证明反对称矩阵A与对角矩阵B的和的行列式的值会大于零_大学数学吧_百度贴吧
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证明反对称矩阵A与对角矩阵B的和的行列式的值会大于零收藏
&证明A与B的和的行列式的值会大于零&
其中矩阵B的对角线上的题目均大于零&&
&
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题中两矩阵之和，是，因为把此矩阵表示为二项式其，等同于对角阵B，所以为正定矩阵，则行列式&0
是么子东东
数学吧里的人说不是样做的
不过这种大学的题目数学吧里是没有几个人理会的]
所以来这里问问
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正定矩阵的东西最好看书,它的定义是这个矩阵只有正惯性指数,也就是特征值全大于零,或者说任意主阶子式的行列式都大于零
知道了
谢谢
数学吧的一个高手就是说是用特征值
呵呵
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天！……
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或自 测 试 题 一
自 测 试 题
一、填空题(每小题2分,共20分)
(1) = &&&&&&&&&.
(2)= &&&&&&&&(n为正整数).
(3)设A=,则(2A)-1=&&&&&&& .
(4)非齐次线性方程组Am×nXn×1=bm×1有惟一解的充分必要条件是&&&&&&&&&
(5)向量α=(3,1)T用η1=(1,2)T,
η2=(2,1) T线性表示的表达式为& &&&&&.
(6)若n阶矩阵A,B,C满足ABC=I,I为n阶单位矩阵,则C-1=&&&&&&& .
(7)若n阶矩阵A有一个特征值为2,则|A-2I|=&&&&&& .
(8)若A,B为同阶方阵,则(A+B)(A-B)=A2-B2的充分必要条件是&&&&&&&&
(9)正交矩阵A的特征值λ=&&&&&&& .
(10)如果二次型是正定的,则t的取值范围是&&&&&&&&&&
二、单项选择题(每小题2分,共10分)
(1)若,则的值为（&&&&& ）。
&(A)12&&&&& (B)-12&&&&&&&&
(C)18&&&&&&&
(2)设A,B都是n阶矩阵,且AB=0,则下列一定成立的是(&&&&& ).
(A)A=0或B=0& (B)A,B都不可逆 (C)A,B中至少有一个不可逆& (D)A+B=0
(3)向量组线性相关的充分必要条件是(&&& ).
(A) 中含有零向量
(B) 中有两个向量的对应分量成比例
(C) 中每一个向量都可用其余s-1个向量线性表示
(D) 中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示
(4)矩阵经过行初等变换化为A1=,则矩阵A的秩为3,为A的第i列向量,则( &&)成立.
(A) &&&&&&&&&&&&&&&&&(B)
(C) &&&&&&&&&&&&&&&(C)列向量组线性无关
(5) 若n阶矩阵A与B相似,则(&&&&&& ).
(A)它们的特征矩阵相同&& (B)它们具有相同的特征向量
(C)它们具有相同的特征矩阵& (D)存在可逆矩阵C,使CTAC=B
三、计算题(每小题9分,共63分)
(1)计算行列式
(2)线性方程组
当为何值时有解？在有解的情况下,求其全部解.
(3)求向量组=(2,1,1,1), =(-1,1,7,10), =(3,1,-1,-2),=(8,5,9,11)的一个极大线性无关组,并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.
(4)设AX+B=X,其中A=,B=,求X.
(5)已知矩阵A=与B=相似.
(i)求.& (ii)求可逆矩阵P,使P-1AP=B.
(6)将向量=(1,1,1)T, =(-1,0,-1)T, =(1,2,-3)T标准正交单位化,并求向量=(3,2,1)T用此正交单位向量线性表示的表达式。
(7)化二次型ƒ(x1,x2,x3)=为标准形,写出相对应的非奇异线性变换,并指出二次型的秩、正惯性指数及符号差。
四、证明题
如果A是阶矩阵,且,试证.
自 测 试 题
,则=&&&&& .
(2)设A,分别为线性方程组的系数矩阵与增广矩阵,则有解的充分必要条件是&&&&& .
(3)设A,B均为矩阵,若A的列向量组可由B的列向量组线性表示,则与的关系为&&&&&& .
(4)设A为n阶矩阵,k为任意常数,则=&&&&&& .
(5)设A,B均为可逆矩阵,则分块矩阵亦可逆,=&&&&&& .
(6)设A为3阶可逆矩阵,且A-1=,则A*=&&&&&&&&
(7)若A为n阶正交矩阵,则A必可逆,且A-1=&&&&&&&&
(8)若3阶矩阵A的3个特征值分别为-1,-1,8,则|A|=&&&&&&&&
(9)设向量分别为对称矩阵A的两个不同特征值所对应的特征向量,则与的内积&&&&&&&&
(10)二次型ƒ(x1,x2,x3)=为正定二次型,则t的取值范围是&&&&&&& .
二、单项选择题(每小题2分,共10分)
(1)若齐次线性方程组& 仅有零解则(&&&& ).
(A)k=4或k=-1
(B) k=-4或k=1 (C) k≠4或k≠-1& (D) k≠-4或k≠1
(2)(s≥2)线性无关的充分必要条件是(&&
(A)都不是零向量&& (B)任意两个向量的分量不成比例
(C)至少有一个向量不可由其余向量线性表示
(D)每一个向量均不可由其余向量线性表示
(3)A、B均为n阶矩阵,下列各式中成立的为(&&& ).
(C)AB=0,则A=0或B=0&& (D)若,则或|Ⅰ+B|=0
(4)设n阶矩阵A的秩r＜n,则在A的n个行向量中(&&& )
(A)必有r个行向量线性无关
(B)任意r个行向量均可构成极大线性无关组
(C)任意r个行量均线性无关
(D)任一行向量均可由其他r个行向量线性表示
n阶矩阵A可与对角矩阵相似的充分必要条件是(&&&
(A)A有n个线性无关的特征向量&& (B)A有n个不同的特征值
(C)A的n个列向量线性无关&&&&&& (D)A有n个非零的特征值
三、计算题(每小题8分,共64分)
(1)计算n阶行列式
(2)线性方程组
当为何值时有解,在有解的情况下,求其全部解。
(3)给定向量组,,,,求的一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示。
(i)求.&&&&&&&&&&
(ii)解矩阵方程XA=B.
(5)设A=,求A的全部特征值与特征向量。
(6)已知实对称矩阵A=的特征值为,,对应特征值,给定两个线性无关的特征向量1=(-2,1,0)T, 2=(2,0,1)T；对应于特征值,给定一个特征向量3=(1,2,-2)T.
(i)求正交矩阵Q,使Q-1AQ=为对角矩阵.
(ii)利用(i)的结果,用正交变换化二次型
&为标准形.
(7)设n阶方阵A满足方程A2-3A-2I=0,求证：A可逆,并且求其逆.
(8)化二次型为标准形,并写出对应的非奇异线性变换.
四、证明题
如果n阶矩阵A可逆,A*是A的伴随矩阵,试证：A*也可逆,并求(A*)-1和|A*|。
自 测 试 题 三
一、填空题(每小题2分,共16分)
(1)排列的逆数等于3,排列的逆序数等于&&&& 。
(2)设矩阵A=,B=,且|A|=4,|B|=1,则|A+B|=&&&&&& .
(3)向量组1=(-1,2,-1),2=(3,6,3)线性&&&&&&&&
(4)设=(1,2,3),=(3,2,1),则T=&&&&&&&&&
(5)1,2线性无关,且1,2,3均可由1,2线性表示,则1,2,3线性&&&&&&&&
(6)A为n阶方阵,Ax=0有非零解,则A必有一个特征值等于&&&&& .
(7)可逆矩阵A的三个特征值分别为1,2,3,则的三个特征值分别为&&&& .
(8)二次型正定,则t的取值范围是&&&&& .
二、单项选择(每小题2分,共14分)
(1)D==0的充分必要条件是(&&
(A)k=2&&& (B)k=0&&& (C)k=3&&&&& (D)k=-3
(2)A,B均为n阶可逆矩阵,则AB的伴随矩阵(AB)*=(&& ).
(A)A*B*&& (B)|AB|A-1B-1&&& (C)B-1A-1&&& (D)B*A*
(3)设A,B均为n阶方阵,且满足等式AB=0,则必有(&& ).
(A)|A|=0或|B|=0& (B)A=0或B=0& (C)A+B=0&& (D)|A|+|B|=0
(4)设n元齐次线性方程且的系数矩阵的秩为r,则方程组有非零解的充分必要条件是(&&
(A)r=n& (B)r≥n&&& (C)r＞n&& (D)r＜n
(5)设A,B,C均为n阶方阵,且有ABC=I,则(&& ).
(A)ACB=I&& (B)CBA=I&&&& (C)BAC=I&&& (D)BCA=I
(6)设矩阵A的特征多项式,则|A|=(&&&&& ).
(A)-4&& (B)-16&&&& (C)4&& (D)16
(7)设n元实二次型为正定的二次型,则下列结论不成立的是(&
(A)A的n个特征值均大于零&&&& (B)A的n个特征值互异
(C)|A|≠0&&& (D)|A|＞0
三、计算题(每小题8分，共56分)
(1)计算行列式.&& (2)A=,求A-1.
(3)给定向量组1=(1,-1,-1,-3),2=(-1,1,-3,-1),3=(-1,-3,1,-1),
4=(-3,-1,-1,1),求：
(i)向量组1,2,3,4的秩；
(ii)该向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示。
(4)议论当取何值时,线性方程组&
有惟一解,无穷多个解,无解.
(5)设A=,求可逆矩阵P,使P-1AP=为对角矩阵.
(6)已知实对称矩阵A=的特征值为,对应于的两个线性无关的特征向量为(1,0,-1)T,(0,1,-1)T；对应于一个特征向量为(1,1,1)T,求正交矩阵Q,使Q-1AQ=QTAQ=为对角矩阵.
(7)化二次型为标准形,并写出相应的可逆线性变换.
四、证明题(每小题7分,共14分)
(1)设A为n阶实对称矩阵,且A2=0,证证：A=0.
(2)证明：若非零矩阵A半正定,则行列式|A+I|＞1.
试 题 答 案
自测试题一
一、(1) &&&&(2)；& (3)；(4)r(A)=n， (5)=-；& (6)AB；(7)0；(8)AB=BA；(9)1或-1；
二、(1)A；& (2)C；& (3)D；& (4)A；& (5)A.
三、(1)将所有行都加到第一行可得,原式=(-1)n-1
当=5且=8时,线性方程组有解.全部解为为任意常数.
1,2是向量组1,2,3,4的一个极大线性无关组,且3=,.
(4)由AX+B=X,得(I-A)X=B,即X=(I-A)-1B.
(I-A)-1=&& X=(I-A)-1B=
(5)由于A与B相似,则|I-A|=|I-B|,可得x=2.所以矩阵A的特征值为1=0,2=3,3=2.对于1=0,A对应的特征向量为.对于2=3,A对应的特征向量为2=(0,0,1)T.对于3=2,A对应的特征向量为3=(1,1,0)T.
P=(1,2,3)= 便得PTAP=B.
令 ,即作线性变换 可将二次型化为标准形,二次型的秩为3,正惯性指标为2,符号差为1.
四、证:由于r(A)=n-1,则|A|=0,AA*=|A|I=0,A*的每一列向量均为方程的解,所以r(A*)≤n-r(A)=1.另一方面,r(A*)=n-1,则A中至少有一个n-1阶的子式不等于0,即A中至少有一个元素的代数余子式不等于0,故矩阵A*≠0,所以有r(A*)≥1.由此可得r(A*)=1.
自测试题二
一、(1)0;&
(2)r(A)=r(A,b);& (3) r(A) ≤r(B);(4)kn|A|;& (5);&& (6);(7)AT;&
(8)8;& (9)0;& (10)＜t＜0.
二、(1)C； (2)D； (3)D； (4)A； (5)A.
三、(1)原式===
(2)→& 当a=2时,方程组有解.在有解的情况下,其一般解为& (x3,x4为自由未知量)
它的特解为&& 导出组的基础解系为
1=(3,7,16,0)T,& 2=(9,5,0,16)T
方程组的全部解为=0+c11+c22(c1,c2为任意数).
是向量组的一个极大线性无关组.且
(4)(i)A-1=；(ii)X=BA-1=.
(5)A的全部特征值为λ1=λ2=2,
λ3=4.对应其特征向量为(k1,k2不全为零),对应于,其特征向量为
(6)将正交单位化得,将单位化得,.&&&&
为正交矩阵,为对角矩阵。
对于二次型,作正交变换,可将二次型化为标准形.
(7)由,得,即,所以A可逆,且.
(8)令可将二次型化为标准形. 所作的可逆变换为
四、因为A可逆,所以≠0,可逆，A*也可逆。
自测试题三
一、(1)7；(2)20；(3)无关；(4)10；(5)相关；(6)0；(7)1,
(8)-4＜t＜4.
二、(1)C；(2)D;(3)A;(4)D;(5)D;(6)B;(7)B.
三、(1)将2,3,4列均加到第1列,得
(2)设A=,其中A1= ,B=
(i)r()=r(A)=3.
(ii)是向量组的一个极大线性无关组,且.
(i)当≠0时,即≠-2且≠1时,线性方程组有惟一的解；
(ii)当=-2时,线性方程组无解；
(iii)当=1时,线性方程组有无穷多个解。
(5)A的全部特征值为1=2=1,3=-2,对于1=2=1,A有二个线性无关的特征向量1=(-2,1,0)T,2=(0,0,1)T,对于3=-2,A的一个的特征向量为3=(-1,1,1)T.
所以P=,使得P-1AP=为对角形的矩阵.
(6)将对应于特征值1=2=-1的两个线性无关的特征向量单位正交化得
将对应于3=5的特征向量单位化得
为正交矩阵,使得Q-1AQ=QTAQ=diag(-1,-1,5)为对角矩阵.
(7)标准形为,线性变换为
四、设 (i,j=1,2,…n),考虑B=A2主对角线上的元素为bii=由于是实数,所以得到=0(i,j=1,2,…n).即A=0.
(2)设A的全部特征值为i(i=1,2,…n),则A+I的全部特征值为i+1(i=1,2,…n).因为A是半正定的矩阵,所以i≥0,且其中至少有一个特征值k＞0,故|A+I|=≥＞1.如果一个矩阵A是正定的，那么他的主对角线的元素_正定吧_百度贴吧
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如果一个矩阵A是正定的，那么他的主对角线的元素全部要大于0为什么？
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A、B都是n阶实对称半正定矩阵，证明，如果tr(AB)=0,则AB=0.
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不妨设D=diag(D_1,0)A是实对称半正定矩阵，则存在耽敞臂啃赚救掉粟实正交阵Q和对角阵D使得A=Q*D*Q^T，其中C=Q^TBQ也是半正定的既然tr(AB)=tr(DC)=0，其中D_1正定AB=QDQ^TB=QDCQ^T，那么C当中与D_1对应的行列均为0，可得CD=0
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