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于，若MA=MC.
求证：CD=AN.　　　答案：证明：如图，　　因为 AB∥CN，所以
　　　　 ≌
是平行四边形B组1．（2011 天一实验学校 二模）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
理由：∵AB=AC,∴∠B=∠C,运动1秒时BP=3,CP=5,CQ=3
∵D为AB中点，AB=10，∴BD=5.
∴BP=CQ,BD=CP,∴△BPD≌△CQP
②若Q与P的运动速度不等，则BP≠CQ,若△BPD与△CQP全等，则BP=CP=4
CQ=5,Q的运动速度为5×cm/s
⑵设经过t秒两点第一次相遇则
（-3）t=20t=3t=80,80÷28=2×28=24,所以在AB边上。
即经过两点第一次相遇，相遇点在AB上。
2．（2011年安徽省巢湖市七中模拟）如图，是平行四边形的对角线上的点，．
请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？
并对你的猜想加以证明．猜想：证明：
答案：猜想：BE∥DF
　　证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD、AB∥CD
　　　　　∴∠BAC=∠DCA
　　　　又∵ AF=CE
　　　　　∴AE=CF
∴△ABE≌△CDF
∠AEB=∠CFD
∴∠BEF=∠DFE∴BE∥DF3．（2011北京四中一模）如图，在 △ABC中，以AB为直径的⊙O交 BC于点 D，连结
AD，请你添加一个条件，
　　使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由．
你添加的条件是
证明：[来源:]
答案： 本题答案不唯一，添加的条件可以是
①AB＝AC，②∠B＝∠C，③BD＝DC（或D是BC中点），
④∠BAD＝∠CAD（或AD平分∠BAC）等．
4.（2011浙江杭州义蓬一模）(本小题满分10分) 图1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.
（1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；
（2）如图2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.
答案：（1）求证：① △AEF≌△BEC；
∠ABC=90°，E是AB的中点，AE=BE,∠FAB=∠EBC=60°，∠FEB=∠BEC
所以△AEF≌△BEC；
② 四边形BCFD是平行四边形；
可得DF∥BC,FC∥DB,或DF∥BC，且DF=BC均可
（2）设BC=1，则AC=,AD=AB=2
设DH=x,由折叠得DH=CH=x,(2-x)+3=x
所以Sin∠ACH=
5. （2011深圳市全真中考模拟一） 如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F．
　　(1)求证：OE=OF；
　　(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论&OE=OF&还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．　　　　答案：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴BOE=AOF＝90．OB＝OA
.................. (1分)
又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE
　　∴MEA＝AFO..................（2分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ..................
..................(4分)
(2)OE＝OF成立
..................
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BOE=AOF＝90．OB＝OA
.................. (6分)
又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE
又∵MBF＝OBE
∴F＝E..................（7分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ..................
..................(9分)
6. （河南新乡2011模拟）（10分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝．
（1）求B′ 点的坐标；
（2）求折痕CE所在直线的解析式．
答案：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝，OC＝9，
.................................................................................３分
解得OB′＝12，即点B′ 的坐标为（12，0）． .............................................４分
（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′ 点，CE为折痕，
∴ △CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．
由勾股定理，得 CB′＝＝15． ... .......................................５分
设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．
由勾股定理，得　a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．
∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）．
设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得
............... ８分
∴CE所在直线的解析式为　y＝－x+9． ......
7、（2011年黄冈市浠水县）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE=EC，CF∥AB．
求证：AD=CF．
答案：证明：，．............（2分）
　　　　　又，，
　　　　　．...........................（5分）
　　　　　．.......................................（6分）
8. （2011年浙江省杭州市模2）（本小题满分10分）
如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边?ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时?PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
答案：（1）不变。
又由条件得AP=BQ，∴≌(SAS)∴∴
（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t当当
∴当第秒或第2秒时，?PBQ为直角三角形
（3）不变。∴又由条件得BP=CQ，∴≌(SAS)∴
全等三角形
一、 选择题
1.（2010年武汉市中考模拟数学试题（15））如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC=180°
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，
则AM+CN=AC；
④∠BAC=2∠BPC
其中正确的是（　　）．
Ａ.只有①②③
Ｂ．只有①③④
Ｃ.只有②③④
Ｄ．只有①③答：B二、填空题
1．（2010年德州第一次练兵）如图，点P在的平分线上，若使≌，则需添加的一个条件是
（写一个即可，不添加辅助线)。
答案：不唯一 ；
2．（陕西新希望教育2010年 一模）如图，在等边△ABC中，AC＝3，点O在AC上，且AO＝1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时则AP的长是
．答案：23.（2010模拟题四）如图△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：___________，使△AEH≌△CEB.
答案：AH=BC
三、解答题
1．（2010学年度武汉市九年级复习备考数学测试试卷16）等边△ABC和等边△ADE如图放置，且B、C、E三点在一条直线上，连接CD,求证：∠ACD＝60°.
答案：证△ABE≌△ACD即可（或证△ABE∽△ACD亦可）
2.（2010年武汉市中考模拟数学试题（24））中，，AC=BC，CO为中线．现将一直角三角板的直角顶点放在点上并绕点旋转，若三角板的两直角边分别交AC，CB的延长线于点G，H．请从图中选一组相等的线段并给予证明（除AC=BC，OA=OB=OC外）
我选择证明
证明：（1）（任一组都行）
（利用等角的补角相等证比照给分）．3.（2010年武汉市中考模拟数学试题（27））已知如图，∠A＝90°∠D＝90°且AE=DE，求证：∠ACB=∠DBC.答：略.4.（2010年武汉中考模拟试卷6）如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF。求证△ABC≌△DEF。
　　答案：、证明
∴BE＋EC＝EC＋CF即BC＝EF
又∵AB＝DE
∴△ABC≌△DEF
5．（2010年溧水县）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.
（1）求证：△ABE≌△ACE
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.答案：（1）证明：∵AB=AC
点D为BC的中点
∴∠BAE=∠CAEAE=AE∴△ABE≌△ACE（SAS）
（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
　　　理由如下：
　　　　∵AE=2AD，∴AD=DE
　　　又点D为BC中点，∴BD=CD
　　　　∴四边形ABEC为平行四形边
　　　　∵AB=AC
　　　　∴四边形ABEC为菱形
（其他方法参照本方法给分）
6．（2010永嘉学业二模）阅读：下题及证明过程：
已知：如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，且EB=EC，∠ABE=∠ACE.
求证：∠BAE=∠CAE
证明：在△AEB和△AEC中
EB = EC （
∠ABE=∠ACE（
∴△AEB≌△AEC（
∴∠BAE=∠CAE（
上面的证明过程是否正确？若认为正确，请在各步后面的括号内填入依据；若认为不正确，请给予正确的证明.
解：上述的证明过程不正确。
证明：∵BE=EC
∴∠EBD=∠ECD
　　　∵∠ABE=∠ACE
　　　∴∠ABD=∠ACD
　　　∴AB=AC
　　　在△ABE与△ACE中AB=AC∠ABE=∠ACE
　　　　BE=CE
　　　∴△ABE≌△ACE（SAS）
　　　∴∠BAE=∠CAE　　　7.（河南邓北七校联考模拟试题）如图：ACB与DCE是全等的两个直角三角形，其中ACB=DCE=900，AC=4，BC=2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上.
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；
（2）如图（1）若DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD，；
（3）在DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使DCE与ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为，这个四边形的面积为，求与的函数关系式，并写出它的定义域.
答案：解：（1）点 M
（2）经过t秒时，，
则，∵==∴∴
∵∴当时，S的值最大．
（3）存在．
设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则，∴==①若，则是等腰Rt△底边上的高
∴是底边的中线
∴∴∴∴点的坐标为（1，0）
②若，此时与重合∴∴∴∴点的坐标为（2，0）
8．（2010年·武汉市·中考模拟试卷）如图：已知等边三角形ABC,D为AC边上的一动点，CD=nDA，连线段BD,M为线段BD上一点，∠AMD=60°,AM交BC于E.
⑴.若n＝1,则=
⑵.若n＝2,求证：BM=6DM.
⑶.当n＝　　　　时，M为BD中点.
　（直接写结果，不要求证明）。
答案：（1）
　　（2）.证明:
∠AMD=∠ABD+∠BAE=60°
∠CAE+∠BAE=60°
∴∠ABD=∠CAE
又,BA=CA ,∠BAD=∠ACE=60°
∴△BAD≌△ACE(ASA)
　　作CF∥BD交AE于F
　　∴= = =①
　　①×②得　=
　　∴BM=6DM　
9. 如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，BC=CD，BE⊥DC于点E.求证：△ABD≌△EBD
答案：∵AD∥ BC,
∴∠ADB=∠DBC,∵BC=BD,∵∠DBC=∠CDB,∴∠CDB=∠ADB
又,∵BE⊥DC
∴∠BED=∠A
∴△ABD≌△EBD
10.（2010年武汉中考命题）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC，求证EF∥CD。证明略11.（武汉市2010年初中学业考试）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的
距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再
定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得
DE的长就是AB的长.请说明理由.
答案：证△ABC≌△EDC得DE=AB.
12.(2010星子二中月考)如图是由正三角形组成的正六边形网格，请在网格中画出两个互不重叠且各个顶点均在格点上的全等三角形．
答案：如：
13.(2010星子二中月考)如图所示,把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,将重合部分剪去,得到△ABF和△EDF.
求证：△ABF≌△EDF证明：
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