2012届高考数学考点突破测试题(含答案解析)
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2012届高考数学考点突破测试题(含答案解析)
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2012届高考数学考点突破测试题(含答案解析)
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文 章来源莲山课件 w ww.5 y kj.Co m 专题达标检测五一、1．若a、b表示互不重合的直线，α、β表示不重合的平面，则a∥α的一个充分条件是(　　)&A．α∥β，a∥β&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．α⊥β，a⊥βC．a∥b，b∥α&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．α∩β＝b，a⊄α，a∥b解析：A，B，C选项中，直线a都有可能在平面α内，不能满足充分性，故选D.答案：D2．(;全国Ⅰ)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)A.23&&&&&&&&&&& B.33&&&&&&&&&&& C.23&&&&&&&&&&& D.63解析：∵BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角即为BB1与平面ACD1所成的角，设其大小为θ，设正方体的棱长为1，则点D到面ACD1的距离为33，所以sin θ＝33，得cos θ＝63，故选D.答案：D&3．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．PA＝PB&PCB．PA＝PB&PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC解析：∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，∴MA＝MB＝MC.又∵PM⊥平面ABC，∴MA、MB、MC分别是PA、PB、PC在平面ABC上的射影，∴PA＝PB＝PC.应选C.答案：C&4．如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′(a′＋b＝h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．1＋ba且a＋b&hB．1＋ba且a＋b&hC．1＋ab且a＋b&hD．1＋ab且a＋b&h解析：设啤酒瓶的底面积为S，啤酒瓶的容积为V瓶，瓶内酒的体积为V酒，则V酒＝Sa，V瓶－V酒＝Sb，即得V瓶＝V酒＋Sb＝S(a＋b)，∴V瓶V酒＝Sa＋bSa＝1＋ba.又∵Sa′&Sa，即a′&a，∴h＝a′＋b&a＋b，∴V瓶V酒＝1＋ba且a＋b&h.答案：B&5．在正三棱锥S－ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝23，则正棱锥S－ABC外接球的表面积是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．12π&&&&&&&&&&&&&&&&& B．32πC．36π&&&&&&&&&&&&&&&&& D．48π解析：由于MN⊥AM，MN∥BS，则BS⊥AM，又根据正三棱锥的性质知BS⊥AC，则BS⊥平面SAC，于是有∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，SA、SB、SC为三棱锥S―ABC外接球的内接正方体的三条棱，设球半径为R，则4R2＝3SA2＝36，球表面积为4πR2＝36π.答案：C&6．(;北京)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关&解析：连结EQ、FQ、A1D，作PN⊥A1D，垂足为N.∵A1B1∥DC且EF＝1，∴S△EFQ是定值．∵A1B1⊥面ADD1A1且PN⊂面ADD1A1，∴A1B1⊥PN，∴PN⊥面A1B1CD.∵PD＝z，∠A1DA＝45°，∴PN＝22z，∴VPEFQ＝13S△EFQ•PN与x，y无关，与z有关，故选D.答案：D二、题7．(;湖南，13)下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝____________cm.&&解析：直观图如图，则三棱锥中AD⊥AB，AD⊥AC，AB⊥AC，∴体积V＝13×12AB•AC•h＝20，∴h＝4.答案：48．如图所示，在正方体，ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1，CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的取值集合为________．答案：π29．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V＝________.&&解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是26，故该凸多面体的体积为1＋26.答案：1＋2610．(;四川)如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析：过A作AC⊥平面β于C，C为垂足，连结CB，过C作CD⊥l于D，连结AD，则AD⊥l，∴∠ADC为二面角α－l－β的平面角，即∠ADC＝60°.&∵AC⊥β，∴∠ABC为直线AB与平面β所成角．设AB＝1，则AD＝12，AC＝12×32＝34，∴sin ∠ABC＝ACAB＝341＝34.答案：34三、解答题11．(;江苏无锡)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB＝BC1，E、F、G分别为线段AC1、A1C1、BB1的中点，求证：(1)平面ABC⊥平面ABC1；(2)EF∥平面BCC1B1；(3)GF⊥平面AB1C1.证明：(1)∵BC⊥AB，BC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴ BC⊥平面ABC1.∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.(2)∵AE＝EC1，A1F＝FC1，∴EF∥AA1.∵BB1∥AA1，∴EF∥BB1.∵EF⊄平面BCC1B1，∴EF∥平面BCC1B1.(3)连结EB，则四边形EFGB为平行四边形．∵EB⊥AC1，∴FG⊥AC1. ∵BC⊥面ABC1，∴B1C1⊥面ABC1，∴B1C1⊥BE，∴FG⊥B1C1.∵B1C1∩AC1＝C1，∴GF⊥平面AB1C1.12．已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点．(1)求证：直线MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；(3)求平面AFC1与平面ABCD所成的锐二面角的大小．&(1)证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.因为F是BB1的中点，所以F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又∵MF⊄平面ABCD， AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)证明：(如上图)连结BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，可知：A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，所以四边形DANB为平行四边形．故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.(3)解：由(2)知BD⊥平面ACC1A1，又AC1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥AC1，∵BD∥NA，∴AC1⊥NA.又因BD⊥AC可知NA⊥AC，∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成锐二面角的平面角．在Rt△C1AC中，tan∠C1AC＝C1CCA＝13，故∠C1AC＝30°.∴平面AFC1与平面ABCD所成锐二面角的大小为30°.
13．(;湖北，18)如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.(1)设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算ABAQ的值；(2)求二面角O－AC－B的平面角的余弦值．解：解法一：(1)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连结NC.&又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC.∵NC⊂平面ONC，∴OA⊥NC.取Q为AN的中点，则PQ∥NC，∴PQ⊥OA.在等腰△AOB中，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°.在Rt△AON中，∠OAN＝30°，∴ON＝12AN＝AQ.在△ONB中，∠NOB＝120°－90°＝30°＝∠NBO，∴NB＝ON＝AQ，∴ABAQ＝3.&(2)连结PN，PO.由OC⊥OA，OC⊥OB知OC⊥平面OAB.又ON⊂平面OAB，∴OC⊥ON.又由ON⊥OA知ON⊥平面AOC.∴OP是NP在平面AOC内的射影．在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，∴AC⊥OP.根据三垂线定理，知AC⊥NP.∴∠OPN为二面角O－AC－B的平面角．在等腰Rt△COA中，OC＝OA＝1，∴OP＝22.在Rt△AON中，ON＝OAtan 30°＝33，∴在Rt△PON中，PN＝OP2＋ON2＝306，∴cos ∠OPN＝POPN＝2.解法二：(1)取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz(如图所示)&则A(1,0,0)，C(0,0,1)，B－12，32，0.∵P为AC中点，∴P12，0，12.设AQ→＝λAB→(λ∈(0,1))，∵AB→＝－32，32，0，∴OQ→＝OA→＋AQ→＝(1,0,0)＋λ－32，32，0＝1－32λ，32λ，0，∴PQ→＝OQ→－OP→＝12－32λ，32λ，－12.∵PQ⊥OA，∴PQ→•OA→＝0，即12－32λ＝0，λ＝13.所以存在点Q12，36，0使得PQ⊥OA且ABAQ＝3.（2）记平面ABC的法向量为n=（n1，n2，n3），则由n⊥AB→，n⊥AB→，且CA→＝(1,0，－1)，得n1－n3＝0，－32n1＋32n2＝0，故可取n＝(1，3，1)．又平面OAC的法向量为e＝(0,1,0)．∴cos〈n，e〉＝&#，1•&#，01＝35.二面角O－AC－B的平面角是锐角，记为θ，则cos θ＝155.文 章来源莲山课件 w ww.5 y kj.Co m
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如图所示，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2，则正三棱锥SABC外接球的表面积是________．  
【解析】在正三棱锥S-ABC中，易证SB⊥AC，又MN∥BS，∴MN⊥AC.∵MN⊥AM，
∴MN⊥平面ACM.∴MN⊥SC，∴∠CSB＝∠CMN＝90°，即侧面为直角三角形，底面边长为2.此棱锥的高为2，设外接球半径为R，则(2－R)2＋＝R2，∴R＝3，∴外接球的表面积是36π.
考点分析：
考点1：柱、锥、台、球的表面积和体积
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一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________． 
如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.  
如图，底面边长为a，高为h的正三棱柱ABC-A1B1C1，其中D是AB的中点，E是BC的三等分点．求几何体BDEA1B1C1的体积．  
四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积． 
在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？  
题型：填空题
难度：中等
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风飘飘dq43
（转载）方法一：不用太复杂,教你一个简单办法!因为是正三棱锥,所以SB垂直AC.MN平行SB,所以SB垂直AM.所以SB垂直面SAC.同理,由正三棱锥的对称性可知,SA垂直面SBC,SC垂直面SAB.所以SA、SB、SC两两垂直.接下来,将S-ABC还原为一个正方体,其外接圆半径即为正方体对角线的一半,即R=√3a/2,外接球的表面积S=4πR^2=3πa^2 方法二：SA=SB=SC=a so we can make AB=BC=CA=b,通过a&b的关系,求解整个图形的形状,because知道边的数量关系就可以找圆心了.数量关系在哪呢?MN垂直于AM 勾古定理可得AN^2=AM^2+MN^2 底面已设AB=BC=CA=b,so we can know that AN=b*（√3）/2 中线定理,有MN=1/2*SB=1/2*a AM=?,AM是ΔSAC在SC边上的中线,cos∠SCA=cos∠SAC=b/2a 在ΔAMC中,MC=a/2,AC=b,AM=x,cos∠SCA=b/2a 用余弦定理,cos∠SCA=(MC^2+AC^2-AM^2)/2*AC*MC 解得(a^2)/4+(b^2)/2=x^2,x=AM 代回AN^2=AM^2+MN^2,解得b^2=2*(a^2),in another words,b=√2*a 终于知道了,AB=BC=CA=b=√2*a 我相信下面的你会解,if 底中心为P,ΔSPC为直角三角形.SC=a,PC=（√6）/3*a,SP=√3/3*a S-ABC外接球半径为R=√3/2*a,圆心在形外.外接球的表面积S=4*π*R^2=3πa^2
第一个方法：原题并没说MN⊥SAC
第二个方法：为何PC=（√6）/3*a，SP=√3/3*a
首先说明下你的题目错了，N应该是BC的中点；
①MN一定不垂直面SAC（所以当然不说）,是SB⊥面SAC!
下面是证明；
AC,AM含于面SAC;
所以SB⊥面SAC;
②p为等边三角形的中心，而该三角形的边长为a；高为√3*a/2，得PC=√3*a/6，
由勾股定理得，
PC²+SP²=SC²,
SC=2√3,PC=√3*a/6;
得SP=√3*a/3；
ps：望采纳啊！！打字不容易啊！
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扫描下载二维码正三棱锥S-ABC中，侧棱与底面所成角的余弦值为，点M,N分别为棱SC、SA的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为_______.
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